由传递函数求状态空间表达式根据前面介绍的微分方程与状态空间
传递函数、零极点增益与状态空间转换的matlab算法实现
传递函数、零极点增益与状态空间转换的matlab算法实现传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法实现一、引言微分方程是自控控制系统最原始的数学模型，它反映系统动态运行规律。
时域分析中要用拉普拉斯变换定义传递函数，再做其它转化。
为了方便我们对自动控制理论的理解和学习，本人总结了传递函数、零极点增益与状态空间三种模型转换的MATLAB算法，用处多多。
二、状态空间模型转换为传递函数、零极点增益模型1、MATLAB算法%将状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)转化成传递函数G(s)=num(s)/den(s)%或零极点模型G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)的函数ssto2.m %调用格式G=ssto2(key,A,B,C,D),其中输入参数A,B,C,D为状态空间四个矩阵，输出参数当key=1%时为传递函数；当key=2时，为状态空间模型function G=ssto2(key,A,B,C,D)if key==1sys=ss(A,B,C,D);G=tf(sys),elseif key==2sys=ss(A,B,C,D);G=zpk(sys),end2、例题分析【例1】已知一加压液流箱系统，该系统的状态变量是液位h（t）与料浆总压H（t），输入变量是料浆流入量u1（t）与空气流入量u2（t），输出变量就是状态变量H（t）与h（t）本身，系统状态空间模型为H(t)(t)=?0.39120.012340.0220H(t)(t)+0.033440.012340.0008960u1(t)u2(t) y1(t)y2(t)=11H(t)(t)+00u1(t)u2(t)求多个输入到输出的传递函数模型与多个输入到输出的零极点增益模型。
>> clear;A=[-0.3912,0.01234;-0.022,0];B=[0.03344,0.01234;0.000896,0];C=[1,1];D=[0,0];key=1;G=ssto2(key,A,B,C,D);key=2;G=ssto2(key,A,B,C,D);G =From input 1 to output:0.03434 s - 0.0003741--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715From input 2 to output:0.01234 s - 0.0002715--------------------------s^2 + 0.3912 s + 0.0002715Continuous-time transfer function.G =From input 1 to output:0.034336 (s-0.0109)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952)From input 2 to output:0.01234 (s-0.022)------------------------(s+0.3905) (s+0.0006952)Continuous-time zero/pole/gain model.三、传递函数模型转换为状态空间、零极点增益模型1、MATLAB算法%将传递函数模型G(s)=num(s)/den(s)转换成零极点模型%G(s)=k(s+z1)(s+z2)...(s+zm)/(s+p1)(s+p2)...(s+pn)%或状态空间模型x(t)=Ax(t)+Bu(t),y(t)=Cx(t)+Du(t)的函数%tfto2.m,函数的调用格式为G=tfto2(key,n,d)%其中输入参数n与d为传递函数分子、分母均按s的降幂排列的两个向量%输出参数key=1时，为零极点模型；key=2时，为状态空间模型%sys = tf(num,den)命令可以建立一个传递函数，其中分子和分母分别为num和den。
控制理论中的传递函数与状态空间
传递函数和状态 空间都是控制系 统分析的重要工 具，它们提供了 不同的视角和工 具来研究系统的 行为。
状态空间模型通 常比传递函数更 直观和易于理解， 因为它直接描述 了系统内部状态 的变化。
传递函数和状态 空间之间存在一 定的联系，可以 通过数学转换进 行相互转换。
传递函数与状态空间在控制系统中的应用比较
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闭环控制系统：输入信号受输出信 号影响的控制系统
非线性控制系统：系统各环节之间 不满足线性关系的控制系统
传递函数
传递函数的定义
传递函数是线性时不变系统的数学模型 它描述了输入信号与输出信号之间的关系 传递函数通常表示为有理分式的形式 传递函数的定义基于系统的输入-输出关系
传递函数适用于线性时不变系统，描述系统的频率响应特性
状态空间模型描述系统的动态行为，包括状态方程和输出方程
传递函数主要关注系统的外部输入和输出关系，而状态空间模型更全面地描述系 统内部状态的变化 在控制系统分析和设计中，传递函数和状态空间模型各有优缺点，选择合适的模 型取决于具体问题和应用场景
传递函数与状态空间在不同控制问题中的选择
线性时不变系统：传递函数适用于 描述系统的动态行为
多输入多输出系统：状态空间方法 更适合描述系统的动态行为
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非线性系统：状态空间方法更适用 于描述系统的动态行为
控制系统设计：根据具体问题选择 合适的描述方法
传递函数与状态空间在控制系统设计中的互补性
传递函数和状态空间是控制理论中的两种重要工具，它们在描述和分析线性时不变系统方面具有各自的优势。
状态空间的实现方式
传递函数写状态空间表达式
传递函数写状态空间表达式【导言】在工程学科领域中，状态空间方法是一种十分重要的工具，在控制系统和信号处理方面得到了广泛应用。
在此过程中，传递函数和状态空间表达式便成为了其中不可或缺的两个环节。
本文将从传递函数转化为状态空间表达式这一点入手，给读者详细介绍其操作方法和其中的一些要点。
【一、传递函数和状态空间表达式概述】首先我们需要了解一些基本概念。
传递函数(Transfer Function)指的是在时域和频域之间建立约束关系的函数。
它描述了系统输入与输出之间的关系，是刻画线性时不变系统的一种有效方式。
状态空间表达式(State-Space Representation)指的是在某些符号和运算法则下，将一个时不变系统的整个历史过程表示为一个有限元素向量和矩阵的函数。
它描述了系统在时域和状态空间中的变化、状态之间的相互关系和控制变量和系统状态之间的关联。
传递函数与状态空间模型是描述线性时不变系统常用的两种方法。
传递函数的优点是简单、直接，能够快速得到系统的频率特性，但是只能表达一阶系统。
状态空间模型能够表达高阶、非线性系统，可以更好地反映物理实际。
【二、传递函数转化为状态空间表达式】将传递函数转化为状态空间表达式，原则上可以采用多种方法，本文将以矩阵分式形式为例进行讲解。
假设系统的传递函数为G(s)，那么我们可以按照以下步骤进行转化：1、设系统的状态变量为x，输出变量为y，则系统的状态方程可以表示为：x' = Ax + Buy = Cx + Du其中A、B、C和D是系统的状态矩阵、输入矩阵、输出矩阵和耦合矩阵。
2、用连分式的形式表示传递函数：G(s) = D + C(sI - A)⁻¹ B3、将上式展开，得到：G(s) = D + CB⁻¹(sI - A)⁻¹ B4、令P(s) = (sI - A)，则：G(s) = D + CB⁻¹P⁻¹(s)B5、对P(s)进行分解：P(s) = (s - λ1)Q1(s) ... (s - λn)Qn(s)其中λ1,λ2,...,λn是P(s)的特征值，Q1(s),Q2(s),...,Qn(s)是与特征值相关的特征向量矩阵。
传递函数到状态空间的实现
实验题目：传递函数到状态空间的实现课程名称：计算机仿真一、实验目的1、理解并掌握传递函数转换为状态空间方程的方法2、理解状态初值的计算方法二、实验内容1、应用MATLAB编写一个可以实现传递函数到状态空间方程的可控可观规范型的m文件。
并用相应例题验证程序的正确性。
2、完善该程序使其可以用来计算状态初值。
并用相应的例题验证程序的正确性。
3、程序中需要考虑分子分母同阶以及分母首系数不为1的两种情况。
三、报告内容1、给出m文件的程序框图，及验证结果，并记录出现的错误，并给出解决的方案。
若没有得到解决，请说清楚你的问题2、如果做了程序的状态初值得求解，请给出相应的验证结果，及程序编写过程中出现的问题，若已经解决，给出具体方法。
四、实验理论1、传递函数为那么其状态空间模型能控标准型为：A=B=C=D=能观标准型为：2、计算状态变量初值：（1）不含u的导数项时，则有：（2）系统微分方程不仅包含u的输入项，而且包含u的导数项，则：五、程序检验（1）输入一个分母首系数为1且分子分母不同阶传递函数：程序运行结果：能控标准型：A =0 1 0 00 0 1 00 0 0 1-2 -4 -5 -2B =1C =5 3 4 2D =能观标准型：A =0 0 0 -21 0 0 -4 0 1 0 -50 0 1 -2B =5342C =0 0 0 1D =初值部分：请输入系统输出的初值=[1;1;1;1]请输入系统输入的初值=[0;0;0]x0 =12831运行结果正确（2）输入一个分母首系数为2且分子分母同阶传递函数：程序运行结果：能控标准型：A =0 1.0000 -1.5000 -2.5000 B =1C =1.5000 1.5000D =0.5000能观标准型：A =0 -1.50001.0000 -2.5000B =1.50001.5000C =1.5000 1.5000D =0.5000初值部分：请输入系统输出的初值=[1;1] 请输入系统输入的初值=[0] x0 =3.50001.0000运行结果正确六、流程图七、实验小结通过本次实验我了解了如何通过matlab的编程来实现传递函数转化为状态空间方程的能控和能观性，并掌握了程序的状态初值的求解。
状态空间表达式
（28） 状态空间方程实现非唯一，书p28, 图1.16b求得其对应的传递函数为： （29）
为求得 令式（29）与式（26）相等，通过对 多项式系数的比较得： 故得： （30）
也可将式(30)写成式(31)的形式，以便记忆。 （31）
将上图a的每个积分器输出选作状念变最，如图所示，得这种结构下的 状态空间表达式：
解：
→
→
u
y
－
＋
例： 解： 比例积分环节： → → u y ＋
例：
解：
综合惯性环节、积分环节模拟结构图得：
u
y
－
＋
u
y
解：选积分器的输出为状态变量得：
u
y
状态方程：
输出方程：
状态空间表达式
1.3.2 从系统的机理出发建立状态空间表达式
一般常见的控制系统，按其能量属性，可分为电气、机械、机电、气动 液压、热力等系统。根据其物理规律，如基尔霍夫定律、牛顿定律、能量守 恒定律等，即可建立系统的状态方程。当指定系统的输出时，很容易写出系 统的输出方程。
同一系统，经非奇异变换后，得：
其特征方程为：
（44）
1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
1.系统特征值
式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。
(3)有共轭复根时，以四阶系统其中有一对共轭复根为例，即 此时
1.6 从状态空间表达式求传递函数阵
1.6.1 传递函数(阵)
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
2.状态变量 能够完全表征系统运动状态的最小变量组中的每个变量 xi(t)(i=1,2,…,n)称为状态变量。 3.状态向量 系统有n 个状态变量x1(t),…,xn(t),用这n 个状态变量作为 分量所构成的向量(通常以列向量表示)称为系统的状态向 量:x(t)=(x1(t)…xn(t))T。
第9章 控制系统的状态空间描述 和
第9章 控制系统的状态空间描述
将上两式用矩 阵方程的形式表示, 可得出线性时变系 统的状态空间表达 式为
第9章 控制系统的状态空间描述 或者,状态空间表达式也可以表示为
式中,A(t)为n×n 系统矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述 B(t)为n×r 输入矩阵,即
第9章 控制系统的状态空间描述
图9-3 系统结构图
第9章 控制系统的状态空间描述 (1)输入引起系统内部状态发生变化,其变化方程式称为
状态方程,其一般形式为
(2)系统内部状态及输入变化引起系统输出的变化,其变 化方程式称为输出方程,其一般形式为
第9章 控制系统的状态空间描述
பைடு நூலகம்
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
第9章 控制系统的状态空间描述
9.1 控制系统中状态的基本概念 9.2控制系统的状态空间表达式 9.3根据系统的物理机理建立状态空间表达式 9.4根据系统的微分方程建立状态空间表达式 9.5根据系统的方框图或传递函数建立状态空 间表达式 9.6从状态空间表达式求取传递函数矩阵 9.7系统状态空间表达式的特征标准型
状态方程和输出方程组合起来,构成对系统动态行为的 完整描述,称为系统的状态空间表达式,又称动态方程,其一般 形式为
已知传递函数求状态空间表达式
已知传递函数求状态空间表达式传递函数是描述线性系统的重要工具，但有时我们需要将其转换为状态空间表示以便于分析和实现。
本文将介绍已知传递函数如何求解状态空间表达式的方法。
首先，我们将传递函数表示为分子多项式$N(s)$除以分母多项式$D(s)$的形式：$$G(s) = frac{N(s)}{D(s)}$$接下来，我们可以使用部分分式分解将传递函数拆分为若干个一阶系统的和：$$G(s) = frac{N(s)}{D(s)} = frac{K_1}{s-a_1} +frac{K_2}{s-a_2} + cdots + frac{K_n}{s-a_n}$$其中，$a_1, a_2, cdots, a_n$ 是传递函数的极点，$K_1, K_2, cdots, K_n$ 是对应的系数。
接着，我们可以将每个一阶系统表示为状态空间形式：$$begin{aligned} dot{x}_i &= a_ix_i + b_iu y_i &= c_ix_i + d_iu end{aligned}$$其中，$x_i$ 是系统的状态向量，$u$ 是输入信号，$y_i$ 是输出信号，$a_i, b_i, c_i, d_i$ 是系统的系数。
注意，每个一阶系统的状态向量可能不同，因此需要为每个系统定义不同的状态向量。
最后，将每个一阶系统的状态空间表达式相加即可得到整个系统的状态空间表示：$$begin{aligned} dot{x} &= begin{bmatrix} dot{x}_1dot{x}_2 vdots dot{x}_n end{bmatrix} = begin{bmatrix} a_1 & 0 & cdots & 0 0 & a_2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & a_n end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 vdots x_n end{bmatrix} + begin{bmatrix} b_1 b_2 vdots b_nend{bmatrix} u y &= begin{bmatrix} c_1 & 0 & cdots & 0 0 & c_2 & cdots & 0 vdots & vdots & ddots & vdots 0 & 0 & cdots & c_n end{bmatrix} begin{bmatrix} x_1 x_2 vdots x_nend{bmatrix} + d_1u end{aligned}$$其中，$dot{x}$ 是整个系统的状态向量，$y$ 是输出信号，$a_i, b_i, c_i, d_i$ 在矩阵中的位置与之前相同。
现代控制理论第1章_控制系统状态空间表达式
L di(t ) u(t ) dt
i(t )
t t0
1 u( )d
L
i0
i0
t0 1 u( )d
L
另一类系统除了输入信息外，还必须知道系统的一组 初始信息才可获得确定的输出信息(输出和输入之间的 关系通常用微分方程描述)，这组初始信息是初始时刻 以前系统所存储的输入信息的体现。
动力学系统：能够储存输入信息的系统。
u
x3
图 1 1 例：C、L 为 两 独 立 储 能 元 件，故 应 有 两 个 独 立 状 态 变量， 不妨取：x1 uc，x2 i。根据电路机理构建微分方程如下：
C d uc dt
•
i，即 Cuc
•
i uc
1i，也 即： C
•
x1
1 C
x2；
L
di dt
R
i
u
c
•
u,即i
1 L
uc
LRi
1
x2
0
1x3 - 1
2 1 0
u1 u2
y1 y2
1 1
0 1
1 0
x1 x2 x3
2
0
1u1
1
u
2
关于状态空间表达式的几点说明
系统的状态与系统的输出：两者在概念上不同，前者是 完全描述系统动态行为的一组变量信息，后者是人们希 望从系统中获得的结果信息。但两者也有联系，输出是 关于状态的函数(在线性系统中，输出常常是状态向量中 某一个分量或几个分量以及输入量的线性组合）。
x1
x
(t)
x2 (t
)，也可简写为：x
x2
xn
(t
)
xn
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b0sm b1sm1 L bm1s bm sn a1sn1 L an1s an
c1 c2 L cn
s 1 s 2
s n
(n m)
其中：
ci
lim G(s)(s
si
i )
X
1
(s
)
s
1
1
U (s)
X
2
(
s)
s
1
2
U (s)
X
n
(s)
s
1
n
U (s)
分解式第二部分表示状态变量与输出的关系， 输出y等于各状态变量与输入的线性组合，即式中 的C和D阵。
若传递函数等效为：
G(s)
b0
b1s n1 b2 s n1 s n a1s n1
bn1s an1s
bn an
式中
bi (bi aib0 ), (i 1,2, , n)
：
此时，式中的C阵和D阵可直接写成
sX 1(s) 1 X1 (s) U (s)
sX2
(s)
2
X
2 (s) U (s)
sX n (s) n X n (s) U (s)
x1 1x1 u
x2
2 x2
u
xn n xn u
Y (s) G(s)U (s) c1 U (s) c2 U (s) L cn U (s)
sn
a1s n1
b
an1s an
系统的微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y bu
则根据上节公式，可直接写出状态空间表达 式。即：
0 1 0
0
A
0
,
B , C 1
0
0
0 1
0
a n
an1
a1
b
传递函数也可分解成下图所示的结构。
❖ 选状态变量为：
0 , B 0
1
C b1 b0 0 1 2 0
1.4.3 由传递函数部分分式法求状态空间表达式
本节主要介绍如何由传递函数的分解构造状态 空间表达式的方法。这种方法称为部分分式法。 下面根据传递函数极点的两种不同情况分别加以 讨论。
1.传递函数无重极点的情况：
G(s)
Y (s) U (s)
0
A
0
an
1 0 an1
0
1
a1
0
,
B
0
1
C bn anb0 bn1 an1b0 b1 a1b0 , D b0
从传递函数的角度分析，这实际上是一种分 子与分母直接分离分解法。设中间变量，可得：
Y(s) Z(s) Y(s) U (s) U (s) Z(s)
式中
x1
z
1 b
y
x2
z
1 b
y
xn
z (n1)
1 b
y (n1)
对应的状态空间表达式为：
0 1 0
0
A
0
0
,
B , C b
0
0
1
0
a n
an1
a1
1
其中A阵和B阵为规范形式，这是能控标准 形实现。它的模拟电路图如下图所示：
能控标准形实现的模拟图
二、传递函数中有零点时的变换
注意：若对于m=n时的一般真有理分式。需要将 T-F化为严格真有理分式的形式后再进行变换。
即：
Y (s) G(s) d U (s)
y c1 L
x1
cn
M
du
xn
例：已知
G(s)
s2 s2
2s 1 5s 6
，求S-E。
解： 先化为真有理式
G(s)
3s 5 s2 5s 6
G(s)
2s 1
(s 1)(s 2)(s 4)
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
解：将传递函数整理成标准形式
G(s)
2s 1
b0s b1
s3 7s2 14s 8 s3 a1s2 a2s a3
按上式写出能控标准为：
0 1 0 0 1 0
A
0
0
1
0
0
1
a3 a2 a1 8 14 7
即
G(s)
b0 s m b1s m1 bm1s bm s n a1s n1 an1s an
nm
式中 bi (i 0,1, m) 是任意，，常系数。同样按以
上方法C阵可以写成
C bm bm1 b0 b0 0 0
此时，输出仅是状态变量的线性组合，与输入 无直接关系。
例：已知系统的传递函数
C b2 a2b0 b1 a0b0 5 3 , D b0 1
若将传递函数化成严格真有理分式，则 3s 5
G(s) 1 s2 5s 6
按简化公式可得：
0 1 A 6 5
0 B 1
，
C b1 b2 5 3
次，则 b0=0, 传递函数为严格真有理分式形式，
§1.4 由传递函数求状态空间表达式
根据前面介绍的微分方程与状态空 间表达式之间的变换关系，若已知传递 函数，可首先把传递函数变成微分方程， 然后由微分方程与状态空间表达式的变 换关系。求出状态空间表达式。
1.4.1 与微分方程形式直接对应的变换法
一、传递函数中没有零点时的变换
传递函数为：
G(s)
1
(s
3s 5 2)(s
Z(s)
1
U (s) s n a1s n1 an1s an
Y (s) Z (s)
b0 s n
b1s n1
bn1s bn
分解式第一部分是系统结构决定的。当选
中间变量z及z的各阶导数为一组变量时,得到的
状态方程是能控标准形实现。即式中的A和B阵。 显然这是与系统结构相对应的一种规范形实现。
传递函数为：
G(s)
b0 s n b1s n1 bn1s bn s n a1s n1 an1s an
微分方程为：
y (n) a1 y (n1) an1 y an y b0u (n) b1 u (n1) bn1u bnu
则根据上节公式，可直接写出能控标准形。 即：
s 1
s 2
s n
c1x1(s) c2 x2 (s) L cn xn (s)
y c1x1 c2 x2 L cn xn
x&1 1
M
O
xn 0
0 x1 1
M
M u
n xn 1
y c1 L
x1
cn
M
xn
对角线标准形
各状态积分器是并联的。这种方法又称并联分解。
C bn bn1 b1 , D b0
由此画出的系统计算机模拟图如图所示。
能控标准形实现模拟图
例: 已知系统的传递函数：
G(s) s2 2s 1 s2 5s 6
试按能控标准形实现写出状态空间表达式。
解：由公式写出能控标准形为：
0 1 0 1
0
A a2
a1
6
5
, B 1