人教版高一(上)1.7四种命题第2课时教案
高中数学四中命题教案模板
一、教学目标1. 知识与技能目标：（1）掌握四中命题的概念、性质及判断方法；（2）学会利用四中命题进行逻辑推理，解决实际问题。
2. 过程与方法目标：（1）通过讨论、探究，提高学生的逻辑思维能力；（2）培养学生分析问题、解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观目标：（1）激发学生的学习兴趣，提高数学学习的积极性；（2）培养学生严谨、求实的科学态度。
二、教学重难点1. 教学重点：（1）四中命题的概念、性质及判断方法；（2）利用四中命题进行逻辑推理。
2. 教学难点：（1）四中命题的应用；（2）逻辑推理能力的培养。
三、教学准备1. 教师准备：（1）PPT课件；（2）四中命题相关习题；（3）课堂活动设计。
2. 学生准备：（1）预习四中命题的相关知识；（2）准备好笔记本和笔。
四、教学过程1. 导入新课（1）复习上一节课所学内容，引导学生回顾命题、逆命题、否命题和逆否命题的概念；（2）提出本节课的学习目标，激发学生的学习兴趣。
2. 新授课程（1）讲解四中命题的概念、性质及判断方法，结合实例进行讲解；（2）引导学生进行课堂讨论，探讨四中命题的应用；（3）通过小组合作，完成课堂活动，让学生在实践中掌握四中命题的运用。
3. 练习巩固（1）教师布置课堂练习，让学生巩固所学知识；（2）教师巡视指导，解答学生疑问。
4. 课堂小结（1）回顾本节课所学内容，总结四中命题的概念、性质及判断方法；（2）强调四中命题的应用，引导学生关注实际生活中的逻辑推理问题。
5. 作业布置（1）布置课后作业，巩固所学知识；（2）要求学生课后自主探究，提高逻辑推理能力。
五、教学反思1. 教师反思：（1）教学过程中，是否注重培养学生的逻辑思维能力；（2）是否合理运用教学方法和手段，提高学生的学习兴趣；（3）教学效果如何，是否达到预期目标。
2. 学生反思：（1）对本节课所学内容是否掌握；（2）是否能在实际生活中运用四中命题进行逻辑推理；（3）对数学学习的兴趣是否有所提高。
[鼎尖教案]人教版高中数学必修系列：1.7四种命题(第二课时)
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[鼎尖教案]人教版高中数学必修系列：1.7四种命题（第二课时）第二课时●课题§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判断●教学目标 (一)教学知识点1.四种命题之间的相互关系.2.一个命题的真假与其他三个命题真假之间的关系.3.互为逆否命题的等价性. (二)能力训练要求1.理解四种命题之间的相互关系.2.理解一个命题的真假及其他三个命题真假之间的关系.3.理解和掌握互为逆否命题的等价性. 4.培养学生的逻辑推理能力. (三)德育渗透目标1.使学生认识到在日常生活，学习和工作中，基本的逻辑知识及推理能力是认识问题、分析问题不可缺少的工具.2.进一步提高和培养学生的逻辑思想能力. ●教学重点1.四种命题之间的关系.2.四种命题的真假判断方法.3.互为逆否命题的等价性. ●教学难点1.理解四种命题间的关系.2.互为逆否命题的等价性在判断命题真假时的应用. ●教学方法讲、议、练结合教学法.在上节学生掌握四种命题的概念的基础上，通过实例的讨论、归纳出四种命题之间的相互关系，并利用四种命题形式上的相对性，由学生讨论回答出：把其中任何一个命题看作原命题时，和它构成“互逆”“互否”“互为逆否”关系的另一个命题，使学生灵活掌握四种命题之间关系，以突破四种命题真假关系的难点.●教具准备多媒体课件或幻灯片四张.第一节（记作§1.7.2A) 第二张（记作§1.7.2B）原命题“若a=0，则ab=0.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. 第三张（记作§1.7.2C）［例2］设原命题是：“当c＞0，若a＞b，则ac＞bc.”写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假. 第四张（记作1.7.3D）［例3］写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假： 22（1）若a+b=0，则a、b全为0. 2（2）若a＞0，则x+x-a=0有实数根●教学过程Ⅰ.复习回顾［师］什么叫做原命题的逆命题、否命题、逆否命题？［生］若原命题是“若p则q”，则它的逆命题是“若q则p”；否命题是“若?p则?q”；逆否命题是“若?q则?p”.［师］回答正确，本节将进一步研究讨论四种命题之间的关系及它们的真假判断. Ⅱ.讲授新课§1.7.2 四种命题之间的相互关系及真假判断 1.四种命题之间的相互关系（师用多媒体课件或幻灯片§1.7.2A投影出四个命题）［师］请同学们分组讨论后回答下列问题：（1）哪些之间是互逆关系？（2）哪些之间是互否关系？（3）哪些之间是互为逆否关系？［生］原命题和逆命题之间是互逆关系. ［师］还有互逆关系吗？［生］否命题和逆否命题之间也是互逆关系.［生］原命题和否命题、逆命题和逆否命题之间是互否命题关系. 原命题和逆否命题，逆命题和否命题之间是互为逆否关系.（在学生回答时，教师同时在多媒体课件或幻灯片中投影出命题之间的相互关系）［师］同学们已明确了四种命题之间的关系，下面继续讨论：（板书） 2.四种命题的真假之间的关系：［师］请看例题：（幻灯片§1.7.2B) 原命题：“若a=0，则ab=0”.写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假. ［生］逆否命题是：“若ab=0，则a=0”.原命题“若a=0，则ab=0”为真命题；逆命题为假命题.［师］原命题与逆命题的真假关系如何？[生甲]由上例可知，原命题为真，它的逆命题一定为假. [生乙]上述结论不一定成立.例如：“两直线平行，同位角相等”的逆命题为“同位角相等，两直线平行”，原命题和逆命题都是真命题.我认为：真假关系是：原命题为真，它的逆命题不一定为真.［师］第二位同学回答正确.那么它的否命题呢？［生］它的否命题是：“若a≠0, 则ab≠0.”为假命题. ［师］你认为原命题与它的否命题的真假关系如何？［生］原命题为真，它的否命题不一定为真. ［师］正确.它的逆否命题呢？［生］它的逆否命题是：“若ab≠0，则a≠0”为真命题. ［师］原命题与它的逆否命题的真假关系如何？（由学生充分讨论例证后回答）［生］原命题为真，它的逆否命题一定为真.［师］那么原命题的否命题与它的逆命题之间的真假关系如何？［生］因原命题的否命题与它的逆命题之间是互为逆否关系，所以若原命题的否命题为真则原命题的逆命题也一定为真.［师］请一同学归纳上述讨论情况（生归纳时，师板书）. ［生］（1）原命题为真，它的逆命题不一定为真.（2）原命题为真，它的否命题不一定为真.（3）原命题为真，它的逆否命题一定为真.［师］归纳正确，由上述归纳可知：两个互为逆否命题的真假是相同的.即两个互为逆否命题是等价命题.请同学们理解并熟记.若判断一个命题的真假较困难时，可转化为判断其逆否命题的真假.［师］下面看例题：（幻灯片§1.7.2C) ［例2］设原命题是：“当c＞0时，若a＞b,则ac＞bc.”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断它们的真假. ［师］（强调分析）此命题中“c＞0”是命题的大前提，写其他命题时必须保留；原命题的条件是“a＞b”，结论是“ac＞bc.”［生］逆命题是“当c＞0时，若ac＞bc，则a＞c”逆命题为真. 否命题是：“当c＞0时，若a＜b，则ac＜bc”否命题为真. 逆否命题是：“当c＞0时,若ac＜bc则a＜b”，逆否命题为真. ［师］上名同学回答正确吗？［生］不完全正确，否命题是：“当c＞0时，若a≤b，则ac≤bc，”逆否命题是：“当c＞0时，若ac≤bc,则a≤b”.［师］回答正确，应注意：“a＞b”否定应为“a≤b”而不是“a＜b”. ［师］请同学们讨论回答下列例题：（幻灯片§1.7.2D)［例3］写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题，并判断它们的真假. 22（1）若a+b=0，则a,b全为0. 2（2）若a＞0，则x+x-a=0有实数根. [生甲]（1）原命题“若a+b=0，则a,b令为0”的逆命题为“若a,b全为0，则a+b=0”，逆命题为真.22否命题为：“若a+b≠0，则a,b全不为0.”22逆否命题为：“若a，b全不为0，则a+b≠0”,其否命题为假，逆否命题为真. ［师］请同学们讨论上述同学的回答是否正确。
第二课时 四种命题及其关系教案
第二课时四种命题及其关系一、学习目标：知识与技能:了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假。
过程与方法:多让学生举命题的例子，并写出四种命题，学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力，培养学生抽象概括能力和思维能力。
情感、态度与价值观:通过学生的举例，激发学生学习数学的兴趣和积极性，培养他们的辨析能力以及培养他们的分析问题和解决问题的能力。
二、重点难点：重点：会写四种命题并会判断命题的真假；四种命题的相互关系难点：命题的否定与否命题的区别；写出原命题的逆命题、否命题和你否命题；分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假三、复习引入问题1.什么是命题？（在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫命题。
）问题2、命题是由哪几部分构成的？（它由题设（条件）和结论两部分构成。
）问题3、命题有哪几种？（真命题，假命题）趣味数学:主人邀请张三、李四、王五三个人吃饭聊天，时间到了，只有张三和李四两人准时赶到，王五打来电话说：“临时有急事，不能来了。
”主人听了随口说了句：“你看看，该来的没有来。
”张三听了，脸色一沉，起来一声不吭地走了；主人愣了片刻，又道：“哎，不该走的又走了。
”李四听了大怒，拂袖而去。
请你用逻辑学原理解释这两人离去的原因。
四、讲授新课（一）问题情景观察与思考：下面命题2,3,4与命题1有何关系？1.如果两个三角形全等,那么它们的面积相等.2.如果两个三角形的面积相等,那么它们全等.3.如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等.4.如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.1.如果两个三角形全等,那么它们的面积相等.相 同 2.如果两个三角形的面积相等,那么它们全等1.如果两个三角形全等,那么它们的面积相等.否 定 否 定 3.如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等.互逆命题结论结论 条件 条件互否命题结论 结论 条件 条件1.如果两个三角形全等,那么它们的面积相等.否定4.如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等数学理论 １、互逆命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,那么我们称这两个命题为互逆命题。
高一数学 四种命题(第二课时) 知识全析 人教版
数学四种命题（第二课时）【学习目标】1．进一步掌握四种命题的关系．2．了解正难则反的逻辑思维形式．3．初步掌握反证法，明确其证明思路和语言格式．【学习障碍】1．在写否命题时，对于关键词的否定仍不够熟练．2．在反证法中，有些同学往往反设不正确，以致整个题做错．3．在反证法中，哪些题适用？如何找矛盾？与谁矛盾？仍是学生的一大难点．【学习策略】Ⅰ．学习导引1．预习课本P32~33．2．本课时的重点是反证法；难点是用反证法证明命题．本课时涉及的知识点有如下两个：(1)反证法：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫反证法．(2)反证法证明命题的一般步骤如下：(ⅰ)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(ⅱ)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；(ⅲ)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．Ⅱ．知识拓宽用逻辑知识解释反证法：从逻辑角度看，命题：“若p则q”的否定是“若p则非q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p则非q”为假，因此可知“若p则q”为真，像这样证明“若p则q”为真的证法叫反证法．用反证法证明：若p则q时，可能出现以下三种情况：①导出非p为真，即与原命题的条件矛盾．②导出q为真，即与假设非q为真矛盾．③导出一个恒假命题．Ⅲ．障碍分析1．如何灵活掌握原命题与逆否命题的等价关系？对于常见关键词的否定应熟悉(见上节表格)．另外还应根据题设环境选择到底用什么？如：“或的否定是且”，“且的否定是或”．2．如何使用反证法？准确地作出反设(即否定结论)是正确运用反证法的前提．否则推理论证就劳而无功．现将一些常用的“结［例1］用反证法证明：三角形的外角大于和它不相邻的任一内角．思路：根据初中的知识，先写出已知，求证，作出图，然后否定所证结论，推出矛盾．已知：如图1—25：在△ABC 中，∠ACD 是外角．求证：∠ACD ＞∠BAC ．证明：假设∠ACD 不大于∠BAC ． 即∠ACD ＝∠BAC 或∠ACD ＜∠BAC若∠ACD ＝∠BAC ，则由∠BAC 与∠ACD 互为内错角知：AB ∥CD ．即AB 、CD 不相交，与已知A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点相矛盾．若∠ACD ＜∠BAC ，则在BC 之间存在点B ′，使得∠BA ′C ＝∠ACD ，从△AB ′C 来看，又出现前面类似的矛盾． 所以假设不成立，即原命题成立．点评：1．∠ACD ＞∠BAC 的反设是∠ACD ≤∠BAC 而不是∠ACD ＜∠BAC ．2．如果结论的否定事项不止一个时，就必须将结论的所有否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题成立，这种反证法叫穷举法．3．哪些题适合用反证法？如何找矛盾？与谁矛盾？ (1)一般，下列命题宜用反证法． ①结论本身是以否定形式出现的； ②关于惟一性，存在性命题；③有关结论是以“至多”或“至少”的形式出现的；④结论的反面是比原结论更具体，更容易研究和掌握的命题．(2)在反证法的第二步中，把反设作为条件，进行逻辑推理，得出矛盾，这里的“矛盾”可以是下列矛盾之一． ①归引到与已知矛盾； ②归引到与假设矛盾；③归引到与已知定义、定理、公理相矛盾； ④归引到证明过程中的自相矛盾； ⑤归引到与作图相矛盾．［例2］若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋2π，b ＝y 2－2z ＋3π，c ＝z 2－2x ＋6π，求证：a ，b ，c 中至少有一个不大于零．思路：显然由于条件不容易推出结论，可考虑用反证法，先正确地作出反设，即“a ≤0，b ≤0，c ≤0”．再推出矛盾．证明：假设a ，b ，c 都不大于0，即：a ≤0，b ≤0，c ≤0，则a ＋b ＋c ≤0．而a ＋b ＋c ＝x 2－2y ＋2π＋y 2－2z ＋3π＋z 2－2x ＋6π ＝(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2＋π－3∵π－3＞0．∴无论x ，y ，z 为何实数，(x －1)2＋(y －1)2＋(z －1)2≥0，∴a ＋b ＋c ＞0，与a ＋b ＋c ≤0矛盾．∴a，b，c中至少有一个大于0．点评：①涉及至多，至少等问题时，往往考虑采用反证法．②在代数变形中，经常进行因式分解或配方．③由假设进行推理中，因选用的条件不同，得出的矛盾可能也就不同．矛盾是在推理过程中产生的，而不是在推理之前设计或确定．Ⅳ．思维拓展［例3］已知：l1，l2，l是同一平面内的三条直线，l1是l的垂线，l2是l的斜线．(如图1—26)．求证：l1和l2必相交．思路：这是平面几何中的一个起始命题，证明它时可以应用的定义，性质很少，也就是说直接法难以下手，但其结论的反面非常明显，不妨用反证法．证法一：假设l1和l2不相交，则l1∥l2，∴∠1＝∠2，∵l2是l的斜线，∴∠2≠90°，∠1≠90°．∴l1与l的交角不是直角，与垂线l的定义矛盾．∴l1与l2必相交．证法二：假设l1和l2不相交，则l1∥l2，∴∠1＝∠2，∵l2是l的斜线，∴∠2≠90°，∠1≠90°．∵l1是l的垂线，∴∠1＝90°与∠1≠90°自相矛盾．∴l1与l2必相交．证法三：假设l1和l2不相交，则l1∥l2，∠1＝∠2．∵l1⊥l，∴∠1＝90°，∠2＝90°．∴l2也是l的垂线与l2是l的斜线矛盾．∴l1与l2必相交．证法四：假设l1和l2不相交，则l1∥l2，∠1＝∠2．∵l2是l的斜线，∴∠2≠90°，∠1≠90°．∴l1不是l的垂线．这与已知条件l1是l的垂线矛盾．∴l1与l2必相交．点评：在反证法中，反设是惟一的，而最后推出的矛盾并不是惟一的，选用的条件不同，推出的矛盾也就不同，可见矛盾是在推理过程中发现的，而不是在推理之前就知道或预先设计的；再作出反设后，可把反设当成已知条件之一，和原有的条件合在一起，用它们的全部或部分进行逻辑推理，达到反证法的目的．Ⅴ．探究学习根据已有的证据，可以得到如下3个判断：①如果A无罪，则B与C都有罪；②在B与C中必有一人无罪；③要么A无罪，要么B有罪．请问：A，B，C中究竟谁有罪？【同步达纲练习】一、选择题1．若p，q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有A．p真q真 B．p假q假 C．p真q假 D．p假q真2．关于实数a，b，c以下叙述错误的是A．命题“a，b都是零”的否定形式是“a，b都不是零”B．命题“a，b至少有一个是零”的否定形式是“a，b都不是零”C．命题“a，b，c至多两个是零”的否定形式是“a，b，c都是零”D．命题“a，b，c至少两个是零”的否定形式是“a，b，c至多一个是零”3．否定结论“至多有两个解”的记法中，正确的是A．有一解B．有两解 C．至少有三解 D．至少有两解4．用反证法证明命题“已知△A′BC与△ABC有公共边BC，且∠BA′C＜∠BAC，求证A′在△ABC的外部”时，反设正确的是A．设点A′在△ABC的外部 B．设点A′在△ABC的边上C．设点A′在△ABC的内部 D．设点A′在△ABC的边上或在△ABC的内部二、填空题5．若0＜x＜5，则｜x－2｜＜5的逆否命题是_________．6．x≠±1的否定形式为_________，(x－1)(x－2)＝0的否定形式为___________．7．用反证法证明命题“若a∈R，3＋a是无理数，则a是无理数”如下：假设a是有理数，根据有理数运算法则，3＋a是有理数，这与_________矛盾，所以假设不成立，原命题正确．三、解答题8．已知a，b是实数，命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的否命题，逆否命题各是什么？9．已知下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围．参考答案【同步达纲练习】 一、1．A 提示：“或”的否定是“且”． 2．A 提示：“都是”的否定是“不都是”而不是“都不是”． 3．C 提示：“至多有n 个”的否定是“至少有n ＋1个”． 4．D 提示：“外部”的反面是“内部或边上”． 二、5．填“若｜x －2｜≥5，则x ≥5或x ≤0”． 6．x ≠±1的否定形式为x ＝1或x ＝－1(x －1)(x －2)＝0的否定：x －1≠0且x －2≠0． 7．与“3＋a 是无理数”矛盾．三、8．解：命题a 2＋b 2＝0，则a ＝0且b ＝0的否命题是：若a 2＋b 2≠0，则a ≠0或b ≠0．逆否命题是：若a ≠0或b ≠0，则a 2＋b 2≠0 9．解：假设三个方程均无实数根，则有由①得4a 2＋4a －3＜0，即－23＜a ＜21． 由②得(a ＋1)(3a －1)＞0，即a ＜－1或a ＞31． 由③得a(a ＋2)＜0，即－2＜a ＜0． 取①、②、③的并集得M ＝｛a ｜－23＜a ＜－1｝． 则使三个方程至少有一个方程有实根的实数a 的取值范围应为RM ，即｛a ｜a ≤－23或a ≥－1｝．。
高中数学命题教学教案
高中数学命题教学教案
教学目标：通过学习本课时的内容，学生能够掌握数学命题的相关概念和方法，能够灵活运用数学命题解决实际问题。
教学重点：数学命题的概念和性质
教学难点：命题的逻辑运算
教学步骤：
第一步：导入新知识
1. 讲解数学命题的概念和性质，引导学生了解命题的定义和特点。
2. 通过一些实际例子，让学生理解什么是数学命题，如何判断一个语句是否是命题。
第二步：学习命题的逻辑运算
1. 讲解命题的逻辑运算符号及其运算规则，包括合取、析取、否定、等价、蕴含等运算。
2. 给学生一些练习题，让他们熟练运用逻辑运算解决问题。
第三步：巩固知识点
1. 给学生一些练习题，让他们巩固所学知识点。
2. 老师对学生的练习进行批改和讲解，帮助学生理解和纠正错误。
第四步：拓展应用
1. 给学生一些拓展应用题，让他们将所学知识运用到实际问题中。
2. 引导学生思考数学命题在生活中的应用，并讨论其重要性。
第五步：总结复习
1. 对本课时的知识点进行总结复习，梳理逻辑运算的步骤和规则。
2. 鼓励学生提出问题，并对疑难点进行解答。
教学效果评价：
1. 参与度评价：观察学生在课堂上的积极参与程度。
2. 作业评价：检查学生对所学知识的掌握情况，提供及时反馈。
3. 测验评价：组织小测验，检验学生对数学命题的掌握情况。
4. 考试评价：在期末考试或模拟考试中设置相关题型，评估学生的学习效果。
高中数学四种命题精品公开课教案
四种命题【教学目标】了解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式和四种命题间的相互关系，会用等价命题判断四种命题的真假【教学重难点】重点：四种命题并会判断命题的真假、相互关系．难点：命题的否定与否命题的区别、分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假【教学过程】１．复习引入下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？（1）若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．（2）若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．（3）若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．（4）若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．2．定义问题一通过学生分析、讨论可以得到正确结论．紧接结合此例给出四个命题的概念，（１）和（２）这样的两个命题叫做互逆命题，（１）和（３）这样的两个命题叫做互否命题，（１）和（４）这样的两个命题叫做互为逆否命题。
定义１：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆命题．让学生举一些互逆命题的例子。
定义２：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一1个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题．让学生举一些互否命题的例子。
定义３：一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的逆否命题．让学生举一些互为逆否命题的例子。
小结：(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题就是它的逆命题：(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题就是它的否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题就是它的逆否命题．强调：原命题与逆命题、原命题与否命题、原命题与逆否命题是相对的。
高一数学 1.7 四种命题(2)教案
1.7 四种命题（2）教学目的：1．理解四种命题的关系，并能利用这个关系判断命题的真假2．理解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；并能用反证法证明一些命题；3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想教学重点：理解四种命题的关系教学难点：逆否命题的等价性授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：学生在初中数学中，学习过简单的命题(包括原命题与逆命题)知识，掌握了简单的推理方法(包括对反证法的了解)．由此，这一大节首先讲述四种命题及其相互关系，并且在初中的基础上，结合四种命题的知识，进一步讲解反证法．然后，通过若干实例，讲述了充分条件、必要条件和充要条件的有关知识．这一大节的重点是充要条件．学习简易逻辑知识，主要是为了培养学生进行简单推理的技能，发展学生的思维能力，在这方面，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件的有关内容是十分必要的．（初中数学中有关反证法的内容，要求比较低，并且基本没有涉及代数命题到高中数学学习的需要，结合四种命题及其关系进行讲授学习反证法，一是要注意加强对有关代数命题的训练，二是教学要求要适当，对反证法的掌握，还有待于随着学习的深入，逐步提高教科书中反证法涉及代数命题的例、习题，是属于初中范围的，比较简单．因此，这些题目都可以用直接的方法进行证明，不一定用反证法，选取这些题，主要是为了让学生熟悉反证法）反证法在初中教科书中指出：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法教学过程：一、复习引入：四种命题及其形式原命题若p 则q 否命题若┐p 则┐q 逆命题若q 则p 逆否命题若┐q 则┐p 互为逆否互逆否互为逆否互互逆否互原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若−p 则−q ； 逆否命题：若−q 则−p.二、讲解新课：1．四种命题的相互关系互逆命题、互否命题与互为逆否命题都是说两个命题的关系，若把其中一个命题叫做原命题时，另一个命题就叫做原命题的逆命题、否命题与逆否命题.因此，四种命题之间的相互关系，可用右下图表示：2．四种命题的真假关系一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系： ①、原命题为真，它的逆命题不一定为真 ②、原命题为真，它的否命题不一定为真 ③、原命题为真，它的逆否命题一定为真 3．反证法：要证明某一结论A 是正确的，但不直接证明，而是先去证明A 的反面（非A ）是错误的，从而断定A 是正确的即反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法4．反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确注意：可能出现矛盾四种情况： ①与题设矛盾；②与反设矛盾；③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论三、范例例1．判断以下四种命题的真假原命题：若四边形ABCD 为平行四边形，则对角线互相平分 真逆命题：若四边形ABCD 对角线互相平分，则它为平行四边形； 真 否命题：若四边形ABCD 不是为平行四边形，则对角线不平分； 真 逆否命题：若四边形ABCD 对角线不平分，则它不是平行四边形； 真 归纳小结：（学生回答，教师整理补充）(1)原命题为真，它的逆命题不一定为真；(2)原命题为真，它的否命题不一定为真；(3)原命题为真，它的逆否命题一定为真结论：两个互为逆否的命题同真或同假(如原命题和它的逆否命题，逆命题和否命题)，其余情况则不一定同真或同假（如原命题和逆命题，否命题和逆否命题等），这时称互为逆否的两个命题等价，即原命题⇔逆否命题例2．（课本第32页例2）设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”，写出它的逆命题、否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假.分析：“当c>0时”是大前提，写其他命题时应该保留，原命题的条件是a>b，结论是ac>bc.解：逆命题：当c>0时，若ac>bc，则a>b.它是真命题；否命题：当c>0时，若a≤b，则ac≤bc.它是真命题；逆否命题：当c>0时，若ac≤bc，则a≤b.它是真命题.练习：课本第32页练习：1，2.答案：1.(1)正确；(2)正确.2.(1)逆命题：两个全等三角形的三边对应相等.逆命题为真；否命题：三边不对应相等的两个三角形不全等.否命题为真；逆否命题：两个不全等的三角形的三边不对应相等.逆否命题为真.(2) 逆命题：若a+c>b+c,则a>b.逆命题为真.否命题：若a≤b,则a+c≤b+c.否命题为真.逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b.逆否命题为真.a>.例3．（课本第32页例3）用反证法证明：如果a>b>0，那么b证明：假设a不大于b，则或者a<b,或者a=b.∵a>0，b>0，∴a<b⇒a a<b a，a b<b b⇒aba<，bab<⇒a<b；a>.a=b⇒a=b.这些都同已知条件a>b>0矛盾，∴b证法二（直接证法）()()b a b a b a -+=-， ∵a>b>0,∴a - b>0即()()0>-+b a b a ,∴0>-b a ∴b a >例4（课本第33页例4）用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知：如图，在⊙O 中，弦AB 、CD 交于P ，且AB 、CD 不是直径.求证：弦AB 、CD 不被P 平分.分析：假设弦AB 、CD 被P 平分，连结OP 后，可推出AB 、CD 都与OP 垂直，则出现矛盾.证明：假设弦AB 、CD 被P 平分，由于P 点一定不是圆心O ，连结OP ，根据垂径定理的推论，有OP ⊥AB ，OP ⊥CD ，即过点P 有两条直线与OP 都垂直，这与垂线性质矛盾.∴弦AB 、CD 不被P 平分.四、小结：四种命题之间的相互关系和真假关系反证法的基本原理及其四个步骤五、练习：课本第33页 练习：1，2.提示：1.设b2-4ac ≤0，则方程没有实数根，或方程有两个相等的实数根，得出矛盾.2.设∠B ≥900，则∠C+∠B ≥1800，得出矛盾.补充题：1．命题“若 x = y 则 |x| = |y|”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它的真假解：逆命题：若 |x| = |y| 则 x = y （假，如 x = 1, y = -1） 否命题：若 x ≠ y 则 |x| ≠|y| （假，如 x = 1, y = -1） 逆否命题：若 |x| ≠|y| 则 x ≠ y （真）2．写出命题：“若 xy = 6则 x = 3且 y = 2”的逆命题否命题逆否命题，并判断它们的真假解：逆命题：若 x = 3 且 y = 2 则 x + y = 5 （真）否命题：若 x + y ≠ 5 则 x ≠ 3且y≠2 （真）逆否命题：若 x ≠ 3 或y≠2 则 x + y ≠5 （假）六、作业：课本第33-34页习题1．7中3，4 ，5.补充题：1．若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.证：假设a不能被2整除，则a必为奇数，故可令a=2m+1(m为整数),由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明a2是奇数，这与题中的已知条件（a2能被2整除）相矛盾,∴a能被2整除.七、板书设计（略）八、课后记：小故事：三个古希腊哲学家，由于争论和天气炎热感到疲倦了，于是在花园里的一棵大树下躺下来休息一会，结果都睡着了.这时一个爱开玩笑的人用炭涂黑了他们的前额.三个人醒来以后，彼此看了看，都笑了起来.但这并没引起他们之中任何一个人的担心，因为每个人都以为是其他两人在互相取笑.这时其中有一个突然不笑了，因为他发觉自己的前额也给涂黑了.那么他是怎样觉察到的呢？你能想出来吗？答案：为了方便，用甲、乙、丙分别代表三个科学家，并不妨设甲已发觉自己的脸给涂黑了.那么甲这样想：“我们三个人都可以认为自己的脸没被涂黑，如果我的脸没被涂黑，那么乙能看到（当然对于丙也是一样），乙既然看到了我的脸没给涂黑，同时他又认为他的脸也没给涂黑，那么乙就应该对丙的发笑而感到奇怪.因为在这种情况下（甲、乙的脸都是干净的），丙是没有可笑的理由了.然而现在的事实是乙对丙的发笑并不感到奇怪，可见乙是在认为丙在笑我.由此可知，我的脸也给涂黑了.这里应着重指出的是，甲并没有直接看到自己的脸是否给涂黑了，他是根据乙、丙两人的表情进行分析、思考，而说明了自己的脸给涂黑了.简单地说，甲是通过说明脸被涂黑了的反面—没被涂黑是错误的，从而觉察了自己的脸被涂黑了.因此这是一种间接的证明方法.显然这种证明方法也是不可缺少的.像这样，为了说明某一个结论是正确的，但不从正面直接说明，而是通过说明它的反面是错误的，从而断定它本身是正确的方法，就叫做“反证法“.。
2021-2022年高一数学上 第一章：1.7.1四种命题优秀教案
2021年高一数学上第一章：1.7.1四种命题优秀教案一、导入新课1、两个命题中, 如果第一个命题的条件(或题设) 是第二个命题的结论, 且第一个命题的结论是第二个命题的条件, 那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题。
例如, 如果原命题是（1）同位角相等,两直线平行;它的逆命题是(2)两直线平行, 同位角相等.命题“同位角相等，两条直线平行”除了能构成它的逆命题外，是否还可以构成其它形式的命题？(1)同位角相等, 两直线平行;(2)两直线平行, 同位角相等.再看下面两个命题:(3)同位角不相等, 两直线不平行;(4)两直线不相等,同位角不平行.在命题(1)与命题(3)中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题叫做互否命题.如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题.(1)同位角相等, 两直线平行;(4)两直线不相等, 同位角不平行.在命题(1)与命题(4)中,一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题。
一般地, 用p和q分别表示原命题的条件和结论, 用﹁p和﹁q分别表示p和q的否定. 于是四种命题的形式就是:原命题若p则q;逆命题若q则p;否命题若﹁ p则﹁ q;逆否命题若﹁q 则﹁ p;例1 把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出它们们的逆命题、否命题与逆否命题：（1）负数的平方是正数；（2）正方形的四条边相等.分析:关键是找出原命题的条件p与结论q.解: (1) 原命题可以写成: 若一个数是负数,则它的平方是正数.逆命题 :若一个数的平方是正数,则它是负数否命题: 若一个数不是负数,则它的平方不是正数.逆否命题: 若一个数的平方不是正数, 则它不是负数.（2）正方形的四条边相等(2) 原命题可以写成: 若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.逆命题 :若一个四边形的四条边相等, 则它是正方形.否命题: 若一个四边形不是正方形, 则它的四条边不相等.逆否命题: 若一个四边形的四条边不相等, 则它不是正方形.课堂练习: 课本第30页二、四种命题的关系画出关系图：（略）练习、写出下列各命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假．1、若 a = 0, 则 ab = 0 ．2、负数的立方是负数．3、若 x<0，则x>1．4、质数一定是奇数.总结上例四种命题的真假关系原命题的真假与其他三种命题的真假有什么关系？ 1．原命题为真，它的逆命题不一定为真．2．原命题为真，它的否命题不一定为真．3．原命题为真，它的逆否命题一定为真．四、四种命题与集合的联系命题：若x>1，则x>0. 语句p： x>1；语句q：x>0令A={x| x>1}； B={x| x>0}；即 A={x| p(x)为真}； B={x| q(x)为真}集合A包含于集合B，集合B不包含于集合A，B的补集包含于A的补集，B的补集不包含于A的补集所以：“若p，则q” 为真命题；“若q ，则p”为假命题；“若﹁ p，则﹁q”为假命题；“若﹁q ，则﹁p”为真命题；课堂练习：课本P32习题1.7 第4题:写出下列命题的其它三种命题,并判断真假.(1)若a+5是无理数, 则a是无理数.(2)矩形的两条对角线相等.课堂小结:1、写出四种命题时,需准确找出原命题的因果关系,即找出条件与结论.将命题写成“若……，则……”的形式；2、互为逆否的两个命题的真假值相同。
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第二课时反证法
教学目标：1.使学生初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本方法
2.培养学生用反证法简单推理的技能，从而发展学生的思维能力
教学重点：反证法证题的步骤
教学难点：理解反证法的推理依据及方法
教学过程：
一、复习提问：
1．四种命题的相互关系
2
练习1
（
（
（
（
练习2B）
（
（
（
（
练习3
则q是r的否命题
练习4、写出下列命题的否定形式和命题的否命题
（1）自然数的平方是正数
（2）若x2+y2=0,则x，y全为零
分析：（1）否定形式：自然数的平方不是正数
否命题：若a不是自然数，则它的平方不是正数
（2）否定形式：若x2+y2＝0，则x,y不全为零
否命题：若x2+y2≠0，则x,y不全为零
练习5、写出下面命题的等价命题：
（1）圆内接四边形的对角互补
（2）若x=1或x=-3,则x2+2x-3=0
分析：就是写出这么命题的逆否命题
（1）对角不互补的四边形不是圆内接四边形
（2）若x2+2x-3=0，则x=1或x=-3
3．初中时我们已经学习过反证法，那什么叫反证法呢？
从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。
二、反证法
【例1】证明2是无理数。
分析：要证2不是一个有理数，直接去证明有困难，可以转化为证明命题2是有理数为假命题。
——正难则反的思想
证明：假设2是有理数，则2可以表示为2＝p/q (其中p、q是不可约的整数) 两边平方后得到：2＝p2/q2即p2＝2q2
∴p 2是偶数，从而p 也是偶数
于是q 2=p ×p/2 是偶数
∴q 也是偶数
从而得到矛盾
所以假设不成立，所以2 是无理数。
思考与归纳：
(1).“2是无理数”，“2不是无理数”两个命题之间有何关系？——不具备互逆、互否、互为逆否关系，而是其中一个对另一个的否定。
即对“2是有理数”的肯定判断与否定判断。
亦即：p: 2是有理数。
⌝ p: 2是无理数。
(2). 要证命题p 为真，通过证明命题⌝p 为假，从而肯定命题p 为真的证明方法称反证法。
它的逻辑关系是：命题“若p 则q ”的否定是“p 且非q ”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“p 且非q ”为假，因此可知“若p 则q ”为真。
(3)反证法证题的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立—— 反判
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾—— 归谬
③由矛盾的产生可以判断假设不成立，从而肯定命题的结论正确
——否定假设，肯定结论。
【例2】证明：如果,b a >那么.b a >
证明：假设.b a ≤
则.b a a a ⋅≤⋅ ...b b b a ≤⋅⋅
所以...b b a a ≤⋅⋅
即a ≤b 与已知矛盾
所以假设不成立
∴,b a >
点评：用反证法证题时，应注意结论的反面有几种情形，可否统一处理。
如果不能统一处理，则需分类讨论，一一归谬，才能肯定原结论成立。
【例3】若p 1p 2=2(q 1+q 2)，证明：关于x 的方程x 2+p 1x+q 1=0与x 2+p 2x+q 2=0中，至少有一
个方程有实数根。
证明：假设两个方程都没有实数根，则Δ1<0, Δ2<0
从而Δ1＋Δ2<0…………………………………………………………①
又Δ1＋Δ2＝（p 12－4q 1）+（p 22－4q 2）= p 12+p 22－4(q 1+q 2)
由已知p 1p 2=2(q 1+q 2)可知
Δ1＋Δ2＝p 12+p 22－2p 1p 2=( p 1+p 2 )2≥0，这样①相矛盾，
所以假设不成立
所以所给的两个方程中至少有一个有实数根
点评：对于证结论是“至少……”，或“至多……”的命题，宜用反证法
【例4】若p>0,q>0,p 3+q 3=2,用反证法证明p ＋q ≤2
证明：假设p ＋q<2
则4（p 3＋q 3）＝8<(p+q)3
4(p+q)(p 2-pq+q 2)<(p+q)3
由于p>0,q>0，则p ＋q>0
4 (p 2-pq+q 2)<(p+q)2
整理得到（p －q ）2<0 矛盾
所以p ＋q ≤2
巩固练习： 教材33P 练习2。
三、归纳小结
1．初步理解反证法的理论依据是原命题与其逆否命题的等价性。
初步掌握用反证法证题的一般步骤。
2．正难则反的思想
3．对于证明结论是“至少……”，或“至多……”的命题，宜用反证法
四、作业：1、逻辑联结词与四种命题试卷
2、精编P32第16、20
3、课本P35练习1、2。