微分方程传递函数
传递函数
2-6 传递函数求解控制系统的微分方程，可以得到在确定的初始条件及外作用下系统输出响应的表达式，并可画出时间响应曲线，因而可直观地反映出系统的动态过程。
如果系统的参数发生变化，则微分方程及其解均会随之而变。
为了分析参数的变化对系统输出响应的影响，就需要进行多次重复的计算。
微分方程的阶次愈高，这种计算愈复杂。
因此，仅仅从系统分析的角度来看，就会发现采用微分方程这种数学模型，当系统阶次较高时，是相当不方便的。
以后将会看到，对于系统的综合校正及设计，采用微分方程这一种数学模型将会遇到更大的困难。
目前在经典控制理论中广泛使用的分析设计方法——频率法和根轨迹法，不是直接求解微分方程，而是采用与微分方程有关的另一种数学模型——传递函数，间接地分析系统结构参数对响应的影响。
所以传递函数是一个极其重要的基本概念。
一、传递函数的概念及定义在[例2-7]中，曾建立了RC 网络微分方程，并用拉氏变换法对微分方程进行了求解。
其微分方程（2-44）为)()(t u t u dtdu RC r c c =+ 假定初始值0)0(=c u ，对微分方程进行拉氏变换，则有)()()1(s U s U RCs r c =+网络输出的拉氏变换式为)(11)(s U RCs s U r c += （2-48）这是一个以s 为变量的代数方程，方程右端是两部分的乘积；一部分是)(s U r ，这是外作用（输入量）的拉氏变换式，随)(t u r 的形式而改变；另一部分是11+RCs ，完全由网络的结构参数确定。
将上式（2-48）改写成如下形式 11)()(+=RCs s U s U r c 令11)(+=RCs s G ，则输出的拉氏变换式可写成 )()()(s U s G s U r c =可见，如果)(s U r 给定，则输出)(s U c 的特性完全由)(s G 决定。
)(s G 反映了系统（网络）自身的动态本质。
这很显然，因为)(s G 是由微分方程经拉氏变换得到的，而拉氏变换又是一种线性变换，只是将变量从实数t 域变换（映射）到复数s 域，所得结果不会改变原方程所反映的系统本质，对照)(s G 与原微分方程（2-44）的形式，也可看出二者的联系。
传递函数解读
5、振荡环节 是二阶环节，含有两个独立的储能元件，且所存储 的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性 质，其运动方程为
2 d d 2 T x (t ) 2 T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) , 0< <1 2 0 dt dt
传递函数：
X 0 ( s) K G( s) 2 2 X i ( s) T s 2 Ts 1
定，可有可无
传递函数是系统脉冲响应的拉氏变换；
传递函数的零点和极点
传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写 为如下形式：
b0 ( s z1 )(s z 2 ) ( s z m ) G( s) K* a 0 ( s p1 )(s p2 ) ( s pn )
xo(t)、xi(t)—分别为环节的输出和输入量； K—比例环节的增益或放大环节的放大系数，等于输出量
与输入量之比。
比例环节的传递函数为
Xo (s) G(s) K Xi (s)
例
求图示一齿轮传动副的传递函数, 分别为输入轴及 输出轴转速,Z1和Z2为齿轮齿数,(当齿轮副无传动间 隙,且传动系统刚性无穷大时,为理想状态).
因ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ：
z1ni (t) z2n o (t)
z1Ni (s) z2 No (s)
其拉换变换：
No (s) z1 G(s) K Ni (s) z 2
2、惯性环节
凡运动方程为一节微分方程：
d T x0 (t ) x0 (t ) Kxi (t ) dt
形式的环节称为惯性环节。其传递函数为：
此环节与比例环节相比，不能立即复现输 出，而需要一定的时间。说此环节具有 “惯性”，这是因为其中含有储能元件K与 阻能元件C的原因。惯性大小由T来决定。
数学模型-传递函数
1 1 ， j ，Ti zj pi ( pi )
( z j )
m
(3) 二项式表示法：
如 p1 . p2为一对共轭复数，则有
1 1 2 ( s p1 )( s p2 ) s 2 n s n 2
1 1 2 2 或 (T1 s 1)(T2 s 1) T s 2Ts 1
当初始条件为零时有：
3
第二章 数学模型
传 递 函 数(续)
C ( s ) b0 s m b1 s m 1 bm 1 s bm 则G ( s ) R( s ) a 0 s n a 1 s n 1 a n 1 s a n
s j 为复数， G (s ) 是复变量s 的函数， 故称为复放大系数。
i 1
m
(s z )
当s
z j时，G(s) = 0. z j 为传函的零点。
10
当 s pi 时，G(s) = , pi 为传函的极点。
第二章 数学模型
而 K g b0 ——传递系数。(根轨迹中叫根轨迹增益)
a0
(2）时间常数表示法：
bm d m s m d m 1 s m 1 d 1 s 1 G( s ) a n c n s n c n 1 s n 1 c 1 s 1
其传递函数为
6. 齿轮系
m
Z1
Z2
c
第二章 数学模型
§2-2 传 递 函 数
用拉氏变换求解微分方程，虽思路清晰,简单实用,但 如果系统参数改变，特征方程及其解都会随之改变。 要了解参数变化对系统动态响应的影响，就必须多次 计算，方程阶次愈高，计算工作量越大，故引入另一 种数模—传递函数。它是控制理论中的重要概念和工具， 也是经典理论中两大分支—根轨迹和频率响应的 基础。利用传递函数不必求解微方就可研究初始条件 为零的系统在输入信号作用下的动态过程。
传递函数概念的适用范围限于线性常微分方程系统
传递函数概念的适用范围限于线性常微分方程系统.当然，在这类系统的分析和设计中，传递函数方法的应用是很广泛的。
下面是有关传递函数的一些重要说明（下列各项说明中涉及的均为线性常微分方程描述的系统）：1. 系统的传递函数是一种数学模型，它表示联系输出变量与输入变量的微分方程的一种运算方法；2. 传递函数是系统本身的一种属性，它与输入量或驱动函数的大小和性质无关；3. 传递函数包含联系输入量与输出量所必需的单位，但是它不提供有关系统物理结构的任何信息（许多物理上完全不同的系统，可以具有相同的传递函数，称之为相似系统）；4. 如果系统的传递函数已知，则可以针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应，以便掌握系统的性质；5. 如果不知道系统的传递函数，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数.系统的传递函数一旦被确定，就能对系统的动态特性进行充分描述，它不同于对系统的物理描述；6. 用传递函数表示的常用连续系统有两种比较常用的数学模型。
性质1、传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。
2、是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。
3、只适用于线性定常系统。
4、传递函数是单变量系统描述，外部描述。
5、传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映在非零初始条件下系统的运动情况。
6、一般为复变量S 的有理分式，即n ≧m。
且所有的系数均为实数。
7、如果传递函数已知，则可针对各种不同形式的输入量研究系统的输出或响应。
8、如果传递函数未知，则可通过引入已知输入量并研究系统输出量的实验方法，确定系统的传递函数。
9、传递函数与脉冲响应函数一一对应，脉冲响应函数是指系统在单位脉冲输入量作用下的输出。
微分方程求传递函数
微分方程求传递函数
微分方程求传递函数是在高校和高等教育中最常用的数学工具之一。
它用于求解一些常微分方程的解析解，研究一些复杂的系统运动规律，尤其是研究多个受控变量的动力学性质。
微分方程求传递函数的基本概念可以简单地理解为，将一个满足微分方程的函数转化为另一个满足特定条件的活动函数，从而得到可以转换系统的参数的活动传递函数。
特别是在动力学系统中，微分方程可以描述系统不同时刻状态的变化，而求解传递函数可以确定系统状态和参数之间的关系，从而有助于更准确地描述系统的发展趋势。
求解微分方程传递函数的过程主要包括以下步骤：首先，需要利用微分方程的性质，将它表示为特定的情形；其次，根据特定函数的类别，例如线性函数、二次函数、多项式等，及其特定条件来确定此函数的表达式；最后，根据微分方程求出传递函数的结果。
微分方程求传递函数是在高等学院和高等教育中十分重要的一个数学技能。
它不仅有助于揭示系统动力学运动规律，还可以帮助分析系统性能并优化控制方案，为复杂的系统控制和设计提供最佳的参考方法。
控制工程基础3-第2章 (数学模型1：微分方程,传递函数)
at
sa
2
• 拉氏变换的基本性质 (1) 线性性质
L[af1 (t ) bf 2 (t )] aL[ f1 (t )] bL[ f 2 (t )]
原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和。 (2) 微分性质 L 若[ f (t )] F ( s ) ，则有 L[ f (t )] sF ( s) f (0) f(0)为原函数f(t) 在t=0时的初始值。 (3) 积分性质 则 若 L[ f (t )] F ( s )
该标准型为二阶线性常系数微分方程，系统中存在两个储能元件质 量和弹簧，故方程式左端最高阶次为二。
-
机械旋转系统
• [例2]：设有一个惯性负载和粘性摩擦阻尼器组成的机械 旋转系统，试列出以外力矩M(t)为输入信号，角位移 θ(t)为输出信号的数学模型。
M
J
θ
f
解：
1）确定输入量、输出量
M J θ f
F(t) m f
K x(t)
图 2 2 机 械 系 统
d 2x 3）由牛顿第二定律写原始方程： F F (t ) Fk (t ) F f (t ) m 2 dt dx Fk (t ) kx F f (t ) f 4）写中间变量与输出变量的关系式： dt 2 d x dx 5）将上式代入原始方程消中间变量得： m 2 kx f F (t ) dt dt m d 2 x f dx 1 x F (t ) 6）整理成标准型： 令 T2 m T f 2 k dt k dt k m f 2 k k dx 1 2 d x 则方程化为： Tm dt 2 T f dt x k F (t )
第二章 控制系统的数学模型
导 为什么要介绍本章? 分析、设计控制系统的第一步是建立系统的数学模 型。 读
第二章(概念,微分方程,传递函数)
取一次近似， 取一次近似，且令
y( x) = y( x) y( x0 )
≈ E0 sin x0 ( x x0 )
既有
≈ E0 sin x0 ( x x0 )
y = E0 sin x0 x
12
第二章 控制系统的数学模型
控制系统三域的数学模型关系
微分方程 t （时域）
L L
1
F F 1
系统
《自动控制理论》 自动控制理论》
江苏大学电气学院自动化系 张军
1
第二章 控制系统的数学模型
§2.1 §2.2 §2.3 §2.4 控制系统数学模型的概念 微分方程描述 传递函数 结构图
2
第二章 控制系统的数学模型
2.1 数学模型的概念
数学模型: 数学模型: 是描述系统特性或状态的数学表达式。它表达了系统输入 是描述系统特性或状态的数学表达式。它表达了系统输入 输出及系统各变量之间的定量关系 关系。 输出及系统各变量之间的定量关系。是系统内部本质信息的反 是系统内在客观规律的写照或缩影。 举例:电路模型) 映。是系统内在客观规律的写照或缩影。(举例:电路模型) 建模目的： 建模目的： 可以定量分析系统动静态性能,看是否能满足生产工艺要求。 动静态性能 1. 可以定量分析系统动静态性能,看是否能满足生产工艺要求。 可以用于定量的控制计算 对系统行为进行预测, 定量的控制计算, 2. 可以用于 定量的控制计算 , 对系统行为进行预测 , 并加以控 制。控制精度与模型精度有关。 控制精度与模型精度有关。 3. 利用模型可以进行有关参数的寻优 。
①标准形式
K W (s) = S
N
∏
m
(T i S + 1) (T j S + 1)
微分环节微分方程传递函数变化曲线方框图
各导数项按降幂排列； 将方程的系数通过元件或系统的参数化成具有
一定物理意义的系数。
例1 设有由电感L，电容C 和电阻R组 成的电路，如图所示. 试求出以输出电 压U2为输出变量和以输入电 压U1为输 入变量的运动方程。
R
L
U1 i
U2 C
解：根据基n 霍夫定律有
对数学模型进行近似而得到的。以后各章所讨 论的系统，均指线性化的系统。
一、数学模型
数学模型是描述系统动态特性的数学表
达式；可有多种形式。在经典理论中， 常用的数学模型是微（差）分方程，结 构图，信号流图等；在现代控制理论中， 采用的是状态空间表达式。结构图，信 号流图，状态图是数学模型的图形表达 形式。
式的次数N大于等于分子多项式的次数
M ，N M 。
传递函数写成
G(S)
k
(S - Z1)(S (S - P1)(S
Z2)......(S P2)......(S
Zm) Pn )
的形式，则 Z1, Z2 , Z3 Zm和
为G(S)的零点和极点。
P1,
P2
,
P3
Pn
不同物理结构的系统可以有相同的传递函数。
性微分方程的方法，称非线性微分方程的线 性化。
小偏差线性化：非线性微分方程能进行线性化的一
个基本假设上是变量偏离其预期工作点的偏差甚小， 这种线性化通常称为小偏差线性化。
§2-3 传递函数 一、定义
初始条件为零时，线性定常系统或元件输出
信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换的比， 称为该系统或元件的传递函数。
三、传递函数的求法
工程上，通常采用拉普拉斯变换来求解
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11
四、结构图、等价变换、化简
串联、并联的等价变换
正、负反馈的等价变换；
综合点的前移、后移
相邻综合点的交换、合并 引出点的前移、后移 相邻引出点的交换、移动。
n
时间常数形式：G(s)
K ( i s 1 )
m
(T s 1 )
i 1 i
10
i 1 n
三、典型环节的传递函数
K 比例环节：G(s) K， 惯性环节：G(s) Ts 1 1 积分环节：G(s) ， 微分环节：G(s) s s 一阶微分：G(s) s 1 二阶微分：G(s) T 2 s 2 2 Ts 1
自动控制原理1
总结与复 习
基本概念 基本理论 基本方法
1
第一章 绪论
一、自动控制的基本概念
•什么是自动控制、应用概况、实际系统方块图
•自动控制系统 受控对象、控制装置、检测装置、 输入信号（参考输入，扰动输入）
扰动 扰动
给定输入
控制装置
控制量
检测装置
受控对象 反馈
输出量
2
二、 自动控制的基本方式
8
二、微分方程描述与传递函数描述 1、传递函数的定义：在零初始条件下线性定常系 统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。 2、传递函数与微分方程可相互转换
t dn 1 n s , f ( )d F ( s ) n 0 dt s y( t ) Y ( s ), u( t ) U ( s )
2. 典型输入信号及典型响应之间的关系 微分与积分关系
14
3.
控制系统的暂态响应特性
单位阶跃响应与性能指标 一阶系统的暂态响应特性
K G( s ) Ts 1
T、K 与响应性能的关系？
15
二阶规范型系统的暂态响应特性 2 n G( s ) 2 s 2 2n s n
开环控制 特点：没有反馈信息，信号单向传递。 缺点：抗干扰能力差，控制精度低。
优点：结构简单、易于构造、成本低、分析 设计容易。
扰动 输入量 控制装置 受控对象 输出量
3
闭环控制
特点：获取反馈信息，信号传递形成闭合回路， 一般采用按偏差的负反馈控制。 优点：抗扰性好，控制精度高； 缺点：结构更复杂、成本更高，性能分析更难。
12
五、 反馈控制系统的传递函数
R(s) E(s)
-
Gc(s)
U(s)
D(s)
G o(s)
Y(s)
H(s)
（1） 如何运用反馈公式求 Y ( s ) E( s ) E( s ) Y ( s ) U ( s ) ， ， ， ， R( s ) R( s ) D( s ) D( s ) R( s )
（2）闭环系统的特征多项式与特征方程
n：无阻尼自然振荡频率 ， ：阻尼比
n， 与响应性能的关系；
性能指标的计算（重点 是欠阻尼系统） .
一、二阶系统极点位置与暂态 响应特性的关系: 稳定性、平稳性、快速性 二阶系统零点对暂态特性的影响
s平面 j s1 ×
× × s2
×
× ×
0
×
×
极点位置
16
高阶系统的暂态响应
系统极点位置与响应特性的关系: 稳定与否，稳定时响应的平稳性、快速性。
c o
不能利用终值定理时如 何求稳态误差 将E(s) 分解为暂态 稳态分量 正弦输入时利用频率分 析法
（只用于E(s)在虚轴上有原点以外的极点）
j
20
控制系统的型， 与稳态误差的关系
受控对象
特点：开环与闭环结合，改善跟踪性能。
6
三、控制系统的基本类型 连续控制系统和离散控制系统 线性控制系统和非线性控制系统
定常系统与时变系统
恒值控制系统与随动控制系统
7
第二章
控制系统的数学描述
重点：传递函数，典型环节，结构图等效变换
一、自动控制系统的数学模型分类 常用：输入输出模型、状态空间模型。 输入输出模型：微分方程、传递函数、 结构图、频率特性。
9
3、传递函数的表达形式
bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 有理分式形式：G(s) s n an 1 s n 1 a1 s a0
零极点形式：G(s) K g (s zi )
i 1 m
(s p )
i 1 i
高阶系统近似为低阶系统： “主导极点”、“非主导零点”和“偶极子”的概
17
4.
控制系统的稳定性
• 稳定性的基本概念
• 稳定性的两种常用定义 运动稳定性 有界输入有界输出稳定性（ BIBO 稳定）
• 线性定常系统的稳定条件 系统极点均具有负实部
• 反馈控制系统稳定的充要条件 特征方程的根（闭环极点）均具有负实部
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•劳斯-赫尔维茨稳定判据
劳斯表的计算规律 劳斯判据的应用： 判断系统是否稳定； 判断不稳定极点的个数； 求出保证系统稳定的参数取值范围； （参数的稳定域） 分析系统的相对稳定性。
19
5.
控制系统的稳态误差
稳态误差的定义和分类 跟踪稳态误差、扰动稳 态误差。 D(s) 稳态误差 0 的条件 R(s) E(s) U(s) Y(s) G (s) G (s) 稳定 内模原理 H(s) 利用终值定理求稳态误 差 前提：E(s) 除原点外，其余极点均 在左半平面。
B( s ) 设 Gk GcGo H , A、B为多项式， A( s ) 则 A B 为特征多项式. A B 0 或 1 Gk 0 为特征方程.
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第三章
控制系统的运动分析
重点：低阶系统的参数与阶跃响应，劳斯判据， 稳态误差计算
1. 对自动控制系统的基本要求 稳定性、稳态响应性能(稳态误差）、 动态（暂态）响应性能（平稳性、快速性）
扰动 输入信号 检测环节 e 受控量
控制装置
受控对象
4
复合控制1 —— 按扰动作用补偿
扰动 补偿装置 给定值 测量 e 受控量 控制装置 受控对象
特点：开环与闭环结合，改善抗扰性能，控制精度高， 但结构较复杂。
5
复合控制2 —— 按输入作用补偿
扰动 受控量
补偿装置 给定值 测量 e
控制装置