高中数学选修2-2作业——第1章 1.3.3
人教A版高中数学选修2-2作业：第1章导数及其应用1.3.3 课后
第一章 1.3 1.3.3一、选择题1．函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的最大值是M ，最小值是m ，若M ＝m ，则f ′(x )( A ) A ．等于0B ．大于0C ．小于0D ．以上都有可能解析 ∵M ＝m ，∴y ＝f (x )是常数函数，∴y ′＝0，故选A ． 2．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为( C ) A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为－4C ．最大值为13，最小值为1D ．最大值为－1，最小值为－7解析 f ′(x )＝2x －1，令f ′(x )＝0，得x ＝12，当x <12时，f (x )是减函数，所以f (－3)>f (0)．而f (－3)＝13，f (0)＝1.所以函数在[－3,0]上的最大值为13，最小值为1，故选C ． 3．函数y ＝ln xx 的最大值为( A )A ．e －1B ．eC ．e 2D ．103解析 令y ′＝1－ln x x 2＝0，解得x ＝e.当x >e 时，y ′<0；当0<x <e 时，y ′>0.所以y ＝ln xx 的极大值为1e .因为y ＝ln x x 在其定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.4．函数f (θ)＝sin θcos 2θ⎝⎛⎭⎫0<θ<π2的最大值是( A ) A ．239B ．39C ．29D ．22解析 ∵f (θ)＝sin θcos 2θ＝sin θ－sin 3θ， ∴f ′(θ)＝(sin θ－sin 3θ)′＝cos θ－3sin 2θcos θ， 令f ′(θ)＝0，即cos θ－3sin 2θcos θ＝0， ∵0<θ<π2，∴cos θ>0，∴sin 2θ＝13，∴sin θ＝33，cos 2θ＝23，易知f (θ)在sin θ＝33处取得极大值，也是最大值， 故函数f (θ)的最大值是33×23＝239. 5．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围是( B ) A ．[0,1)B ．(0,1)C ．(－1,1)D ．⎝⎛⎭⎫0，12 解析 f ′(x )＝3x 2－3a ，①若a ≤0，可得f ′(x )≥0，f (x )在(0,1)内单调递增，f (x )在x ＝0处取得最小值，显然不可能．②若a ＞0，f ′(x )＝0解得x ＝±a .当x ＞a 时，f (x )为增函数，当0＜x ＜a 时，f (x )为减函数，故f (x )在x ＝a 处取得极小值，也是最小值，所以极小值点应在(0,1)内，符合要求．综上所述，a 的取值范围为(0,1)，故选B ． 6．对于函数f (x )＝x 3－3x 2，给出下列命题： (1)f (x )是增函数，无最值； (2)f (x )是减函数，无最值；(3)f (x )的递增区间为(－∞，0)和(2，＋∞)，递减区间为(0,2)； (4)f (0)＝0是最大值，f (2)＝－4是最小值． 其中正确的有( A ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 f ′(x )＝3x 2－6x ，令f ′(x )＝3x 2－6x >0，得x >2或x <0；令f ′(x )＝3x 2－6x <0，得0<x <2，所以函数f (x )在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减，当x ＝0和x ＝2时，函数分别取得极大值0和极小值－4，但在整个定义域上无最值．二、填空题7．函数y ＝x ＋2cos x 在⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值时，x 的值为__π6__. 解析 y ′＝(x ＋2cos x )′＝1－2sin x . 令1－2sin x ＝0且x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，解得x ＝π6. 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6时，y ′＞0，函数y ＝x ＋2cos x 单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π6，π2时，y ′＜0，函数y ＝x ＋2cos x 单调递减； 所以当x ＝π6时取得最大值．8．已知f (x )＝x 3＋3x 2＋a (a 为常数)在[－3,3]上有最小值3，那么在[－3,3]上f (x )的最大值是__57__.解析 f ′(x )＝3x 2＋6x ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2，f (－3)＝a ，f (－2)＝4＋a ，f (0)＝a ，f (3)＝54＋a ，∵f (x )在[－3,3]上有最小值3，∴a ＝3，∴f (x )在[－3,3]上的最大值是f (3)＝54＋a ＝57.9．已知函数f (x )＝x 3＋x 对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围是__⎝⎛⎭⎫－2，23__. 解析 函数f (x )＝x 3＋x 在R 上是奇函数且为增函数，又f (mx －2)＋f (x )<0，所以f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，所以mx －2<－x 在m ∈[－2,2]上恒成立，即(m ＋1)x －2<0在m ∈[－2,2]上恒成立．令g (m )＝(m ＋1)x －2，只需⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)<0，g (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧(－2＋1)x －2<0，(2＋1)x －2<0，解得－2<x <23.所以x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，23. 三、解答题10．求函数f (x )＝x 3－3x 在⎣⎡⎦⎤－3，32上的最大值和最小值． 解析 f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.又因为f (－3)＝－18，f (－1)＝2，f (1)＝－2， f ⎝⎛⎭⎫32＝－98， 所以当x ＝－3时，f (x )min ＝－18， 当x ＝－1时，f (x )max ＝2.11．已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b .若f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29，试求a ，b 的值．解析 f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)． 令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a ＞0时，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.所以，当x ＝0时，f (x )取最大值f (0)＝b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3，f (－1)＞f (2)， 即当x ＝2时，f (x )取最小值f (2)＝－16a ＋3＝－29，得a ＝2. (2)当a ＜0时，x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表.所以，当x ＝0时，f (x )取最小值f (0)＝b ＝－29. 又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29，f (2)＞f (－1)， 即当x ＝2时，f (x )取最大值f (2)＝－16a －29＝3， 得a ＝－2.综上所述，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. 12．已知函数f (x )＝ax －2x－3ln x ，其中a 为常数．(1)若函数f (x )的图象在点⎝⎛⎭⎫23，f ⎝⎛⎭⎫23处的切线与直线x ＋y －2＝0垂直，求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤32，3上的值域； (2)若函数f (x )在区间[1，＋∞)上单调递减，求实数a 的取值范围． 解析 (1)函数f (x )＝ax －2x －3ln x 的定义域是(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋2x 2－3x .由题意可知f ′⎝⎛⎭⎫23＝1，即a ＋2⎝⎛⎭⎫232－323＝1，解得a ＝1， 所以f (x )＝x －2x －3ln x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤32，3， 所以f ′(x )＝(x －1)(x －2)x 2.由f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝1(舍去)． 当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表．所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤32，3上的值域为⎣⎡⎦⎤1－3ln 2，73－3ln 3. (2)f ′(x )＝a ＋2x 2－3x ＝ax 2－3x ＋2x 2，由题意得ax 2－3x ＋2≤0在[1，＋∞]上恒成立． 设h (x )＝ax 2－3x ＋2，①当a ＝0时，令h (x )＝－3x ＋2≤0，则x ≥23，显然成立；②当a <0时，h (x )在[1，＋∞)上单调递减， 所以h (x )＝ax 2－3x ＋2在x ＝1处取得最大值， 令h (1)＝a ·12－3×1＋2≤0，得a ≤1，所以此时a <0； ③当a >0时，显然不成立．综上可得，实数a 的取值范围是(－∞，0]．由Ruize收集整理。
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.3 1.3.3 函数的最大(小)值与导数
(2)若 a<0，f′(x)，f(x)随 x 的变化情况见下表：
x f′(x) f (x )
(－,2) ＋ ↗
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∴当 x＝0 时，f(x)取得最小值 f(0)＝b＝－29.
又 f(2)＝－16a－29， f(－1)＝－7a－29<f(2)， ∴当 x＝2 时， f(x)取得最大值， 即－16a－29＝3，∴a＝－2.
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π π 可知[f(x)]max＝ ，[f(x)]min＝－ . 2 2
题型2
由函数的最值确定参数
例2 若f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3， 最小值是－29，求a，b的值．
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解析：f′(x)＝3ax2－12ax＝3a(x2－4x)． 令 f′(x)＝0，得 x＝0 或 x＝4. ∵x∈[－1,2]，∴x＝0. 由题意知 a≠0.
a＝2， a＝－2， 综上所述， 或 b＝3 b＝－29.
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点评：解决此类问题的关键在于确定函数最大值、最小值 对应的自变量的值(即最值点)，然后列方程或不等式解得参数 的值或范围，若所含参数对单调性有影响时常需分类讨论．
跟 踪 训 练
3 2 2． 如果函数 f(x)＝x － x ＋a 在[－1,1]上的最大值是 2， 2
28 4 ，最小值为－ . 3 3
点评：(1)求 f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步 骤如下： ①求函数 y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②计算出 f(a)，f(b)的值； ③比较 f(a)，f(b)与各极值的大小，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值． (2)用导数方法求函数最值(包括值域)的方法： ①对比极值点及端点值； ②利用单调性．
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2_2
判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的 主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也 都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而 得到的函数．
1.指出下列函数的复合关系： (1)y＝cos( 3x＋1)；(2)y＝e3x2＋2；(3)y＝(1＋15x)3.
第1章 导数及其应用
1.2.3 简单复合函数的导数
第1章 导数及其应用
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则 进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如 f(ax＋b)的导数)．
1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．如 y＝sin 2x 由 y＝sin u 及 u＝_2_x__复合而成． 2．复合函数的求导法则 若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 yx′＝__y_u_′·_u_x_′ _____，即 yx′＝___y_u_′·_a___． 其中 yx′，yu′分别表示 y 关于 _x__的导数及 y 关于_u__的导数．
1．函数 y＝(3x－2)2 的导数 y′＝________． 解析：y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)． 答案：18x－12
2．若 f(x)＝sin3x＋π4，则 f′π4＝________． 解析：f′(x)＝3cos3x＋π4，所以 f′π4＝－3. 答案：－3
3．设曲线 y＝eax 在点(0，1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直， 则 a＝________． 解析：由题意知 y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2. 答案：2
(2)设 y＝cos u，u＝53π－7x.
高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3 二项式定理习题课教案 新人教A版选修2-
二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________． 答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝－mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念 例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值X 围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．[巩固练习]试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数． 解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为假设干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．[巩固练习](1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121 解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题 例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，此题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．[巩固练习]m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7， (1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)． 解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题 例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察此题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．[巩固练习] 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k ，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5假设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．[巩固练习](1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7， 求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，那么a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 那么a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. [拓展实例]例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A．1 B．46 C．4 245 D．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．此题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r＋1＝C r6(x13)r＝C r6xr3，r＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k＋1＝C k10(x－14)k＝C k10x－k4，k＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r6x r3C k10x－k4＝C r6C k10xr3－k4，令r3－k4＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意此题中，常数项的位置有三处．[巩固练习](1＋x＋x2)(x＋1x3)n的展开式中没有．．常数项，n∈N*，且2≤n≤8，那么n＝______.解析：依题意(x＋1x3)n，对n∈N*，且2≤n≤8中，只有n＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数的项．故填5.答案：5[变练演编](1)对于9100你能编出什么样的整除问题？如9100被________整除的余数是________．(2)(2x2－1x)6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．[达标检测] 1．(x －13x)12展开式中的常数项为( )A ．－1 320B ．1 320C ．－220D ．220 2．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 3．假设(1－2x)2 005＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 005x2 005(x∈R )，那么(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷〞)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题． 3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣． 设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分表达新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁〞精神，真正表达了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习[基础练习]1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，那么展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，那么有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，应选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． [拓展练习]5．(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，那么k ＝____________. 6．设n∈N ，那么C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r6(kx 2)r＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料 二项式定理 同步练习选择题1．C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )word11 / 11 A ．14 B ．12 C ．13 D ．152．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4n C.4n 3－1 D.4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n，那么a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …() A ．22n B ．3n C.3n －12 D.3n＋126．假设n 是正奇数，那么7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( )A ．2B ．5C ．7D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511 B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n a n ＋1－rb r －19．3。
【人教A版】数学《优化方案》选修2-2课件第1章1.3.3
x f′(x)
f(x)
(－1,0)
0
(0,2)
＋
0
－
↗ 最大值3 ↘
∴当x＝0时，f(x)取最大值，∴b＝3. 又f(2)＝8a－24a＋3＝－16a＋3， f(－1)＝－7a＋3>f(2)， ∴当x＝2时，f(x)取最小值，－16a＋3＝－29， ∴a＝2， ∴a＝2，b＝3.
【思维总结】 本题属于逆向探究题型．解这 类问题的基本方法是待定系数法．从逆向思维 出发，实现由已知向未知的转化，最终落脚在 比较极值与端点值大小上，从而解决问题．
【解】 ∵f(x)＝x3－12x2－2x＋5， ∴f′(x)＝3x2－x－2. 令 f′(x)＝0，即 3x2－x－2＝0，
∴x＝1，或 x＝－23. 列表：
x －1
(－1，－23) －23
(－23，1)
1
(1,2) 2
f′(x)
f(x)
11
2
＋
↗
0
157 27
－
↘
0
7 2
＋
↗
7
∴当 x＝－23时，f(x)取得极大值 f－23＝52227；
值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注
意以下几点： (1)对函数进行准确求导； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点 函数值； (3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要 利用作差或作商，甚至要分类讨论．
变式训练1 求下列各函数的最值． (1)f(x)＝－x4＋2x2＋3，x∈[－3,2]； (2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a为正常数． 解：(1)f′(x)＝－4x3＋4x， 令f′(x)＝－4x(x＋1)(x－1)＝0， 得x＝－1或x＝0或x＝1. 当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
2017_2018版高中数学第1章导数及其应用1_2_3简单复合函数的导数学案苏教版选修2_2
1．2.3 简单复合函数的导数学习目标 1.理解掌握复合函数的求导法则.2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导．知识点复合函数的概念及求导法则已知函数y＝2x＋5＋ln x，y＝ln(2x＋5)，y＝sin(x＋2)．思考1 这三个函数都是复合函数吗？思考2 试说明函数y＝ln(2x＋5)是如何复合的？思考3 试求函数y＝ln(2x＋5)的导数．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成________，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝______复合函数的求导复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的法则 关系为y ′x ＝__________，即y 对x 的导数等于____________________________类型一 复合函数的概念例1 下列函数是否为复合函数，若是，说明是怎样复合而成的？(1)y ＝(2－x 2)3；(2)y ＝sin x 2；(3)y ＝cos(π4－x )； (4)y ＝ln sin(3x －1)．反思与感悟 根据复合函数的定义，若是一个复合函数，分清哪个是里层函数，哪个是外层函数，引入中间变量，将复合函数分解成较为简单的函数．跟踪训练1 写出由下列函数复合而成的函数．(1)y ＝cos u ，u ＝1＋x 2；(2)y ＝ln u ，u ＝ln x .类型二 求复合函数的导数例2 求下列函数的导数：(1)y ＝32x －1； (2)y ＝12x ＋14；(3)y ＝5log 3(1－x )；(4)y ＝x 2cos(2x －π3)．跟踪训练2 (1)若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.(2)已知y ＝ln 3x ex ，则y ′|x ＝1＝________. (3)已知y ＝sin 3x ＋cos 3x ，则y ′＝________________________________________. 类型三 复合函数导数的综合应用例3 求曲线y ＝1x 2－3x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12处的切线方程．反思与感悟 (1)复合函数的导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．(2)先求出复合函数的导数，若已知切点，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．跟踪训练3 设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R 且为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切．求a ，b 的值．1．函数y＝sin3x是由函数________________复合而成的．2．设f(x)＝e－x则f′(x)＝________.3．函数y＝(1－2x)4在x＝12处的导数为________．4．过曲线y＝11＋x2上一点，使曲线在该点的切线平行于x轴，求切线方程．1．复合函数求导的步骤2．求复合函数的导数的注意点：(1)分解的函数通常为基本初等函数；(2)求导时分清是对哪个变量求导；(3)计算结果尽量简洁．提醒：完成作业 1.2.3答案精析问题导学 知识点思考1 函数y ＝ln(2x ＋5)，y ＝sin(x ＋2)是复合函数，函数y ＝2x ＋5＋ln x 不是复合函数． 思考2 设u ＝2x ＋5，则y ＝ln u ，从而y ＝ln(2x ＋5)可以看作是由y ＝ln u 和u ＝2x ＋5，经过“复合”得到的，即y 可以通过中间变量u 表示为自变量x 的函数．思考3 y ′＝12x ＋5·(2x ＋5)′＝22x ＋5. x 的函数 f (g (x )) y ′u ·u ′x y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积题型探究例1 解 (1)y ＝(2－x 2)3是由y ＝u 3及u ＝2－x 2复合而成．(2)y ＝sin x 2是由y ＝sin t 及t ＝x 2复合而成．(3)y ＝cos(π4－x )是由y ＝cos u 及u ＝π4－x 复合而成． (4)y ＝ln sin(3x －1)是由y ＝ln u ，u ＝sin t 及t ＝3x －1复合而成．跟踪训练1 解 (1)y ＝cos(1＋x 2)．(2)y ＝ln(ln x )．例2 解 (1)函数y ＝32x －1看作函数y ＝3u 与函数u ＝2x －1的复合， ∴y ′＝y ′u ·u ′x ＝(3u )′·(2x －1)′＝(2ln 3)·3u ＝2·32x －1·ln 3. (2)y ＝12x ＋14＝(2x ＋1)－4，函数y ＝12x ＋14看作函数y ＝u －4与u ＝2x ＋1的复合． y ′＝y ′u ·u ′x ＝(u －4)′·(2x ＋1)′＝－4u －5×2＝－8(2x ＋1)－5＝－82x ＋15.(3)函数y ＝5log 3(1－x )看作函数y ＝5log 3u 与函数u ＝1－x 的复合．y ′＝y ′u ·u x ′＝(5log 3u )′(1－x )′＝5u ln 3×(－1)＝5ln 3x －1.(4)函数t ＝cos(2x －π3)看作函数t ＝cos u 与u ＝2x －π3的复合． ∴[cos(2x －π3)]′＝(cos u )′(2x －π3)′＝－2sin u ＝－2sin(2x －π3)， ∴y ′＝(x 2)′cos(2x －π3)＋x 2[cos(2x －π3)]′ ＝2x cos(2x －π3)－2x 2sin(2x －π3)． 跟踪训练2 (1)1 (2)1－ln 3e(3)3sin 2x cos x －3sin 3x例3 解 y ′＝[(x 2－3x )－12]′＝－12(x 2－3x )－32·(2x －3)， ∴y ＝1x 2－3x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，12处的切线斜率为k ＝y ′| x ＝4＝－12×(42－3×4)－32×(2×4－3)＝－516， ∴切线方程为y －12＝－516(x －4)，即5x ＋16y －28＝0. 跟踪训练3 解 由y ＝f (x )过点(0,0)得b ＝－1，∴f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax －1，∴f ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1＋a ， 又∵曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在点(0,0)相切，即曲线y ＝f (x )在点(0,0)处切线的斜率为32，∴f ′(0)＝32，即1＋12＋a ＝32，∴a ＝0. 达标检测1．y ＝u 3及u ＝sin x 2.－e －x 3.04．解 设切点的坐标为(x 0，y 0)，因为过点(x 0，y 0)的切线平行于x 轴，于是k ＝0，由导数几何意义知k ＝f ′(x 0)＝－2x 01＋x 202＝0，所以x 0＝0.又因为点(x 0，y 0)在曲线y ＝11＋x2上，将x 0＝0代入得y 0＝1.故切点坐标为(0,1)，切线方程为y －1＝0.。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2
导数在研究函数中的应用—单调性一、教材分析本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。
它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．二、学情分析学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。
通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。
事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。
教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。
师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．三、教学目标1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．四、教学重点、难点我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。
其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。
教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。
五、教学方法与教学手段教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。
教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。
教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。
六、教学过程教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。
高中数学(A版)选修2-1 1.3.3逻辑联结词“非”
否定 ≠
≤
例题讲解
例4 写出下列命题的否定,并判断它 们的真假:
(1) p : 3 2 ; ( 2 ) p : 空集是集合 A 的子集 ;
( 3 ) p : 等腰三角形底边上的高 和底边上的中线重合 .
解 : (1) p : 3 2 , ( 2 ) p : 空集不是集合 A 的子集 ;
真 假
和底边的
( 3 ) p : 等腰三角形底边上的高 上中线不重合
假
强调:在数学中,逻辑联结词“且”, “或”,“非”不 定联结命题.有时我们也可以用它们联结一些 “条件”,形成一些新的条件.如:
(1)" x 3" 且 " x 5 " , 它表示的是 ( 2 )" x 0 " 或 " x 5 " , 它表示的是 ( 3 )" x 0 " 的否定 , 它表示的是 :" 3 x 5 ". :" x 0 或 x 5 ". :" x 0 ".
p
读作”非p”或”p的否定”
若p是真命题,则 p 必是假命题;若 p是假命题,则 p 必是真命题.
强调:在命题和它ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ非命题中,有一个且只有 一个是真命题.
“非”命题对常见的几个正面词语的否定.
正面 = > 是 至多有 至少有 任 一个 一个 意 的 不是 不都是 至少有 没有一 某 两个 个 个 都是 所有 的 某些
• (1)35能被5整除;
• (2)35不能被5整除. (2)是(1)的否定
再看以下列: (1)p:平面内垂直于同一直线的二条直线平行, q:平面内垂直于同一直线的二条直线不平行; (2)p: y sin x 是周期函数, q: y sin x 不是周期函数. 其中q都是p的否定
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1.3.3 函数的最大(小)值与导数课时目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念.2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．最大值：如果在函数定义域I内存在x0，使得对任意的x∈I，总有__________，则称f(x0)为函数在____________的最大值．2．一般地，如果在区间[a，b]上的函数y＝f(x)的图象是一条____________的曲线，那么f(x)必有最大值和最小值．此性质包括两个条件：(1)给定函数的区间是__________；(2)函数图象在区间上的每一点必须______________．函数的最值是比较整个__________的函数值得出的，函数的极值是比较______________的函数值得到的．3．一般地，求f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：(1)求f(x)在(a，b)内的________；(2)将f(x)的各极值与________________________比较，其中________的一个是最大值，________的一个是最小值．一、选择题1．下列结论正确的是()A．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极大值一定是[a，b]上的最大值B．若f(x)在[a，b]上有极小值，则极小值一定是[a，b]上的最小值C．若f(x)在[a，b]上有极大值，则极小值一定是x＝a和x＝b时取得D．若f(x)在[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值2．函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,5]上的最大值和最小值是()A．f(1)，f(3) B．f(3)，f(5)C．f(1)，f(5) D．f(5)，f(2)3．函数y＝xe x在[0,2]上的最大值是()A．当x＝1时，y＝1eB．当x＝2时，y＝2e2C．当x＝0时，y＝0 D．当x＝12，y＝12e4．函数y＝x＋1－x在(0,1)上的最大值为() A. 2 B．1 C．0 D．不存在5．已知函数f (x )＝ax 3＋c ，且f ′(1)＝6，函数在[1,2]上的最大值为20，则c 的值为( ) A ．1 B ．4 C ．－1 D ．06．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在[a,2]上的最大值为154，则a 等于( )A ．－32 B.12C ．－12D ．－12或－327．函数f (x )＝ln x －x 在(0，e]上的最大值为________．8．函数f (x )＝12e x (sin x ＋cos x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为________． 9．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M －N 的值为________．三、解答题10．求下列各函数的最值． (1)f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，x ∈[0,2]；(2)f (x )＝x 3－3x 2＋6x －2，x ∈[－1,1]．11.已知f (x )＝x 3－x 2－x ＋3，x ∈[－1,2]，f (x )－m <0恒成立，求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f (x )＝12x 2e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )>m 恒成立，求实数m 的取值范围．13．已知函数f (x )＝x ，g (x )＝a ln x ，a ∈R .(1)设函数h (x )＝f (x )－g (x )，当h (x )存在最小值时，求其最小值φ(a )的解析式； (2)对(1)中的φ(a )和任意的a >0，b >0，证明： φ′(a ＋b 2)≤φ′(a )＋φ′(b )2≤φ′(2ab a ＋b )．1．求闭区间上函数的最值也可直接求出端点函数值和导数为零时x 对应的函数值，通过比较大小确定函数的最值．2．在求解与最值有关的函数综合问题时，要发挥导数的解题功能，同时也要注意对字母的分类讨论；而有关恒成立问题，一般是转化为求函数的最值问题．答案知识梳理1．f (x )≤f (x 0) 定义域上2．连续不断 (1)闭区间 (2)连续不间断 定义域 极值点附近 3．(1)极值 (2)端点处的函数值f (a )，f (b ) 最大 最小 作业设计1．D [函数f (x )在[a ，b ]上的极值不一定是最值，最值也不一定是极值，极值一定不会 在端点处取得，而在[a ，b ]上一定存在最大值和最小值．] 2．D [f ′(x )＝2x －4，令f ′(x )＝0，得x ＝2. ∵f (1)＝－2，f (2)＝－3，f (5)＝6. ∴最大值为f (5)，最小值为f (2)．]3．A [y ′＝e x－x ·e x(e x )2＝1－xe x ，令y ′＝0得x ＝1.∵x ＝0时，y ＝0，x ＝1时，y ＝1e ，x ＝2时，y ＝2e 2，∴最大值为1e (x ＝1时取得)．]4．A [y ′＝12x －121－x .由y ′＝0，得x ＝12.又0<x <12y ′>0，12<x <1时，y ′<0，所以y max ＝12＋ 1－12＝ 2.]5．B [∵f ′(x )＝3ax 2，∴f ′(1)＝3a ＝6，∴a ＝2.当x ∈[1,2]时，f ′(x )＝6x 2>0，即f (x )在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝2×23＋c ＝20，∴c ＝4.]6．C [y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1.当a ≤－1时，最大值为f (－1)＝4，不合题 意．当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上单调递减，最大值为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154，解得a＝－12或a ＝－32(舍去)．] 7．－1解析 f ′(x )＝1x －1＝1－x x ，令f ′(x )>0得0<x <1，令f ′(x )<0得x <0或x >1，∴f (x )在(0,1]上是(1，e]上是减函数．∴当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝－1.8.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，122e π 解析 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴f ′(x )＝e xcos x ≥0，∴f (0)≤f (x )≤f ⎝⎛⎭⎫π2. 即12≤f (x )≤122e π9．20解析 f ′(x )＝3x 2－3，令f ′(x )＝0， 得x ＝1，(x ＝－1舍去)．∵f (0)＝－a ，f (1)＝－2－a ，f (3)＝18－a . ∴M ＝18－a ，N ＝－2－a .∴M －N ＝20. 10．解 (1)因为函数f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，所以f ′(x )＝11＋x －12x ＝－x 2－x ＋22(1＋x )＝－(x ＋2)(x －1)2(1＋x )，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－2(舍去)． 当x 变化时，f ′(x )及f (x )的变化情况如下表∴当x ＝1时，f (x )取得最大值ln 2－4，又∵ln 3－1>0，∴当x ＝0时，f (x )取得最小值0.即f (x )在[0,2]上的最大值为ln 2－14，最小值为0.(2)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2) ＝3(x －1)2＋3，∵f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， ∴f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )最小值＝－12； x ＝1时，f (x )最大值＝2.即f (x )在[－1,1]上的最小值为－12，最大值为2. 11．解 由f (x )－m <0，即m >f (x )恒成立， 知m >f (x )max ，f ′(x )＝3x 2－2x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝－13或x ＝1.因为f (－13)＝8627，f (1)＝2，f (－1)＝2，f (2)＝5. 所以f (x )的最大值为5， 故m 的取值范围为(5，＋∞)．12．解 (1)f ′(x )＝x e x＋12x 2e x ＝ex2x (x ＋2)．由ex2x (x ＋2)>0，解得x >0或x <－2， ∴(－∞，－2)，(0，＋∞)为f (x )的增区间， 由e x2x (x ＋2)<0，得－2<x <0， ∴(－2,0)为f (x )的减区间．∴f (x )的单调增区间为(－∞，－2)，(0，＋∞)； 单调减区间为(－3,0)．(2)令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝－2， ∵f (－2)＝2e 2，f (2)＝2e 2，f (0)＝0，∴f (x )∈[0,2e 2]，又∵f (x )>m 恒成立，∴m <0. 故m 的取值范围为(－∞，0)．13．(1)解 由条件知h (x )＝x －a ln x (x >0)， ∴h ′(x )＝12x －ax ＝x －2a 2x .①当a >0时，令h ′(x )＝0，解得x ＝4a 2， ∴当0<x <4a 2时，h ′(x )<0，h (x )在(0,4a 2)上递减； 当x >4a 2时，h ′(x )>0，h (x )在(4a 2，＋∞)上递增．∴x ＝4a 2是h (x )在(0，＋∞)上的唯一极值点，且是极小值点，从而也是h (x )的最小值 点．∴最小值φ(a )＝h (4a 2)＝2a －a ln 4a 2＝2a (1－ln 2a )． ②当a ≤0时，h ′(x )＝x －2a2x>0，h (x )在(0，＋∞)上递增，无最小值． 故h (x )的最小值φ(a )的解析式为 φ(a )＝2a (1－ln 2a )(a >0)．(2)证明 由(1)知φ′(a )＝－2ln 2a ， 对任意的a >0，b >0，φ′(a )＋φ′(b )2＝－2ln 2a ＋2ln 2b2＝－ln 4ab ，①φ′(a ＋b 2＝－2ln(2·a ＋b 2)＝－ln(a ＋b )2≤－ln 4ab ，②φ′(2ab a ＋b ＝－2ln(2·2ab a ＋b )≥－2ln 4ab 2ab＝－ln 4ab ，③ 故由①②③得φ′(a ＋b 2≤φ′(a )＋φ′(b )2≤φ′(2ab a ＋b )．。