9(1)_磁场的环路定理

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R
P
v B
×××××××××××××× O’
假若磁场不 平行轴线。 平行轴线。 R
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O • • P
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v B
×××××××××××××× O’ ×××××××××××××× 以OO’为轴 为轴 v 旋转180度； 即电流分布相同 旋转 度 R B 但磁场方向却不 同？• • • • • • • • • • • • • • 电流方向改 变，磁场方 向如图！ 向如图！
1 求证： 求证： = µ0nI B 2
2
a
v dB b v dB b v
I
v dB
dB a
v B v B
作安培环路ABCDA 作安培环路
I
v v ∫ B⋅dl = µ0∑Ii
L L 内
v v v v v v v v B⋅ d = ∫ B ⋅ d +∫ B⋅ d +∫ D B ⋅ d l l l C 外 l ∫L A B 内 B C v v +∫ B⋅ d l C D
v B2
假设存在这种磁场 作安培环路abcda 作安培环路
• • •
×
×
×
当 R −R < r < 2 1 取圆周的平均值代替
R +R 2 π 1 L =2 平 2
2 r π
× × ×
×
× ×
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×
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L
× × × × ×
B=
µN I 0
L 平
=µ n × 0 I
• • •
N n= L 平
磁场的分布为: 磁场的分布为
×
×
×
µ I 0n ; B= 0 ;
L
A
B
v B
v v v v v v v v B⋅ d = ∫ B ⋅ d +∫ B⋅ d +∫ D B ⋅ d l l l C 外 l ∫L A B 内 B C v v +∫ B⋅ d = B lAB+0 +0 +0 = µ0nlABI l 内
D A
L 内
内
0
螺绕环（罗兰环） 3）螺绕环（罗兰环）的磁场分布
× × × × × × ×
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×
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× × × × ×
• • •
×
×
×
R1 R2 解：分析磁场分布： 分析磁场分布： 已知：R1、R2匝数N 已知： 匝数 电流I 电流
作半径为r的安培环路 作半径为 的安培环路L 的安培环路
π 当 R − R < r 取圆周的平均值代替 2 r < 2 1
管 内 管 外
例4：有一导体，由“无限多”根平行排列的细导 有一导体， 无限多” 线组成，每根导线都“无限长” 线组成，每根导线都“无限长”且均通以电流 I 。 设单位长度上的导线数目为n 求证： 设单位长度上的导线数目为n，求证：这无限长 的电流片各处的磁感应强度： 的电流片各处的磁感应强度：B = 1 µ0nI 已知： ， 已知：n，I 证明：分析磁场分布： 证明：分析磁场分布：
0
D 因管外磁场为零。 因管外磁场为零。
C
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R
µ I ( 内 0n L管 ) B= × × × × × × × × × × × × × × 0 L管 ) L ( 外 作安培环路ABCDA 作安培环路 v v B = µ nI ∫ B⋅dl = µ0∑Ii
为什么磁力 线画成均匀 的？
R ××××××××××××××
v B
• • • • • • • • • v• • • • •
R
A D
B vB 1 B 2
i
作安培环路L 作安培环路 ABCDA
∫ B⋅ dl = µ ∑I =0 v v v v v v v v l l B⋅ d = ∫ B ⋅ d +∫ B⋅ d +∫ B ⋅ d l l ∫ v v +∫ B⋅ d = Bl +0 −B l +0=0 l
v v ∫ B⋅ dl = µ0∑Ii
L L 内
R r L
I 2 ∫s0 dl =µ0 πR2 πr I 2 B2 r = µ0 2 π π r πR µ Ir 0 B= 2 2 R π
o
µ I 0 r L0≤ r < R ( ) 2 2 R π B= µI 0 L R≤ r < ∞ ( ) 2 r π
B（r） （ ）
综合： 综合：
I R
r R
载流“无限长” 2）载流“无限长”长直螺线管内外的磁场分布 通常L>20R） （通常 ） 已知： R 已知： 单位长度匝数n 单位长度匝数 电流I。 电流 。 解：分析磁场分布 L 证明磁场总是平行中心轴线，设P点磁感应强度 证明磁场总是平行中心轴线， P点磁感应强度 如图： 如图： O
L
• • • • • • • • • •r • • • • • • • • • • • •
R • 也是以中心轴线为 • 对称的分布。 • • 对称的分布。
•
•
B∫dl = 2 r = µ I Bπ 0 L µI B= 0 2 r π
L
在载流导体内： ）作半径为r 在载流导体内：2）作半径为 (0 ≤ r < R ) 的安培环路。 的安培环路。 I
L 0 L 内
× × ×v× × × × × × × × × × × v
C
L
A B
1
B C
C D
2
D A
1A B
2C D
即管内是均匀场。 ∴ 1 = B 即管内是均匀场。 B 2 沙定律计算已知： （用毕--沙定律计算已知：中心轴线处 用毕 沙定律计算已知 B = µ nI ，故管内各点 B = µ nI ） 0
• • • • • • • • • • • • • •
××××××××××××××
v B v B
R
• • • • • • • • • • • • • •
O
正确的方向！ 正确的方向！ 假设错误
R
P
v v B B
×××××××××××××× O’ 磁场磁力线： 磁场磁力线：
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§11--6安培环路定理 11--6 -一）何谓安培环路定理 二）无限长载流直导线周围磁场的环流
应用程序
安培环路定理： 安培环路定理： 磁感应强度沿任一闭合路径L的线积分 的线积分（ 的 磁感应强度沿任一闭合路径 的线积分（B的 环流） 环流）等于穿过这个环路所有电流强度的代 数和的 µ 倍。 v v 0
L
= µ0∑ i I
L 内
A B
B C
C D
BlAB+0 +BlCD +0= µ0 nlABI 1 ∴B = µ0nI 证毕！ 证毕！ 2
例5、证明不存在磁力线平行但疏密不同的磁场。 、证明不存在磁力线平行但疏密不同的磁场。 a d
v B1
v 证明： B 证明：
b c
v v v v v v v v v v B⋅ dl = ∫ B ⋅ dl +∫ B ⋅dl +∫ B ⋅ dl +∫ B ⋅ dl 2 1 da ∫L cd ab bc v v B⋅ dl = Blab +0 −B lcd +0 2 1 ∫L 违反环路定理。 违反环路定理。 = Blab−B lcd =0 1 2 故不存在这种 v v 若： B ≠ B 则： B⋅ d ≠0 磁场。 磁场。 ∫L l 1 2
R +R 2 L =2 π 1 平 2 µN I N 0 B= =µ n n= 0 I L L 平 平
v v v B⋅ d = B d l l ∫ ∫L L =B π 2r =µ N I 0 µN I 0 B= 2 r π
× × × × ×
× ×
• • • • • •
×
• • •
L
× × × × ×
∫ B⋅dl = µ ∑I
L 0 L 内
i
三）应用安培环路定理计算磁场
v v ∫ B⋅ dl = µ0∑Ii
L L 内
∫ Bcosθdl = µ ∑I
L 0 L 内
i
若能找到某个回路L使之满足： 若能找到某个回路 使之满足： 使之满足
Bcosθ∫dl = µ ∑ i I 0
L L 内
L
I
B = µ ∑ i / co θL I s 0
L 环路L通常要满足： 环路 通常要满足： 通常要满足 v 1）L上的 B 大小相等， ） 上的 大小相等， v 方向相同。（ 。（或 方向相同。（或 B与 v d 平行或垂直。） 2）环路的长度便于计算； l 平行或垂直。） ）环路的长度便于计算； 3）环路上的B为所求。 ）环路上的 为所求。 为所求
1）无限长直圆柱载流导线磁场的分布 A）磁场分布的分析： ）磁场分布的分析： I • R r
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • •• • • • •
r
r B
r
I •• • • • • • •••• • • • • •••• • • • •• • • • • • •
在导线外是以中心轴为对称的磁场
在载流导体内： 在载流导体内： I
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R r L