北京市海淀二模(数学理)试题(含答案)word版
北京市海淀区高考二模数学理科试题及答案
x - 1 ， ．那么 是
⎨ y = 1 - t ï ï 1 2
海淀区高三年级第二学期期末练习
数 学〔理科〕
2022.05
一、选择题：本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分.在每题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.
〔1〕假设sin θcos θ< 0 ，那么角θ是
〔A 〕第一或第二象限角
〔B 〕第二或第三象限角 〔C 〕第三或第四象限角
〔D 〕第二或第四象限角〔2〕命题 p ： ∃x
∈R 2x 0=1⌝p ， ∀x 0∈R 2x 0≠1 ， ∃x 0∈R 2x 0≠1
， ∀x 0∉R 2x 0≠1
， ∃x 0∉R 2x 0≠1〔3〕直线 ⎧x = 1 +t 〔t 为参数〕的倾斜角的大小为 ⎩ 〔A 〕-π〔B 〕π〔C 〕π〔D 〕
3π4 ìï ï x - 4 2 4 y £ 1,
〔4〕假设整数 x , y 满足ïíx + y ³ ï y £ 3, ïî 2
1, 那么2x + y 的最大值是〔A 〕1
〔B 〕5 〔C 〕2 〔D 〕3 〔5〕点 F , F 是椭圆 x 2 + 2 y 2 = 2 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么
PF 1 + PF 2
的最小值是〔A 〕0 〔B 〕1 〔C 〕2 〔D 〕2 〔6〕为了得到函数y =log 2 的图象，可将函数y =log 2 x 的图象上所有的点的
〔A 〕纵坐标缩短到原来的 1 2 倍，横坐标不变，再向右平移 1 个单位长度2
0 〔A 〕 〔C 〕 〔B 〕 〔D 〕。
2022北京市海淀区高三二模数学试卷(含答案)
2022北京市海淀区高三二模数学试卷2022．05本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{}01A x x x =<>或，则A =R ð （A ）{}01x x << （B ）{}01x x ≤<（C ）{}01x x <≤（D ）{}01x x ≤≤（2）在()312x −的展开式中，x 的系数为 （A ）2−（B ）2（C ）6−（D ）6（3）已知双曲线2222:1x y C a b−=的渐近线经过点（1,2），则双曲线的离心率为（A （B （C ）2（D （4）已知,x y ∈R ，且0x y +>，则 （A ）110x y+> （B ）330x y +>（C ）lg()0x y +> （D ）sin()0x y +>（5）若,0()1,0x a x f x bx x +<⎧=⎨−>⎩是奇函数，则（A ）11a b ==−,（B ）11a b =−=, （C ）11a b ==, （D ）11a b =−=−,（6）已知F 为抛物线24y x =的焦点，点()(),1,2,3n n n P x y n =L ，在抛物线上。
若11n n P F P F +−=，则 （A ）{}n x 是等差数列 （B ）{}n x 是等比数列 （C ）{}n y 是等差数列（D ）{}n y 是等比数列（7）已知向量(1,0)a =，(b =−。
若,,c a c b <>=<>，则c 可能是（A ）2a b −（B ）a b +（C ）2a b +（D b +（8）设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+− 无零点”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y 与时间t （单位：s ）的关系符合函数()()sin 100y A wt ϕω=+<。
北京市海淀区2023-2024学年高三下学期期末练习(二模)数学试题(解析版)
海淀区2023—2024学年第二学期期末练习高三数学2024.05本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}1,0,1,2,{3}A B x a x =-=≤<∣.若A B ⊆，则a 的最大值为（）A.2 B.0C.1- D.-2【答案】C 【解析】【分析】根据集合的包含关系可得1a ≤-求解.【详解】由于A B ⊆，所以1a ≤-，故a 的最大值为1-，故选：C2.在52()x x-的展开式中，x 的系数为（）A.40B.10C.40-D.10-【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理的性质.【详解】设52(x x-的通项1k T +，则()5115C 2k k k k T x x --+=-，化简得()5215C 2k kk k T x -+=⋅-⋅，令2k =，则x 的系数为()225C 240-=，即A 正确.故选：A3.函数()3,0,1,03x x x f x x ⎧≤⎪=⎨⎛⎫>⎪ ⎪⎝⎭⎩是（）A.偶函数，且没有极值点B.偶函数，且有一个极值点C.奇函数，且没有极值点D.奇函数，且有一个极值点【答案】B 【解析】【分析】根据函数奇偶性定义计算以及极值点定义判断即可.【详解】当0x ≤时，0x ->，则1()(3()3xx f x f x --===，当0x >时，0x -<，则1()3()()3xx f x f x --===，所以函数()f x 是偶函数，由图可知函数()f x 有一个极大值点.故选：B.4.已知抛物线24x y =的焦点为F ，点A 在抛物线上，6AF =，则线段AF 的中点的纵坐标为（）A.52B.72C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线定义求得点A 的纵坐标，再求AF 中点纵坐标即可.【详解】抛物线24x y =的焦点()0,1F ，又16A AF y =+=，解得5A y =，故线段AF 的中点的纵坐标为1532+=.故选：C.5.在ABC 中，34,5,cos 4AB AC C ===，则BC 的长为（）A.6或32B.6C.3+D.3【答案】A 【解析】【分析】根据余弦定理即可求解.【详解】由余弦定理可得222222543cos 2104AC CB ABCB C AC BCBC+-+-===⋅,故22151806CB BC BC -+=⇒=或32，故选：A6.设,R,0a b ab ∈≠，且a b >，则（）A.b a a b< B.2b a a b+>C.()sin a b a b -<- D.32a b>【答案】C 【解析】【分析】举反例即可求解ABD,根据导数求证()sin ,0,x x x <∈+∞即可判断C.【详解】对于A ，取2,1a b ==-，则122b aa b=->=-，故A 错误，对于B ，1,1a b ==-，则2b aa b+=，故B 错误，对于C ，由于()sin 0,cos 10y x x x y x '=->-≤=，故sin y x x =-在()0,∞+单调递减，故sin 0x x -<，因此()sin ,0,x x x <∈+∞，由于a b >，所以0a b ->，故()sin a b a b -<-，C 正确，对于D,3,4a b =-=-,则11322716a b =<=，故D 错误，故选：C7.在ABC 中，π,2C CA CB ∠===，点P 满足()1CP CA CB λλ=+- ，且4CP AB ⋅= ，则λ=（）A.14-B.14C.34-D.34【答案】B 【解析】【分析】用CB ，CA 表示AB ，根据0CA CB ⋅=，结合已知条件，以及数量积的运算律，求解即可.【详解】由题可知，0CA CB ⋅=，故CP AB ⋅()()()()2211881168CA CB CB CA CA CB λλλλλλλ⎡⎤=+-⋅-=-+-=-+-=-+⎣⎦，故1684λ-+=，解得14λ=.故选：B.8.设{}n a 是公比为()1q q ≠-的无穷等比数列，n S 为其前n 项和，10a >.则“0q >”是“n S 存在最小值”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的判定以及等比数列前n 项和公式判断即可【详解】若10a >且公比0q >，则110n n a a q -=>，所以n S 单调递增，n S 存在最小值1S ，故充分条件成立.若10a >且12q =-时，11112211013212n nn a S a ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-->⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，当n 为奇数时，121132nn S a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递减，故最大值为1n =时，11S a =，而123n S a <,当n 为偶数时，121132n n S a ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，n S 单调递增，故最小值为2n =，122aS =，所以n S 的最小值为112a ，即由10a >，n S 存在最小值得不到公比0q >,故必要性不成立.故10a >公比“0q >”是“n S 存在最小值”的充分不必要条件.故选：A9.设函数()f x 的定义域为D ，对于函数()f x 图象上一点()00,x y ，若集合()(){}0,k k x x y f x x D ≤∈-+∀∈R∣只有1个元素，则称函数()f x 具有性质0x P .下列函数中具有性质1P 的是（）A.()1f x x =- B.()lg f x x=C.()3f x x = D.()πsin2f x x =-【答案】D 【解析】【分析】根据性质1P 的定义，结合各个函数的图象，数形结合，即可逐一判断各选择.【详解】根据题意，要满足性质1P ，则()f x 的图象不能在过点()()1,1f 的直线的上方，且这样的直线只有一条；对A ：()1f x x =-的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，过点()1,0的直线有无数条都满足题意，故A 错误；对B ：()lg f x x =的图象，以及过点()1,0的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,0的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故B 错误；对C ：()3f x x =的图象，以及过点()1,1的直线，如下所示：数形结合可知，不存在过点()1,1的直线，使得()f x 的图象都在该直线的上方，故C 错误；对D ：()πsin2f x x =-的图象，以及过点()1,1-的直线，如下所示：数形结合可知，存在唯一的一条过点()1,1-的直线1y =-，即0k =，满足题意，故D 正确.故选：D.10.设数列{}n a 的各项均为非零的整数，其前n 项和为n S .若()*,j i i j -∈N为正偶数，均有2ji aa ≥，且20S =，则10S 的最小值为（）A.0B.22C.26D.31【答案】B 【解析】【分析】因为2120S a a =+=，不妨设120,0a a ><，由题意求出3579,,,a a a a 的最小值，46810,,,a a a a 的最小值，10122S a =，令11a =时，10S 有最小值.【详解】因为2120S a a =+=，所以12,a a 互为相反数，不妨设120,0a a ><，为了10S 取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，.由题意知：3a 满足312a a ≥，取3a 的最小值12a ；5a 满足51531224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为1110,42a a a >>，故取5a 的最小值14a ；7a 满足717317531224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，取7a 的最小值18a ；同理，取9a 的最小值116a ；所以135791111112481631a a a a a a a a a a a ++++=++++=，4a 满足422a a ≥，取4a 的最小值22a ；6a 满足62642224a a a a a ≥⎧⎨≥≥⎩，因为20a <，所以2224a a >，取6a 的最小值12a ；8a 满足828418641224248a a a a a a a a a≥⎧⎪≥≥⎨⎪≥≥≥⎩，因为20a <，所以222482a a a >>，取8a 的最小值12a ；同理，取10a 的最小值12a ；所以24681022222222229a a a a a a a a a a a ++++=++++=，所以101211131931922S a a a a a =+=-=，因为数列{}n a 的各项均为非零的整数，所以当11a =时，10S 有最小值22.故选：B【点睛】关键点点睛：10S 有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系2j i a a ≥分析可得奇数项的最小值与偶数项的最小值，从而可得10S 的最小值.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.若()2(i)2i R x x +=∈，则x =__________.【答案】1【解析】【分析】利用复数的四则运算，结合复数相等的性质得到关于x 的方程组，解之即可得解.【详解】因为2(i)2i x +=，所以222i i 2i x x ++=，即212i 2i x x -+=，所以21022x x ⎧-=⎨=⎩，解得1x =.故答案为：1.12.已知双曲线22:14x C y -=，则C 的离心率为__________；以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为__________.（写出一个即可）【答案】①.②.22(1x y ++=或（22(1x y +=）【解析】【分析】根据离心率的定义求解离心率，再计算焦点到渐近线的距离，结合圆的标准方程求解即可.【详解】22:14x C y -==，又渐近线为12y x =，即20x y -=，故焦点)与()到20x y -=1=，则以C 的一个焦点为圆心，且与双曲线C 的渐近线相切的圆的方程为22(1xy ++=或22(1x y -+=，故答案为：2；22(1xy ++=或（22(1x y +=）13.已知函数()2cos sin f x x a x =+.（i ）若0a =，则函数()f x 的最小正周期为__________.（ii ）若函数()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则实数=a __________.【答案】①.π②.2-【解析】【分析】根据二倍角公式即可结合周期公式求解，利用二次函数的性质即可求解最值.【详解】当0a =时，()2cos 21cos 2x f x x +==,所以最小正周期为2ππ2T ==，()2222cos sin sin sin 1sin 124a a f x x a x x a x x ⎛⎫=+=-++=--++⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，(]sin 0,1x ∈，且二次函数开口向下，要使得()f x 在区间()0,π上的最小值为2-，则需要1022a a-≥-，且当sin 1x =时取最小值，故112a -++=-，解得2a =-，故答案为：π，2-14.二维码是一种利用黑､白方块记录数据符号信息的平面图形.某公司计划使用一款由()2*nn ∈N 个黑白方块构成的n n ⨯二维码门禁，现用一款破译器对其进行安全性测试，已知该破译器每秒能随机生成162个不重复的二维码，为确保一个n n ⨯二维码在1分钟内被破译的概率不高于1512，则n 的最小值为__________.【答案】7【解析】【分析】根据题意可得21615260122n⨯≤，即可由不等式求解.【详解】由题意可知n n ⨯的二维码共有22n 个，由21615260122n⨯≤可得2216153126022602n n -⨯⨯≤⇒≤，故2231637n n -≥⇒≥，由于*n ∈N ，所以7n ≥，故答案为：715.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上的动点，DQ ⊥平面1,D PC Q 为垂足.给出下列四个结论：①1D Q CQ =；②线段DQ 的长随线段AP 的长增大而增大；③存在点P ，使得AQ BQ ⊥；④存在点P ，使得PQ //平面1D DA .其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①②④【解析】【分析】根据给定条件，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，求出平面1D PC 的法向量坐标，进而求出点Q 的坐标，再逐一计算判断各个命题即得答案.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，令1AB =，以点D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设(01)AP t t =≤≤，则1(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,,0)D C D P t ，1(0,1,1),(1,1,0)CD CP t =-=-，令平面1D PC 的法向量(,,)n x y z = ，则10(1)0n CD y z n CP x t y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩，取1y =，得(1,1,1)n t =- ，由DQ ⊥平面1D PC 于Q ，得((1),,)DQ n t λλλλ==-，即((1),,)Q t λλλ-，((1),1,)CQ t λλλ=-- ，显然2(1)10CQ n t λλλ⋅=-+-+=，解得21(1)2t λ=-+，于是222111(,,)(1)2(1)2(1)2t Q t t t --+-+-+，对于①，222222221||(1)(1)(1)(1)||D Q t t CQ λλλλλλ=-++--+-+，①正确；对于②，2221||(1)11(1)2(1)2DQ t t t =-++-+-+在[0,1]上单调递增，②正确；对于③，而(1,0,0),(1,1,0)A B ，((1)1,,),((1)1,1,)AQ t BQ t λλλλλλ=--=---，若2222[(1)1](1)(23)(32)10AQ BQ t t t t λλλλλλ⋅=--+-+=-+--+=，显然22(32)4(23)430t t t t ∆=---+=--<，即不存在[0,1]t ∈，使得0AQ BQ ⋅=，③错误；对于④，平面1D DA 的一个法向量(0,1,0)DC =，而((1)1,,)PQ t t λλλ=--- ，由0PQ DC t λ⋅=-=，得t λ=，即21(1)2t t =-+，整理得322310t t t -+-=，令32()231,[0,1]f t t t t t =-+-∈，显然函数()f t 在[0,1]上的图象连续不断，而(0)10,(1)10f f =-<=>，因此存在(0,1)t ∈，使得()0f t =，此时PQ ⊄平面1D DA ，因此存在点P ，使得//PQ 平面1D DA ，④正确.所以所有正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④【点睛】思路点睛：涉及探求几何体中点的位置问题，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量证明空间位置关系的方法解决.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.已知函数2()2cos(0)2xf x x ωωω=+>，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数()f x 存在且唯一确定.（1）求ω的值；（2）若不等式()2f x <在区间()0,m 内有解，求m 的取值范围.条件①：(2π)3f =；条件②：()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到；条件③：()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）条件选择见解析，2ω=；（2）π(,)3+∞.【解析】【分析】（1）选条件①，由ππ1cos()332ω-=的解不唯一，此条件不符合题意；选条件②，由周期求出ω；选条件③，由给定等式确定最大最小值条件，求出周期范围，由给定区间内无极值点求出周期即可.（2）由（1）求出函数()f x 的解析式，再借助不等式有解列式求解即得.【小问1详解】依题意，π()cos 12cos()13f x x x x ωωω=++=-+，选条件①，由(2π)3f =，得ππ2cos()1233ω-+=，即ππ1cos()332ω-=，于是πππ2π,N 333k k ω-=+∈或πππ2π,N 333k k ω*-=-+∈，显然ω的值不唯一，因此函数()f x 不唯一，不符合题意.选条件②，()y f x =的图象可由2cos2y x =的图象平移得到，因此()y f x =的最小正周期为函数2cos2y x =的最小正周期π，而0ω>，则2ππω=，所以2ω=.选条件③，()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，且ππ()2(263f f -=-+，则ππ(()463f f --=，即函数()f x 分别在ππ,63x x ==-时取得最大值､最小值，于是()f x 的最小正周期ππ2[(π63T ≤⨯--=，由()f x 在区间ππ(,36-内无极值点，得()f x 的最小正周期ππ2[()]π63T ≥⨯--=，因此πT =，而0ω>，所以2π2Tω==.【小问2详解】由（1）知π()2cos(213f x x =-+，由(0,)x m ∈，得πππ2(,2)333x m -∈--，由不等式()2f x <在区间(0,)m 内有解，即π1cos(2)32x -<在区间(0,)m 内有解，则有ππ233m ->，解得π3m >，所以m 的取值范围是π(,)3+∞.17.在三棱锥-P ABC 中，2,AB PB M ==为AP 的中点.（1）如图1，若N 为棱PC 上一点，且MN AP ⊥，求证：平面BMN ⊥平面PAC ；（2）如图2，若O 为CA 延长线上一点，且PO ⊥平面,2ABC AC ==，直线PB 与平面ABC 所成角为π6，求直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】【分析】（1）根据BM AP ⊥和,MN AP ⊥可证线面垂直，即可求证面面垂直，（2）根据线面角的几何法可得π6PBO ∠=，建立空间直角坐标系，利用法向量与方向向量的夹角即可求解.【小问1详解】连接,,BM MN BN.因为,AB PB M =为AP 的中点，所以BM AP ⊥.又,MN AP ⊥,,MN BM M MN BM ⋂=⊂平面BMN ,所以AP ⊥平面BMN .因为AP ⊂平面,PAC 所以平面BMN ⊥平面PAC .【小问2详解】因为PO ⊥平面,ABC OB ⊂平面,ABC OC ⊂平面ABC ，所以,,PO OB PO OC PBO ∠⊥⊥为直线PB 与平面ABC 所成的角.因为直线PB 与平面ABC 所成角为π6，所以π6PBO ∠=.因为2PB =，所以1,PO OB ==.2=，所以1OA =.又2AB =，故222AB OB OA =+.所以OB OA ⊥.如图建立空间直角坐标系O xyz -.则())0,1,0,A B，()()0,3,0,0,0,1C P ，110,,22M ⎛⎫⎪⎝⎭.所以()0,3,1PC =-，()BC = ，510,,22MC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n PC n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即30,330.y z x y -=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则)3,1,3n = .设CM 与平面PBC 所成角为θ，则2sin cos ,132511344MC n MC n MC nθ⋅====⋅+⋅.所以直线CM 与平面PBC 所成角的正弦值为213.18.图象识别是人工智能领域的一个重要研究方向.某中学人.工智能兴趣小组研发了一套根据人脸照片识别性别的程序.在对该程序的一轮测试中，小组同学输入了200张不同的人脸照片作为测试样本，获得数据如下表（单位：张）：识别结果真实性别男女无法识别男902010女106010假设用频率估计概率，且该程序对每张照片的识别都是独立的.（1）从这200张照片中随机抽取一张，已知这张照片的识别结果为女性，求识别正确的概率；（2）在新一轮测试中，小组同学对3张不同的男性人脸照片依次测试，每张照片至多测一次，当首次出现识别正确或3张照片全部测试完毕，则停止测试.设X 表示测试的次数，估计X 的分布列和数学期望EX ；（3）为处理无法识别的照片，该小组同学提出上述程序修改的三个方案：方案一：将无法识别的照片全部判定为女性；方案二：将无法识别的照片全部判定为男性；方案三：将无法识别的照片随机判定为男性或女性（即判定为男性的概率为50%，判定为女性的概率为50%).现从若干张不同的人脸照片（其中男性､女性照片的数量之比为1:1）中随机抽取一张，分别用方案一､方案二､方案三进行识别，其识别正确的概率估计值分别记为123,,p p p .试比较123,,p p p 的大小.（结论不要求证明）【答案】（1）34（2）分布列见解析；()2116E X =（3）231p p p >>【解析】【分析】（1）利用用频率估计概率计算即可（2）由题意知X 的所有可能取值为1,2,3，分别求出相应的概率，然后根据期望公式求出即可（3）分别求出方案一､方案二､方案三进行识别正确的概率，然后比较大小可得【小问1详解】根据题中数据，共有206080+=张照片被识别为女性，其中确为女性的照片有60张，所以该照片确为女性的概率为603804=.【小问2详解】设事件:A 输入男性照片且识别正确.根据题中数据，()P A 可估计为9031204=.由题意知X 的所有可能取值为1,2,3.()()()31331111,2,3444164416P X P X P X ====⨯===⨯=.所以X 的分布列为X123P34316116所以()331211234161616E X =⨯+⨯+⨯=.【小问3详解】231p p p >>.19.已知椭圆E 的焦点在x 轴上，中心在坐标原点.以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为（1）求栯圆E 的方程；（2）设过点()2,0M 的直线l （不与坐标轴垂直）与椭圆E 交于不同的两点,A C ，与直线16x =交于点P .点B 在y 轴上，D 为坐标平面内的一点，四边形ABCD 是菱形.求证：直线PD 过定点.【答案】（1）22186x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据焦点三角形的周长以及等边三角形的性质可得22a c +=且12c a =，即可求解,,a b c 得解，（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据中点坐标公式可得2286,3434t N t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭，进而根据菱形的性质可得BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，即可求解220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，221614,3434t D t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.进而根据点斜式求解直线PD 方程，即可求解.【小问1详解】由题意可设椭圆E 的方程为22222221(0),x y a b c a b a b+=>>=-.因为以E 的一个顶点和两个焦点为顶点的三角形是等边三角形，且其周长为所以22a c +=且12c a =，所以a c ==.所以26b =.所以椭圆E 的方程为22186x y +=.【小问2详解】设直线l 的方程为()20x ty t =+≠，令16x =，得14y t =，即1416,P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.由223424,2x y x ty ⎧+=⎨=+⎩得()223412120t y ty ++-=.设()()1122,,,A x y C x y ，则1212221212,3434t y y y y t t +=-=-++.设AC 的中点为()33,N x y ，则12326234y y ty t +==-+.所以3328234x ty t =+=+.因为四边形ABCD 为菱形，所以N 为BD 的中点，AC BD ⊥.所以直线BD 的斜率为t -.所以直线BD 的方程为22683434t y t x t t ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭.令0x =得222862343434t t t y t t t =-=+++.所以220,34t B t ⎛⎫ ⎪+⎝⎭.设点D 的坐标为()44,x y ，则4343222162142,2343434t t x x y y t t t ===-=-+++，即221614,3434t D t t ⎛⎫-⎪++⎝⎭.所以直线PD 的方程为()221414143416161634tt t y x t t ++-=--+，即()746y x t =-.所以直线PD 过定点()4,0.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法：（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.20.已知函数()()ln 0)f x x a a =-+>.（1）若1a =，①求曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；②求证：函数()f x 恰有一个零点；（2）若()ln 2f x a a ≤+对(),3x a a ∈恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）①2y =；②证明见解析（2）[)1,+∞【解析】【分析】（1）①求导，即可求解斜率，进而可求直线方程，②根据函数的单调性，结合零点存在性定理即可，（2）求导后构造函数()()(),,3g x x a x a a =-∈，利用导数判断单调性，可得()f x 的最大值为()()()000ln 2f x x a x a =-+-，对a 分类讨论即可求解.【小问1详解】当1a =时，()()ln 1f x x =-+.①()11f x x =--'.所以()()22,20f f =='.所以曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为2y =.②由①知()()(]()1ln 11,3,1f x x x f x x =-=-'+∈，且()20f '=.当()1,2x ∈时，因为111x >>-()0f x ¢>；当()2,3x ∈时，因为111x <<-，所以()0f x '<.所以()f x 在区间()1,2上单调递增，在区间()2,3上单调递减.因为()()()322,3ln20,1e 330f f f -==>+=-+<-+<.所以函数()f x 恰有一个零点.【小问2详解】由()()ln f x x a =-+得()f x -='.设()()(),,3g x x a x a a =-∈，则()10g x '=-<.所以()g x 是(),3a a 上的减函数.因为()()0,320g a g a a =>=-<，所以存在唯一()()()000,3,0x a a g x x a ∈=-=.所以()f x '与()f x 的情况如下：x()0,a x 0x ()0,3x a ()f x '+-()f x极大所以()f x 在区间(),3a a 上的最大值是()()()()0000ln ln 2f x x a x a x a =-+=-+-.当1a ≥时，因为()20g a a =-≤，所以02x a ≤.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a ≤-+-=+.所以()()0ln 2f x f x a a ≤≤+，符合题意.当01a <<时，因为()20g a a =>，所以02x a >.所以()()()0ln 222ln 2f x a a a a a a >-+-=+，不合题意.综上所述，a 的取值范围是[)1,+∞.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．21.设正整数2n ≥，*,i i a d ∈N ，(){}1,1,2,i i i A x x a k d k ==+-= ，这里1,2,,i n = .若*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，且()1i j A A i j n ⋂=∅≤<≤，则称12,,,n A A A 具有性质P .（1）当3n =时，若123,,A A A 具有性质P ，且11a =，22a =，33a =，令123m d d d =，写出m 的所有可能值；（2）若12,,,n A A A 具有性质P ：①求证：()1,2,,i i a d i n ≤= ；②求1nii ia d =∑的值.【答案】（1）27或32（2）①证明见解析②12n +【解析】【分析】（1）对题目中所给的12,,,n A A A ，我们先通过分析集合中的元素，证明()1,2,,i i a d i n ≤= ，111ni i d ==∑，以及112ni i i a n d =+=∑，然后通过分类讨论的方法得到小问1的结果；（2）直接使用（1）中的这些结论解决小问2即可.【小问1详解】对集合S ，记其元素个数为S .先证明2个引理.引理1：若12,,,n A A A 具有性质P ，则()1,2,,i i a d i n ≤= .引理1的证明：假设结论()1,2,,i i a d i n ≤= 不成立.不妨设11a d >，则正整数111a d A -∉，但*12n A A A ⋃⋃⋃=N ，故11a d -一定属于某个()2i A i n ≤≤，不妨设为2A .则由112a d A -∈知存在正整数k ，使得()11221a d a k d -=+-.这意味着对正整数1112c a d d d =-+，有()111212111c a d d d a d d A =-+=+-∈，()()11122212212211c a d d d a k d d d a k d d A =-+=+-+=++-∈，但12A A =∅ ，矛盾.所以假设不成立，从而一定有()1,2,,i i a d i n ≤= ，从而引理1获证.引理2：若12,,,n A A A 具有性质P ，则111ni i d ==∑，且112ni i ia n d =+=∑.证明：取集合{}121,2,...,...n T d d d =.注意到关于正整数k 的不等式()1201...i i n a k d d d d <+-≤等价于12...11i i n i i ia a d d dk d d d -<≤-+，而由引理1有i i a d ≤，即011iia d ≤-<.结合12...n i d d d d 是正整数，知对于正整数k ，12...11i i n i i i a a d d d k d d d -<≤-+当且仅当12...n i iT d d dk d d ≤=，这意味着数列()()11,2,...k i i x a k d k =+-=恰有iT d 项落入集合T ，即i iT T A d ⋂=.而12,,,n A A A 两两之间没有公共元素，且并集为全体正整数，故T 中的元素属于且仅属于某一个()1i A i n ≤≤，故12...n T A T A T A T ⋂+⋂++⋂=.所以1212......n nT T T T A T A T A T d d d +++=⋂+⋂++⋂=，从而12111...1nd d d +++=，这就证明了引理2的第一个结论；再考虑集合T 中全体元素的和.一方面，直接由{}121,2,...,...n T d d d =知T 中全体元素的和为()1212 (12)n n d d d d d d +，即()12T T +.另一方面，i T A ⋂的全部iT d 个元素可以排成一个首项为i a ，公差为i d 的等差数列.所以i T A ⋂的所有元素之和为11122i i i i i i i iTT TT T a a d T d d d d d ⎛⎫⎛⎫⋅+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.最后，再将这n 个集合()1,2,...,i T A i n ⋂=的全部元素之和相加，得到T 中全体元素的和为112ni i i i T Ta T d d =⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑.这就得到()11122ni i i i T T T Ta T d d =⎛⎫+⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑，所以有()221111111222222nnn ni i i i i i i i i iiiT T T TTn TTn T a a a T TT d d d d d ====⎛⎫+⎛⎫=+-=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑.即1122ni i iT T na d =+-=+∑，从而112ni i i a n d =+=∑，这就证明了引理2的第二个结论.综上，引理2获证.回到原题.将123,,d d d 从小到大排列为123r r r ≤≤，则123123m d d d r r r ==，由引理2的第一个结论，有1231231111111r r r d d d ++=++=.若13r ≥，则1231111111111311r r r r r r r =++≤++=≤，所以每个不等号都取等，从而1233r r r ===，故12327m r r r ==；情况1：若11r =，则23111110r r r +=-=，矛盾；情况2：若12r =，则231111112r r r +=-=，所以232221111122r r r r r =+≤+=，得24r ≤.此时如果22r =，则3211102r r =-=，矛盾；如果24r =，则32111124r r =-=，从而34r =，故12332m r r r ==；如果23r =，由于12r =，设()()123123,,,,i i i r r r d d d =，{}{}123,,1,2,3i i i =，则12i d =，23i d =.故对于正整数对()()2121212112331212211i i i i i i i i k a a a a k a a a a ⎧=+--+--⎪⎨=+--+--⎪⎩，有2112231i i k k a a -=--，从而12121223i i i i a k a k A A +=+∈⋂，这与12i i A A ⋂=∅矛盾.综上，m 的取值只可能是27或32.当()()123,,3,3,3d d d =时，27m =；当()()123,,4,2,4d d d =时，32m =.所以123m d d d =的所有可能取值是27和32.【小问2详解】①由引理1的结论，即知()1,2,,i i a d i n ≤= ；②由引理2的第二个结论，即知112nii ia n d=+=∑.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于，我们通过两个方面计算了一个集合的各个元素之和，从而得到了一个等式，这种方法俗称“算二次”法或富比尼定理.。
精选题库北京市海淀区高考数学二模试卷及参考答案(理科)
本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除2018年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，5}，则（?U A）∩B＝（）A．{1}B．{3，5}C．{1，6}D．{1，3，5，6} 2．（5分）已知复数z在复平面上对应的点为（1，﹣1），则（）A．z+1是实数B．z+1是纯虚数C．z+i是实数D．z+i是纯虚数3．（5分）已知x＞y＞0，则（）A．B．C．cosx＞cosy D．ln（x+1）＞ln（y+1）4．（5分）若直线x+y+a＝0是圆x2+y2﹣2y＝0的一条对称轴，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣25．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）关于函数f（x）＝sinx﹣xcosx，下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．0不是f（x）的极值点C．f（x）在，上有且仅有3个零点D．f（x）的值域是R7．（5分）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A．求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和B．求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和C．求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D．求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和8．（5分）已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素②A1∪A2∪A3＝M，集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的值不可能为（）A．37B．39C．48D．57二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）极坐标系中，点到直线ρcosθ＝1的距离为．10．（5分）在的二项展开式中，x3的系数是（用数字作答）．11．（5分）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则＝，＝．12．（5分）在△ABC中，a：b：c＝4：5：6，则tanA＝．13．（5分）能够使得命题“曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形”为真命题的一个实数a的值为．14．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1P垂直于CM，则△PBC的面积的最小值为．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，已知函数f（x）＝Asinx（ωx+φ）（）在一个周期内的图象经过，，三点（Ⅰ）写出A，ω，φ的值；（Ⅱ）若，且f（α）＝1，求cos2α的值．16．（13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929087909290第二轮测试成绩90909088888796928992（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，，考核成绩的平均数和方差分别为，，试比较与，与的大小．（只需写出结论）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AB1＝2，AB1⊥平面ABC，AC1⊥AC，D，E分别是AC，B1C1的中点（Ⅰ）证明：AC⊥B1C1；（Ⅱ）证明：DE∥平面AA1B1B；（Ⅲ）求DE与平面BB1C1C所成角的正弦值．18．（14分）已知椭圆C：，F为右焦点，圆O：x2+y2＝1，P为椭圆C 上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T 在OP的两侧．（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率；（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值．19．（13分）已知函数f（x）＝e ax﹣ax﹣3（a≠0）（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞0时，设，求证：曲线y＝g（x）存在两条斜率为﹣1且不重合的切线．20．（13分）如果数列{a n}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得a k＝a i a j”，则称数列{a n}具有“性质P”．已知数列{a n}是无穷项的等差数列，公差为d（Ⅰ）若a1＝2，公差d＝3，判断数列{a n}是否具有“性质P”，并说明理由；（Ⅱ）若数列{a n}具有“性质P”，求证：a1≥0且d≥0；（Ⅲ）若数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k＝2018，这样的数列共有多少个？并说明理由．2018年北京市海淀区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，2，4}，B＝{1，3，5}，则（?U A）∩B＝（）A．{1}B．{3，5}C．{1，6}D．{1，3，5，6}【解答】解：?U A＝{3，5，6}；∴（?U A）∩B＝{3，5}．故选：B．2．（5分）已知复数z在复平面上对应的点为（1，﹣1），则（）A．z+1是实数B．z+1是纯虚数C．z+i是实数D．z+i是纯虚数【解答】解：复数z在复平面上对应的点为（1，﹣1），则z＝1﹣i，∴z+1＝2﹣i，z+i＝1．因此只有C正确．故选：C．3．（5分）已知x＞y＞0，则（）A．B．C．cosx＞cosy D．ln（x+1）＞ln（y+1）【解答】解：x＞y＞0，∴＜，＜，cosx与cos y的大小关系不确定，ln（x+1）＞ln（y+1）．故选：D．4．（5分）若直线x+y+a＝0是圆x2+y2﹣2y＝0的一条对称轴，则a的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【解答】解：圆x2+y2﹣2y＝0化为x2+（y﹣1）2＝1，圆心坐标为（0，1），∵直线x+y+a＝0是圆x2+y2﹣2y＝0的一条对称轴，∴0+1+a＝0，即a＝﹣1．故选：B．5．（5分）设曲线C是双曲线，则“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：C的方程为，则双曲线的渐近线方程为y＝±2x，即充分性成立，双曲线﹣x2＝1的渐近线方程也是y＝±2x，即必要性不成立，故“C的方程为”是“C的渐近线方程为y＝±2x”的充分不必要条件，故选：A．6．（5分）关于函数f（x）＝sinx﹣xcosx，下列说法错误的是（）A．f（x）是奇函数B．0不是f（x）的极值点C．f（x）在，上有且仅有3个零点D．f（x）的值域是R【解答】解：对于A：由f（﹣x）＝sin（﹣x）+xcos（﹣x）＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，A对；对于B，f（x）＝sinx﹣xcos x，f′（x）＝cosx﹣cosx﹣xsinx＝﹣xsinx，当x＝0时，f（x）＝0，f′（x）＝0，0不是f（x）的极值点．B对．对于C：f（x）＝sinx﹣xcosx，f′（x）＝cos x﹣cosx﹣xsinx＝﹣xsinx，可得在（，0）上单调递增．（0，）上单调递减．f（0）可得最大值，f（0）＝0，所以，f（x）在，上不是3个零点．C不对；对于D：当x无限大或无线小时，可得f（x）的值域为R，D对．故选：C．7．（5分）已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（）A．求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和B．求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和C．求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和D．求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和【解答】解：由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n的初值为1，终值为2019，步长为2，故循环共执行了1009次由S中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，故选：C．8．（5分）已知集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}，集合A1，A2，A3满足①每个集合都恰有5个元素②A1∪A2∪A3＝M，集合A i中元素的最大值与最小值之和称为集合A i的特征数，记为X i（i＝1，2，3），则X1+X2+X3的值不可能为（）A．37B．39C．48D．57【解答】解：由题意集合M＝{x∈N*|1≤x≤15}＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}，当A1＝{1，4，5，6，7}，A2＝{3，12，13，14，15}，A3＝{2，8，9，10，11}时，X1+X2+X3＝8+18+13＝39，故排除B选项；当A1＝{1，4，5，6，15}，A2＝{2，7，8，9，14}，A3＝{3，10，11，12，13}时，X1+X2+X3＝16+16+16＝48，故排除C选项；当A1＝{1，2，3，4，15}，A2＝{5，6，7，8，14}，A3＝{9，10，11，12，13}时，X1+X2+X3＝16+19+22＝57，故排除D选项．∴X1+X2+X3的值不可能为37．故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）极坐标系中，点到直线ρcosθ＝1的距离为1．【解答】解：把点（2，）转换为直角坐标为：（0，2），直线ρcosθ＝1转换为直角坐标方程为：x＝1，则：点（0，2）到直线x＝1的距离为：d＝1．如图所示：故答案为：110．（5分）在的二项展开式中，x3的系数是10（用数字作答）．【解答】解：因为其通项为：T r+1＝c5r x5﹣r?＝2r?c5r?x5﹣2r．令5﹣2r＝3得r＝1，所以：x3的系数为21×c51＝10．故答案为：10．11．（5分）已知平面向量，的夹角为，且满足，，则＝1，＝2．【解答】解：∵向量与的夹角为，||＝2，||＝1，∴?＝||?||?cos＝2×1×＝1，∴|+2|2＝||2+4||2+4?＝4+4+4＝12，∴|+2|＝2，故答案为：1，212．（5分）在△ABC中，a：b：c＝4：5：6，则tanA＝．【解答】解：△ABC中，a：b：c＝4：5：6，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，则cosA＝＝＝，∴sinA＝＝＝；∴tan A＝＝．故答案为：．13．（5分）能够使得命题“曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形”为真命题的一个实数a的值为a＜﹣2或a＞2的任意实数．【解答】解：曲线上存在四个点P，Q，R，S满足四边形PQRS是正方形，可设P（m，n），（m＞0，n＞0），由对称性可得Q（﹣m，n），R（﹣m，﹣n），S（m，﹣n），则|PQ|＝|QR|，即2m＝2n，即m＝n，由曲线的方程可得﹣＝1，即﹣＝1有解，即有m2＝＞4，可得＞0，解得a＞2或a＜﹣2，故答案为：a＞2或a＜﹣2的任意实数．14．（5分）如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，点P在侧面ABB1A1内，若D1P垂直于CM，则△PBC的面积的最小值为．【解答】解：以AB，AD，AA1为坐标轴建立空间坐标系如图所示：则M（0，0，1），C（2，2，0），D1（0，2，2），设P（a，0，b），则＝（a，﹣2，b﹣2），＝（﹣2，﹣2，1），∵D1P⊥CM，∴＝﹣2a+4+b﹣2＝0，即b＝2a﹣2．取AB的中点N，连结B1N，则P点轨迹为线段B1N，过B作BQ⊥B1N，则BQ＝＝．又BC⊥平面ABB1A1，故BC⊥BQ，∴S△PBC的最小值为S△QBC＝＝．故答案为：．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）如图，已知函数f（x）＝Asinx（ωx+φ）（）在一个周期内的图象经过，，三点（Ⅰ）写出A，ω，φ的值；（Ⅱ）若，且f（α）＝1，求cos2α的值．【解答】解：（Ⅰ）＝，即x＝为图象的一条对称轴，可得A＝2，＝﹣，∴ω＝2，再结合五点法作图可得2×+φ＝0，求得．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，∵f（α）＝1，∴．∵，∴，∴，∴，∴．16．（13分）某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的整体情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩．记录的数据如下：1号2号3号4号5号6号7号8号9号10号第一轮测试成绩96898888929087909290第二轮测试成绩90909088888796928992（Ⅰ）从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；（Ⅱ）从考核成绩大于90分的学生中再随机抽取两名同学，求这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分的概率；（Ⅲ）记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，，考核成绩的平均数和方差分别为，，试比较与，与的大小．（只需写出结论）【解答】（本小题共13分）解：（Ⅰ）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：93，89.5，89，88，90，88.5，91.5，91，90.5，91．其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人．所以样本中学生考核成绩大于90分的频率为：＝0.5，从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5．…………………………………………．（4分）（Ⅱ）设事件A：从上述考核成绩大于等于90分的学生中再随机抽取两名同学，这两名同学两轮测试成绩均大于等于90分．考核成绩大于等于90分的学生共6人，其中两轮测试成绩均大于等于90分的学生有1号，8号，10号，共3人．所以，．（9分）（Ⅲ），．（13分）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC＝BC＝AB1＝2，AB1⊥平面ABC，AC1⊥AC，D，E分别是AC，B1C1的中点（Ⅰ）证明：AC⊥B1C1；（Ⅱ）证明：DE∥平面AA1B1B；（Ⅲ）求DE与平面BB1C1C所成角的正弦值．【解答】（本小题共14分）证明：（Ⅰ）因为AB1⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以AB1⊥AC．因为AC1⊥AC，AB1∩AC1＝A，AB1，AC1?平面AB1C1，所以AC⊥平面AB1C1．因为B1C1?平面AB1C1，所以AC⊥B1C1．（4分）（Ⅱ）取A1B1的中点M，连接MA、ME．因为E、M分别是B1C1、A1B1的中点，所以ME∥A1C1，且ME＝．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AD∥A1C1，且，所以ME∥AD，且ME＝AD，所以四边形ADEM是平行四边形，所以DE∥AM．又AM?平面AA1B1B，DE?平面AA1B1B，所以DE∥平面AA1BB．（9分）解：（Ⅲ）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，因为AC⊥B1C1，所以AC⊥BC．在平面ACB1内，过点C作Cz∥AB1，因为，AB1⊥平面ABC，所以，Cz⊥平面ABC．建立空间直角坐标系C﹣xyz，如图．则C（0，0，0），B（2，0，0），B1（0，2，2），C1（﹣2，2，2），D（0，1，0），E（﹣1，2，2）．，，．设平面BB1C1C的法向量为＝（x，y，z），则，即，得x＝0，令y＝1，得z＝﹣1，故＝（0，1，﹣1）．设直线DE与平面BB1C1C所成的角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝＝，所以直线DE与平面BB1C1C所成角的正弦值为．（14分）18．（14分）已知椭圆C：，F为右焦点，圆O：x2+y2＝1，P为椭圆C 上一点，且P位于第一象限，过点P作PT与圆O相切于点T，使得点F，T 在OP的两侧．（Ⅰ）求椭圆C的焦距及离心率；（Ⅱ）求四边形OFPT面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）在椭圆C：中，a＝2，b＝1，所以，故椭圆C的焦距为，离心率．（Ⅱ）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），则，故．所以，所以，．又O（0，0），，故．因此＝．由，得，即x0?y0≤1，所以，当且仅当，即，时等号成立．19．（13分）已知函数f（x）＝e ax﹣ax﹣3（a≠0）（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＞0时，设，求证：曲线y＝g（x）存在两条斜率为﹣1且不重合的切线．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）＝a?e ax﹣a＝a?（e ax﹣1）（a≠0，x∈R），令f'（x）＝0，得x＝0．①当a＞0时，f'（x）与e ax﹣1符号相同，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小↗②当a＜0时，f'（x）与e ax﹣1符号相反，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）f'（x）﹣0+f（x）↘极小↗综上，f（x）在x＝0处取得极小值f（0）＝﹣2．（7分）（Ⅱ）g'（x）＝e ax﹣ax﹣3＝f（x）（a＞0，x∈R），故g'（x）＝﹣1?f（x）＝﹣1．注意到f（0）＝﹣2＜﹣1，，，所以，，，使得f（x1）＝f（x2）＝﹣1．因此，曲线y＝g（x）在点P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））处的切线斜率均为﹣1．下面，只需证明曲线y＝g（x）在点P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））处的切线不重合．曲线y＝g（x）在点P i（x i，f（x i））（i＝1，2）处的切线方程为y﹣g（x i）＝﹣（x﹣x i），即y＝﹣x+g（x i）+x i．假设曲线y＝g（x）在点P i（x i，f（x i））（i＝1，2）处的切线重合，则g（x2）+x2＝g（x1）+x1．令G（x）＝g（x）+x，则G（x1）＝G（x2），且G'（x）＝g'（x）+1＝f（x）+1．由（Ⅰ）知，当x∈（x1，x2）时，f（x）＜﹣1，故G'（x）＜0．所以，G（x）在区间[x1，x2]上单调递减，于是有G（x1）＞G（x2），矛盾！因此，曲线y＝g（x）在点P i（x i，f（x i））（i＝1，2）处的切线不重合．（13分）20．（13分）如果数列{a n}满足“对任意正整数i，j，i≠j，都存在正整数k，使得a k＝a i a j”，则称数列{a n}具有“性质P”．已知数列{a n}是无穷项的等差数列，公差为d（Ⅰ）若a1＝2，公差d＝3，判断数列{a n}是否具有“性质P”，并说明理由；（Ⅱ）若数列{a n}具有“性质P”，求证：a1≥0且d≥0；（Ⅲ）若数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k＝2018，这样的数列共有多少个？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）若a1＝2，公差d＝3，则数列{a n}不具有性质P．理由如下：由题知a n＝3n﹣1，对于a1和a2，假设存在正整数k，使得a k＝a1a2，则有3k﹣1＝2×5＝10，解得，得出矛盾，所以对任意的k∈N*，a k≠a1a2．（Ⅱ）若数列{a n}具有“性质P”，则：①假设a1＜0，d≤0，则对任意的n∈N*，a n＝a1+（n﹣1）?d＜0．设a k＝a1×a2，则a k＞0，矛盾！②假设a1＜0，d＞0，则存在正整数t，使得a1＜a2＜a3＜…＜a t≤0＜a t+1＜a t+2＜…设，，，…，，，i＝1，2，…，t+1，则：，但数列{a n}中仅有t项小于等于0，矛盾！③假设a1≥0，d＜0，则存在正整数t，使得a1＞a2＞a3＞…＞a t≥0＞a t+1＞a t+2＞…设，，，…，，，i＝1，2，…，t+1，则：，但数列{a n}中仅有t项大于等于0，矛盾！综上，a1≥0，d≥0．（Ⅲ）设公差为d的等差数列{a n}具有“性质P”，且存在正整数k，使得a k＝2018．若d＝0，则{a n}为常数数列，此时a n＝2018恒成立，故对任意的正整数k，，这与数列{a n}具有“性质P”矛盾，故d≠0．设x是数列{a n}中的任意一项，则x+d，x+2d均是数列{a n}中的项，设，则，因为d≠0，所以x＝k2﹣k1∈Z，即数列{a n}的每一项均是整数．由（Ⅱ）知，a1≥0，d≥0，故数列{a n}的每一项均是自然数，且d是正整数．由题意知，2018+d是数列{a n}中的项，故2018?（2018+d）是数列中的项，设a m＝2018?（2018+d），则a m﹣a k＝2018?（2018+d）﹣2018＝2018×2017+2018d ＝（m﹣k）?d，即（m﹣k﹣2018）?d＝2018×2017．因为m﹣k﹣2018∈Z，d∈N*，故d是2018×2017的约数．所以，d＝1，2，1009，2017，2×1009，2×2017，1009×2017，2×1009×2017．当d＝1时，a1＝2018﹣（k﹣1）≥0，得k＝1，2，…，2018，2019，故a1＝2018，2017，…，2，1，0，共2019种可能；当d＝2时，a1＝2018﹣2（k﹣1）≥0，得k＝1，2，…，1008，1009，1010，故a1＝2018，2016，2014，…，4，2，0，共1010种可能；当d＝1009时，a1＝2018﹣1009×（k﹣1）≥0，得k＝1，2，3，故a1＝2018，1009，0，共3种可能；当d＝2017时，a1＝2018﹣2017（k﹣1）≥0，得k＝1，2，故a1＝2018，1，共2种可能；当d＝2×1009时，a1＝2018﹣2018×（k﹣1）≥0，得k＝1，2，故a1＝2018，0，共2种可能；当d＝2×2017时，a1＝2018﹣2×2017×（k﹣1）≥0，得k＝1，故a1＝2018，共1种可能；当d＝1009×2017时，a1＝2018﹣1009×2017×（k﹣1）≥0，得k＝1，故a1＝2018，共1种可能；当d＝2×1009×2017时，a1＝2018﹣2×1009×2017×（k﹣1）≥0，得k＝1，故a1＝2018，共1种可能．综上，满足题意的数列{a n}共有2019+1010+3+2+2+1+1+1＝3039（种）．经检验，这些数列均符合题意．免责声明：本文仅代表作者个人观点，作参考，并请自行核实相关内容.声明：本文部分内容来自网络，本司不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本司将予以删除本文部分内容来自网络，本人不为其真实性负责，如有异议请及时联系，本人将予以删除BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai dubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiu BaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadi ubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubaidubadiubadiuBaidubaidubaidubai 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北京市海淀区2022届高三下学期二模数学试题 (解析版)
北京市海淀区2022届高三下学期二模数学试题一、单选题1．已知集合{}01A x x x =或，则A =R ð（ ）A ．{}01x x <<B ．{}01x x ≤<C ．{}01x x <≤D ．{}01x x ≤≤2．在()312x -的展开式中，x 的系数为（ ）A ．2-B ．2C ．6-D ．6【答案】C【分析】直接由二项展开式求含x 的项即可求解.【详解】由题意知：含x 的项为()13C 26x x ⋅-=-，故x 的系数为6-.故选：C.3．已知双曲线2222:1x y C a b -=的渐近线经过点()1,2，则双曲线的离心率为（ ）AB C ．2D4．已知,x y ∈R ，且0x y +>，则（ ）A ．11x y +>B ．330x y +>C ．lg()0x y +>D ．sin()0x y +>5．若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-6．已知F 为抛物线24y x =的焦点，点()(),1,2,3n n n P x y n =L ，在抛物线上.若11n n P F P F +-=，则（ ）A ．{}n x 是等差数列B ．{}n x 是等比数列C ．{}n y 是等差数列D ．{}n y 是等比数列【答案】A【分析】根据抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，即可求解.【详解】由题可知，抛物线的焦点为(1,0)F ，准线为=1x -，点()(),1,2,3n n n P x y n =L ，在抛物线上，由抛物线的定义可知，，7．已知向量(1,0)a =r ，(b =-.若,,c a c b =，则c r可能是（ ）A ．2a b -r rB ．a b+rrC ．2a b+r r D b+r8．设函数()f x 的定义域为R ，则“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由()f x 是R 上的增函数得()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之若对任意0a >，()()f x a f x +<，满足()()y f x a f x =+-无零点，但不满足()f x 是R 上的增函数，不满足必要性，即可判断.【详解】若()f x 是R 上的增函数，则对任意0a >，显然x a x +>，故()()f x a f x +>，即()()0y f x a f x =+>-无零点，满足充分性；反之，若对任意0a >，()()f x a fx +<，即()()0f x a f x +<-，满足()()y f x a f x =+-无零点，但()f x 是R 上的减函数，不满足必要性，故“()f x 是R 上的增函数”是“任意0a >，()()y f x a f x =+-无零点”的充分而不必要条件.故选：A.9．从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移y 与时间t （单位：s ）的关系符合函数()()sin 100y A t ωϕω=+<.从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了20张照片.已知连拍的间隔为0.01s ，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第5张、第13张、第17张照片与第1张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为（ ）A ．9、15B ．6、18C ．4、11、18D ．6、12、1810．在正方体ABCD A B C D -''''中，E 为棱DC 上的动点，F 为线段B E '的中点.给出下列四个①B E AD ''⊥；②直线D F '与平面ABB A ''所成角不变；③点F 到直线AB 的距离不变；④点F 到,,A D D A '',四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（ ）A ．②③B ．③④C ．①③④D ．①②④【答案】C【点睛】(1)判定和动点相关的问题时，只要找出动点的轨迹，行判断；(2)判定与动直线相关的位置关系问题时，可找出动直线所在的平面进行判定；(3)根据定义作出线面角可用来解决运动型的问题二、填空题11．已知,a b 均为实数.若()i i i b a +=+，则a b +=_________．【答案】0【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.【详解】()i i i i 1b a a ==++-，故1,1a b ==-，0a b +=.故答案为：0.12．不等式112x⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为_________．13．在现实世界，很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{}n a ，{}n b 分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度，数列模型：11(2,21,2)n n n n n n a a b b a b n ++=+=+=L ，描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足11a b >，则在该模型中，关于两组信息，给出如下结论：①*,n n n a b ∀∈>N ；②*11,,n n n n n a a b b ++∀∈>>N ；③*k ∃∈N ，使得当n k >时，总有10110nna b --<④*k ∃∈N ，使得当n k >时，总有101210n na a -+-<．其中，所有正确结论的序号是_________三、解答题14．如图，已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，点E 是PC 的中点.(1)求证：//DC 面ABE ；(2)求DC 到平面ABE 的距离.由（1）知//DC 面ABE ，故DC 到平面连接,AE AC ，取AC 中点F ，连接BF 易得EF PA ∥且1=12EF PA =，则EF 2,23AC BD ==，故12ABC ABCD S S =V 又113,122BF BD AF AC ====，故15．在ABC V 中，76cos a b B =．(1)若3sin 7A =，求B ∠；(2)若8c =，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使ABC V 存在.求ABC V 的面积条件①：sin 47A =； 条件②：sin B16．PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势.下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图.将每连续3个月的PMI值做为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测(1)现从制造业的10个观测组中任取一组，（ⅰ）求组内三个PMI 值至少有一个低于50．0的概率；（ii ）若当月的PMI 值大于上一个月的PMI 值，则称该月的经济向好.设X 表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI 值低于去年12月份的PMI 值），求X 的分布列与数学期望；(2)用1,2)1(2j b j =L ，，表示第j 月非制造业所对应的PMI 值，b 表示非制造业12个月PMI 值的平均数，请直接写出j b b -取得最大值所对应的月份．所以随机变量X 的数学期望()121301225105E X =⨯+⨯+⨯=.（2）8月份，理由如下由某年12个月的非制造业PMI 值趋势图中的数据，得52.451.456.354.955.253.553.347.553.252.452.352.752.912b +++++++++++=≈根据某年12个月的非制造业PMI 值趋势图，可知当8j =时，j b b -取得最大值为847.552.9 5.4b b -=-=.17．椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>的左顶点为()2,0A -(1)求椭圆M 的方程；(2)已知经过点⎛ ⎝的直线l 交椭圆M 于,B C 两点，D 是直线4x =-上一点.若四边形ABCD 为平行四边形，求直线l 的方程.2a ）11224,),(,),(,)t B x y C x y -，又(2,0)A -，故AD k =-18．已知函数1()ln 2x af x x -=+．(1)当0a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程；(2)当12a =-时，求函数()f x 的单调区间；(3)当0x <时，()12f x ≥恒成立，求a 的取值范围.19．已知有限数列{}n a 共M 项(4)M ≥，其任意连续三项均为某等腰三角形的三边长，且这些等腰三角形两两均不全等.将数列{}n a 的各项和记为S ．(1)若{1,2}(1,2,,)n a n M ∈=L ，直接写出,M S 的值；(2)若{}1,2,3,2,()1,n a n M ∈=L ，求M 的最大值；(3)若*(1,2,,),16n a n M M ∈==N L ，求S 的最小值【答案】(1)4,7M S ==；(2)8；(3)50【分析】（1）直接列举出数列{}n a ，即可求得,M S ；（2）先构造数列使8M =，再说明不同的等腰三角形只有6个，故628M ≤+=，即可求得M 的最大值；（3）先构造数列使50S =，再设T 为数列的每一组连续三项的和的和，得116215322S T a a a a =++++，列举出不同的等腰三角形，使T 和11621522a a a a +++最小，进而得到50S ≥，即可求解.【详解】（1）边长为1或2的等腰三角形只有1，1，1；1，2，2；2，2，2；若前三项为1，1，1，则该数列只有3项，不合题意；所以50S ≥.⑤由①④，S 的最小值为50.【点睛】本题关键点在于设T 为数列的每一组连续三项的和的和，得116215322S T a a a a =++++，将S 最小，转化为T 和11621522a a a a +++最小，列举出不同的等腰三角形，使T 和11621522a a a a +++最小，进而得到50S ≥，再构造数列使50S =即可求解.四、双空题20．已知圆22:20C x y x ++=，则圆C 的半径为_________；若直线y kx =被圆C 截得的弦长为1，则k =_________．21．已知()sin cos f x x x =+的图象向右平移()0a a >个单位后得到()g x 的图象，则函数()g x 的最大值为_________；若()()f x g x +的值域为{}0，则a 的最小值为_________．。
北京市海淀区高三二模数学参考答案(理科)
海淀区高三年级第二学期期末练习参考答案数 学 （理科） 2014.5阅卷须知:1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.1.A2.C3.D4.A.5.D6.B7.C8.D二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.01x <<{或(0,1) }11.1 12.213. 14.6，5050 {本题第一空3分，第二空2分}三、解答题: 本大题共6小题,共80分.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得sin sin a bA B=----------------------------2分因为,a A b ==所以sin sin b A B a === ---------------------------5分 在锐角ABC ∆中，60B =o ---------------------------7分 （Ⅱ）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+- ----------------------------9分 又因为3a c =所以2222193c c c =+-，即23c = -------------------------------11分解得c = -------------------------------12分经检验，由222cos 02b c a A bc +-=<可得90A >o ，不符合题意，所以c =舍去. --------------------13分 16.解：（Ⅰ）因为1//C F 平面AEG又1C F ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A I 平面AEG AG =，1所以1//C F AG . ---------------------------------3分 因为F 为1AA 中点，且侧面11ACC A 为平行四边形所以G 为1CC 中点，所以112CG CC =.------------------------4分 （Ⅱ）因为1AA ⊥底面ABC ，所以1AA AB ⊥，1AA AC ⊥， ----------------------------------5分 又AB AC ⊥，如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则由1AB AC AA ==可得11(2,0,0),(0,2,0),(2,0,2),(0,0,2)C B C A -----------------------------6分 因为,E G 分别是1,BC CC 的中点，所以(1,1,0),(2,0,1)E G . -----------------------------7分1(1,1,1)(2,0,2)0EG CA ⋅=-⋅-=u u u r u u u r. --------------------------------8分所以1EG CA ⊥u u u r u u u r，所以1EG A C ⊥. --------------------------------9分 （Ⅲ）设平面AEG 的法向量(,,)x y z =n ，则0,0,AE AG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r 即0,20.x y x z +=⎧⎨+=⎩ --------------------------10分 令1x =，则1,2y z =-=-，所以(1,1,2)=--n . --------------------------11分 由已知可得平面1A AG 的法向量(0,1,0)=m -------------------------------11分所以cos ,||||⋅<>==⋅n m n m n m --------------------------------13分由题意知二面角1A AG E --为钝角， 所以二面角1A AG E --的余弦值为. --------------------------------14分 16.解：（Ⅰ）设A 车在星期i 出车的事件为i A ，B 车在星期i 出车的事件为i B ，1,2,3,4,5i = 由已知可得()0.6,()0.5i i P A P B ==设该单位在星期一恰好出一台车的事件为C ， -------------------------------1分 因为,A B 两车是否出车相互独立，且事件1111,A B A B 互斥 ----------------2分所以111111111111()()()()()()()()P C P A B A B P A B P A B P A P B P A P B =+=+=+ 0.6(10.5)(10.6)0.5=⨯-+-⨯ --------------------------4分 0.5=所以该单位在星期一恰好出一台车的概率为0.5. --------------------------5分 {答题与设事件都没有扣1分，有一个不扣分}（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3 ----------------------------6分 112(0)()()0.40.50.40.08P X P A B P A ===⨯⨯=2112(1)()()()()0.50.40.40.50.60.32P X P C P A P A B P A ==+=⨯+⨯⨯= 1122(2)()()()()0.60.50.40.50.60.42P X P A B P A P C P A ==+=⨯⨯+⨯=112(3)()()0.60.50.60.18P X P A B P A ===⨯⨯= ----------------------------10分所以的的分布列为--------------11分()00.0810.3220.4230.18 1.7E X =⨯+⨯+⨯+⨯=-------------------------------13分18.解： （Ⅰ）当π2a =时，π()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈ π'()()cos 2f x x x =- --------------------------------1分由'()0f x =得π2x =--------------------------------------2分 的情况如下4分因为(0)1f =，(π)1f =-，所以函数()f x 的值域为(1,1)-. ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）'()()cos f x x a x =-，①当ππa <<时，(),'()f x f x 的情况如下9分所以函数()f x 的单调增区间为π(,)2a ，单调减区间为π(0,)2和(,π)a②当πa ≥时，(),'()f x f x 的情况如下13分所以函数()f x 的单调增区间为π(,π)2，单调减区间为π(0,)2.19.解:（Ⅰ）由已知可设椭圆G 的方程为：2221(1)1x y a a +=>.-------------------------------1分由e =，可得222112a e a -==,-----------------------------------------------------2分解得22a =, ----------------------------------------------3分所以椭圆的标准方程为22121x y +=. ------------------------------------------4分（Ⅱ）法一：设00(,),C x y 且00x ≠，则00(,)D x y -. ----------------------------------------5分 因为(0,1),(0,1)A B -, 所以直线AC 的方程为0011y y x x -=+. ----------------------------------------6分 令0y =，得001M x x y -=-，所以00(,0)1x M y --. ------------------------------------7分 同理直线BD 的方程为0011y y x x +=--，求得00(,0)1x N y -+.-----------------------8分0000(,1),(,1),11x x AM AN y y -=-=--+u u u u r u u u r -----------------------------------------9分所以AM AN ⋅=u u u u r u u u r 202011x y -+-, --------------------------------------10分 由00(,)C x y 在椭圆G ：2212x y +=上，所以22002(1)x y =-,-------------------11分所以10AM AN ⋅=-≠u u u u r u u u r, -----------------------------13分所以90MAN ∠≠o ,所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . ------------------------------14分 法二：因为,C D 关于y 轴对称，且B 在y 轴上所以CBA DBA ∠=∠. ------------------------------------------5分 因为N 在x 轴上，又(0,1),(0,1)A B -关于x 轴对称所以NAB NBA CBA ∠=∠=∠, ------------------------------------------6分 所以//BC AN , -------------------------------------------7分 所以180NAC ACB ∠=-∠o , ------------------------------------------8分 设00(,),C x y 且00x ≠，则22002(1)x y =-. ----------------------------------------9分因为22200000003(,1)(,1)(1)02CA CB x y x y x y x ⋅=-+=--=>u u u r u u u r ,----------------11分所以90ACB ∠≠o , -----------------------------------12分 所以90NAC ∠≠o , ----------------------------------13分 所以，以线段MN 为直径的圆不过点A . -------------------------------14分 法三：设直线AC 的方程为1y kx =+，则1(,0)M k-， ---------------------------------5分22220,1,x y y kx ⎧+-=⎨=+⎩ 化简得到222(1)20x kx ++-=，所以22(12)40k x kx ++=，所以12240,21kx x k -==+, -----------------------------6分所以22222421112121k k y kx k k k --+=+=+=++, 所以222421(,)2121k k C k k --+++， ----------------------------7分 因为,C D 关于y 轴对称，所以222421(,)2121k k D k k -+++. ----------------------------8分所以直线BD 的方程为222211211421k k y x k k -+++=-+，即112y x k =-.------------------10分 令0y =，得到2x k =，所以(2,0)N k . --------------------11分 1(,1)(2,1)10AM AN k k⋅=--⋅-=-≠u u u u r u u u r , ----------------------12分所以90MAN ∠≠o , ----------------------------------13分 所以,以线段MN 为直径的圆恒过(0,2)和(0,2)-两点. --------------------------14分{法4 :转化为文科题做，考查向量AC AN ⋅u u u r u u u r的取值}20.解：（Ⅰ）110d =,27d =,20142d = ---------------------------3分 （Ⅱ）法一：① 当2d =时，则(,,)(,1,2)a b c a a a =++所以1(,1,2)(1,2,)f a a a a a a ++=++，122d a a =+-=，由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次 小数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以，当2d =时，(1,2,3,)n d d n ==L 恒成立. ②当3d ≥时，则1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-所以11(1)d b a b a c a d =+-+=-<-=或12(1)3d c a d =--+=- 所以总有1d d ≠.综上讨论，满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 法二：因为a b c <<，所以数组(,,)a b c 的极差2d c a =-≥所以1(,,)(1,1,2)f a b c a b c =++-，若2c -为最大数，则12(1)3d c a c a d =--+=--< 若121b c a +≥->+，则1(1)(1)d b a b a c a d =+-+=-<-= 若112b a c +>+≥-，则1(1)(2)3d b c b c =+--=-+， 当3b c d -+=时，可得32b c -+≥，即1b c +≥ 由b c <可得1b c +≤ 所以1b c +=将1c b =+代入3b c c a -+=-得1b a =+所以当(,,)(,1,2)a b c a a a =++时，2n d =（1,2,3,n =L ）由操作规则可知，每次操作，数组中的最大数2a +变为最小数a ，最小数a 和次小 数1a +分别变为次小数1a +和最大数2a +，所以数组的极差不会改变. 所以满足(1,2,3,)n d d n ==L 的d 的取值仅能是2. ---------------------8分 （Ⅲ）因为,,a b c 是以4为公比的正整数等比数列的三项，所以,,a b c 是形如4k m ⋅（其中*m ∈N ）的数，又因为1114(31)3331k k k k k k k C C --=+=++++L所以,,a b c 中每两个数的差都是3的倍数.所以(,,)a b c 的极差0d 是3的倍数. ------------------------------------------------9分 法1：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，不妨设a b c <<，依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （1,2,3,,i x =L ，x ∈N ）中，总满足ic 是唯一最大数，i a 是最小数时，一定有2a x b x c x +<+<-，解得3c bx -<. 所以，当2,3,,13c bi -=-L 时，111(2)(1)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-. 3322(,,)(,,)333c b a c b c b c bf a b c -+-++=，3c bd b a -=- 依据操作f 的规则，当在三元数组(,,)i f a b c （,1,,333c b c b c bi y ---=++L ，y ∈N ）中，总满足i i c b =是最大数，i a 是最小数时，一定有32233a cbc by y +-++<-，解得3b ay -<. 所以，当,1,,1333c b c b c ai ---=+-L 时，111(1)(2)3i i i i i i d c a c a d ---=-=--+=-.3(,,)(,,)333c a a b c a b c a b cf a b c -++++++=，30c a d -= 所以存在3c an -=，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.--------------------------------13分 法2：设(,,)(,,)i i i i f a b c a b c =，则①当(,,)i i i a b c 中有唯一最大数时，不妨设i i i a b c ≤<，则1111,1,2i i i i i i a a b b c c +++=+=+=-，所以111111,3,3i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=--=---=--所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i b c +≤，则3i d ≥，1130i i i i c b c b ++-=--≥， 所以111i i i a b c +++≤≤所以11133i i i i i i d c a c a d +++=-=--=--------------------------------------------11分 ②当(,,)i i i a b c 中的最大数有两个时，不妨设i i i a b c <=，则1112,1,1i i i i i i a a b b c c +++=+=-=-，所以1111113,3,i i i i i i i i i i i i b a b a c a c a c b c b ++++++-=---=---=-，所以，若,,i i i i i i b a c a c b ---是3的倍数，则111111,,i i i i i i b a c a c b ++++++---是3的倍数. 所以3i i a b +≤，则3i d ≥，1130i i i i b a b a ++-=--≥ 所以11133i i i i i i d b a b a d +++=-=--=-.所以当3i d ≥时，数列{}i d 是公差为3的等差数列.------------------------------12分 当3i d =时，由上述分析可得10i d +=，此时1113i i i a b ca b c +++++=== 所以存在3dn =，满足(,,)n f a b c 的极差0n d =.----------------------------------13分。
年北京市海淀区二模理科数学试卷含答案
海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 2009.05一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}12A x y x==-，集合{}1B xx = ，则A B 等于（ ）（A ）112x x 禳镲镲＃睚镲镲铪 （B ）{}1x x ?（C ）112x x 禳镲镲-＃睚镲镲铪（D ）{}1x x ³ （2）某行业主管部门所属的企业有800家，按企业固定资产规模分为大型企业﹑中型企业﹑小型企业. 大﹑中﹑小型企业分别有80家，320家和400家，该行业主管部门要对所属企业的第一季度生产状况进行分层抽样调查，共抽查100家企业. 其中大型企业中应抽查 （ ）（A ）20家 （B ）16家 （C ）10家 （D ）8家 （3）若102a b <<<，则 （ ）（A ）22aba> （B ）22abb> （C ）2log ()1ab >- （D ）2log ()2ab <-（4）在ABC ∆中，,,A B C 行 所对的边长分别为,,a b c ，如果cos cos a B b A =，那么ABC∆一定是（）（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）等腰三角形（5）若直线()1:4l y k x =-与直线2l 关于点)1,2(对称，则直线2l 恒过定点 （ ）（A ）()0,4 （B ）()0,2 （C ）()2,4- （D ）()4,2-（6）某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲乙同时参加，则他们发言时不能相邻.那么不同的发言顺序种数为 （ ）（A ）360 （B ）520 （C ）600 （D ）720（7）在棱长均为2的正四棱锥P ABCD -中，点E 为PC 的中点，则下列命题正确的是 （ ）（A ）BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 3（B ）BE ∥平面PAD ，且BE 到平面PAD 26（C ）BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角大于30︒（D ）BE 与平面PAD 不平行，且BE 与平面PAD 所成的角小于30︒（8）已知点M 是矩形ABC D 所在平面内任意一点，则下列结论中正确的是（ ）（A ）MB MD MA MC -=-（B ）()()0MB MD MA MC -?（C ）MB MDMA MC ?（D ）MA MD MB MC 壮二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.（9）已知等比数列{}n a 中，12a =，26S =，那么5S 的值为 .（10）已知函数()120,0x x f x x a x +ìï>ï=íï+ ïî 是连续函数，则实数a 的值是 .（11）已知tan =2α，则3cos 22πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值等于______ _ . （12）已知函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的导函数()'y f x =的部分图象如图所示，且导函数()'f x 有最小值2-，则ω= ，E DCBAPO yxπ6-2-1()'y f x =φ= .（13）以双曲线的一个顶点为圆心的圆经过该双曲线的一个焦点，且与该双曲线的一条准线相切，则该双曲线的离心率为 . （14）下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3.图3中直线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.（ⅰ）方程()0f x =的解是x = ；（ⅱ）下列说法中正确命题的序号是 .（填出所有正确命题的序号） ①114f ⎛⎫=⎪⎝⎭； ②()f x 是奇函数； ③()f x 在定义域上单调递增； ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭对称．1NMM AB A xyO 图1 图2 图3三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. （15）（本小题共13分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =, 21(1)n n nS n S n cn +-+=+（c ∈R ，1,2,3,...n =）.且1S ，22S ，33S 成等差数列. （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式.（16）（本小题共13分）检测部门决定对某市学校教室的空气质量进行检测，空气质量分为A、B、C三级.每间教室的检测方式如下：分别在同一天的上、下午各进行一次检测，若两次检测中有C级或两次都是B级，则该教室的空气质量不合格. 设各教室的空气质量相互独立，且每次检测的结果也相互独立. 根据多次抽检结果，一间教室一次检测空气质量为A、B、C三级的频率依次为311 488，，.（Ⅰ）在该市的教室中任取一间，估计该间教室的空气质量合格的概率；（Ⅱ）如果对该市某中学的4间教室进行检测，记在上午检测空气质量为A级的教室间数为ξ，并以空气质量为A级的频率作为空气质量为A级的概率，求ξ的分布列及期望.如图，斜三棱柱111ABC A B C -的底面是直角三角形，90ACB ∠=︒，点1B 在底面ABC 上的射影恰好是BC 的中点，且1BC CA AA ==．（Ⅰ）求证：平面11ACC A ⊥平面11B C CB ； （Ⅱ）求证：1BC 1AB ⊥；（Ⅲ）求二面角11B AB C --的大小.B 1C 1A 1CBA已知：函数()xe f x x a=-（其中常数0a <）.（Ⅰ）求函数()f x 的定义域及单调区间； （Ⅱ）若存在实数(],0x a ∈，使得不等式()12f x ≤成立，求a 的取值范围．已知抛物线C :2y x =，过定点()0,0A x 01()8x ≥，作直线l 交抛物线于,P Q （点P 在第一象限）.（Ⅰ）当点A 是抛物线C 的焦点，且弦长2PQ =时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设点Q 关于x 轴的对称点为M ，直线PM 交x 轴于点B ，且BQ BP ⊥.求证：点B 的坐标是0(,0)x -并求点B 到直线l 的距离d 的取值范围.已知)(x f 定义域为R ，满足：①)1(1)1(->=f f ；②对任意实数y x ,，有)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f . （Ⅰ）求)0(f ，(3)f 的值； （Ⅱ）求21(16)(3)2f x f x -+的值； （Ⅲ）是否存在常数B A ,，使得不等式2|)2()(|≤++-+B Ax x f x f 对一切实数x 成立.如果存在，求出常数B A ,的值；如果不存在，请说明理由.海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科） 参考答案及评分标准2009.05一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）ACDDB CDC二、填空题（本大题共6小题，每小题5分.有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）（9）62 （10）2 （11）45 （12）2，π3（1321 （14）12，③④ 三、解答题（本大题共6小题,共80分） (15)（本小题共13分）解：（Ⅰ）∵21(1)n n nS n S n cn +-+=+（1,2,3,...n =）， ∴()2111n n S S n cnn n n n ++-=++（1,2,3,...n =）. ………………………………………1分∵1S ，22S ，33S 成等差数列， ∴32122132S S S S -=-. ………………………………………3分 ∴14226c c++=. ………………………………………5分 ∴1c =. ………………………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得111n nS S n n+-=+（1,2,3,...n =）. ∴数列{}n Sn为首项是11S ，公差为1的等差数列. ………………………………………8分∴1(1)11n S S n n n =+-⋅=. ∴2n S n =. ………………………………………10分 当2n ≥时，221(1)21n n n a S S n n n -=-=--=-. ………………………………………12分当1n =时，上式也成立. ………………………………………13分∴21n a n =-（1,2,3,...n =）.（16）（本小题共13分）解：（Ⅰ）该间教室两次检测中，空气质量均为A 级的概率为3394416?.………………………………2分 该间教室两次检测中，空气质量一次为A 级，另一次为B 级的概率为31324816创=. …………………………………4分设“该间教室的空气质量合格”为事件E .则 …………………………………5分()33313244484P E =?创=. …………………………………6分答：估计该间教室的空气质量合格的概率为34. （Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为0，1，2，3，4. …………………………………7分()443C )4i ii P i ξ-==3（）（1-4()0,1,2,3,4i =. 随机变量ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4P1256 364 27128 2764 81256…………………………………12分解法一： ∴132********+3432566412864256E ξ=??创+?. …………………………………13分解法二： 344B ξ～（，）， ∴3434E ξ=?. …………………………………13分（17）（本小题共14分）（Ⅰ）证明：设BC 的中点为M .在斜三棱柱111ABC A B C -中，点1B 在底面ABC 上的射影恰好是BC 的中点, 1B M ∴⊥平面ABC. ……………………1分AC Ì平面ABC ，1B M AC ∴⊥. ……………………2分90ACB ∠=︒， ∴BC AC ⊥. 1B M BC M = ，∴AC ⊥平面11B C CB . ……………………4分AC ⊂平面11ACC A ，∴平面11ACC A ⊥平面11B C CB . ………………………………………5分解法一：（Ⅱ）连接1B C ， AC ⊥平面11B C CB ，1B C∴是直线1AB 在平面11B C CB上的射影. ………………………………………5分1BC CC =，∴四边形11B C CB 是菱形.11B C BC ∴⊥. ………………………………………7分11AB BC ∴⊥. …………………………MB 1C 1A 1CB A……………9分（Ⅲ）过点B 作1BH AB ⊥交1AB 于点H ，连接1C H .11AB BC ⊥ ，1AB ∴⊥平面1BHC . 11AB C H ∴⊥.1BHC ∴∠是二面角11B ABC --的平面角. ………………………………………11分设2BC =，则12,BC CA AA === 1,B M BC BM MC ⊥=，112B C B B ∴==. 112BB B C BC ∴===.160.B BC ∴∠=︒ 1120BCC ∴∠=︒. 123BC ∴=.AC ⊥ 平面1BC ，1B C Ì平面1BC ， 1AC B C ∴⊥. 122B A ∴=.在1BB A ∆中，可求142BH =∵11111,B B B C B H B H ==，∴111Rt Rt BB H C B H ∆≅∆. ∴1142C H BH ==. 1141412544cos 71414222BHC +-∴∠==-⨯⨯. ………………………………………13分MHB 1C 1A 1CBA15arccos 7BHC π∴∠=-.∴二面角11B ABC --的大小为5arccos 7π-. ………………………………………14分解法二：（Ⅱ）因为点1B 在底面ABC 上的射影是BC 的中点，设BC 的中点为O ，则1B M ⊥平面ABC.以O 为原点，过O 平行于CA 的直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，1OB 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设11BC CA AA ===，由题意可知，11131(0,,0),(0,,0),(0,0,(1,,0)2222B C B A --.设1(,,)C x y z ，由11BC B C = ，得13(0,1,2C - ………………………………………7分133(0,,22BC ∴=- .又113(1,,22AB =- . 11133310022AB BC ⎛⎫∴⋅=-⨯+⨯-+= ⎪⎝⎭ .11AB BC ∴⊥. ………………………………………9分（Ⅲ）设平面1ABB 的法向量为111(,,1)x y =n .则1110,0.BA BB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n∴1110,130.22x y y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 1(3,3,1)∴=n .z yxOB 1C 11BA设平面11AB C 的法向量为222(,,1)x y =n .则21210,0.AB AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n∴2222130,2130.22x y x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩ 23(2∴=n . ………………………………………12分1212125cos ,7⋅∴<>==n n n n n n . ………………………………………13分∴二面角11B AB C --的大小为5arccos 7π-. ………………………………………14分（18）（本小题共13分） 解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为{}x x a≠． ………………………………………1分 ()()()()()2211x x x e x a e x a e f x x a x a -+⎡⎤--⋅⎣⎦'==--. ………………………………………3分由()0f x '>，解得1x a >+.由()0f x '<，解得1x a <+且x a ≠．∴()f x 的单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为(),a -∞，(),1a a +．………………………………………6分（Ⅱ）由题意可知，0a <，且()x e f x x a =-在(],0a 上的最小值小于等于12时，存在实数(],0x a ∈，使得不等式()12f x ≤成立． ………………………………………7分 若10a +<即1a <-时，x(),1a a +a +1 ()1,0a +()f x ' - 0 + ()f x↘极小值↗∴()f x 在(],0a 上的最小值为()11a f a e ++=．则112a e +≤，得1ln 12a ≤-． ………………………………………10分 若10a +≥即1a ≥-时，()f x 在(],0a 上单调递减，则()f x 在(],0a 上的最小值为()10f a=-．由112a -≤得2a ≤-（舍）． ………………………………………12分综上所述，1ln12a ≤-． ………………………………………13分 （19）（本小题共13分）解：（Ⅰ）由抛物线C :2y x =得抛物线的焦点坐标为1(,0)4，设直线l 的方程为：14x ny =+，()()1122,,,P x y Q x y . ………………………………………1分由2,14y x x ny ìï=ïïíï=+ïïî得2104y ny --=. 所以210n ∆=+>，12y y n+=.因为112211,44x ny x ny =+=+， …………………………………3分 所以()12121211112442PQ x x x x n y y =+++=++=++=.所以21n =.即1n = . 所以直线l的方程为：104x y --=或104x y +-=. ………………………………………5分 （Ⅱ）设0:(0)l x my x m =+≠，1122(,),(,)P x y Q x y ，则22(,)M x y -.由02,x my x y x=+⎧⎨=⎩得200y my x --=.因为018x ≥，所以2040m x ∆=+>，12120,y y m y y x +==-. ……………………………………7分 （ⅰ）设(,0)B B x ，则2211(,),(,)B B BM x x y BP x x y =--=-.由题意知：BM ∥BP，211122B B x y y x x y x y ∴-=-+.即2212122112211212()()B y y x x y x y y y y y y y y y +=+=+=+. 显然10,By y += ………………………………………9分（ⅱ）由题意知：BMQ ∆为等腰直角三角形，1PB k ∴=，即12121y y x x +=-，即1222121y y y y +=-. 2212121201. ()4 1. 41y y y y y y m x ∴-=∴+-=∴+=. 20140m x ∴=->.014x ∴<.018x ≥，01184x ∴≤<. ………………………………………11分 002220002261[)2241111()2()(1)1d x m x x x ∴====-+---. 即d的取值范围是61)2. ………………………………………13分 （20）（本小题共14分）解：（Ⅰ）取1==y x ，得(111)(1)(1)(11)(f f f f f -+=?-?，即22(1)(1)(0)f f f =+.因为(f =，所以(0)0f =. ………………………………………1分取0==y x ，得21(1)(1)f f ==-.因为)1(1)1(->=f f ，所以(1)1f -=-. 取2,0==y x ，得(3)(0)(2)(1)(1)f f f f f =?- ，所以(3)1f =-.………………………………………3分（Ⅱ）在)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f 中取1=y 得)()2(x f x f =-.所以(1)(1)f x f x +=-. 在)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f 中取xy =，得1)1()(22=-+x f x f .在)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f 中取0x =， 得(1)(0)()(1)(1)(1)f y f f y f f y f y +=+--=--. 所以(2)0f -=.在)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f 中取1y =-， 得()()(1)(1)(2)f x f x f f x f -=-+--. 所以()()f x f x -=-.在)1()1()()()1(--+=+-y f x f y f x f x y f 中取y x =-， 得()()()()()1211f x f x f x f x f x -=-+---()()()211f x f x f x =---+()()()()()()222211112f x f x f x f x f x f x =----=-+-=-.所以211(12)()22f x f x -+=对任意实数x 均成立. 所以211(16)(3)22f x f x -+=. ………………………………………9分（Ⅲ）由（Ⅱ）知)()2(x f x f =-，2|)2()(|≤++-+∴B Ax x f x f 2|)(2|≤++⇔B Ax x f在2|)(2|≤++B Ax x f 中，取1-=x ，得222≤+--≤-B A ，即222A B -?- ① 取1=x ，得222≤++≤-B A ②取3=x ，得2322≤++-≤-B A ，即2232A B -?- ③②+①得0≤A ，②+③得0≥A . ∴0=A .将0=A 代入①得0≥B . 将0=A 代入②得0≤B . ∴0=B .由（Ⅱ）知1)1()(22=-+x f x f ，所以|()|1f x £对一切实数x 成立. 故当0==B A 时，2|)(2|≤++B Ax x f 对一切实数x 成立.∴存在常数0==B A ，使得不等式2|)2()(|≤++-+B Ax x f x f 对一切实数x 成立，且0==B A 为满足题设的唯一一组值. ………………………………………14分说明：其它正确解法按相应步骤给分.。
海淀二模数学理附答案
海淀二模数学理附答案集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]海淀区高三年级第二学期期末练习数 学（理）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U Z =，集合{1,2}A =，{1,2,3,4}A B =，那么()U C A B =（ ）（A ）∅（B ）{3}x x Z ∈≥ （C ）{3,4} （D ）{1,2}（2）设30.320.2,log 0.3,2a b c ===，则（ ）（A ）b c a << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）b a c <<（3）在极坐标系中，过点π(2,)6-且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）cos ρθ=（B ）cos ρθ=（C ）sin 1ρθ= （D ）sin 1ρθ=-（4）已知命题p ，q ，那么“p q ∧为真命题”是“p q ∨为真命题”的（）（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知函数()cos(2)f x xϕ=+（ϕ为常数）为奇函数，那么cosϕ=（）（A）2-（B）0（C）2（D）1（6）已知函数的部分图象如图所示.向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为33，由此可估计的值约为（）（A）99100（B）310 ()f x1()df x x⎰（C ）910（D ）1011（7）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，31()(1)e x f x x +=+.那么函数()f x 的极值点的个数是（ ）（A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2（8）若空间中有(5)n n ≥个点，满足任意四个点都不共面，且任意两点的连线都与其它任意三点确定的平面垂直，则这样的n 值（ ）（A ）不存在 （B ）有无数个 （C ）等于5 （D ）最大值为8二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）答案及评分参考选择题（共40分）一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）非选择题（共110分）二、填空题（本大题共6小题,每小题5分. 共30分.有两空的题目，第一空3分，第二空2分）9. 6 10. 11 11.32，11613.222, (4(1), (4t tttt⎧+⎪⎪⎨+⎪⎪⎩为偶数)为奇数)14. ①②, 9三、解答题(本大题共6小题,共80分)15. （共13分）解：（Ⅰ）1()(1cos2)22f x x x=+ωω………2分1sin(2)26x=++πω, ………………3分因为()f x最小正周期为π,所以22ππω=，解得1ω=, …………4分所以1()sin(2)62πf x x=++, ………… 5分所以21()32πf=-. …………6分（Ⅱ）分别由222,()262k x k k Zπππππ-≤+≤+∈，3222,()262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈可得,()36k x k k Z ππππ-≤≤+∈，2,().63k x k k Z ππππ+≤≤+∈………8分 所以,函数()f x 的单调增区间为[,],()36k k k Z ππππ-+∈；()f x 的单调减区间为2[,],().63k k k Z ππππ++∈…………10分 由2,(62ππx k πk Z +=+∈）得,()26k πx πk Z =+∈. 所以，()f x 图象的对称轴方程为 ()26k πx πk Z =+∈. ………13分16.（共13分）解：(Ⅰ) 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为A , …………………………1分由题意可得每位乘客在第2层下电梯的概率都是13， …………3分则4265()1()1381P A P A ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭ .……………6分(Ⅱ) X 的可能取值为0,1,2,3,4, ……7分由题意可得每个人在第4层下电梯的概率均为13，且每个人下电梯互不影响， 所以，1(4,)3X B . …………………9分………………11分14()433E X =⨯=. ……………………13分17.(共14分)（Ⅰ）证明：设F 为DC 的中点，连接BF ，则DF AB =∵AB AD ⊥，AB AD =，//AB DC ， ∴四边形ABFD 为正方形， ∵O 为BD 的中点， ∴O 为,AF BD 的交点，∵2PD PB ==，∴PO BD ⊥， ………………………………..2分∵BD ==∴PO=12AO BD == 在三角形PAO 中，2224PO AO PA +==，∴PO AO ⊥，……………………………4分 ∵AO BD O = ，∴PO ⊥平面ABCD ； ……………………………5分 (Ⅱ)方法1：连接PF ，∵O 为AF 的中点，E 为PA 中点， ∴//OE PF ，∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC . ……………9分方法2：由(Ⅰ)知PO ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，所以过O 分别做,AD AB 的平行线，以它们做,x y 轴，以OP 为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知得：(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,1,0)D -(1,1,0)F ，(1,3,0)C，P ，11(,,222E --，则11(,222OE =--，(1,1,PF =，(1,1,PD =-，(1,3,PC = .∴12OE PF =-∴//OE PF∵OE ⊄平面PDC ，PF ⊂平面PDC ，∴//OE 平面PDC ； ……………9分A DO CPB EF(Ⅲ) 设平面PDC 的法向量为111(,,)n x y z =，直线CB 与平面PDC 所成角θ，则00n PC n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111111300x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得1110y x =⎧⎪⎨=⎪⎩，令11z =，则平面PDC的一个法向量为)n = ，又(2,2,0)CB =--则sin cos ,θn CB =<>==， ∴直线CB 与平面PDC. ……………14分 18. (共14分）解：（I ）当0a =时，()ln f x x x x =-，'()ln f x x =-， ……2分所以()0f e =，'()1f e =-， ………………………4分 所以曲线()y f x =在(e,(e))f 处的切线方程为y x e =-+.………………………5分 （II ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞21'()()(21)ln 1(21)ln f x ax x ax x ax ax x x=-+--+=-，…………………………6分①当0a ≤时，210ax -<，在(0,1)上'()0f x >，在(1,)+∞上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上递减； ……………………8分②当102a <<时，在(0,1)和1(,)2a +∞上'()0f x >，在1(1,)2a上'()0f x < 所以()f x 在(0,1)和1(,)2a +∞上单调递增，在1(1,)2a上递减；………………………10分③当12a =时，在(0,)+∞上'()0f x ≥且仅有'(1)0f =，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增； ………12分④当12a >时，在1(0,)2a 和(1,)+∞上'()0f x >，在1(,1)2a上'()0f x < 所以()f x 在1(0,)2a 和(1,)+∞上单调递增，在1(,1)2a上递减………………14分19．(共13分） 解：（I ）由题意可得OP OM ⊥， ………2分所以0OP OM ⋅=，即(,)(,4)0x y x -= ………4分即240x y -=，即动点P 的轨迹W 的方程为24x y = ………5分 （II ）设直线l 的方程为4y kx =-,1122(,),(,)A x y B x y ，则11'(,)A x y -.由244y kx x y=-⎧⎨=⎩消y 整理得24160x kx -+=， ………6分 则216640k ∆=->，即||2k >. ………7分12124,16x x k x x +==. …………………9分直线212221':()y y A B y y x x x x --=-+212221222212212222121222112()1()4()41444 y 44y y y x x y x x x x y x x x x x x x x x x y x x x x x x x -∴=-++-∴=-++--∴=-+-∴=+………………12分即2144x x y x -=+ 所以，直线'A B 恒过定点(0,4). …………13分 20. (共13分）解：(Ⅰ)由变换T 的定义可得1:0,1,1,0,0,1A ………………2分 0:1,0,1A ……………4分(Ⅱ) 数列0A 中连续两项相等的数对至少有10对 …………5分证明：对于任意一个“0-1数列”0A ，0A 中每一个1在2A 中对应连续四项1,0,0,1，在0A 中每一个0在2A 中对应的连续四项为0,1,1,0，因此，共有10项的“0-1数列”0A 中的每一个项在2A 中都会对应一个连续相等的数对， 所以2A 中至少有10对连续相等的数对. …………………8分(Ⅲ) 设k A 中有k b 个01数对，1k A +中的00数对只能由k A 中的01数对得到，所以1k k l b +=，1k A +中的01数对有两个产生途径：①由k A 中的1得到； ②由k A 中00得到，由变换T 的定义及0:0,1A 可得k A 中0和1的个数总相等，且共有12k +个，所以12k k k b l +=+， 所以22k k k l l +=+，由0:0,1A 可得1:1,0,0,1A ，2:0,1,1,0,1,0,0,1A 所以121,1l l ==， 当3k ≥时，若k 为偶数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+ 2422l l =+上述各式相加可得122421(14)11222(21)143k k kk l ---=++++==-- ，经检验，2k =时，也满足1(21)3k k l =-若k 为奇数，222k k k l l --=+ 4242k k k l l ---=+ 312l l =+上述各式相加可得12322(14)112221(21)143k k kk l ---=++++=+=+- ，经检验，1k =时，也满足1(21)3k k l =+所以1(21),31(21),3kkkklk⎧+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩为奇数为偶数………………………………………………..13分。