应用泛函分析教案

第二章 度量空间§2.1 度量空间的进一步例子 教学内容(或课题)：目的要求： 在复习第二章度量空间基本概念前提下，要求进一步掌握离散度量空间、序列空间、有界函数空间、可测函数空间等. 教学过程：一 复习度量空间的概念设X 是个集合，若对于∈∀y x ,X ，都有唯一确定的实数()y x d ,与之对应，且满足01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔;02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立， 则称(X ，d )为度量空间或距离空间，X 中的元素称为点，条件02称为三点不等式. 欧氏空间n R 对n R 中任意两点()n x x x x ,,,21 =和()n y y y y ,,,21 =，规定距离为 ()y x d ,=()2112⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑=ni i i y x .[]b a C ,空间 []b a C ,表闭区间[]b a ,上实值(或复值)连续函数的全体.对[]b a C ,中任意两点y x ,，定义()y x d ,=()()t y t x bt a -≤≤max .pl （)1+∞<≤p 空间 记pl ={}⎭⎬⎫⎩⎨⎧∞<=∑∞=∞=11k p kk k xx x .设{}∞==1k k x x ，{}∞==1k k y y ∈p l ，定义 ()y x d ,=pi pii y x 11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∞=. 二 度量空间的进一步例子例1 设X 是任意非空集合，对于∈∀y x ,X ，令()y x d ,=⎩⎨⎧=≠y x y x 当，当，0;1容易验证 01 ()y x d ,0≥，()y x d ,=0y x =⇔; 02()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,X 都成立. 称(X ，d )为离散的度量空间. 由此可见，在任何非空的集合上总可以定义距离，使它成为度量空间.例2 序列空间S 令S 表示实数列(或复数列)的全体，对{}∞==∀1k k x x ，{}∞==1k k y y ，令 ()y x d ,=∑∞=121k kkk k k y x y x -+-1. 显然右边的级数总是收敛的. 易知()y x d ,0≥，且()y x d ,=0y x =⇔. 即()y x d ,满足条件01. 对C b a ∈∀,，先证≤+++ba b a 1aa +1+bb +1.实因令 ()t t t f +=1 (+∞<≤t 0)，则因为()2)1(1t t f +='0>，所以函数 ()ttt f +=1 在[)+∞,0上单调递增. 又因为 b a b a +≤+，所以有≤+++ba b a 1b a b a +++1=b a a ++1+b a b ++1≤a a +1+bb+1. 再令 {}∞==1k k z z ，k k z x a -=，k k y z b -=，则 k k y x b a -=+. 由上述已证的不等式，得kk k k y x y x -+-1≤kk k k z x z x -+-1+kk k k y z y z -+-1.由此推得 02 ()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,对∈∀z y x ,,S 都成立. 故S 按()y x d ,成一度量空间.例3 有界函数空间()A B设A 是一个给定的集合，令()A B 表示A 上有界实值(或复值)函数的全体. ∈∀y x ,()A B ，定义 ()y x d ,=()()t y t x At -∈sup .显然()y x d ,0≥，且()y x d ,=0⇔A t ∈∀成立()()t y t x =，即()y x d ,满足条件01.又A t ∈∀，有 ()()t y t x -≤()()t z t x -+()()t y t z -≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup所以 ()()t y t x At -∈sup ≤()()t z t x At -∈sup +()()t y t z At -∈sup . 即()y x d ,满足条件02. 特别当[]b a A ,=时，()A B =[]b a B ,.例4可测函数空间()X M设()X M 为X 上实值(或复值)的Lebesgue 可测函数的全体，m 为Lebesgue 测度，若()X m ∞<，对任意两个可测函数()t f 及()t g ，由于()()()()11<-+-t g t f t g t f ，故不等式左边为X 上可积函数. 令()g f d ,=()()()()⎰-+-Xdm t g y f t g t f 1.若把()X M 中两个几乎处处相等的函数视为()X M 中同一个元素，则()g f d ,≥0且()g f d ,=0 ⇔ g f =，即()g f d ,满足条件01. 其次(参考例2)()g f d ,=()()()()⎰-+-X dm t g y f t g t f 1≤⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-+-+-X dm g h gh h f h f 11=⎰-+-Xdm hf h f 1+⎰-+-Xdm gh g h 1=()h f d ,+()g h d ,，对∈∀h g f ,,()X M 都成立. 即 ()g f d , 满足条件02. 故()X M 按上述距离()g f d ,成为度量空间.作业 P 205. 2. 4.作业提示 2. 与例2处理方法类似.4.利用xx+1 当0≥x 时的递增性.§2.2(1) 度量空间中的极限 教学内容(或课题)：目的要求： 掌握一般的度量空间中的邻域、内点、外点、界点、导集、闭包、开集、闭集、收敛点列等概念，认识具体空间中点列收敛的具体意义. 教学过程：设()d X ,为度量空间，d 是距离，定义()ε,0x B =(){}ε<∈0,x x d X x 为0x 的以ε为半径的开球，亦称为0x 的ε邻域.例1 设()d X ,是离散的度量空间，d 是距离，则()ε,0x B ={}⎩⎨⎧>≤<1,;10,0εε当当X x仿§2.2-§2.3，设E 是度量空间()d X ,中的一个子集，0x 是X 中一点若存在0x 的某一邻域()0x U ，s.t. ()0x U ⊂E ，则称0x 为E 的内点. 若0x 是CE 的内点，则称0x 为E 的外点. 若∀()0x U 内既有E 的点又有非E 的点，则称0x 为E 的边界点. 若∀()0x U 内都含有无穷多个属于E 的点，则称0x 为E 的聚点. E 的全体聚点所成集合称为E 的导集，记为E '. E E '称为E 的闭包，记为E . 若E 的每一点都是E 的内点，则称E 为开集. 若E '⊂E ，则称E 为闭集.例2在欧氏空间1R 中，记A 为全体有理数点的集合，B 为全体无理数点的集合.则集合A 及B 均无内点，均无外点; ∈∀x 1R 既是A 又是B 的界点，既是A 又是B 的聚点; 1R 既是A 又是B 的导集，既是A 又是B 的闭包; A 、B 既非开集又非闭集. 若如同例1，将集合1R 离散化，则∈∀x A 都是A 的内点，∈∀y B 都是B 的内点，因此A 、B 在离散空间中均为开集; A 、B 均无界点; A 之外点集合为B ，B 之外点集合为A ; A 、B 均无聚点，因此Φ='A ，Φ='B ，A A '⊃，B B '⊃，故A 、B 均为闭集.设{}∞=1n n x 是()d X ,中点列，若X x ∈∃，s.t.()0,lim =∞→x x d n n (*)则称{}∞=1n n x 是收敛点列，x 是点列{}∞=1n n x 的极限.收敛点列的极限是唯一的. 实因若设n x 既牧敛于x 又收敛y ，则因为()()()0,,,0→+≤≤n n x y d x x d y x d ()∞→n ，而有 ()y x d ,=0. 所以x =y .附注 (*)式换个表达方式：()x x d n n ,lim ∞→=()x x d n n ,lim ∞→. 即当点列极限存在时，距离运算与极限运算可以换序. 更一般地有 距离()y x d ,是x 和y 的连续函数.证明 ()y x d ,≤()0,x x d +()00,y x d +()y y d ,0 ⇒()y x d ,-()00,y x d ≤()0,x x d +()y y d ,0;()00,y x d ≤()x x d ,0+()y x d ,+()0,y y d ⇒()00,y x d -()y x d ,≤()0,x x d +()y y d ,0. 所以|()y x d ,-()00,y x d |≤()0,x x d +()y y d ,0 例3 设()d X ,为一度量空间，令()ε,0x B =(){}ε<∈0,,x x d X x x ， ()ε,0x S =(){}ε≤∈0,,x x d X x x . 问()ε,0x B =()ε,0x S ?答 在n R 空间中，必有()ε,0x B =()ε,0x S . 在离散度量空间()d X ,中，当1=ε时，()ε,0x B ={}0x ，()ε,0x S =X ，此时()ε,0x B ≠()ε,0x S . 毕.设M 是度量空间()d X ,中的点集，定义. ()M δ=()y x d My x ,sup ,∈为点集M 的直径. 若()M δ=()y x d My x ,sup ,∈∞<，则称M 为()d X ,中的有界集(等价于固定0x ，M x ∈∀，()B x x d ≤0,，B 为某正数，则为有界集).()d X ,中的收敛点列{}∞=1n n x 是有界集. 实因，设=∞→n n x lim0x ，则数列(){}0,x x d n 收敛于0,故00>∃M ，s.t.N ∈∀n 有()00,M x x d n ≤. 所以m n ,∀∈N ，有 ()≤m n x x d ,()0,x x d + ()m x x d ,002M ≤.()d X ,中的闭集可以用点列极限来定义： M 为闭集 ⇔ M 中任何收敛点列的极限都在M 中，即若∈n x M ， ,2,1=n ，x x n →，则∈x M .具体空间中点列收敛的具体意义：1. 欧氏空间n R m x =()()()()m nm m x x x ,,,21 ， ,2,1=m ，为n R 中的点列，x =()n x x x ,,,21 ∈n R ，()x x d m ,=()()()()()()2222211nm n m m x x x x x x -++-+- . x x m →()∞→m ⇔ 对每个n i ≤≤1，有 ()i m i x x → ()∞→m .2. []b a C , 设{}⊂∞=1n n x []b a C ,，∈x []b a C ,，则()x x d n ,=()()0max →-≤≤t x t x n bt a ()∞→n ⇔ {}∞=1n n x 在[]b a ,一致收敛于()t x .3. 序列空间S 设m x =()()()(),,,,21m n m m ξξξ， ,2,1=m ，及x =() ,,,,21n ξξξ分别是S 中的点列及点，则()()()∑∞=→-+-=10121,k k m kkm k k m x x d ξξξξ ()∞→m ⇔ m x 依坐标收敛于x . 实因，若对每个k 有()k m kξξ→()∞→m ，则因∑∞=121k k收敛，所以N ∈∃m ，s.t. 221ε<∑∞=mk k. 因为对每个1,,2,1-=m k ，存在N ∈k N ，s.t.当k N n >时()k n k ξξ-2ε<. 令{}121,,,max -=m N N N N ，当N n >时，成立∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1<∑-=1121m k k 212εε+<2ε. 所以当N n >时，成立()x x d n ,=∑-=1121m k k ()()k n k k n k ξξξξ-+-1+∑∞=m k k 21()()k n k kn k ξξξξ-+-1<2ε+2ε=ε.所以x x n →()∞→n反之，若x x n →()∞→n ，即()x x d n ,=∑∞=121k k()()k n k kn k ξξξξ-+-10→()∞→n .又因为N ∈∀k ，有()()kn k kn k ξξξξ-+-1k 2≤()x x d n ,，所以当∞→n 时，()()kn k kn k ξξξξ-+-1→0所以0>∀ε，N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立()()kn k kn k ξξξξ-+-1<εε+1. 所以()k n k ξξ-ε<. 所以N ∈∀k ，有()k n k ξξ→()∞→n .4. 可测函数空间()X M 设{}∞=1n n f ⊂()X M ，f ⊂()X M ，则因()f f d n ,=()()()()⎰-+-Xn n dm t f t f t f t f 1，有 f f n → ⇔ f f n ⇒.实因，若f f n ⇒，则0>∀σ，有[]()σ≥-f f X m n 0→ ()∞→n . 0>∀ε(不妨设()X m 2<ε)，取()220εεσ-<<X m ，则()21εσσ<+X m . 今对这样取定的ε及σ，因f f n ⇒，故N ∈∃N ，s.t. 当N n >时，成立[]()σ≥-f f X m n 2ε<. 所以()f f d n ,=()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1+()()()()[]⎰<--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤[]()σ≥-f f X m n 1⋅+()21εσσ<+X m +2ε=ε. 所以()f f d n ,0→()∞→n . 所以f f n →()∞→n .反之，若f f n →()∞→n ，即()f f d n ,0→()∞→n . 对0>∀σ，由于[]()≤≥-+σσσf f X m n 1()()()()[]⎰≥--+-σf f X n n n dm t f t f t f t f 1≤()f f d n ,. 所以[]()0lim =≥-∞→σf f X m n n ，即f f n ⇒.以上各种极限概念不完全一致(依坐标收敛，一致收敛，依测度收敛)，引进距离概念之后，都可以统一在度量空间的极限概念之中. 作业 P 205. 5.作业提示 均匀收敛即一致收敛. 证明大意如同“序列空间S ”，并利用 ()()()()()()()()t f t f t f t f r r nr r n bt a -+-≤≤1max=()()()()()()()()t ft f t f t f nax r r n bt a r r n bt a -+-≤≤≤≤max 1.§2.2(2) 度量空间中的稠密集 可分空间 教学内容(或课题)：目的要求： 掌握度量空间中的稠密集和可分空间的概念，能正确使用这两个概念. 教学过程：Th 设B 是度量空间X 的一个子集，则集合(){}ε<∈∈=y x d B y X x x O ,,,是个开集，且B ⊂O .证明 设∀0x ∈O ，则∃0y ∈B ，s.t. ()00,y x d <ε. 所以0x ∈()ε,0y U ⊂O . ()δ,0x U x ∈∀，其中εδ<<0-()00,y x d ，则()0,y x d <(ε-()00,y x d )+()00,y x d =ε. 所以()δ,0x U ⊂()ε,0y U ⊂O . 所以∀0x 是O 之内点. 所以O 是开集.又证 以B 中每一点为心作半径ε的邻域，所有这些邻域的并集就是集合O .每个邻域都是开集，任意个开集之并仍为开集，故O 为开集. 至于B ⊂O 是很显然的. 证毕.附注 当0→ε时，得到是B 之闭包未必是B . 例如B =⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1⊂1R .O = ∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛11,1n k n U ⊃⎪⎭⎫ ⎝⎛+k k U 1,11=()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++-112,11k k k k k ⊃{}0，但∉0B . P 205.6. 设B ⊂[]b a ,，证明度量空间C []b a ,中的集(){}0,=∈t f B t f 时当为C []b a ,中的闭集，而集(){}()0,><∈=a at f B t f A 时当为开集 ⇔ B 为闭集.证明 设(){}∞=1n n t f ⊂(){}0,=∈t f B t f 时当且在[]b a C ,中()()t f t f n →.则当B t ∈时，对N ∈∀n ，有()t f n =0. 令∞→n ，得B t ∈时，()0=t f . 所以()∈t f (){}0,=∈t f B t f 时当. 所以(){}0,=∈t f B t f 时当是闭集.“⇐” 设B 为闭集，()t f 0∈A ，则 ()a t f <0(当B t ∈). 因()t f 0在B 连续，所以()t f 0≤Bt ∈max ()t f 0a <(当B t ∈). 取ε：0<ε<a -Bt ∈max ()t f 0，则对()t f ∀∈()ε,0f U ，有()()t f t f 0-≤[]b a t ,max ∈()()t f t f 0-<ε. 所以()t f <()t f 0+ε. 所以当B t ∈()t f ≤()t f 0+ε<Bt ∈max ()t f 0+(a -Bt ∈max ()t f 0)=a所以()ε,0f U ⊂A . 所以A 为开集.“⇒” 设A 为开集. 设{}∞=1n n t ⊂B ，0t t n →且0t B ∉.取点()t f ：()t f ∈A =(){}a t f B t f <∈时，当，则()n t f <a ，令∞→n 得，()a t f ≤0.因为0t B ∉，故只有()a t f =0. 不妨设()0t f =a (()0t f =-a 时同法可证之). 因为A 为开集，所以00>∃ε，s.t.()0,εf U ⊂A =(){}a t f B t f <∈时，当. ：ε∀00εε<<，因为()()()0εεε<=+t f t f d ，，所以点因为()n n t f ∞→lim =()0t f ，所以对上述0>ε且0εε<，存在N t ∈B ，s.t.()()ε<-0t f t f N ， 所以()0t f -ε<()N t f . 所以()N t f +ε>()0t f =a .但由方框，应有()ε+N x f <a ，与()N t f +ε>()0t f =a 相互矛盾. 这就证明了B B '⊃. 故B 为闭集. 证毕.Def 1 设X 是度量空间，N 和M 是X 的两个子集，令M 表示M 的闭包，若N ⊂M ，则称集M 在集N 中稠密，当N =X 时，称M 为X 的一个稠密子集. 若X 有一个可列的稠密子集，则称X 是可分空间.例1 n 维欧氏空间n R 是可分空间. 事实上，座标为有理数的点的全体是n R 的可列稠密子集.设M 是闭区间[]b a ,全体有理数集合，N 是[]b a ,全体无理数集合. 在1R 中，因为M ⊂N ，N ⊂M ，所以N 在M 中稠，M 在N 中稠. 因为[]b a ,⊂M ，[]b a ,⊂N ，所以M 和N 都在[]b a ,中稠密. 若X =[]b a ,视为1R 的子空间，则X 是可分空间.例2 离散距离空间X 可分 ⇔ X 是可列集.实因在X 中没有稠密的真子集(因X 中任何一个真子集的闭集还是这个真子集本身)，所以X 中唯一的稠密子集只有X 本身，因此X 可分的充要条件为X 是可列集.例3 令∞l 表示有界实(或复)数列全体. 对∞l 中() ,,21ξξ=∀x ，y =() ,,21ηη，定义()y x d ,=k k kηξ-sup .显然()y x d ,≥0 且()y x d ,=0 ⇔ k k kηξ-sup =0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ-=0 ⇔ 对N ∈∀k ，都有k k ηξ= ⇔ y x =. 其次设z ∀=() ,,21ςς∈∞l . 因为N ∈∀k ，都有k k ηξ-≤k k ςξ-+kk ςη-≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup . 所以k k kηξ-sup ≤k k kςξ-sup +k k kςη-sup .即()y x d ,≤()z x d ,+()z y d ,. 所以∞l 按()y x d ,成为度量空间.往证∞l 是不可分空间.令M 表示∞l 中坐标k ξ取值为0或1的点() ,,21ξξ=x 的全体，则M 与二进位小数一一对应，所以M 有连续统的基数，对M 中任意的两个不同点y x ,，有()y x d ,=1. 若∞l 可分，则∞l 中存在可列稠密子集，设为{}∞=1k k z . 对M 中每一点x ，作球⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫ ⎝⎛M x x B 31,是一族的两两不相交的球，总数有不可列个. 但由于{}∞=1k k z 在∞l 中稠密，所以每个⎪⎭⎫ ⎝⎛31,x B 中至少含有{}∞=1k k z 中的一点，这与{}∞=1k k z 是可列集矛盾. 证毕.作业： P 205. 3.7.8.9.作业解答： 3. 令n O =()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<∈∈n y x d B y X x x 1,,,,则n O 是开集且n O B ⊃. 因为n O ↓，所以n n O ∞→lim = ∞=1n n O . 因B 是闭集，所以n n O ∞→lim =B ，即 ∞=1n n O =B .7. 取ε：0<ε<()F E d ,31. 作开集 O =(){}ε<∈a x d E a x ,, 和G =(){}ε<∈b y d F b y ,,，则O ⊃E ，G ⊃F . 又∀a ∈E ，∀b ∈F ，∀x ∈O ，∀y ∈G ，有 ()b a d ,≤()x a d ,+()y x d ,+()b y d ,. 所以()y x d ,≥()b a d ,-()x a d ,-()b y d ,≥()F E d ,-()F E d ,31-()F E d ,31=()F E d ,31>0. 所以x ≠y . 所以O 与G 必不相交. 又证不相交 若c ∈O G ，则存在()ε,a U 和()ε,b U ，a ∈E ，b ∈F ,s.t.c ∈()ε,a U ()ε,b U . 于是0<()F E d ,≤()b a d ,≤()c a d ,+()b c d ,<ε+ε<32()F E d ,. 矛盾. 所以 O G =Φ.8. ∀x ∈[]b a ,，令()t f x =[]{}⎩⎨⎧-∈=x b a t xt ,,0,1 则集合M =()[]{}b a x t f x ,∈含有不可数个元素()t f x ，M ⊂B []b a ,，∀()t f x 、()t f y ∈M 且x ≠y 时，()y x f f d ,=1. 若[]b a B ,可分，则[]b a B ,中存在可列的稠密子集，记为(){}t f n . 对M 中每一点()t f x ，作球()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x ，则()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎭⎫⎝⎛M t f t f B x x 31,是一族两两不相交的球，总数有不可列个.但由于(){}t f n 在[]b a B ,中稠密，所以每个()⎪⎭⎫ ⎝⎛31,t f B x 中至少含有(){}t f n 中的点，这与(){}t f n 是可列集矛盾. 故[]b a B ,不可分.9. 因为X 可分，所以存在稠密子集B ={} ,,21x x . 对于每个O x ∈.存在()r x U ,⊂O . 因为B 在X 中稠密，所以可在⎪⎭⎫⎝⎛4,r x U 中取出B 中一点k x . 取有理数r '：24r r r <'<，所以x ∈()r x U k ',⊂()r x U ,⊂O ，且所有()r x U k ',至多可列个，包含它的开集O 至多可选出可列个. 证毕.§2.3 连续映照教学内容(或课题)：目的要求： 掌握连续映照概念，掌握连续映照的充要条件，学会使用连续映照概念和连续映照充要条件处理与连续映照的实际问题.教学过程：Def 1 设X =()d X ,，Y =()d Y ~,是两个度量空间，T 是X 到Y 中的映照：X =()d X ,T→ Y =()d Y ~,. 0x ∈X ，若∀ε>0，∃δ>0，s.t.∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε，则称T 在0x 连续：用邻域来描述T 在0x 连续：对0Tx 的每一个ε-邻域N ，必存在0x 的某个δ-邻域0N ，s.t. 0TN ⊂N (0TN 表0N 在T 作用之下的像集). 也可以用极限来定义映照的连续性，基于Th 1 设T 是度量空间()d X ,到度量空间()d Y ~,中的映照：()d X ,T→()d Y ~,， 则T 在0x 连续 ⇔ 当n x →0x 时，必有n Tx →0Tx .证明 “⇒” 设T 在0x 连续，则∀ε>0，∃δ>0，s.t. ∀x ∈X 且()0,x x d <δ，都有()0,~Tx Tx d <ε. 因为n x →0x ，所以∃N ∈N ，s.t.当n >N 时，有()0,x x d n <δ. 所以()0,Tx Tx d n <ε. 所以n Tx →0Tx . “⇐” 反证法. 若T 在0x 不连续，则∃0ε>0，s.t. ∀δ>0，∃x ≠0x ，虽然()0,x x d <δ，但是()0,~Tx Tx d ≥0ε. 特别取δ=n1，则有n x ，s.t.当()0,x x d <n1时，有()0,~Tx Tx d n ≥0ε. 即n x →0x 时，有n Tx 不→0Tx . 与假设矛盾.证毕.若映照T 在X 的每一点都连续，则称T 是X 上的连续映照. 称集合{}M Tx X x x ∈∈,(M ⊂Y )为集合M 在映照T 下的原像.简记为M T 1-.用开集刻划连续映照，就是Th 2 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意开集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的开集.证明 “⇒” 设T 是连续映照，M ⊂Y 是Y 中开集. 若M T 1-=Φ，则M T 1-是X 中开集. 若M T 1-≠Φ，则0x ∀∈M T 1-，令0y =0Tx ，则0y ∈M . 由于M 是开集，所以存在邻域()ε,0y N⊂M . 由T 的连续性，存在邻域()δ.0x N ，s.t. T ()δ.0x N ⊂ ()ε,0y N ⊂M . 从而 ()δ.0x N ⊂1-T ()ε,0y N ⊂M T 1-. 所以0x 是M T 1-的内点. 因为0x ∈M 是任意的，所以M T 1-是X 中的开集.“⇐” 设Y 中每个开集的原像是开集. 0x ∀∈X ，则()ε,01Tx N T -是X 中的开集. 又0x ∈()ε,01Tx N T -，所以0x 是()ε,01Tx N T -的内点，所以存在邻域()δ.0x N ⊂()ε,01Tx N T -. 所以T ()δ.0x N ⊂()ε,0Tx N ，所以T 在0x 连续. 又0x ∈X 是任意的，所以T 是X 上的连续映照. 证毕.利用()CM T 1-=()M T C 1-，又有Th 2' 度量空间X 到Y 中的映照T 是X 上的连续映照 ⇔ 任意闭集M ⊂Y ，M T 1-是X 中的闭集.证明 “⇒” 设T 是X 上的连续映照，又设M ⊂Y ，M 是闭集，则CM 是开集. 由Th2, ()CM T 1-是开集. 但()CM T 1-=()M T C 1-，故M T 1-是X 中的闭集.“⇐” M ∀⊂Y 且M 是闭集，则CM 是开集. 由()CM T 1-=()M T C 1-，及Y 中任何闭集M 的M T 1-总是X 中的闭集，得Y 中任何开集CM 的原像()CM T 1-总是开集，由Th2, T 是X 上的连续映照. 证毕.P 206.10. 设X 为距离空间，A 为X 中的子集. 令()x f =()y x d Ay ,inf ∈, x ∈X . 证明()x f 是X 上的连续函数.证明 0x ∀∈X ，n x ∀∈X ， ,2,1=n ，s.t.n x →0x .y ∀∈A ⊂X ，因为 ()y x d n ,≤()0,x x d n +()y x d ,0，所以 ()y x d n Ay ,inf ∈≤()0,x x d n +()y x d ,0， 所以 ()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n≤()y x d ,0, 所以()y x d n Ay ,inf ∈-()0,x x d n ≤()y x d Ay ,inf 0∈，所以()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈≤()0,x x d n . 同理()y x d Ay ,inf 0∈-()y x d n Ay ,inf ∈≤()n x x d ,0.所以|()()0x f x f n -|=|()y x d n Ay ,inf ∈-()y x d Ay ,inf 0∈|≤()0,x x d n →0(∞→n ).所以()x f 是X 上的连续映照(Th 1). 作业： P 206. 11. 12. 13.作业解答： 11. 先证 ()y x d F y F x ,inf 21∈∈>0. 否则>∀ε0，x ∃∈1F ，y ∈2F ，s.t. ()y x d ,<ε. 令ε=m1，则∃m x ∈1F ，m y ∈2F ，s.t. ()m m y x d ,<m1,令∞→m ，由于()y x d ,是二元连续函数，故得()00,y x d =0(0x ∈1F 是m x 的聚点，0y ∈2F 是m y 的聚点，聚点存在).因此0x =0y 与1F 2F =Φ相矛盾，故()21,F F d =()y x d F y Fx ,inf 21∈∈>0.取ε：0<ε<21()21,F F d ，再令1G =() 1,F x x U ∈ε，2G =() 2,F y y U ∈ε，则1G 与2G 均为开集. 下证∀()ε,x U 与∀()ε,y U 都不相交. 若不然设∃z ∈()ε,x U ()ε,y U ，则()y x d ,≤()z x d ,+()y z d ,<ε+ε<()21,F F d . 与()y x d ,≥()21,F F d 相矛盾. 故任意二邻域不相交，从而1G 2G =Φ.12. ∀取开集G ⊂Z . 因为g 是Y 到Z 中的连续映照, 所以G g 1-⊂Y 是开集.因为f 是X 到Y 中的连续映照，所以()G g f 11--⊂X 是开集. 即()G gf 1-⊂X 是开集. 所以 gf 是X 到Z 中的连续映照.13. 由Th 2'或由()M T C 1-=()CM T 1-和Th2推得. 附注 区间(]c ，∞-及[)∞+，c 均为闭集.§2.4 压缩映象原理及其应用本节作为完备度量空间何重要特征，我们介绍Banach 压缩映象原理，它在许多关于存在唯一性的定理证明中是一个有力的工具.随着现代电子计算机技术的发展，我们在解方程（包括常微分方程、偏微分方程、积分方程、差分方程、代数方程等）的过程中，大量使用的是逐次逼近的迭代法.几乎可以这样说：对一个方程，只要我们找到一个迭代公式，就算解出了这个方程（当然我们还要考虑迭代公式的收敛性、解的稳定性和收敛速度等问题）.但是，在逐次迭代中，我们必须保证迭代过程中得到的是个收敛序列，否则就是毫无意义的了.而选代法解方程的实质就是寻求变换（映射、映照）的不动点.例如求方程f(x)=0的根，我们可令g(x)=x-f(x)，则求f(x)=0的根就变成求g(x)的不动点，即求,使.而在通常求映射的不动点的方法中，最简单的就是下面我们所讲的--Banach压缩映象定理.定义（压缩映象）设T是度量空间X到X中的映照，如果对都有（是常数）则称T是X上的一个压缩映照.从几何上说：压缩映照即点x和y经过映照T后，它们的像的距离缩短了（不超过d(x,y)的倍）定理1（Banach压缩映照原理）1922年（Banach 1892-1945 波兰数学家）设（X,d）是一个完备度量空间，T是X上的一个压缩映照，则丅有唯一的不动点.即的使证：任取令（此即解方程的逐次迭代法）先证是Cauchy点列①①先考虑相邻两点的距离②再考虑任意两点的距离当n>m时==是Cauchy点列是完备度量空间,使下证x为不动点再证不动点唯一若还有,使则因必须注:①定理条件(a)X完备,(b)缺一不可，反例如下(a)若X不完备,则定理不成立例如:令X=(0,1),用欧氏距离,则但不动点(b)定理不成立例如:令 X=R用欧氏距离则但显然T无不动点.②若将空间X条件加强为紧距空间，则压缩因子条件可放宽为1，即可改为限于我们的学时，我们只介绍一下Banach压缩映象原理的简单应用.定理2（隐函数存在定理）设在带状区域上处处连续，处处有关于y的偏导数,且如果存在常数m,M，适合.则方程f在闭区间上有唯一的连续函数,使.证：（在中考虑映照，若其为压缩映照，则有不动点）在完备度量空间中作映照,显然,对由连续函数的运算性质有.是到自身的一个映照下证是压缩的.即证,任取由微分中值定理,存在,使令则,故取最大值映照T是压缩的.由Banach压缩映象定理在上有唯一的不动点使显然这个不动点适合注：①注意本定理的证明思路：先确定空间，再找映照（这是难点）,然后证明此映照是压缩的，最后利用定理即得.注意到这是利用Banach压缩映照定理解题的一般方法.②②此隐函数存在定理给出的条件强于数学分析中隐函数存在定理所给出的条件，因而得出的结论也强些：此处得出区间上的连续隐函数.下面我们介绍Banach不动点定理在常微分方程解的存在唯一性定理中的应用--Picard定理.定理3：（Picard定理 Cauchy--Peano微分方程解的存在唯一性定理）（Picard 法国人 1856—1941 Peano意大利人1858--1932）设在矩形上连续,设又在R上关于x満足Lipschitz（德国人 1832--1903）条件,即存在常数k使对有,那么方程在区间上有唯一的满足初始条件的连续函数解.其中证：设表示在区间上的连续函数全体.对成完备度量空间.又令表示中满足条件的连续函数全体所成的子空间.显然闭,因而也是完备度量空间.令如果当时,而是R上的二元连续函数,映照中积分有意义.又对一切故T是到的一个映照下证是压缩的.由Lipschitz条件,对中的任意两点有令,则由有.则故T是压缩的.由Banach压缩映象定理,T在中有唯一的不动点.即使即且即是满足初值条件的连续解.再证唯一性.如果也是满足的连续解.那么因而而且也是T的不动点.而T的不动点是唯一的.故有唯一解.注：题设条件中Lipschitz条件的要求是十分强的，它保证了解的唯一性.实际上満足Lipschtz条件即为一致收敛.因而可在积分号下求导，如果把解的要求降低，例如只要求广义解，即只要求满足积分方程则题设条件可大大放宽：只要有界,即可利用Lebesgue控制收敛定理得到广义解.注意到Banach压缩映照定理不仅证明了方程的解的存在唯一性，而且也提供了求解的方法--逐次逼近法：即只要任取令则解.且在Banach不动点定理的证明中,有.即此式给出了用逼近解的误差估计式.补充：Brouwer不动点是定理与Schauder不动点定理简介鉴于不动点理论在现代数学中非常重要的地位，以及不动点理论是现代泛函分析中一个十分活跃的重要分支，下面我们简单介绍Brouwer不动点定理和Schauder不动点定理及其简单应用.一、Brouwer不动点定理及其应用：（一）Brouwer不动点定理（Brouwer：荷兰人 1881-1966）定义（凸集）：X为一集,若则称A为X的凸子集.定理1（Brouwer不动点定理）：设为的有界闭凸集，连续,则使.证：1、若证明如下：不妨设作辅助函数显然在上连续.从而变成证明使即可.显然:否则则0为f之不动点;否则则1为f之不动点:(证毕)由连续函数的介值性定理的推论：根的存在定理可得使证毕.2、若,其证明方法很多，其中纯分析方法的证明要用到场论中旋度的概念，且很繁，而简洁的证明要用到拓扑学中映象度理论，因而希望对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点定理及其应用》,或一般常微分方程教材的附录.3、注意到Brouwer不动点定理中的条件是不可缺少的，但某些条件可以减弱.下面我们讨论Brouwer不动点定理的应用.（二）证明代数基本定理：代数基本定理：复系数一元n次方程至少有一个复根.证：令作辅助函数考虑闭圆盘：显然 c为有界闭凸集，且连续（只要考虑z=1连续即可，而这是显然的.）.下证将c映入c:当时当时=将 c映入 c. 由Brouwer不动点定理使使证毕（三）证明Perrou定理：Perrou定理：矩阵使.即：正矩阵一定存在正特征值和特征向量.证：设,令为标准单纯形，则.作映照显然为连续映照.下面先证将映入.注意到.则由Brouwer不动点定理使即.令则有.下证的每个分量严挌大于零.由的第i个分量方程为正矩阵一定存在正特征值和特征向量.（四）Rother证明定理：Brouwer定理条件可以减弱，作为Brouwer不动点定理的推广，下面我们证明Rother定理.Rother定理：为单位球，在上连续,且当时,使.证：作辅助函数则连续,且.作,则F在上连续,且将映入.由 Brouwer不动点定理,F有不动点.即,使得.下证此为之不动点.若若先用反证法证明.若,则矛盾,.从而故 f有不动点. 证毕Brouwer不动点定理有着十分广泛的应用，由于时间关系，我们就不再多谈.对此有兴趣的同学可参阅张石生《不动点理论及其应用》.我们可以进一步将Brouwer不动点定理推广到无穷维空间—这就是Schauder不动点定理.二、Schauder不动点定理：（Schauder:1899-1940）首先我们注意到度量空间中：紧集列紧闭集（致密闭集），在拓扑空间中：紧集任意开复盖都有有限复盖之集.Schauder不动点定理：紧凸集到自身的连续映照必有不动点.证：（略）Schauder不动点定理的应用（略）.我们还可以将Schauder不动点定理再推广到多值映照得到Kakutani不动点定理.。