高二数学概念(上)

高二数学概念（上）目录第七章数列与数学归纳法 (2)7.1数列 (2)7.2等差数列 (2)7.3等比数列 (4)7.4数学归纳法 (5)7.5数学归纳法的应用 (6)7.6数列的极限 (6)7.8无穷等比数列各项的和 (6)第八章平面微量的坐标表示 (7)8.1向量的坐标表示及其运算 (7)8.2向量的数量积 (7)8.3平面向量的分解定理 (8)8.4向量的应用 (9)第九章矩阵和行列式初步 (9)9.1矩阵的概念 (9)9.2矩阵的运算 (9)9.3二阶行列式 (10)9.4三阶行列式 (12)第十章算法初步 (13)10.1算法的概念 (13)10.2程序框图 (14)10.3计算机语句和算法程序 (15)第七章 数列与数学归纳法一 数列 7.1 数列按一定顺序排起来的一列数，叫做数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，数列中的每一项都和项的序数有关，各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，第3项…，第n 项，… 数列的一般形式可以写成123,,,,,na a a a 按数列的项数有限性和无限性可分为：有穷数列和无穷数列。

按每一项与前一项间的大小关系，数列还可分为：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。

如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。

数列常见的递推公式：11211112()();;,n n n n n n n a Aa b a A n a B n a Aa Ba Ca a a a a a a b++++=+=+=++⎧⎧⎧⎨⎨⎨====⎩⎩⎩ 7.2 等差数列1.等差数列及其通项公式一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用d 表示。

若a 、A 、b 成等差数列，则称A 是a 和b 的等差中项，且有2A a b =+或2a bA +=。

此时也可称A 为a 与b 的算术平均数。

设数列{a n }为等差数列，d 为公差，根据等差数列的定义有a 1+d ＝a 2，a 2+d ＝a 3，依次类推a 1+（n-1）d ＝a n ，于是，得到等差数列的通项公式：1(1)()n a a n d n N *=+-∈。

等差数列的递推公式：11n n a a da a+-=⎧⎨=⎩等差数列的单调性：{}{}(1)0;(2)0n n a d a d ↑⇔>↓⇔< 等差数列的性质 性质1 通项公式的推广：()(,)n m a a n m d n m N *=+-∈性质2 若{}n a 为等差数列，且(,,,)k l m n k l m n N *+=+∈，则k l m n a a a a +=+ 性质3若{}n a 是等差数列，公差为d ，则{}n ka 、{}2n a 也是等差数列，公差为kd 、2d性质4若{}n a ，{}n b 分别是以d 1，d 2为公差的等差数列，则{}n n pa qb ±是以12pd pd ±为公差的等差数列性质5若{}n a 是等差数列，则,,2,(,)k k k a a m a m k m N *++∈ 组成公差为md 的等差数列2.等差数列的前n 项和 等差数列前n 项和公式：12()2n n a a S +=，此公式也可写成1(1)2n n n S na d -=+ 数列的通项公式a n 与S n 的关系：11(1)(2)n n S n an S S n -=⎧=⎨-≥⎩等差数列前n 项和公式Sn 的性质： 1、项数（下标）的“等和”性：12(1)()22m n m n n a a n a a S -+++==2、项的个数的“奇偶”性：（1）若共有2n 项，则211();;:n n n n n S n a a S S nd S a a ++=+-=奇奇偶=（2）若共有2n+1项，则2111(21);;::(1)n n n S n a S S a S S n n +++=+--=+奇奇偶偶= 3、“片断和”性质：依次取出等差数列的连续几项的和也构成一个等差数列，即232,,,n n n n S S S S -- 为等差数列，公差为n 2d 。

7.3 等比数列1.等比数列及其通项公式如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，这样的数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用q 表示。

若a 、G 、b 成等比数列，则称G 是a 与b 的等比中项，且有2G ab =或G ab =±。

等比数列的递推公式：*11(,0)n a a an a q n N q -=⎧⎨=∈≠⎩ 设数列{}n a 为等比数列，q 为公比，则等比数列的通项公式为：1*1()n n a a q n N -=∈。

等比数列的性质 性质1单调性：对于1*1()n n a a q n N -=∈有： （1）当10,1a q >>时，为递增数列； （2）当10,01a q <<<时，为递增数列； （3）当10,01a q ><<时，为递减数列； （4）当10,1a q <>时，为递减数列； （5）当1q =时，为常数列，不具有单调性； （6）当0q <时，为摆动数列，不具有单调性。

性质2 通项公式的推广：*(,)n m n m a a q n m N -=∈性质3 若{}n a 为等比数列，且*(,,,)k l m n k l m n N +=+∈，则k l m n a a a a ⋅=⋅性质4若{}n a ，{}n b （项数相同）是等比数列，则{}n a λ，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{}2n a ，{}n n a b ⋅，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍是等比数列。

性质5在等比数列{}n a 中距首末两端等距离的两项的积相等，即12131n n n a a a a a a --===性质6 在等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项仍成等比数列2.等比数列的n 项和等比数列的前n 项和公式：111(1)(1)11(1)n n n a a qa q q S q qna q ⎧--≠⎪=--⎨⎪=⎩或 等比数列前n 项和公式的性质1、项的个数的“奇偶”性质：等比数列{}n a 中，若公比为q ，则有 （1）若共有2n 项，则:S S q =奇偶； （2）若共有2n+1项，则1S a qS =+奇偶。

2、依次取出等比数列的连续n 项的和（均不为0）也构成一个等比数列，即232,,,n n n n n S S S S S -- 为等比数列，公比为q n ；3、“相关和”性质：()n n n m nn m n m mS S S S q S q q S ++-=+⇔=为公比。

7.4 数学归纳法由特殊到一般的推理方法，叫做归纳法。

归纳法分为不完全归纳法和完全归纳法。

通过对一正整数的深入研究，打到了一种证明与正整数n 有关的数学命题的简单有效的方法，它的步骤是：（1）证明当n 到第一个值时0n （0n N *∈），命题成立；（2）假设当0(,)n k k N k n *=∈≥时命题成立，证明当1n k =+时命题也成立。

在完成上面两个步骤后，就可以断定这个命题对于从0n 开始的所有正整数n 都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。

7.5 数学归纳法的应用 7.6 数列的极限 1.数列的极限一般地，在n 无限增大的变化过程中，如果无穷数列{}n a 中的n a 无限趋近于一个常数A ，那么A 叫做数列{}n a 的极限，或叫做数列{}n a 收敛于A ，记作lim n n a A →∞=。

前面的结论可表示为（1）当时1q <时，lim 0n n q →∞=，（2）1lim0n n→∞=。

2.极限的运算法则数列极限的运算性质如下： 如果lim ,lim n n n n a A b B →∞→∞==，那么（1）lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞±=±=±；（2）lim()lim lim n n n n n n n a b a b A B →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅；（3）lim lim (0)lim n n n n n nn a a A B b b B →∞→∞→∞==≠。

特别地，如果C 是常数，那么由（2）可得l i m()l i m l i m n n n n n C a C a C A →∞→∞→∞⋅=⋅=⋅ 7.8 无穷等比数列各项的和把1q <的无穷等比数列的前n 项和n S 当n →∞时的极限叫做无穷等比数列各项的和，并用等号S 表示，即 1(1)1a S q q=<-第八章 平面向量的坐标表示8.1 向量的坐标表示及其运算在平面直角坐标系内，方向分别为x 轴和y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位向量。

将向量a 的起点置于坐标原点O ，作OA a = ，将OA叫做位置向量。

在上式中，向量OA能表示成两个相互垂直的向量i j 、分别剩以实数x 、y 后组成的和式，该和式称为的线性组合，这种向量的表示方法叫做向量的正交分解。

a OA xi y j ==+ 向量的运算 1122121(,)(,)(,)x y x y x x y y ±=±± 111(,)(,)x y x yλλλ= 由两点间距离公式，可求得向量a 的模 2211a x y =+8.2 向量的数量积 1.向量的夹角对于两个非零向量a 和b ，如果以O 为起点，作OA a = ，OB b =，那么射线OA 、OB 的夹角θ叫做向量a 与向量b的夹角。

θ的取值范围是0θπ≤≤。

2.向量的数量积一般地，如果两个非零向量a 、b 的夹角为θ（0θπ≤≤），那么把cos a b θ叫做向量a 与向量b的数量积。

即 c o s a ba b θ⋅=。

特别地，2a a a ⋅=如果向量a 和b中有一个是零向量，那么规定它们的数量积为零。

在数量积的定义cos a b a b θ⋅= 中，把cos b θ叫做向量b 在向量a 的方向上的投影。

根据向量的数量积的定义，数量积的运算满足下列性质： 对于R λ∈，有（1）20a a a ⋅=≥ ，当且仅当0a a ⋅= 时，0a = 。

（2）a b b a ⋅=⋅ 。

（3）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。

（4）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅ 两个向量a 与b垂直的充要条件是0a b ⋅=3.向量的数量积的坐标表示对于用坐标表示的向量11(,)a x y = ，22(,)b x y =，有121a b x x y y ⋅=+即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和。