节点电位法
电路与电工基础项目33 节点电位法
3.3.1 节点电位法
• 节点电位法的一般步骤如下： • （1）选定参考节点，用“⊥”符号表示，并
以独立节点的节点电位作为电路变量； • （2）按上述规则列出方程； • （3）联立并求解方程组，求得各节点电位； • （4）根据节点电位与支路电流的关系式，求
出各支路电流或其他需求的电量。
3.3.2节点电位法的应用
3
3.3.1 节点电位法
• 在复杂电路中总会有n个节点，取其中一个节点作为参 考点，其他各节点与该参考节点之间的电压就称为该 节点的节点电位。所以在有n个节点的电路中，一定有 （n－1）个节点电位是未知的。
• 节点电位法就是以电路的（n-1）个节点电位 为未知量，将各支路电流用节点电位的关系式 表示，应用KCL列出（n-1）独立节点的电流 方程，联立求解方程求得各节点电位，再根据 节点电位与各支路电流关系式，求得各支路电 流。
3.3.3 弥尔曼定理
• 对于只有一个独立节点,其节点电位方程 写成一般式为
Va
GU S G
上式为弥尔曼定理。式中 GUS 为与节点相连的各支路
电流源电流的代数和，电流源电流的参考方向流入节点
时为正，反之取负号。 导之和。
G
为节点所连接各支路的电
• 1．网络分析法
（ 1）支路电流法是以电路的支路电流为未知量，根据KCL、KVL列方程， 联立求解的方法。 （ 2）网孔电流法是以电路假想的网孔电流为未知量，用网孔电流表示支 路电流，进而表示支路电压，根据KVL列方程联立求解的方法。 （ 3）节点电位法是以电路的节点电位为未知量，用节点电位表示支路电 压，进而表示支路电流，再根据KCL列方程联立求解的方法.
11
• ２．网络定理法
（ 1）叠加定理：在线性电路中，有多个独立源同时作用的电路，在某一 支路的电压或电流响应，等于每个独立源分别单独作用产生响应的代 数和 （ 2）戴维南定理：线性含源二端网络，就其对外作用来讲，可用一个实际 的等电于压网源络模内型部来除代源替后，的该等电效压电源阻的。电压等于网络的开路电压，其串联内阻 （ 3）诺顿定理：线性含源二端网络，就其对外作用来讲，可用一个实际的 电流源模型来代替，该电流源的电流等于网络的短路电流，其并联电阻等 于网络内部除源后的等效电阻。 （ 4）替代定理：若网络中某支路电压或电流已知，则可用一个独立源来替 代该支路，替代后电路中其余部分电路的电压和电流不改变。
电位的计算
3
电路如图示：
C 4A 20
140V
A 5 6A D
10A
6
90V
1、若选A为参考点，则各点电位如下
B
VA=0
VB = UBA = -60V， VC = UCA = 80V， VD = UDA = 30V
2、若选B为参考点，则各点电位如下
VB=0
电位的计算
电位的概念：
在电路中任选一节点，设其电位为零（用 标记）， 此点称为参考点。其它各节点对参考点的电压，便是
该节点的电位。记为：“VX”（注意：电位为单下标）。
a
a
1 b 5A
1 b 5A
a 点电位： Va = 5V
b 点电位： Vb = -5V
2
注意 电位和电压的区别
电位值是相对的,参考点选得不同，电路 中其它各点的电位也将随之改变；
点的电压；
5
电位在电路中的表示法
R1
+
_ R2
_E1 +E2
R3
+E1 R1
-E2 R2 R3
6
参考电位在哪里？
+15V R1
+
Байду номын сангаасR1
15V
-
R2 -15V
+ R2 - 15V
7
例： 计算图示电路中的VA。
解： 将用电位表示的电路还原为
原电路形式；
A点为开路点，不能与参考 点连接！
+10V 4k 2k
A
5k
计算A点电位，即计算A=B点
-8V
到参考点的电压。
4k 10V
电工技术：节点电位的概念;节点电位法解题思路
二、节点电压法的解题思路
1.节点电压法:以（n-1）个节点电压为未知量，运用KCL列出（n-1）个电流 方程，联立解出节点电压，进而求得其它未知电压和电流的分析方法称为节 点电压法，简称节点法。 2.节点电压法的推导
V0 0
节点电压：U10、U20
应用KCL可写出：
节点1： I1 I 2 I 3 I S1 节点2： I3 I 4 +I 5
（3）解方程组得
U10 40V U 20 42V
三、利用节点电压法求解各支路电流的一般步骤
（4）求各支路电流。
I1 I2 I3 I4 U 10 40 8A R1 5 U 10 40 2A R2 20 U 10 U 20 40 42 1A R3 2 U 20 42 1A R4 42
电流为负，说明实际方向与参考方向相反
3. 求解方程得到节点电压
4. 求解其它待求量
如果要求其它量，利用求出的节点电压进一步求解。
三、利用节点电压法求解各支路电流的一般步骤
例1：求如图所示电路中各支 路电流。已知： I S1 9 A，
U S 5 48V , R1 5 R2 20解：（1）选节点0为参考节点，其余两个节 点的电压分别是U10、U20 。
（2）列出该电路的节点电压方程
1 1 1 1 U 10 U 20 I S1 R R2 R R 3 3 1 1 U 1 1 1 U 20 S 5 U 10 R R3 R5 3 R4 R5
R3 2, R5 3, R4 42
U 20 G4U 20 R4 U 20 U S 5 G5 (U 20 U S 5 ) R5
第2章23节点电位法
is3 32 5 A
G 1 1 3 47 S ,
G 1 2 3 S ,
G 1 3 4 S
G 2 1 3 S ,
G 2 2 1 2 36 S ,
G 2 3 2 S
G 3 1 4 S ,
G 3 2 2 S ,
G 3 35 2 4 1 1 S
is 1 1 3 8 1 1 A ,
( G 1 G 5) v 1 G 1 v 2 G 5 v 3 is 1 is2 G 1 v 1 ( G 1 G 2 G 3) v 2 G 3 v 3 is2 G 5 v 1 G 3 v 2 ( G 3 G 4 G 5) v 3 0
( G 1 G 5 ) v 1 G 1 v 2 G 5 v 3 is 1 is 2 G 1 v 1 ( G 1 G 2 G 3 ) v 2 G 3 v 3 is 2 G 5 v 1 G 3 v 2 ( G 3 G 4 G 5 ) v 3 0
化简： 3 11 v1 4 v2 2
3 4
v1
9 10
v2
21
10
注意:列写方程时电阻要换算为电导。
No Image
第二章 电路的基本分析方法
v1 v 4 2
电压源支 路的电流
1 2
1 1
v
1
1 2
v2
ix
1 2
v1
1 2
1 2
v
2
1 2 v4
4
1 2 v2
高中物理竞赛中不平衡电桥电路的几个分析方法
在这 种情况 下 ，用基 尔霍 夫 定 律 来 计 算 就 很 复 杂 ，而 应用 戴维 南定理 就 比较 方便 ．
② 戴维 南定 理 的 ２个 关键 步 骤 ：求开 路 电压 Ｕ曲 和 等效 电阻 Ｒ曲，在 计 算 开 路 电压 时 ，必 须 注 意 代 替含 源二端 网络 的等 效 电压 源 的极 性 与 开 路 电压 ｕ曲保持 一 致 ，如 果 求得 的 【，西是 负 值 ，则 电动 势 的 极性 与 图 ５中的相反 ；而求等 效 电 阻 Ｒ曲时 ，必须 将 网 络 内的各个 电源除 去 ，仅保 留电源 内阻．
例 ５ 用 Ｙ一△ 等 效 变 换 的 方 法 求 解 例 １中 电阻 Ｒ 、Ｒ。上 的 电 流 、Ｊ。．
因图 １中 Ｒｚ、Ｒ 、 析 Ｒ 为 △ 形 接 法 ，
用 Ｙ一△ 等效 变 换 法 将 此 △ 形接 法 变 换 成 Ｙ 形 接 法 ， 如 图 １１所 示 ，则 对 应 的 Ｙ 接法 中等效 电阻为
如 图 ６，将 图 中 另 ２ 析 个 节 点 ｃ、ｄ标 出 ，各 个 电 阻 上 的 电 流 方 向 如 图 所 示 ． 设 ｄ 接 地 ，则 一 ０， 一 １２ Ｖ，则各 支路 电流用 节 点 电位可表 示 为
图 ６
图 ３
图 ４
再 求等 效 电阻 Ｒ曲，这时将 电源 电动 势 除 去 ，如 图
设 Ｒ 与 Ｒ。的电流 为 Ｊ ，Ｒ。与 Ｒ 的电流 为 Ｊｓ ，则
ｕ 一Ｉ 。Ｒ 一Ｉ。 Ｒ ＝＝＝ －鲁 Ｒ。一 Ｒ 一
（
× １２一
× ｌ２） Ｖ ＝ ５ Ｖ．
即等效 电源 的电动势 为 一５ Ｖ．
６ ６
该点 和零 电位 点之 间的 电压值 ．
例 ３ 用节 点 电位 法 求 例 １ 中 理 想 电 流 表 ④ 的 读 数．
23节点电位法
由欧姆定律电导形式可得 3 个电流：
i1 G1u21 3 (v2 v1 ) 3 (2 1) 3A
i2 G2u31 4 (v3 v1 ) 4 (3 1) 8A
i3 G3v3 5 3 15A
电流源is1、is2、is3产生的功率;
第二章 电路的基本分析方法
2.3 节 点 电 位 法
2.3.1 节点电位
电路中，任选一节点作
v1
v2
v3 参考点(用 表示) ，其余
各点到参考点之间的电压
称为各节点的电位。
节点电压的参考方向从
节点指向参考点。
第二章 电路的基本分析方法
电路中任何两点间的电压，任何一支路上的电流， 都可应用已知的节点电位求出。如：
ps1 is1v1 8 1 8W ps2 is2 (v1 v2 ) 3 (1) 3W
ps3 is3v3 25 3 75W
第二章 电路的基本分析方法
例1：写出节点电位方程：iS7
1
R4
iS1
R3
R2
R1
0
2
R5
iS8
R6
(1 R1
1 R2
1 R3
1 R4
)
v1
( 1 R3
1 R4
) v2
is1
is7
( 1 R3
1 R4
) v1
1 ( R3
1 R4
1 R5
1 R6
) v2
is8
is7
第二章 电路的基本分析方法
例 2. 对图所示电路，求 u 与 i。 (1) 若原电路没有指定参考点，可选理想电压源支路两个节
点之一作参考点，如选4作为参考点，这时节点1的电位
物理竞赛中不平衡电桥电路的几个分析方法
物理竞赛中不平衡电桥电路的几个分析方法作者：陈玉奇来源：《中学物理·高中》2013年第03期高中物理竞赛中电学部分要用到的物理规律，除了电阻定律、焦耳定律、欧姆定律等高中物理课本上的知识以外，还要用到一些复杂直流电路的求解方法，如基尔霍夫定律、Y-Δ等效变换等等，而遇到的电路也不限于一般的混联电路，其中也包括桥式电路的计算.图1是一惠斯通电桥电路，因英国物理学家惠斯通首先使用该电路来测量未知电阻的阻值而得名.R1、R2、R3、R4是电桥的四个“桥臂”电阻，电流表和R5构成了“桥支路”.因该电路结构特殊，其中各个元件的联接并非简单的串并联关系.当电桥平衡时，可以将“桥支路”作短路或断路的等效处理，而当电桥不平衡时，该电路虽然结构简单，但已经不属于简单直流电路，无法用串并联电路的分析方法进行求解.本文给出几种不平衡电桥电路的求解方法.1 基尔霍夫定律基尔霍夫定律包括节点电流定律和回路电压定律.①节点电流定律：在电路中任意一个节点上，任一时刻流入节点的电流之和等于流出该节点的电流之和，即②回路电压定律：一个闭合回路中，从一点出发绕某一个回路一周回到该点时，各段电压降的代数和等于零，即例1 在图1中，已知电阻，R1=4 Ω，R2=R3=12 Ω，R4=6 Ω，R5=3 Ω，E=12 V，求理想电流表A的读数.解析因该电路中R1×R4≠R3×R2，即对臂电阻的乘积不相等，所以该电路属于不平衡电桥电路，不好用简单直流电路的方法计算，现用基尔霍夫定律求解.设各个电阻的电流分别为I1、I2、I3、I4、I5，方向如图2所示，则由节点电流定律，对图2中的节点a、b有分别选取三个回路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，绕行方向取顺时针方向，其中回路Ⅰ和Ⅱ已在图2中标出，回路Ⅲ由R1、R2、S、E构成（图中未标出），由回路电压定律，对以上三个回路有将方程（1）、（2）代入（3）、（4）、（5），再代入电路中各个元件的参数值，可解得I5=0.5 A方向向下.（求解过程略）点拨①基尔霍夫定律是电路的基本定律之一，不论在何种电路中，它阐明的各支路电流之间和回路电压之间的基本关系都是普遍适用的.理论上来讲，基尔霍夫定律可以解决一切电路问题，它思路简单清晰，对于基础好的学生来讲，是完全可以做到熟练掌握和灵活应用的，但是不足之处在于，如果支路较多，所列方程的个数也会随之增多，从而使得解题过程显得比较繁琐，但不失为解决非平衡电桥电路的一种有效方法.②在列回路电压方程时，有两个注意点，一是电压符号的选取，回路电压定律指出“各段电压降的代数和等于零”，因此，如果遇到电位升的情况，电压要取负号；二是回路的选取要使得所列的电压方程独立，如本题中回路Ⅲ选取很显然该方程可以由方程（3）、（4）相加得到，用该方程与方程（1）、（2）、（3）、（4）联立是无法求解的，因而它不是独立的方程.2 戴维南定理戴维南定理也叫等效电压源定理，即对外电路来说，一个含源二端线性网络可以用一个电压源来代替，该电压源的电动势E0等于二端网络的开路电压，其内阻R0等于含源二端网络内所有电源电动势为零，仅保留其内阻时，网络两端的等效电阻（输入电阻）.根据戴维南定理可以对一个含源二端网络进行简化，简化的关键在于正确理解和求出含源二端网络的开路电压和等效电阻.例2 用戴维南定理求图1中理想电流表A的读数.解析移开R5和A这个待求支路，求二端网络的开路电压Uab，如图3所示.开路后的电路为一简单直流电路，其中R1与R2串联，R3与R4串联，设此时R1与R2的电流为I12，R3与R4的电流为I34，方向如图所示，则即等效电源的电动势为E0=5 V.再求等效电阻Rab，这时将电源电动势除去，如图4所示，则即等效电源的内阻为R0=7 Ω.画出二端网络对应的等效电压源的电路图，并将R5和A支路接入，如图5所示，则点拨①在实际问题中，遇到一个复杂直流电路，如果并不需要把所有的支路电流都求出来，在这种情况下，用基尔霍夫定律来计算就很复杂，而应用戴维南定理就比较方便.②戴维南定理的两个关键步骤：求开路电压Uab和等效电阻Rab.在计算开路电压Uab 时，必须注意代替含源二端网络的等效电压源E0的极性与开路电压Uab保持一致，如果求得的Uab是负值，则电动势E0的极性与图5中的相反；而求等效电阻Rab时，必须将网络内的各个电源除去，仅保留电源内阻.③戴维南定理只适用于二端网络以及二端网络内部为线性电路的情形，如果二端网络内有非线性元件（如二极管、三极管等），或者所求部分为三端网络（如三相负载），则不适用，但如果所求支路中含有非线性元件，戴维南定理同样适用.3 节点电位法以节点电位作为未知量，将各支路的电流用节点电位表示，再利用节点电流关系列出独立的电流方程进行求解，这就是节点电位法.要想确定电路中节点的电位，只需在电路中任选一个节点，设其电位等于零，则所求点的电位即等于该点和零电位点之间的电压值.例3 用节点电位法求图1中理想电流表A的读数.解析如图6，将图中另外两个节点c、d标出，各个电阻上的电流方向如图所示.设d接地，则φd=0，φc=12 V，则各支路电流用节点电位可表示为点拨①节点电位法实际上是以节点电位作为未知量分析电路的一种方法，适用于支路数较多，而节点数较少的电路中，本题中虽然有四个节点，但由于c、d的电位已知，所以实际上只有两个未知节点a和b，使用节点电位法的优点在于解题的方程较少.②用节点电位法求解电路问题时参考点的选择要合适，应使该电路中其余节点的电位易于表示，使未知数尽可能少.4 互易定理在一个只含电压源的线性电阻电路中，如X支路中的电压源UX在支路Y中产生的电流为IY，则当电压源由支路X移到支路Y中时，将在支路X中产生电流IY，这就是互易定理.简单来讲，即在图1中，如果将电压源E与电流表A互换位置，根据互易定理，电流表的读数应该不变，从而可以从另一个角度求得电流表的读数.例4 用互易定理求解图1中的电流表的读数.解析将图1中的电流表和电源互换位置，如图7所示，其对应的等效电路以及互换后各个电流的参考方向如图8所示，可知R1和R2并联，R3和R4并联.在图8中，R总=R5+R1R2R1+R2+R3R4R3+R4根据串并联电路的分流公式可知，电阻R1和R3上的电流分别为点拨①互易定理适用于线性网络只有一个电源时，电源支路和另一个支路之间的电压、电流关系.②互易时电压源原来的位置应短路，电压源串联接入另一支路.5 Y-Δ等效变换如图9和图10所示是一个Y形电阻网络和一个Δ形电阻网络，当这两个电阻网络分别接到同一个电路中时，如能保持这个电路中其余各部分的电流和电压不变，则这两个电阻网络对于这个电路是等效的，对应的等效变换关系如下（证明过程略）：Y形电路等效变换成Δ形电路的条件为例5 用Y-Δ等效变换的方法求解图1中电阻R1、R3上的电流I1、I3.解析因图1中R2、R4、R5为Δ形接法，用Y-Δ等效变换法将此Δ形接法变换成Y形接法，如图11所示，则对应的Y形接法中等效电阻为。
《电工技术》复杂直流电路题解方法和要点
《电工技术》复杂直流电路题解的方法和要点摘要：电工技术直流电路是很重要的一章，也是比较难的一章。
其电路形式多样复杂，分析方法也较多。
面对各种电路的计算，学生们感觉无从下手，有时候即便知道所用的方法，也不知道具体的求解步骤。
本文详细总结了各种电路的题解方法及其关键的求解步骤，望同学们或老师借鉴。
关键词：电工技术；直流电路；题解方法和步骤【中图分类号】g710《电工技术》是理工科高职和职高学生必修的一门基础课。
主要有直流电路、单相交流电路、三相交流电路、变压器及其电动机等章节组成。
其中直流电路的考核分值最高，达到四十分左右。
而直流电路的电路计算尤为重要，是必考的内容。
但其电路形式多样灵活。
分析方法也较多，面对各种复杂电路的计算，学生们感觉无从下手，所以普遍感觉难学，造成不及格甚至低分的学生也很多的。
作者根据十几年的教学，总结出求解各种电路的方法和步骤，望同学们或电工学老师借鉴。
1.直流电路的题目要求有两种形式：一是要求用指定的方法求解，二是只要求求解内容和结果，方法不限。
第一种形式就按照题目的要求用指定的方法去求解，其过程和要点参照第二种形式。
第二种形式根据题目的要求和电路的特点分析选用最简接最有效的方法。
1.1 求解电路中所有支路电流这种情况有3种方法都可以求解：支路电流法、节点电位法和叠加原理。
到底采用那种方法就看电路的特点。
如果支路很多而节点只有2个就用节点电位法，如果节点多多于3个就采用支路电流法。
而叠加原理需要画很多分解图很少采用。
下面举例说明【例1】求解图示电路中各支路电流。
已知：us1=12v，us2=18v，is=7a，r1=3w，r2=r3=6w，r4=15w。
解：电路特点是多支路（4条）少节点（2个），我们采用节点电位法求解最有效。
设b点为电位参考点。
第一步：标出各支路电流参考方向如图所示。
第二步：对节点a，由公式得e1取正e2取负， is流入节点取正，分母不含和is串联的电阻r4，这一步是核心。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(1 1
1 2
1 4
)U
n3
0
(3)
辅助方程：
U n1
U n3 1
I1
(4)
联立求解上述方程组得： I1= 4A
小结
1.节点电压法是以节点电压为电路变量的求解电路的方法。其方 程的本质是独立的KCL方程。
2.用该方法求解电路时，首先选择参考点，接着列写节点电压方程， 然后联立求解，最后根据得到的节点电压再求其他的电量。
（4）依欧姆定律和各节点电压值求出各支路电流。
【例1】 用节点电压法求图电压U0。
解：以图中的接地点为参考考点，求U0只需列两个节点方程
1 5
40
1 5
1 50
1 10
U1
1 10
U2
1 8
40
1 10
U1
1 8
1 10
1 40
U
2
0 10
解得： U1 50V U 2 80 V
所以 U 0 50 40 10 V
【例3】 图示电路，试用节点法求Ix。 解：方法一：选择参考点及节点
电压(如图示)。设未知量电流I。
2W
u1
1W u2
u1 14
1u1 (1 0.5)u2 I 3
0.5u1 (1 0.5)u3 I 0 u2 u3 8 (附加方程)
解得： u1=14V u2=12V 所以： IX u1 u3 5A
iS3
整理得：
G5
(G1+G2+G5)u1-G2u2-G5u3=is1-is3 -G2u1+(G2+G3)u2-G3u3=is2
u1
G2
u2
G3
u3
iS1
iS2
求解可得 u1、u2、u3
G1
G4
o
讨论： 1.方程组左边取正号的项称为自电导电流项，对应的电导称为 自电导，它为与本节点相联的多支路的电导之和。
iS3
G5
节点电压：是指从节点指向参考点的电压。
u1
G2
u2
G3
u3
iS1
iS2
G1
G4
o
列写KCL方程，同时代入VCR：
设：流出“+”， 流入“－”
节点1: G1u1+G2(u1-u2)+G5(u1-u3)-is1+is3=0
节点2: -G2(u1-u2)+G3(u2-u3)-is2=0
节点3: -G3(u2-u3)+G4u3-G5(u1-u3)-is3=0
一、定义 以结点电压为待求量，利用基尔霍夫定律列出各结点电压方程式，进
而求解电路响应的方法。 二、适用范围
原则上适用于各种复杂电路，但对于支路数较多、且结点数较少的电路 尤其适用。与支路电流法相比，它可减少m-n+1个方程式。
一.由电导、电流源构成的电路及其节点方程 电路如图示。已知电路参数。
设参考点o及各节点电压u1、 u2、u3 。
2
u3= 4V
I=-1A
+ _14 V
2W
0
IX
I
+
_ u3
8V
3A 1W
五、含受控源电路的节点分析法
【例4】用节点电压法求图电路中的电流I1 。
节点电压方程为：
(1 1
1 2
)U
n1
1 2
U
n2
1U 1
n3
1
(1)
1 2
U
n1
(1 2
1 2
)U
n2
1 2
U
n3
2I1
(2)
1U 1
n1
1 2
U
n
2
四、含理想电压源支路的节点分析法
【例2】用节点电压法求图中的节点电压Un1、Un2、Un3。
节点1，3的KCL方程为：
(1 1
1 0.5
)U
n1
1 0.5
U
n
2
I
0
(1)
11
1
( 1
2 )U n 3
U 1
n2IFra bibliotek0(2)
辅助方程为： Un1 Un3 5 (3)
25
10
联立求解上述方程组得：Un1 3 V Un2 10V Un3 3 V
G21u1
G22u2
G2nun
is
22
Gn1u1 Gn2u2 Gnnun isnn
5.可利用上述规律直接列写节点电压方程。
6、节点电压法分析时，其解题步骤归纳如下 （1）确定参考节点（其余均为独立节点）。 （2）建立与独立节点数相等的KCL方程组。通常先计算出自电导、互电导 及流入各节点电流源的代数和，再按规范方程形式写出方程组 。 （3）求解节点方程，得到各节点电压。
2.方程组左边取负号的项称为互电导电流项，对应的电导称为 互电导，它为本节点与另一节点相联的支路的电导之和。
3.方程组右边称为等效电流源，是流入本节点电流源的代数和， 流入取“+”，流出取“-”。
4.设电路有n+1个节点，其节点电压方程的一般形式为：
G11u1 G12u2 G1nun is11
3.对于含受控源的电路，应将受控源视为独立源列方程后，再找出 控制量与节点电压的关系式作为辅助方程，与其他方程联立求解。