北京市西城区北京四中2019届高三数学摸底测试卷(文)

北京四中2019届高三数学摸底测试卷（文）试卷满分150分 考试时间：120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分 1．已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为 A ．{3} B ．{3,4} C ．{1,2} D ．{2,3}2．已知ABCD 为平行四边形，若向量AB =a ，AC =b ，则向量BC 为 A ．-a b B ．a +b C ．-b a D ．--a b3．圆的方程为22(1)(2)4x y -+-=，该圆圆心到直线2y x =-的距离为A B C D4．已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，则数列{}n b 的前10项和等于 A ．130 B ．120 C ．55 D ．505．ABC ∆中，若4ABC π∠=，AB =，3BC =，则sin BAC ∠=A B C D6．某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为A ．316 B ．14 C ．34 D ．1167．已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为A ．或8-B ．2或8-C ．或7-D ．2或7-8．某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是A． B ．8 C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分 9．复数(2i)i z =-的实部是 ．10．若实数,x y 满足10,2,3x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则z y x =-的最大值是 ．11．如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是 ，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是 ．12．若关于实数x 的不等式53x x a -++<无解，则实数a 的取值范围是 ．13．若m 是2和8的等比中项，则m = ，圆锥曲线221+=y x m的离心率是 ．14．函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,∈x x D ，当12<x x 时，都有12()()≥f x f x ，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[0,1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①(0)0=f ；②1()()32=x f f x ；③(1)1()-=-f x f x ，则1()6f = ，11()()47f f += ． 三、填空题：本大题共6小题，共80分 15．（本小题满分13分）已知∆ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3A π=，cos C =，3a =， （Ⅰ）求sin B ； （Ⅱ）求∆ABC 的面积．16．（本小题满分13分）一次考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩如下表：（Ⅰ）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定；（Ⅱ）从以上5名同学中选2人参加一项活动，求选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分的概率．17．（本小题满分14分）C 1B 1A 1DCBA已知如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，AC BC ⊥，12AC BC BB ===，D 为AB 的中点， （Ⅰ）求证：1BC ∥平面CD A 1； （Ⅱ）求证：⊥1BC 平面C AB 1； （Ⅲ）求三棱锥1D A AC -的体积．18．（本小题满分13分）已知函数2()ln f x a x bx =-，,a b ∈R ，（Ⅰ）若曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为12=-y ，求实数,a b 的值；（Ⅱ）若1b =，求函数()f x 的最大值．19．（本小题满分14分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为，右顶点为(2,0)， （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线：y kx =+C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>（其中O 为原点），求k 的取值范围．20．（本小题满分13分）已知集合},,,{21n a a a A =中的元素都是正整数，且n a a a <<< 21，集合A 具有性质P ：对任意的,x y A ∈，且x y ≠，有25xy y x ≥-， （Ⅰ） 判断集合}4,3,2,1{是否具有性质P ； （Ⅱ） 求证：251111-≥-n a a n ； （Ⅲ） 求证：9≤n ．参考答案BCDC CADC9．1； 10．5；11．84，2（第一空2分，第二空3分）；； 12．(,8]-∞；13．4±（答出一个给1分，两个给2分）；1分，两个给3分）； 14．14 ；712（第一空2分，第二空3分）； 15．解：(Ⅰ) 因为,,A B C 为∆ABC 的内角，且3A π=，cos C =，所以sin =C . 所以sin sin()=+B A C sin cos cos sin =+A C AC 12=+=. ………7分GA B CDA 1C 1(Ⅱ) 在∆ABC 中，由正弦定理sin sin =a cA C，解得=c 所以∆ABC的面积为1sin 2==S ac B . ………13分16．解：（Ⅰ）5名学生数学成绩的平均分为：93)9795939189(51=++++5名学生数学成绩的方差为：8])9397()9395()9393()9391()9389[(5122222=-+-+-+-+- 5名学生物理成绩的平均分为：90)9392898987(51=++++5名学生物理成绩的方差为：524])9093()9092()9089()9089()9087[(5122222=-+-+-+-+- 因为样本的数学成绩方差比物理成绩方差大， 所以估计高三(1)班总体物理成绩比数学成绩稳定.（Ⅱ）设选中的学生中至少有一个物理成绩高于90分为事件A5名学生中选2人包含基本事件有：,21A A 13A A ，14A A ，15A A ，,32A A ,42A A ,52A A ,43A A ,53A A ,54A A 共10个. 事件A 包含基本事件有：,41A A ,51A A ,42A A ,52A A ,43A A ,53A A ,54A A 共7个.107)( =A P 则，即5名学生中选2人至少有一个物理成绩高于90分的概率为107.17．解：（Ⅰ）在直三棱柱111C B A ABC -中,连结1AC 交1AC 于G ，连结DG . 因为12AC BC BB ===，所以四边形CA C A 11、11BCC B 为正方形.所以G 为1AC 中点.在1ABC ∆中，因为D 为AB 的中点，所以1BC ∥DG .因为DG ⊂平面CD A 1，1BC ⊄平面CD A 1， 所以1BC ∥平面CD A 1. ………5分(Ⅱ)因为三棱柱111C B A ABC -为直三棱柱，所以⊥1CC 平面ABC .因为AC ⊂平面ABC ，所以AC CC ⊥1.又BC AC ⊥，1=CC BC C I , 所以⊥AC 平面11BCC B .因为111BC BCC B ⊂平面，所以AC BC ⊥1. 因为C C BB 11是正方形，所以C B BC 11⊥.所以⊥1BC 平面C AB 1. ………10分 （Ⅲ）因为ABC ∆为等腰直角三角形，所以11122∆=⋅==ACD S AD CD . 因为1AA ⊥平面ABC ,所以11111121333--∆==⋅⋅=⨯⨯=D A AC A ADC ACD V V AA S . ………14分18．解：(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为(0,)+∞.'()2a f x bx x=-，因为曲线()f x 在1x =处与直线12y =-相切，所以'(1)20,1(1),2f a b f b =-=⎧⎪⎨=-=-⎪⎩解得1,1.2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ (6)分(Ⅱ) 当1b =时，2()ln f x a x x =-，222()22'()2ax a x a f x x x x x---+=-==, （1）当0a =时，'()2f x x =-.因为0x >时，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，无最大值； （2）当0a <时，202a x ->，'()0f x <，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减，无最大值.（3）当0a >时，'()f x =.因为'()0f x >时，0x << '()0f x <时，x >， 所以()f x在上单调递增，在)+∞上单调递减.所以max ()ln 222==-a a af x f . ………13分19．解：（1）由题意可得：3,2==c a3422-=-=∴c a b =1 所求的椭圆方程为：1422=+y x（2）设),(),,(2211y x B y x A由⎪⎩⎪⎨⎧+==+21422kx y y x 得：0122)41(22=+++kx x k221221411,4122k x x k k x x +=+-=+∴（*）221)4()04k ∆=-⋅+>，解得：2121-<>k k 或由2OA OB ⋅> 可得：22121>+y y x x ，即2)2)(2(2121>+++kx kx x x 整理得：0)(2)1(21212>+++x x k x x k把（*）代入得：221(1)014k k +⋅+>+，即：04112422>+-k k 解得：3333<<-k ， 综上：33212133-<<-<<k k k 或的取值范围是：20．（Ⅰ）解：由于252121⨯≥-，253131⨯≥-，254141⨯≥-，253232⨯≥-，254242⨯≥-，254343⨯≥-， 所以集合}4,3,2,1{具有性质P ． ……………………4分（Ⅱ）证明：依题意有)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ，又n a a a <<< 21， 因此)1,,2,1(2511-=≥-++n i a a a a i i i i ． 可得)1,,2,1(251111-=≥-+n i a a i i ． 所以25111111111113221-≥-++-++-+--+n a a a a a a a a n n i i ． 即251111-≥-n a a n ． ……………………9分 （Ⅲ）证明：由(Ⅱ)可得25111->n a ． 又11≥a ，可得2511->n ，因此26<n ． 同理)1,,3,2,1(2511-=-≥-n i i n a a n i ，可知251in a i ->． 又i a i ≥，可得251i n i ->，所以)1,,2,1(25)(-=<-n i i n i 均成立．当10≥n 时，取5=i ，则25)5(5)(≥-=-n i n i ，可知10<n ．又当9≤n 时，25)2()2()(22<=-+≤-ni n i i n i ． 所以9≤n ． ……………………13分。