实验三 二阶系统的特性测量
实验三 典型环节(或系统)的频率特性测量
实验三 典型环节（或系统）的频率特性测量一．实验目的1．学习和掌握测量典型环节（或系统）频率特性曲线的方法和技能。
2．学习根据实验所得频率特性曲线求取传递函数的方法。
二．实验内容1．用实验方法完成一阶惯性环节的频率特性曲线测试。
2．用实验方法完成典型二阶系统开环频率特性曲线的测试。
3．用软件仿真方法求取一阶惯性环节频率特性和典型二阶系统开环频率特性，并与实验所得结果比较。
三、实验原理及说明1．实验用一阶惯性环节传递函数参数、电路设计及其幅相频率特性曲线：对于1)(+=Ts Ks G 的一阶惯性环节，其幅相频率特性曲线是一个半圆，见图3.1。
取ωj s =代入，得)()(1)(ωϕωωωj e r T j Kj G =+=(3-2-1)在实验所得特性曲线上，从半园的直径(0)r ，可得到环节的放大倍数K ，K ＝(0)r 。
在特性曲线上取一点k ω，可以确定环节的时间常数T ，kk tg T ωωϕ)(-=。
(3-2-2)实验用一阶惯性环节传递函数为12.01)(+=s s G ，其中参数为R 0=200K Ω，R 1＝200K Ω，C＝1uF ，参数根据实验要求可以自行搭配，其模拟电路设计参阅下图3.2。
在进行实验连线之前，先将U13单元输入端的100K 可调电阻顺时针旋转到底（即调至最大），使输入电阻R 0的总阻值为200K;其中，R1、C1在U13单元模块上。
U8单元为反相器单元，将U8单元输入端的10K 可调电阻逆时针旋转到底（即调至最小），使输入电阻R 的总值为10K;注明：所有运放单元的+端所接的100K 、10K 电阻均已经内部接好，实验时不需外接。
图3.22．实验用典型二阶系统开环传递函数参数、电路设计及其幅相频率特性曲线：对于由两个惯性环节组成的二阶系统，其开环传递函数为12)1)(1()(2221++=++=Ts s T Ks T s T K s G ξ )1(≥ξ 令上式中 s j ω=，可以得到对应的频率特性 )(22)(12)(ωϕωωξωωj e r T j T Kj G =++-=二阶系统开环传递函数的幅相频率特性曲线，如图所示。
二阶频率特性
A2（OUT）和 A3（IN）之间
①．用示波器观察系统各环节波形，避免系统进入非线性状态。
②．观察闭环对数幅频、相频曲线和幅相曲线
该曲线已增添了多个频率点。在界面上方将显示该系统用户点取的频率点的ω、L、ϕ 、Im、Re 等相
关数据，填入表 3-2-1；实验结果可与式（3-2-12）~（3-2-17）的理论计算值进行比对。
（3-2-12）
对数幅频特性表达式为： L(ω) = 20 lg K − 20 lg (K − ω 2TTi )2 + ω 2Ti 2
（3-2-13）
对数相频特性表达式为：
ϕ(ω) = − arctan ωTi K − ω 2TiT
（3-2-14）
以式（3-2-13）和（3-2-14）可绘出该闭环系统的对数幅频特性曲线和相频特性曲线（波德图）
（3-2-11）
本实验以第 3.1.2 节〈二阶系统瞬态响应和稳定性〉中‘二阶闭环系统模拟电路’为例，该系统由积 分环节（A2 单元）和惯性环节（A3 单元）构成，令积分时间常数为 Ti，惯性时间常数为 T，开环增益为 K，可得：
二阶闭环系统的频率特性为：
φ( jω) =
K
jωTi ( jωT + 1) + K
在 ‘开环’频率特性界面上，亦可转为‘闭环’频率特性显示界面，方法同上。 在频率特性显示界面的左上角，有红色‘开环’或‘闭环’字表示当前界面的显示状态。
实验步骤： 注：‘S ST’不能用“短路套”短接！
（3）运行、观察、记录：
①．用示波器观察系统各环节波形，避免系统进入非线性状态。
②．观察开环对数幅频、相频曲线和幅相曲线
频率 f [Hz]
角频率ω [rad/s]
自动控制原理实验实验指导书
自动控制原理实验目录实验一二阶系统阶跃响应（验证性实验） (1)实验三控制系统的稳定性分析（验证性实验） (9)实验三系统稳态误差分析（综合性实验） (15)预备实验典型环节及其阶跃响应一、实验目的1.学习构成典型环节的模拟电路，了解电路参数对环节特性的影响。
2.学习典型环节阶跃响应测量方法，并学会由阶跃响应曲线计算典型环节传递函数。
二、实验内容搭建下述典型环节的模拟电路，并测量其阶跃响应。
1.比例(P)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-1。
2.惯性(T)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-2。
3.积分(I)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-3。
4. 比例积分(PI)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-4。
5.比例微分(PD)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-5。
6.比例积分微分(PID)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-6。
三、实验报告1.画出惯性环节、积分环节、比例积分环节、比例微分环节、比例积分微分环节的模拟电路图，用坐标纸画出所记录的各环节的阶跃响应曲线。
2.由阶跃响应曲线计算出惯性环节、积分环节的传递函数，并与由模拟电路计算的结果相比较。
附1：预备实验典型环节及其阶跃响应效果参考图比例环节阶跃响应惯性环节阶跃响应积分环节阶跃响应比例积分环节阶跃响应比例微分环节阶跃响应比例积分微分环节阶跃响应附2：由模拟电路推导传递函数的参考方法1． 惯性环节令输入信号为U 1(s) 输出信号为U 2(s) 根据模电中虚短和虚断的概念列出公式：整理得进一步简化可以得到如果令R 2/R 1=K ，R 2C=T ，则系统的传递函数可写成下面的形式：()1KG s TS =-+当输入r(t)为单位脉冲函数时 则有输入U 1(s)=1输出U 2(s)=G(s)U 1(s)= 1KTS-+由拉氏反变换可得到单位脉冲响应如下：/(),0t TK k t e t T-=-≥ 当输入r(t)为单位阶跃函数时 则有输入U 1(s)=1/s输出U 2(s)=G(s)U 1(s)= 11K TS s-+由拉氏反变换可得到单位阶跃响应如下：/()(1),0t T h t K e t -=--≥当输入r(t)为单位斜坡函数时 则有输入U 1(s)=21s输出U 2(s)=G(s)U 1(s)=2323R R C T R R =+2Cs12Cs-(s)U R10-(s)U 21R R +-=12212)Cs (Cs 1(s)U (s)U )(G R R R s +-==12212)Cs 1((s)U (s)U )(G R R R s +-==由拉氏反变换可得到单位斜坡响应如下：/()(1),0t T c t Kt KT e t -=--≥2． 比例微分环节令输入信号为U 1(s) 输出信号为U 2(s) 根据模电中虚短和虚断的概念列出公式：(s)(s)(s)(s)(s)U100-U U 0U 2=1R1R23(4)CSU R R '''---=++由前一个等式得到 ()1()2/1U s U s R R '=- 带入方程组中消去()U s '可得1()1()2/11()2/12()1134U s U s R R U s R R U s R R R CS+=--+由于14R C〈〈，则可将R4忽略，则可将两边化简得到传递函数如下： 2()23232323()(1)1()11123U s R R R R R R R R G s CS CS U s R R R R R ++==--=-++如果令K=231R R R +， T=2323R R C R R +，则系统的传递函数可写成下面的形式：()(1)G s K TS =-+当输入r(t)为单位脉冲函数时，单位脉冲响应不稳定，讨论起来无意义 当输入r(t)为单位阶跃函数时 则有输入U 1(s)=1/s输出U 2(s)=G(s)U 1(s)=(1)K TS S-+由拉氏反变换可得到单位阶跃响应如下：()(),0h t KT t K t δ=+≥当输入r(t)为单位斜坡函数时 则有输入U 1(s)=21s输出U 2(s)=G(s)U 1(s)=2(1)K TS S -+由拉氏反变换可得到单位斜坡响应如下：(),0c t Kt KT t =+≥实验一 二阶系统阶跃响应（验证性实验）一、实验目的研究二阶系统的两个重要参数阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω对系统动态性能的影响。
实验三 二阶系统的性能分析
实验三 二阶系统的性能分析一、实验目的1、研究二阶系统的两个重要参数阻尼比ξ和自然振荡频率n ω对系统动态性能的影响；2、比较比例微分控制的二阶系统和典型二阶系统的性能；3、比较输出量速度反馈控制的二阶系统和典型二阶系统的性能。
二、实验任务1、典型二阶系统二阶系统的传递函数为()s Φ=2222nn ns s ωξωω++，仿真框图如图1-1所示。
图1-1 二阶振荡环节仿真框图（1）令n ω=10不变，ξ取不同值：1ξ=0，2ξ、3ξ（01ξ<<），4ξ=1，5ξ，观察其单位阶跃响应曲线变化情况；下图中1ξ=02ξ=0.5，3ξ=0.707，4ξ=1，5ξ=3（2）令ξ=0不变，ω取不同值，观察其单位阶跃响应曲线变化情况；（3）令ξ=0.2不变，ω取不同值，观察其单位阶跃响应曲线变化情况，并计算超调量%和t；s（4）令n ω=10不变，ξ取不同值（01ξ<<），观察其单位阶跃响应曲线变化情况，并计算超调量%σ和s t 。
2、比例微分控制的二阶系统比例微分控制的二阶系统的结构图如图2-1。
图2-1 比例微分控制的二阶系统的结构图系统中加入比例微分控制，使系统阻尼比增加，并增加一个闭环零点，可以通过仿真比较典型二阶系统和比例微分控制的二阶系统的单位阶跃响应的性能指标。
上图所示的控制系统，令225(2)(2)nns s s sωξω=++，0.1dT=，其中5,0.2nωξ==，从Simulink图形库浏览器中拖曳Step（阶跃输入）、Sum（求和模块）、Pole-Zero （零极点）模块、Scope（示波器）模块到仿真操作画面，连接成仿真框图如图2-2所示。
图中Pole-Zero（零极点）模块建立()G s。
图2-2 典型二阶系统和比例微分控制的二阶系统比较仿真框图3、输出量速度反馈的二阶系统输出量速度反馈的二阶系统的结构图如图2-3。
图2-3 输出量速度反馈的二阶系统的结构图系统中加入输出量的速度反馈控制，使系统阻尼比增加，可以通过仿真比较典型二阶系统和输出量速度反馈控制的二阶系统的单位阶跃响应的性能指标。
自控实验—二三阶系统动态分析
自控实验—二三阶系统动态分析在自控实验中，二、三阶系统动态分析是非常重要的一部分。
通过对系统的动态性能进行分析，可以评估系统的稳定性、响应速度和稳态误差等方面的性能。
本次实验将使用PID控制器对二、三阶系统进行实时控制，并通过实验数据对系统进行动态分析。
首先，我们先了解什么是二、三阶系统。
在控制系统中，系统的阶数表示系统传递函数的阶数，也可以理解为系统动态特性的复杂程度。
二阶系统由两个极点和一个零点组成，三阶系统由三个极点和一个零点组成。
二、三阶系统的动态响应特性与极点位置有关，不同的极点位置对系统的稳定性、响应速度和稳态误差等性能有着不同的影响。
在实验中，我们将使用PID控制器对二、三阶系统进行控制。
PID控制器是一种经典的比例-积分-微分控制器，可以根据误差信号进行调节，通过调整比例系数、积分时间和微分时间来控制系统的响应特性。
实验中，我们将根据二、三阶系统的实时数据进行PID参数调整，以达到控制系统的稳定和快速响应的目的。
在进行实验前，我们首先需要对二、三阶系统进行建模。
二、三阶系统的传递函数通常表示为：二阶系统：G(s) = K / (s^2 + 2ξω_ns + ω_n^2)三阶系统：G(s) = K / (s^3 + 3ξω_ns^2 + 3ω_n^2s + ω_n^3)其中，K表示系统的增益，ξ表示系统的阻尼比，ω_n表示系统的自然频率。
通过实验数据的统计和分析，我们可以估计出系统的K、ξ和ω_n的值，并据此进行PID参数的调整。
接下来，我们进行实验。
我们首先将PID控制器的参数设为初始值，然后对系统进行实时控制，并记录系统输出的数据。
通过对这些数据进行分析，我们可以得到系统的稳态误差、响应时间和超调量等性能指标。
对于二阶系统，我们将分析以下几个方面的性能：1.稳态误差：通过比较实际输出值与目标值之间的差异，可以得到系统的稳态误差。
常见的稳态误差有零稳态误差、常数稳态误差和比例稳态误差等。
3-2 测试系统的特性-静态与动态特性1
3.3 测试系统的动态特性
机械工程测试技术
h (t )
M 超调量
时域性能指标
允许误差 ±Δ
1.0 h(∞) 0.9 h(∞ )
td
0 .5 h(∞)
延 时 时 间
0.05或0.02
0.1 h(∞) 0
t r 上升 时间 t p 峰值时间 t s 调整时间
t
3.3 测试系统的动态特性
机械工程测试技术
本课程中研究的测试系统都是定常线性系统，可以 用常系数线性微分方程来描述该系统以及输入x(t)和 输出y(t)间的关系。
对于一个线性系统如何更有效的描述 装置的特性与输出、输入的关系？
利用微分方程来描述有许多不便。如果通过拉氏变换 建立与其相应的“传递函数”，通过傅氏变换建立与 其相应的“频率特性函数”，就可更简单、有效地描 述装置的动态特性和输出与输入之间的关系。
0.5
1
1.5
2
2.5
0
0.5
1
1.5 (c)
2
2.5
3
3 t
叠加特性示例
3.3 测试系统的动态特性
机械工程测试技术
b)比例性 常数倍输入所得的输出等于原输入所得输出的常 数倍，即 若 x(t) → y(t) ， 则 kx(t) → ky(t)
10 5
20 10 mm 0 -10
0 0.5 1 1.5 (a) 2 2.5 3
y
Y ( s ) bm s m bm 1 s m 1 b1 s b0 H ( s) X ( s) an s n an 1 s n1 a1 s a0
H(s)与输入及系统的初始状态无关，只表达测试 系统的传输特性。对于具体系统，H(s)不会因输 入变化而不同，但对于任一具体输入都能确定地 给出相应的、不同的输出。
二阶系统特征参数对系统性能的影响
实验三二阶系统特征参数对系统性能的影响一．实验目的ω,ξ）对系统性能的影响；1．研究二阶系统特征参量（n2．研究斜坡输入作用下二阶系统的静态误差。
二．实验内容ω＝12.5保持不变，分别测试阻尼系数不同时系统的特1．搭建二阶系统，将特征参量nω不同时系统的特性；性；再将特征参量ξ＝0.4保持不变，分别测试固有频率n2．测试斜坡输入作用下二阶系统的静态误差，将输入强度即斜率不变，改变开环增益；再将开环增益不变，改变输入强度即斜率。
三．实验步骤在实验中观测实验结果时，可选用普通示波器，也可选用本实验台上的虚拟示波器。
如果选用虚拟示波器，只要运行ACES程序，选择菜单列表中的相应实验项目，再选择开始实验，就会打开虚拟示波器的界面，点击开始即可使用本实验台上的虚拟示波器CH1、CH2两通道观察被测波形。
具体用法参见用户手册中的示波器部分。
1．观测特征参量ξ对二阶系统性能的影响实验中所用到的功能区域：阶跃信号、虚拟示波器、实验电路A1、实验电路A2、实验电路A3。
ω＝12.5：二阶系统模拟电路如图1-3-1所示，其固有频率nω＝12.5)图1-3-1二阶系统模拟电路(n（1）设置阶跃信号源：A．将阶跃信号区的选择开关拨至“0～5V”；B．将阶跃信号区的“0～5V”端子与实验电路A3的“IN32”端子相连接；C．按压阶跃信号区的红色开关按钮就可以在“0～5V”端子产生阶跃信号。
（2）搭建二阶系统模拟电路：A．将实验电路A3的“OUT3”端子与实验电路A1的“IN11”、“IN13”两端子同时连接，将A1的“OUT1”与A2的“IN21”相连接，A2的“OUT2”与A3的“IN33”相连接；B．按照图1-3-1选择拨动开关：图中：R1=200K、R2=200K、R3=200K、R4=100K、R5=64K、R6为可选电阻、R7=10K、R8=10K、C1=1.0uF、C2=1.0uF将A3的S5、S6、S10，A1的S3、S6、S9，A2的S3、S8拨至开的位置；C．当R6＝50K时，二阶系统阻尼系数ξ＝0.8，将A2的S15拨至开。
自控实验—二、三阶系统动态分析
实验二．二、三阶系统动态分析一．实验目的：1．学习二、三阶系统的电模拟方法及参数测试方法；2．观察二、三阶系统的阶跃响应曲线，了解参数变化对动态特性的影响； 3．学习虚拟仪器（超抵频示波器）的使用方法； 4．使用MATLAB 仿真软件进行时域法分析； 5．了解虚拟实验的使用方法。
二．实验设备及仪器1．模拟实验箱； 2．低频信号发生器；3．虚拟仪器(低频示波器)； 4．计算机；5．MATLABL 仿真软件。
三．实验原理及内容实验原理：1、二阶系统的数学模型系统开环传递函数为系统闭环传递函数为2、 二阶系统暂态性能(a) 延迟时间t d : 系统响应从 0 上升到稳态值的 50% 所需的时间。
)2s (s n 2nςω+ω为阻尼比（，为无阻尼自然振荡频率其中：ςωω+ςω+ω==n 2nn 22ns 2s )s (G )s (R )s (C(b) 上升时间t r : 对于欠阻尼系统是指 , 系统响应从 0 上升到稳态值所需的时间 ; 对于过阻尼系统则指 , 响应从稳态值的 10% 上升到 90% 所需的时间。
(c) 峰值时间t p : 系统响应到达第一个峰值所需的时间。
(d) 最大超调量σp ( 简称超调量 ) : 系统在暂态过程中输出响应超过稳态值的最大偏离量。
通常以单位阶跃响应稳态值的百分数来表示 , 即%100e e esin 1e)t sin(1e1)y(t )y()y()y(t σ22pn pn pn 11t 2t p d 2t p p p ⨯===-=+--=-=∞∞-=-------ζπζζπζζωζωζωϕζϕωζ超调量)t sin(1e 1)t (y d 2tn ϕωζζω+--=- 2n d p d 1ωπωπt 0)t sin()t (y ζω-==∴= 峰值时间求导可得对dr t t ωπt 1y(t)rϕ-=== 可令2n21n πϕωξ-=-t ≈n2d n d 2.06.01t 7.01ως+ς+ως+≈或n2d n d2.06.01t 7.01t ως+ς+≈ως+≈或(e) 调节时间t s : 系统响应到达并不再越出稳态值的容许误差带±Δ所需的最短时间 , 即通常取Δ为稳态值的 5% 或 2% 。
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实验三 二阶系统的特性测量
一、实验目的
1、掌握二阶网络的构成方法。
2、掌握二阶网络的系统响应特性。
3、了解二阶网络波特图的测量方法。
二、实验内容
1、通过阶跃信号观察其阶跃响应。
2、通过正弦信号观察系统的幅频特性，学会绘制波特图。
三、预备知识
了解波特图的绘制。
四、实验仪器
1、信号与系统实验箱一台。
2、二阶系统分析模块一块。
3、20MHz 示波器一台。
五、实验原理
1、波特图
频率特性曲线是实际中用的最多的频率特性形式，而波特图则是描述频率特性曲线的一种很好方式，同时波特图提出用对数坐标绘制波特图的 方法，简化了计算和作图。
下面分析波特图的绘制原理：
设系统传函为
()()()j H H H e <ΩΩ=Ω 对其两边取自然对数，有
()()()()()ln ln H H j H G j H Ω=Ω+∠Ω=Ω+∠Ω⎡⎤⎣⎦
式中，()()ln G H Ω=Ω称为对数增益，简称为增益,()H ∠Ω是相位，单位为弧度或度。
工程应用中增益通常用分贝（dB ）为单位表示，此时应对()H Ω取常用对数并乘以20，即
()()20lg G H Ω=Ω （dB ）
工程应用中，通常将频率坐标用对数尺度表示，称以系统频率响应模的对数和相位大小关于对数频率坐标所作出的频率特性曲线为波特图。
其中 ()G Ω～20lg Ω曲线称为幅度波特图，()H ∠Ω～20lg Ω曲线称为相位波特图。
2、二阶系统
在电路系统中，二阶系统是一阶系统的扩展，与一阶系统一样是构成复杂系统基本单元。
一般二阶系统的构成电路如下图：
图2-7-1 二阶系统
二阶系统的传输函数一般可以写成：
2n 2n n
()2H s s s 2Ω=+ξΩ+Ω
其中
n Ω=
,ξ=二阶网络的频响函数可以进一步化解为：
222
12()()2()()
n n n b H j j j C j C Ω-Ω==Ω+ξΩΩ+ΩΩ-Ω-
1n C =-ξΩ+Ω
2n C =-ξΩ-Ω
在二阶系统中ξ为二阶系统的阻尼系数，当0＜ξ＜1时系统处于欠阻尼振荡，其单位冲激响应是一个振荡的过程。
当ξ＞1时系统处于过阻尼振荡，其单位冲激响应是一个衰减过程。
当ξ＝1时系统处于临界阻尼状态。
二阶网络在不同阻尼状态下的单位冲激响应与单位阶跃响应曲线如下图所示：
图2-7-2 二阶系统的阶跃响应
图2-7-3 二阶系统的波特图
实验电路如下图所示：
图2-7-4 二阶网络实验电路
六、实验步骤
1、把二阶系统分析模块插在主板上，用导线接通此模块“电源接入”和主板上的电源
（看清标识，防止接错，带保护电路），并打开此模块的电源开关。
2、二阶网络单位阶跃响应测量：函数信号发生器模块产生一频率为1KHz ，峰峰值为5V 左右的方波信号，将方波信号加入到此实验模块的“输入”端。
用示波器测量二阶网络的单位阶跃响应，改变系统的阻尼系数，可以观察不同阻尼情况下的阶跃响应。
与图2-7-2进行比较。
3、二阶网络波特图的测量 幅频特性的测量：
（1）首先用函数信号发生器模块的频率选择在中频段，“频率调节”选择最小频率（约为1KHz ），使其产生一峰峰值为5V 左右的正弦信号，加入到此实验模块的插孔“输入”端。
（2）用示波器测量“输出”，观察二阶网络的输出信号。
（3）然后不断增加信号源的输出频率（以二倍频为一步进，即2K 、4K 、6K ……），并保持其输出幅度不变，测量相应频点，并记录下输出信号的幅度、输出信号与输入信号的相位差。
以频率与输出幅度（可换算成相对0点的相对电平值，单位为dB ）为变量画出一曲线，即为二阶网络的幅频特性。
相频特性的测量：
（1）首先用函数信号发生器模块的频率选择在中频段，“频率调节”选择最小频率（约为1 K ），使其产生一峰峰值为5V 左右的正弦信号，加入到此实验模块的插孔“输入”端。
（2）用示波器的两个探头测量，一个测输出，一个测输入，用李沙育图的方法观察（以45、90、135、180为特征角度）。
不同系统阻尼情况下的幅频和相频特性：
先使二阶系统工作在欠阻尼状态下，即1<ξ ，进行观察，可以改变系统的工作阻尼状态，测量过阻尼状态的幅频特性和相频特性。
七、实验结果及分析
1.绘制不同阻尼情况下，系统的波特图曲线。
频率为1KHz
频率为2KHz
频率为4KHz
频率为6KHz。
2、绘制不同阻尼情况下，系统的阶跃响应曲线频率为1KHz
频率为4KHz
八、实验测试点的说明
1、测试点分别为：
“输入”：模拟信号的输入。
“输出”：测试信号的输出。
“GND”：与实验箱上的地相连。
2、调节点分别为：
“S7”：此试验模块的电源开关。
ξ=
“阻尼系数调节”：。