构造法在解决数学问题中的应用

构造法在解决数学问题中的应用1220510062吕彬摘 要：构造是在数学的学习里是最重要的思想方法之一，它能够简化其运算量，探求最优解法，充分发挥创造性，加强数学与其他学科知识间的联系，从而激发学生学习兴趣，进一步提高学生分析问题和解决问题的学习能力。

本文主要探讨构造法在解决数学问题中的基本思想和策略,并且以具体实例探讨构造法在数学解题中的应用，目的是为解决数学问题的学习和研究提供相应参考。

关键词：构造法;模型;数学问题；构造思想，简而言之就是指在对问题进行仔细的分析、对其实质进行了解深刻的基础之上，借助逻辑思维推理或长期经验的积累，充分发挥较强的想象力和创造性，把原有问题从原来的模式中转化为更具反映其本质特征的新模式的思想方法。

构造法就是构造出运用定理或公式的条件，或者对于所解决的题目赋予几何上的意义，构造是数学运用的基本思想方法。

通过认真仔细的观察，将进一步深入的思考，构造解题的模型，因而使问题得到了相应解决。

构造的内涵非常丰富，没有完完全全的固定模式套用。

它是以现实问题的特殊性和广泛抽象的普遍性为基础。

针对具体的数学问题特点进而采取相应的解决方法。

在做题时，要擅于将形与数相结合，将式子与函数、图形、方程等建立相关联系，构造出一个新问题形式，架起一个连接结论和条件的桥梁，如函数、图形、模型、方程等，在几种形式之中找出对应关系。

进而能把问题给以解决。

利用构造法解题，可以使三角、几何、代数等各种知识相互渗透，有利于提高学生基础数学知识的灵活运用，加强学生解决问题与分析问题的能力，大大培养了学生的创新能力、思维能力。

很多数学问题用构造法来解决，可以获出简捷、新颖、独特的方法。

构造法有许多种，其中重要的有构造图形法、构造数列法、构造方程法、构造方程法、构造反例法等，本文主要通过举例来说明构造法在数学解题中的应用。

1、在不等式证明中的应用在初等数学中不等式的证明是一个重点，也是一个难点，证明不等式有很多方法, 比如大家都知晓的分析法、综合法、反证法、比较法、参量法、数学归纳法、放缩法、微分法等，在解决不等式证明中, 图解法和换元法是常用的方法之一，通过换元，可以将复杂不等式转化成简单不等式，通过构造函数，将不等式的条件化归为形象、直观的关系。

在这，我来谈谈在不等式证明中构造法的应用。

构造法是根据不等式的条件，构造满足题目条件的函数、图像、方程等，以这些方程、函数为桥梁，从而达到证明的目的。

下面我们来看看具体实例的问题：例1、已知：0dc <<，0n >，求证： 11(1)(1)n n n n cd c d-<+-+ 证明：令1()(1)n n f x x x=+-，对于任意210x x ∞>>>，因为 21212111[()][()](1)(1)0n n n n f xf x x x x x +-+=+-+>，所以2121121211()()0n n n n n n x x f x f x x x x x -->-=> 所以()f x 在[0,]+∞上单调增加，由0d c << 知()()f c f d >，即11(1)(1)n n n n c d c d-<+-+，证毕。

从此题可充分看出构造法的巧妙运用，大大帮助我们解题的效率，使题目变得简洁明了，下面我们再来看一个不等式的解法。

2、在数列问题中的应用在解决一些自然数N 或与不等式有关的题目时，根据问题所出的结论及条件的结构，一般情况可通过设想、转换等手段构造出一个与问题有关的数列，然而对解题有很大的帮助。

构造法在数列中一般有三种：1、由已知条件直接构造一个或者几个式子，再根据这些式子的相互结合、变化来解决问题；2、把题目中给出式子变形，构造出新的式子来解题。

3、由问题的已知式子，重新构造出另一个式子，把两个式子建立关系相加、减、乘、除或者其他结合方式来解答问题；例2、在数列{}n b 中，18b =，22b =且满足21430n n n b b b ++++=，求数列{}n b 的通项公式。

分析：放眼看本题无从下手，但是要是有心人仔细观察会发现题目中给出的条件经过变形构造出另外一个式子后，本题就会迎刃而解。

解：由21430n n n b b b ++-+=经过变形后构造出： 2113()n n n n b b b b +++-=-，又216b b -=-所以数列1{}n n b b +-是以6-为首项，3为公比的等比数列 则1163n n n b b -+-=-•，即2163n n n b b ---=-• (2)n ≥再利用构造法会得出：112211()()...()n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+ 1(6)(31)811331n n ---=+=-- 本题是类型二的典型题目，通过给出条件进行变形转换构造出另一个式子，进而解题由复杂变简单。

构造法在高等数学里是重点、难点，在数列里更是难点、重点，因此掌握好构造法对于解决数列的问题有很大帮助。

3、构造反例的应用为了否定一个命题, 构造反例是经常用的方法。

反例是指用来说明某个命题不成立的例子，它与论证是相反相成的两种逻辑方法，论证是用已知为真的判断确定另一个判断的真实性，反例是用已知为真的事实去揭露另一个判断的虚假性。

下面我们通过几个例子来具体谈谈构造反例的应用：例1、命题“若,x y 为无理数，则y x 也为无理数”是否成立？思考分析：此题假如从正面来回答是有很大的难度的，因此我们要利用构造反例法，构造出一个反例来进行证明。

如下：（1x y ==；（2为无理数，则取x y ==2y x === 仍为反例。

同学们往往认为,x y 是无理数，然而y x 一定是无理数，然而这个观念是错误的，从上面可以看出y x 是无论它是无理数还是有理数，都对这个命题提供了一个反例，避免了从正面来证明此命题。

4、构造法在方程问题上的应用日常生活中，我们在做数学题中会遇到许多方程问题，还有许多问题可以转化成方程问题进行解答，这个时候就需要我们构造出一些方程去解题。

遇到需要构造方程的题目时，首先要把面对的问题转变为方程问题去对待，构造出方程后要讨论其性质特点，推出相关结论，最后将推出的方程或方程组结论带回原题中。

在运用方程的观点来解决数学问题时应该注意到：（1）有时公式可以当做为等量关系或者方程。

于是，求值问题可以看作是解方程，恒等式证明可以看作方程变形；（2）函数有很多性质都能归结成为方程问题的研究；（3）不等式的求解和证明和方程有关。

例2、已知实数,,x y z 满足5,3x y z xy xz yz ++=++=，求z 的最大值。

思考分析：对于题目中有两数积以及两数和的问题，我们可以考虑构造一个一元二次方程出来，然后借助判别式“0∆≥”来求最值。

解：因为25,3()3(5)53x y z xy z x y z z z z +=-=-+=--=-+，∴构造出,x y 是关于t 的一元二次方程22(5)530t z t z z --+-+=的两个 实根，由“22(5)4(53)0z z z ∆=---+≥”可知(313)(1)0z z -+≤， 从而解得1313z -≤≤，当13x y ==时，133z =适合题意， z ∴的最大值是133用方程解决数学题是很简便的一种方法, 对于较为复杂的数学问题则要求根据题目需要去设计方程。

方程与函数等许多知识有着密切的联系，可根据问题中的结构特点和数量关系, 构造出新的方程，从而使复杂的问题得到解决。

构造方程法应用较广, 如求值、证明计算等问题都可以运用方程来解决，掌握这部分知识很重要。

5、构造法在几何图形中的应用在几何问题中, 我们往往会遇到求夹角的最小( 大) 值和求线段的最短(长) 距离等问题, 如果仅仅从几何方面去思考, 往往使问题难以解决, 倘若能够灵活地运用构造法, 问 题则会趋于简单。

数与形是数学研究中两个不同的侧面，但是这两个侧面并不是孤立的，而是相辅相成的。

有一些数学问题，如果给问题中的代数关系赋予几何意义，那么往往就能借助直观形象对问题作出透彻的分析，从而探讨出解决问题的途径。

如果问题条件中的数量关系有明显的或隐含的几何意义与背景，或能以某种方式与几何图形建立起联系，则可考虑通过构造几何图形将题设中的数量关系直接在图形中得以实现，然后，借助于图形的性质在所构造的图形中寻求问题的结论． 构造的图形，最好是简单而又熟悉其性质的图形． 这些几何图形包括平面几何图形、立体几何图形及通过建立坐标系得到的解析几何图形．华罗庚曾说过“数离开形少直观,形离开数难入微”,利用数形结合的思想,可沟通代数与几何的关系,使得难题巧解。

所谓构造图形指的是如果问题条件中的数量关系有明显的几何意义或以某种方式可与几何图形建立联系，则可通过几何作图构造图形，将题设条件及其数量关系直接在图形中得到实现，然后在构造的图形中寻求原问题的结论。

例1 对于正数,,y z x ,证明+思考分析：三个正数,,y z x解：构造的三角形图如右图1,2220222cos120AC z y zy y z =+-=++2220222cos120AB z x zx x z xz =+-=++2220222cos120BC y x yx x y=+-=++ 根据三角形三边的关系得：AB <BC AC ++ 得证本例构造的图形直观的反映图形的性质，从而使问题得解结束语通过以上几个例子，我们可以发现，构造法在解题过程中有着意想不到的功效，问题很快便可解决。

构造法解题重在“构造”。

构造法在数学解题中有很多的应用，是数学思想方法中很重要的一种。

参考文献略。