05-01 平面低副机构运动分析的解析法

3
ϕ1
A
ϕ3 D
取实部得
l 3ω32 − l1ω12 cos(ϕ1 − ϕ3 ) − l 2ω22 cos(ϕ2 − ϕ3 ) α2 = l 2 sin(ϕ2 − ϕ3 )
角加速度的正、负号可表明角速度的变化趋势，角加速度 与角速度同号表示加速；反之则为减速。
5.1.2 含移动副的四杆机构
1 曲柄滑块机构 2 导杆机构
系数 A = l4 − l1 cosϕ1
5.1.1 铰链四杆机构
因为
2tan(ϕ3 / 2) sinϕ3 = 1+ tan2 (ϕ3 / 2)
1− tan2 (ϕ3 / 2) cosϕ3 = 1+ tan2 (ϕ3 / 2)
解出
B ± A2 + B2 − C2 ϕ3 = 2arctan A−C
式中有两个值，它说明在满足相同的杆长条件下，该机构 有两种装配方案，式中的“+”的适用于图标机构位置ABCD的 装配，根号前为 “-”号的φ3值适用于图示机构位置ABC’D的装 配，究竟取哪一个φ3 ，要根据从动件3的初始位置和运动连续 条件来确定。
5.1.2 含移动副的四杆机构
（2）速度分析 位移方程 l 4i + l1e 对时间求导得
l1ω1ie
iϕ1
iϕ1
= se
iϕ3
iϕ3
= υB2B3e
+ sω3ie
iϕ3
两边乘 e
−iϕ 3
后展开，取实部和虚部得
υB2B3 = −l1ω1 sin( ϕ1 − ϕ3 )
ω3 =
l1ω1 cos(ϕ1 − ϕ3 ) s
5.1 平面凸轮机构的解析法设计
5.1.1 铰链四杆机构 5.1.2 含移动副的四杆机构
5.1 平面低副机构运动分析的解析法
解析法一般是先建立机构的位置方程，然后将位置方程对 时间求导得速度和加速度方程。由于所用的数学工具不同，解 析的方法也不同，下面介绍一种较简便的方法即复数矢量法。 复数矢量法是将机构看成一封闭矢量多边形，并用复数形 式表示该机构的封闭矢量方程式，再将矢量方程式分别对所建 立的直角坐标系取投影。
l sin( ϕ1 −ϕ2 ) ω3 = ω1 1 取虚部得 l3 sin( ϕ3 −ϕ2 )
ϕ1
A
ϕ3 D
5.1.1 铰链四杆机构
l1ω1ie
iϕ1
+ l 2ω2ie
iϕ
2
= l 3ω3ie
iϕ
3
C
为了求ω2，乘以 e− iϕ3 取实部得
l1 sin(ϕ1 − ϕ3 ) ω2 = −ω1 l 2 sin(ϕ2 − ϕ3 )
C
l1eiϕ1 + l 2eiϕ2 = l 4 +l 3eiϕ3
B
对时间t求导数得速度方程
ϕ2
l1ω1ie
iϕ1
+ l 2ω2i3ie
iϕ
3
ϕ1
A
ϕ3 D
为了消去ω2， 将上式两边分别乘以 e−iϕ2得
l1ω1ie
i (ϕ1 −ϕ2 )
+ l 2ω2ie
i (ϕ2 −ϕ2 )
= l 3ω3ie
5.1.2 含移动副的四杆机构
在某种情况下，例如计算往复式原动机惯性力的平衡时， 只需知道滑块的近似加速度，这时便可按如下方法求解。
l1 sinϕ2 = − sinϕ1 = −λ sinϕ1 l2 l1 式中 λ = 为曲柄与连杆的长度比， l2
由
2 2 2 由 cosϕ2 = 1 − sin ϕ2 = 1 − λ sin ϕ1
该方程式的实部和虚部应分别相等， 即 l1 cosϕ1 + l2 cosϕ2 = l4 + l3 cosϕ3 A l1 sinϕ1 + l2 sinϕ2 = l3 sinϕ3 消去φ2得
C
B
ϕ2
ϕ1
ϕ3 D
Acosϕ3 + B sinϕ3 + C = 0 B = −l1 sinϕ1
A2 + B2 + l32 − l22 C= 2l3
C
B
ϕ2
ϕ1
A
l1 + l2 = l4 + l3
以复数形式表示为
ϕ3 D
l1eiϕ1 + l 2eiϕ2 = l 4 +l 3eiϕ3
规定角φ应以轴的正向逆时针方 向度量。
5.1.1 铰链四杆机构
按欧拉公式展开得
l1(cosϕ1 + i sinϕ1) + l2 (cosϕ2 + i sinϕ2 ) = l4 + l3 (cosϕ3 + i sinϕ3 )
5.1.1 铰链四杆机构
将φ3带入
l1 cosϕ1 + l2 cosϕ2 = l4 + l3 cosϕ3 l1 sinϕ1 + l2 sinϕ2 = l3 sinϕ3
得构件2的角位移φ2
ϕ2 = arctan
B + l3 sinϕ3 A + l3 cosϕ3
5.1.1 铰链四杆机构
2．速度分析 将位移方程
ϕ2
l1 + l2 = xC
l1e
iϕ1
B
+ l 2e
iϕ2
= xC
1
2
A
ϕ1
C
3
展开后分别取虚部得
l1 sinϕ1 + l 2 sinϕ2 = 0
−l1 sinϕ1 ) ϕ2 = arcsin( l2
展开后取实部得
xC = l1 cosϕ1 + l 2 cosϕ2
5.1.2 含移动副的四杆机构
（2）速度分析 将位移方程 l1eiϕ1 + l 2eiϕ2 = xC 对时间求导得
利用牛顿二项式定理展开成级数得
1 1 cosϕ2 = 1 − λ 2 sin2 ϕ1 − λ 4 sin4 ϕ1 −⋅⋅⋅ 2 8
5.1.2 含移动副的四杆机构
这个级数收敛得很快，当λ ≤ 1 时，取其前两项便可准确到
3
小数点后三位数字。因此将
λ 2 1 − cos2ϕ1 1 2 2 cosϕ2 ≈ 1 − λ sin ϕ1 = 1 − ( ) 2 2 2
l1ω1ie
iϕ1
+ l 2ω2ie
−iϕ 2
iϕ2
= υC
两边乘以 e
后，展开并取实部得
−l1ω1 sin(ϕ1 − ϕ2 ) υC = cosϕ2
取虚部得
−l1ω1 cosϕ1 ω2 = l 2 cosϕ2
5.1.2 含移动副的四杆机构
（3） 加速度分析 将速度方程 l1ω1ie 对时间求导得
=
− iϕ2
ϕ1
A
iϕ3
− l 3ω3 e
2 iϕ3
ϕ3 D
为了消去α2，将上式两边乘以 e 得
−l1ω12e
i (ϕ1 −ϕ2 )
+ l 2α2i − l 2ω22 = l 3α3ie
i (ϕ3 −ϕ2 )
− l 3ω32e
i (ϕ3 −ϕ2 )
5.1.1 铰链四杆机构
−l1ω12e
i (ϕ1 −ϕ2 )
5.1.2 含移动副的四杆机构
1.曲柄滑块机构 在曲柄滑块机构中，已知曲柄1的长度l1、转角φ1、等角速 度ω1及连杆2的长度l2，要求确定连杆的转角φ2、角速度ω2和角 加速度α2，以及滑块的位置xc、速度vc和加速度ac。
5.1.2 含移动副的四杆机构
（1）位置分析 该机构的封闭矢量方程式为
2 2 故： a = sω3 − l1ω1 cos(ϕ1 − ϕ3 ) B2B3
2υ ω + l ω sin( ϕ1 − ϕ3 ) α3 = − B2B3 3 1 1 s
2
5.1.2 含移动副的四杆机构
（3）加速度分析 将速度方程 l1ω1ieiϕ1 = υB2B3eiϕ3 + sω3ieiϕ3 对时间求导得
−l1ω e
2 iϕ1 1
= (aB3B2 − sω3 )e
2
iϕ3
+ (sα3 + 2υB2B3ω3 )ie
iϕ3
两边乘 e
−iϕ 3
以后展开，
取实部得 − l1ω12 cos(ϕ1 − ϕ3 ) = aB2B3 − sω32 取虚部得 − l1ω12 sin( ϕ1 − ϕ3 ) = sα3 + 2υB2B3ω3
+ l 2α2i − l 2ω22 = l 3α3ie
i (ϕ 3 −ϕ2 )
− l 3ω32e
i (ϕ3 −ϕ2 )
取实部得
l 2ω22 + l1ω12 cos(ϕ1 − ϕ2 ) − l 3ω32 cos(ϕ3 − ϕ2 ) α3 = l 3 sin(ϕ3 − ϕ2 )
C
B
ϕ2
为了消去α3，将两边分别乘以 e−iϕ ，
5.1.1 铰链四杆机构
在铰链四杆机构中，已知杆长分别为 l1、l2、l3、l4，原动件 1的转角φ1为及等角速度为ω1，要求确定构件2、3的角位移、角 速度和角加速度。
5.1.1 铰链四杆机构
1、位置分析 将铰链四杆机构ABCD看作一封 闭矢量多边形，如图所示。若以l1、 l2、l3、l4分别表示各构件的矢量，该 构件的封闭矢量方程式为
5.1.2 含移动副的四杆机构
2. 导杆机构 导杆机构中，已知曲柄的长度l1、转角φ1、等角速度ω1及中 心距l4，要求确定导杆的转角φ3、角速度ω3和角加速度α3，以及 滑块在导杆上的位置s、滑动速度vB2B3及加速度aB2B3 。
5.1.2 含移动副的四杆机构
（1）位置分析 位置分析 机构的矢量方程式：l4 + l1 = s