2018北京十一学校高二(上)期末数学(理)
2018北京十一学校高二(上)期末数学(理)II
2018北京十一学校高二（上）期末数 学II （理） 2018.1 本试卷共8页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、填空题(共15道小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分,共55分)1. 下面说法正确的是______.①长方体的八个顶点在同一个球面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的对角线是球的直径;②一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;③一球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.2. 在球内有相距9cm 的两个平行截面,面积分别为249πcm 和2400πcm ,则此球的半径为______.3. 已知异面直线a 与b 所成的角70θ=,P 为空间一点,则过P 点与a 和b 所成角45φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角35φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角70φ=的直线有______条4. 设,,l m n 表示不同的直线,,,αβγ表示不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的序号是______.①若//m l ,且m α⊥,则l α⊥;②若//m l ,且//m α,则//l α;③若,,l m n αββγγα===,则////l m n ; ④若,,m l n αββγγα===,且//n β,则//l m .5. 在三棱锥P ABC -中,点O 是点P 在底面ABC 内的射影.①若PA PB PC ==,则O 是ABC !的______心;②若,PA BC PB AC ⊥⊥,则O 是ABC !的______心;③若侧面,,PAB PBC PAC 与底面ABC 所成的二面角相等,则O 是ABC !的______心.6. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列四个命题正确的序号是______.①直线BM 与直线ED 平行; ②直线CN 与直线BE 是异面直线;③直线AF 与平面BDM 平行;④平面CAN 与平面BEM 平行.第6题图 第7题图 第8题图7. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是______.8. 如图所示,侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中,40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=,过A 作截面AEF ,则截面AEF !周长的最小值等于______.9. 如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.10. 在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,00,(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和左视图分别为______,______.①②③④ 11. 将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中2AD BD ==,30BAC ∠=,若他们的斜边AB 重合,让三角板ABD 以AB 为轴转动,则下列说法正确的是______.①当平面平面ABC 时,C 、D 两点间的距离为2;②在三角板ABD 转动过程中,总有AB CD ⊥;③在三角板ABD 转动过程中,三棱锥D ABC -体积的最大值为3612. 如图,PA 垂直于圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,C 是圆O 上一点,,AE PC AF PB ⊥⊥,给出下列结论,其中真命题的序号有______.①AE BC ⊥;②EF PB ⊥;③AF BC ⊥;④AE ⊥平面PBC .13. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为正三角形,底面ABCD 为边长为1的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,M 为底面ABCD 内的一个动点,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为______.14. 如图,正方形123SG G G 中,,E F 分别是1223,G G G G 的中点,现沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体,使113,,G G G 三点重合于点G .下列五个结论中,正确的是______.①SG ⊥平面EFG ;②SD ⊥平面EFG ;③GF ⊥平面SEF ;④EF ⊥平面GSD ;⑤GD ⊥平面SEF .15. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在正方体的表面上移动,且满足11B P D E ⊥,则点P 形成的轨迹图形的周长是______.B ACD二、解答题(共4小题,共45分.要求有推理计算过程)16. （本小题满分8分）证明:如果一个角所在平面外一点与角的顶点的连线与角的两边所成的角相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.17. （本小题满分12分）如图,已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2,底面ABC !是等腰直角三角形,且90,2,ACB AC D ∠==是1AA 的中点.（Ⅰ）求异面直线AB 和1C D 所成的角（用反三角函数表示）;（Ⅱ）若E 为线段AB 上一点,试确定点E 在AB 上的位置,使得11A E C D ⊥;（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求点D 到平面11B C E 的距离.18. （本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC ,,60,90PA AB BC BCA =∠=∠=,点D 、E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC .（Ⅰ）求证:BC ⊥平面PAC ;（Ⅱ）当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的大小;（Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角?并说明理由.19. （本小题满分13分）如图,已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,其中1π//,,2,23BE AF AB AF AB BE AF CBA ⊥===∠=,P 为DF 的中点. （Ⅰ）求证://PE 平面ABCD ;（Ⅱ）求二面角D EF A --的余弦值;（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点,AG AD λ=,若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为3926,求λ的值.数学试题答案一、填空题:本大题共15小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分共55分.1.①②③2.25cm3.2;1;44.①④5.外;垂;内6.③④7.28π3- 8.6 9.23 10.④;③11.①③ 12.①②④13.A 14.①④ 15.3252+二、解答题:16. （本小题满分8分）已知:如图,点P 为BAC ∠所在平面外一点,PD AC ⊥于D ,PE AB ⊥于E ,PD PE =,PG ⊥平面ABC 于G .证明:连结,GE GD .PG ⊥平面ABC ,,EG DG ⊂平面ABC ,,PG EG PG DG ∴⊥⊥,又,PD PE PG PG ==,,PEG PDG GE GD ∴≅∴=!!,PG ⊥平面ABC ,EG ∴为PE 在平面ABC 内的射影,又,AB PE AB EG ⊥∴⊥,同理AC DG ⊥,,AGE AGD EAG DAG ∴≅∴∠=∠!!,AG ∴为BAC ∠的角平分线.17. （本小题满分12分）（Ⅰ）以C 为坐标原点,1,,CB CA CC 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则11(0,2,0),(0,2,2),(2,0,0),(0,0,2),(0,2,1)A A B C D ,1(2,2,0),(0,2,1)AB C D ∴=-=-.异面直线AB 与1C D 所成的角为向量AB 与向量1C D 的夹角或其补角. 设AB 与1C D 的夹角为θ, 则410cos 5225θ-==-⨯, 10πarccos 5θ=-, 即异面直线AB 与1C D 所成的角为10arccos5. （Ⅱ）设E 点的坐标为(,,0)x y ,要使得11A E C D ⊥,只要110A E C D ⋅=,11(,2,2),(0,2,1),1A E x y C D y =--=-=, 又点E 在AB 上,//,(,2,0),(2,2,0)AE AB AE x y AB ∴=-=-, 1,(1,1,0)x E ∴=,E ∴点为AB 的中点.（Ⅲ）取AC 中点N ,连接1,EN C N ,则11//EN B C . 11B C ⊥平面11AA C C ,∴平面11B C NE ⊥平面11AA C C , 过点D 作1DH C N ⊥,垂足为H ,则DH ⊥平面11B C NE , DH ∴的长度即为点D 到平面11B C E 的距离.在正方形11AA C C 中,由计算知355DH =, 即点D 到平面11B C E 的距离为355.18. （本小题满分12分）解:（Ⅰ）PA ⊥底面ABC ,PA BC ∴⊥,又90BCA ︒∠=,AC BC ∴⊥,BC ∴⊥平面PAC .（Ⅱ）D 为PB 的中点,//DE BC ,12DE BC ∴=.又由（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC ,DAE ∴∠是AD 与平面PAC 所成的角,PA ⊥底面ABC ,PA AB ∴⊥.又PA AB =,ABP ∴!为等腰直角三角形, 12AD AB ∴=.在Rt ABC !中,60ABC ︒∠=,12BC AB ∴=,∴在Rt ADE !中,2sin 24DE BC DAE AD AD ∠===,即AD 与平面PAC 所成角的正弦值为24.（Ⅲ）//DE BC ,又有（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC , DE ∴⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ,PE ⊂平面PAC ,,DE AE DE PE ∴⊥⊥,AEP ∴∠为二面角A DE P --的平面角, PA ⊥底面ABC ,PA AC ∴⊥,90PAC ︒∴∠=,∴在棱PC 上存在一点E ,使得AE PC ⊥. 这时90AEP ︒∠=,故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.19. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）取AD 的中点M ,连接,PM BM , P 是DF 的中点,M 是AD 的中点,1//,2PM AF PM AF ∴=, 又1//,,//,2BE AF BE AF BE PM BE PM ==, ∴四边形BEPM 是平行四边形,//PE BM ∴,又PE Ú平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD , //PE ∴平面ABCD .（Ⅱ）取AB 中点M ,连接,AC CM ,在ABC !中,π,3AB BC CBA =∠=, ABC ∴!是等边三角形,CM AB ∴⊥, 又平面ABCD ⊥平面ABEF AB =,CM ∴⊥平面ABEF ,又AB AF ⊥,AB ∴⊥平面DAF ,AF ⊥平面ABCD , ∴以A 为原点,作//Az MC 建立如图所示的空间直角坐标系, 设1AB =,则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,0,3),(1,0,3),(0,4,0)A B E C D F -,(3,2,3),(1,4,3)DE DF ∴=-=-,设平面DEF 的法向量(,,)n x y z =,则00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3230430x y z x y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩,令1z =,则33,55y z ==, 故33(,,1)55n =为平面DEF 的一个法向量,又因为AF ⊥平面ABCD , 故AF 为平面ABCD 的一个法向量,所以39cos ,31AF nAF n AF n ⋅<>==⋅, 平面DEF 与平面ABCD 所成角的余弦值为3931. （Ⅲ）过G 作GH BA ⊥,交BA 延长线于H ,连接,FH FG , 平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD 平面,,ABEF AB GH AB GH =⊥⊂平面ABCD , GH ∴⊥平面ABCD , GFH ∴∠位置线FG 与平面ABEF 所成角. ,2,AG AD AG λλ=∴=π3CBA DAH ∠=∠=, ππsin 3,cos ,33GH AG AH AG λλ∴=⋅==⋅= 22216HF AF AH λ∴=+=+, 22224FG GH FH λ=+=+,2339sin 2624GH GFH FG λλ∠===+, 计算得出33λ=.。
2018北京市西城区高二(上)期末数学(理)
2018北京市西城区高二（上）期末数学（理） 2018.1一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 直线的倾斜角为（）A. B. C. D.2. 命题“对任意，都有”的否定是（）A. 存在,使得B. 对任意,都有C. 存在,使得D. 对任意,都有3. 双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A. 1B.C. 2D.4. 设是两个不同的平面，是三条不同的直线，（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则5. “”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 设是两个不同的平面，是一条直线，若，，，则（）A. 与平行B. 与相交C. 与异面D. 以上三个答案均有可能7. 设为坐标原点，是以为焦点的抛物线上任意一点，是线段的中点，则直线的斜率的最大值为（）A. B. 1 C. D. 28. 设为空间中的一个平面，记正方体的八个顶点中到的距离为的点的个数为，的所有可能取值构成的集合为，则有（）A. ，B. ，C. ，D. ，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上.9. 命题“若，则”的逆否命题为_______.10. 经过点且与直线垂直的直线方程为_______.11. 在中，，，. 以所在的直线为轴将旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为____.12. 若双曲线的一个焦点在直线上，一条渐近线与平行，且双曲线的焦点在轴上，则的标准方程为_______；离心率为_______.13. 一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有_______个直角三角形.14. 在平面直角坐标系中，曲线是由到两个定点和点的距离之积等于的所有点组成的. 对于曲线，有下列四个结论：①曲线是轴对称图形；②曲线是中心对称图形；③曲线上所有的点都在单位圆内；④曲线上所有的点的纵坐标.其中，所有正确结论的序号是__________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 如图，在正三棱柱中，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面.16. 已知圆，其中.（Ⅰ）如果圆与圆相外切，求的值；（Ⅱ）如果直线与圆相交所得的弦长为，求的值.17. 如图，在四棱柱中，平面，，，，，为的中点.（Ⅰ）求四棱锥的体积；（Ⅱ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长度；（Ⅲ）判断线段上是否存在一点，使得？（结论不要求证明）18. 设为抛物线的焦点，是抛物线上的两个动点，为坐标原点.（Ⅰ）若直线经过焦点，且斜率为2，求；（Ⅱ）当时，证明：求的最小值.19. 如图，在四面体中，平面，，，为的中点.（Ⅰ）求证: ；（Ⅱ）求二面角的余弦值.（Ⅲ）求四面体的外接球的表面积.（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球. 球的表面积）20. 已知椭圆的一个焦点为，离心率为. 点为圆上任意一点，为坐标原点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）记线段与椭圆交点为，求的取值范围；（Ⅲ）设直线经过点且与椭圆相切，与圆相交于另一点，点关于原点的对称点为，试判断直线与椭圆的位置关系，并证明你的结论.数学试题答案一.选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.【答案】D【解析】直线可化为：.斜率为-1，所以倾斜角为.故选D.2.【答案】C【解析】根据命题的否定的写法，只否结论，不改变条件，且转化其中的量词，将任意改为存在。
北京十一学校2018年高三数学理上学期期末试卷含解析
北京十一学校2018年高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知双曲线 C1：﹣=1（ a＞0，b＞0），圆 C2：x2+y2﹣2ax+a2=0，若双曲线C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则双曲线 C1的离心率的范围是（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，2）D．（2，+∞）参考答案：A【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由圆的方程求得圆心及半径，利用点到直线的距离公式，求得圆心到渐近线的距离小于半径，求得a和c关系，利用离心率公式即可求得双曲线C1的离心率的范围．【解答】解：双曲线 C1：﹣=1（ a＞0，b＞0），渐近线方程y=±x，即bx±ay=0，圆 C2：x2+y2﹣2ax+a2=0，（x﹣a）2+y2=，圆心（a，0），半径a，由双曲线C1的一条渐近线与圆 C2有两个不同的交点，则＜a，即c＞2b，则c2＞4b2=4（c2﹣a2），即c2＜a2，双曲线 C1的离心率e=＜，由e＞1，∴双曲线 C1的离心率的范围（1，），故选A．【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．2. 下列说法正确的是（）A．“a＞1”是“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”的充要条件B．命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3＞0”C．“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”的必要不充分条件D．命题p：“?x∈R，sinx+cosx≤”，则￢p是真命题参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用；命题的否定；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】A．利用充要条件的定义和函数的性质判断．B．利用特称命题的否定是全称命题来判断．C．利用充分条件和必要条件的定义进行判断．D．利用命题p与￢p真假关系进行判断．【解答】解：根据对数函数的性质可知，“f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上为增函数”，则a＞1，所以A正确．特称命题的否定是全称命题，所以命题“?x∈R使得x2+2x+3＜0”的否定是：“?x∈R，x2+2x+3≥0”，所以B错误．因为x2+2x+3=0的判断式△＜0，所以方程无解，所以“x=﹣1”是“x2+2x+3=0”即不充分也不必要条件，所以C错误．因为命题p为真命题，所以￢p是假命题，所以D错误．故选：A．3. 如图，在中，已知，则（）A. B.C. D.参考答案：C略4. 函数的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：C5. 幂函数在(0,+∞)上单调递增，则m的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 2或4参考答案：C由题意得：解得,∴m=4．故选：C．6. 已知变量x，y满足约束条件则的最大值为A．16 B．32 C．4 D．2参考答案：B7. 设等差数列的前项和为且满足则中最大的项为A． B．Ｃ．Ｄ．参考答案：D由，得.由，得，所以，且.所以数列为递减的数列.所以为正，为负，且，，则，，，又，所以，所以最大的项为，选D.8. 已知，则是（）A. 偶函数，且在(0,10)是增函数B. 奇函数，且在(0,10)是增函数C. 偶函数，且在(0,10)是减函数D. 奇函数，且在(0,10)是减函数参考答案：【分析】先判断函数的定义域关于原点对称，再由奇偶性的定义判断奇偶性，根据复合函数的单调判断其单调性，从而可得结论.【详解】由，得，故函数的定义域为，关于原点对称，又，故函数为偶函数，而，因为函数在上单调递减，在上单调递增，故函数在上单调递减，故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性，属于中档题. 判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数）.9. 若集合则（）A. B. C.D.参考答案：B略10. 已知向量＝（4，2），＝（6，），且∥，则等于（）A．3 B．C．12 D．参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设变量x，y满足约束条件，则的最大值是．参考答案：略12. 某程序框图如下图所示，该程序运行后输出的S的值是A．－3 B．－ C． D． 2参考答案：B13. 计算：＝．参考答案：答案：解析：；14. 函数的最小正周期为.参考答案：.15. 一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：第1组：，2个；第2组：，3个；第3组：，4个；第4组：，5个；第5组：，4个；第6个：，2个。
2018北京十一学校高二(上)期末数学(理)II
2018北京十一学校高二（上）期末数 学II （理） 2018.1 本试卷共8页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、填空题(共15道小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分,共55分)1. 下面说法正确的是______.①长方体的八个顶点在同一个球面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的对角线是球的直径;②一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;③一球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.2. 在球内有相距9cm 的两个平行截面,面积分别为249πcm 和2400πcm ,则此球的半径为______.3. 已知异面直线a 与b 所成的角70θ=,P 为空间一点,则过P 点与a 和b 所成角45φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角35φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角70φ=的直线有______条4. 设,,l m n 表示不同的直线,,,αβγ表示不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的序号是______.①若//m l ,且m α⊥,则l α⊥;②若//m l ,且//m α,则//l α;③若,,l m n αββγγα===,则////l m n ; ④若,,m l n αββγγα===,且//n β,则//l m .5. 在三棱锥P ABC -中,点O 是点P 在底面ABC 内的射影.①若PA PB PC ==,则O 是ABC 的______心;②若,PA BC PB AC ⊥⊥,则O 是ABC 的______心;③若侧面,,PAB PBC PAC 与底面ABC 所成的二面角相等,则O 是ABC 的______心.6. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列四个命题正确的序号是______.①直线BM 与直线ED 平行; ②直线CN 与直线BE 是异面直线;③直线AF 与平面BDM 平行;④平面CAN 与平面BEM 平行.第6题图 第7题图 第8题图7. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是______.8. 如图所示,侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中,40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=,过A 作截面AEF ,则截面AEF 周长的最小值等于______.9. 如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.10. 在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,00,(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和左视图分别为______,______.①②③④ 11. 将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中2AD BD ==,30BAC ∠=,若他们的斜边AB 重合,让三角板ABD 以AB 为轴转动,则下列说法正确的是______.①当平面平面ABC 时,C 、D 两点间的距离为2;②在三角板ABD 转动过程中,总有AB CD ⊥;③在三角板ABD 转动过程中,三棱锥D ABC -体积的最大值为312. 如图,PA 垂直于圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,C 是圆O 上一点,,AE PC AF PB ⊥⊥,给出下列结论,其中真命题的序号有______.①AE BC ⊥;②EF PB ⊥;③AF BC ⊥;④AE ⊥平面PBC .13. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为正三角形,底面ABCD 为边长为1的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,M 为底面ABCD 内的一个动点,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为______.14. 如图,正方形123SG G G 中,,E F 分别是1223,G G G G 的中点,现沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体,使113,,G G G 三点重合于点G .下列五个结论中,正确的是______.①SG ⊥平面EFG ;②SD ⊥平面EFG ;③GF ⊥平面SEF ;④EF ⊥平面GSD ;⑤GD ⊥平面SEF .15. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在正方体的表面上移动,且满足11B P D E ⊥,则点P 形成的轨迹图形的周长是______.B AC D二、解答题(共4小题,共45分.要求有推理计算过程)16. （本小题满分8分）证明:如果一个角所在平面外一点与角的顶点的连线与角的两边所成的角相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.17. （本小题满分12分）如图,已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2,底面ABC 是等腰直角三角形,且90,2,ACB AC D ∠==是1AA 的中点.（Ⅰ）求异面直线AB 和1C D 所成的角（用反三角函数表示）;（Ⅱ）若E 为线段AB 上一点,试确定点E 在AB 上的位置,使得11A E C D ⊥;（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求点D 到平面11B C E 的距离.18. （本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC ,,60,90PA AB BC BCA =∠=∠=,点D 、E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC .（Ⅰ）求证:BC ⊥平面PAC ;（Ⅱ）当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的大小;（Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角?并说明理由.19. （本小题满分13分）如图,已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,其中1π//,,2,23BE AF AB AF AB BE AF CBA ⊥===∠=,P 为DF 的中点. （Ⅰ）求证://PE 平面ABCD ;（Ⅱ）求二面角D EF A --的余弦值;（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点,AG AD λ=,若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为39,求λ的值.数学试题答案一、填空题:本大题共15小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分共55分.1.①②③2.25cm3.2;1;44.①④5.外;垂;内6.③④7.28π3-8.69.23 10.④;③11.①③ 12.①②④13.A 14.①④ 15.325+二、解答题:16. （本小题满分8分）已知:如图,点P 为BAC ∠所在平面外一点,PD AC ⊥于D ,PE AB ⊥于E ,PD PE =,PG ⊥平面ABC 于G .证明:连结,GE GD .PG ⊥平面ABC ,,EG DG ⊂平面ABC ,,PG EG PG DG ∴⊥⊥,又,PD PE PG PG ==,,PEG PDG GE GD ∴≅∴=,PG ⊥平面ABC ,EG ∴为PE 在平面ABC 内的射影,又,AB PE AB EG ⊥∴⊥,同理AC DG ⊥,,AGE AGD EAG DAG ∴≅∴∠=∠,AG ∴为BAC ∠的角平分线.17. （本小题满分12分）（Ⅰ）以C 为坐标原点,1,,CB CA CC 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则11(0,2,0),(0,2,2),(2,0,0),(0,0,2),(0,2,1)A A B C D ,1(2,2,0),(0,2,1)AB C D ∴=-=-.异面直线AB 与1C D 所成的角为向量AB 与向量1C D 的夹角或其补角. 设AB 与1C D 的夹角为θ, 则10cos 225θ==-⨯, 10πarccos θ=-, 即异面直线AB 与1C D 所成的角为10arccos. （Ⅱ）设E 点的坐标为(,,0)x y ,要使得11A E C D ⊥,只要110A E C D ⋅=,11(,2,2),(0,2,1),1A E x y C D y =--=-=,又点E 在AB 上,//,(,2,0),(2,2,0)AE AB AE x y AB ∴=-=-, 1,(1,1,0)x E ∴=,E ∴点为AB 的中点.（Ⅲ）取AC 中点N ,连接1,EN C N ,则11//EN B C . 11B C ⊥平面11AA C C ,∴平面11B C NE ⊥平面11AA C C , 过点D 作1DH C N ⊥,垂足为H ,则DH ⊥平面11B C NE , DH ∴的长度即为点D 到平面11B C E 的距离.在正方形11AA C C 中,由计算知35DH =,即点D 到平面11B C E 的距离为35. 18. （本小题满分12分）解:（Ⅰ）PA ⊥底面ABC ,PA BC ∴⊥,又90BCA ︒∠=,AC BC ∴⊥,BC ∴⊥平面PAC .（Ⅱ）D 为PB 的中点,//DE BC ,12DE BC ∴=.又由（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC ,DAE ∴∠是AD 与平面PAC 所成的角,PA ⊥底面ABC ,PA AB ∴⊥.又PA AB =,ABP ∴为等腰直角三角形, 2AD AB ∴=.在Rt ABC 中,60ABC ︒∠=,12BC AB ∴=,∴在Rt ADE 中,2sin 2DE BCDAE AD AD ∠===,即AD 与平面PAC 所成角的正弦值为2.（Ⅲ）//DE BC ,又有（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC , DE ∴⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ,PE ⊂平面PAC ,,DE AE DE PE ∴⊥⊥,AEP ∴∠为二面角A DE P --的平面角, PA ⊥底面ABC ,PA AC ∴⊥,90PAC ︒∴∠=,∴在棱PC 上存在一点E ,使得AE PC ⊥. 这时90AEP ︒∠=,故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.19. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）取AD 的中点M ,连接,PM BM , P 是DF 的中点,M 是AD 的中点, 1//,2PM AF PM AF ∴=, 又1//,,//,2BE AF BE AF BE PM BE PM ==, ∴四边形BEPM 是平行四边形,//PE BM ∴,又PE 平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD , //PE ∴平面ABCD .（Ⅱ）取AB 中点M ,连接,AC CM ,在ABC 中,π,3AB BC CBA =∠=, ABC ∴是等边三角形,CM AB ∴⊥,又平面ABCD ⊥平面ABEF AB =,CM ∴⊥平面ABEF ,又AB AF ⊥,AB ∴⊥平面DAF ,AF ⊥平面ABCD , ∴以A 为原点,作//Az MC 建立如图所示的空间直角坐标系, 设1AB =,则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,0,3),(1,0,3),(0,4,0)A B E C D F -, (3,2,3),(1,4,3)DE DF ∴=-=-,设平面DEF 的法向量(,,)n x y z =,则00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3230430x y z x y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩,令1z =,则y z ==故3(,n =为平面DEF 的一个法向量,又因为AF ⊥平面ABCD , 故AF 为平面ABCD 的一个法向量,所以39cos ,AF nAF n AF n ⋅<>==⋅平面DEF 与平面ABCD . （Ⅲ）过G 作GH BA ⊥,交BA 延长线于H ,连接,FH FG , 平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD 平面,,ABEF AB GH AB GH =⊥⊂平面ABCD , GH ∴⊥平面ABCD , GFH ∴∠位置线FG 与平面ABEF 所成角. ,2,AG AD AG λλ=∴=π3CBA DAH ∠=∠=, ππsin ,cos ,33GH AG AH AG λ∴=⋅=⋅=HF ∴=FG =sin GH GFH FG ∠===,计算得出λ=.。
2017-2018年北京市西城区高二上学期期末数学试卷(理科)与解析
2017-2018学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）一、单选题1．（3分）直线x+y+=0的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°2．（3分）命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是（）A．存在x＞3，使得lnx＞1 B．对任意x＞3，都有lnx≤1C．存在x＞3，使得lnx≤1 D．对任意x≤3，都有lnx＞13．（3分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．4．（3分）设α，β是两个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，（）A．若a⊥b，b⊥c，则a∥c B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β5．（3分）“n＞m＞0”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．（3分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，若l∥α，l∥β，α∩β=m，则（）A．l与m平行B．l与m相交C．l与m异面D．以上三个答案均有可能7．（3分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．1 C．D．28．（3分）设α为空间中的一个平面，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到α的距离为d（d＞0）的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（）A．4∈M，6∉M B．5∉M，6∉M C．4∉M，6∈M D．5∉M，6∈M二、填空题9．（3分）命题“若a2﹣b2=0，则a=b”的逆否命题为．10．（3分）经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为．11．（3分）在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．以BC所在的直线为轴将△ABC 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为．12．（3分）若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，一条渐近线与l 平行，且双曲线C的焦点在x轴上，则双曲线C的标准方程为；离心率为．13．（3分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有个直角三角形．14．（3分）在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点A（1，0）和点B（﹣1，0）的距离之积等于2的所有点组成的．对于曲线C，有下列四个结论：①曲线C是轴对称图形；②曲线C是中心对称图形；③曲线C上所有的点都在单位圆x2+y2=1内；④曲线C上所有的点的纵坐标．其中，所有正确结论的序号是．三、解答题15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：BC1∥平面A1CD．16．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，其中m∈R．（Ⅰ）如果圆C与圆x2+y2=1相外切，求m的值；（Ⅱ）如果直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，求m的值．17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点．（Ⅰ）求四棱锥C﹣AEB1B的体积；（Ⅱ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求线段AM的长度；（Ⅲ）判断线段B1C上是否存在一点N，使得NE∥CD？（结论不要求证明）18．设F为抛物线C：y2=2x的焦点，A，B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求|AB|；（Ⅱ）当OA⊥OB时，求|OA|•|OB|的最小值．19．如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=AD=2，M为AC的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥MD；（Ⅱ）求二面角B﹣MD﹣C的余弦值．（Ⅲ）求四面体A﹣BCD的外接球的表面积．（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球．球的表面积S=4πR2）20．已知椭圆的一个焦点为，离心率为．点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）记线段OP与椭圆C交点为Q，求|PQ|的取值范围；（Ⅲ）设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．2017-2018学年北京市西城区高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、单选题1．（3分）直线x+y+=0的倾斜角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【解答】解：设直线x+y+=0的倾斜角为θ，则0°≤θ＜180°，直线x+y+=0变形可得y=﹣x﹣，其斜率为﹣1，则有tanθ=﹣1，且0°≤θ＜180°，则θ=135°，故选：D．2．（3分）命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是（）A．存在x＞3，使得lnx＞1 B．对任意x＞3，都有lnx≤1C．存在x＞3，使得lnx≤1 D．对任意x≤3，都有lnx＞1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“对任意x＞3，都有lnx＞1”的否定是：存在x＞3，使得lnx≤1．故选：C．3．（3分）双曲线x2﹣y2=1的焦点到其渐近线的距离为（）A．1 B．C．2 D．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为x2﹣y2=1，其焦点坐标为（±，0），其渐近线方程为y=±x，即x±y=0，则其焦点到渐近线的距离d==1；故选：A．4．（3分）设α，β是两个不同的平面，a，b，c是三条不同的直线，（）A．若a⊥b，b⊥c，则a∥c B．若a∥α，b∥α，则a∥bC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若a⊥α，a⊥β，则α∥β【解答】解：对于A，若a⊥b，b⊥c，则a∥c或a与c相交，或a与c异面；故A错误；对于B，若若a∥α，b∥α，则a∥b或a与b相交，或a与b异面，故B错误；对于C，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故C错误；对于D，若a⊥α，a⊥β，则α∥β，故D正确．故选：D．5．（3分）“n＞m＞0”是“方程表示的曲线为椭圆”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若方程表示的曲线为椭圆，则m＞0，n＞0且m≠n，则“n＞m＞0”是“方程表示的曲线为椭圆”的充分不必要条件，故选：A．6．（3分）设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，若l∥α，l∥β，α∩β=m，则（）A．l与m平行B．l与m相交C．l与m异面D．以上三个答案均有可能【解答】解：如图所示，α，β是两个不同的平面，l是一条直线，当l∥α时，则存在a⊂α，a∥α，当l∥β时，则存在b⊂β，b∥β，∴a∥b，可得a∥β，又α∩β=m，∴l∥m．故选：A．7．（3分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF的中点，则直线OM的斜率的最大值为（）A．B．1 C．D．2【解答】解：由题意可得F（，0），设P（，y0），M（x，y），∵M是线段PF的中点∴x=（+），y=，∴k OM==≤=1，当且仅当y0=p时取等号∴直线OM的斜率的最大值为1．故选：B．8．（3分）设α为空间中的一个平面，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到α的距离为d（d＞0）的点的个数为m，m的所有可能取值构成的集合为M，则有（）A．4∈M，6∉M B．5∉M，6∉M C．4∉M，6∈M D．5∉M，6∈M【解答】解：如图所示，由题意知，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点中到平面α的距离为d（d＞0），则满足条件的顶点个数为m，m的可能取值为0，1，2，4，8．∴4∈M，6∉M．故选：A．二、填空题9．（3分）命题“若a2﹣b2=0，则a=b”的逆否命题为若a≠b，则a2﹣b2≠0．【解答】解：交换条件和结论，同时进行否定得逆否命题为：若a≠b，则a2﹣b2≠0，故答案为：若a≠b，则a2﹣b2≠010．（3分）经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为x+3y﹣5=0．【解答】解：经过点M（2，1）且与直线3x﹣y+8=0垂直的直线方程为：（x﹣2）+3（y﹣1）=0，即：x+3y﹣5=0，故答案为：x+3y﹣5=011．（3分）在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．以BC所在的直线为轴将△ABC 旋转一周，则旋转所得圆锥的侧面积为15π．【解答】解∵在△ABC中，AB=3，BC=4，AB⊥BC．∴AC===5，以BC所在的直线为轴将△ABC旋转一周，形成的旋转体是底面半径为r=AB=3，高为BC=4的圆锥，∴旋转所得圆锥的侧面积：S=πrl=π×AB×AC=π×3×5=15π故答案为：15π．12．（3分）若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，一条渐近线与l平行，且双曲线C的焦点在x轴上，则双曲线C的标准方程为；离心率为．【解答】解：根据题意，若双曲线C的一个焦点在直线l：4x﹣3y+20=0上，且其焦点在x轴上，直线与x轴交点坐标为（﹣5，0），则双曲线的焦点为（﹣5，0）与（5，0），c=5，又由双曲线的渐近线与直线l：4x﹣3y+20=0平行，则双曲线的一条渐近线为4x ﹣3y=0，设双曲线的方程为：﹣=1，（t＞0）又由c=5，则有9t+16t=25，解可得：t=1，则双曲线的方程为：，其中a=3，则双曲线的离心率e==；故答案为，13．（3分）一个四棱锥的三视图如图所示，那么在这个四棱锥的四个侧面三角形中，有4个直角三角形．【解答】解：由三视图还原原几何体如图：该几何体为四棱锥，底面为直角梯形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AB=2，AD=DC=1，AB∥DC，AB⊥AD，则侧面三角形PAB、PAD、PDC为直角三角形；由题意求得PB=，PD=，PC=，BC=，则PB2=PC2+BC2，即三角形PCB是以∠PCB为直角的直角三角形．∴这个四棱锥的四个侧面三角形中，有4个直角三角形．故答案为：4．14．（3分）在平面直角坐标系中，曲线C是由到两个定点A（1，0）和点B（﹣1，0）的距离之积等于2的所有点组成的．对于曲线C，有下列四个结论：①曲线C是轴对称图形；②曲线C是中心对称图形；③曲线C上所有的点都在单位圆x2+y2=1内；④曲线C上所有的点的纵坐标．其中，所有正确结论的序号是①②．【解答】解：由题意设动点坐标为（x，y），利用题意及两点间的距离公式的得：[（x+1）2+y2]•[（x﹣1）2+y2]=4，对于①，方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故关于y轴对称和x 轴对称，故曲线C是轴对称图形，故①正确对于②，把方程中的x被﹣x代换，y被﹣y 代换，方程不变，故此曲线关于原点对称，曲线C是中心对称图形，故②正确；对于③y=0可得，（x+1）2•（x﹣1）2=4，即x2﹣1=2，解得x=±，∴曲线C上点的横坐标的范围为[﹣，]，故③错误，对于④令x=0可得，y=±1，∴曲线C上点的纵坐标的范围为[﹣1，1]，故④错误；故答案为：①②三、解答题15．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AB的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：BC1∥平面A1CD．【解答】（本小题满分13分）证明：（Ⅰ）因为正三棱柱ABC﹣A1B1C1，D为AB的中点，所以CD⊥AB，AA1⊥底面ABC．…（1分）又因为CD⊂底面ABC，所以AA1⊥CD．…（3分）又因为AA1∩AB=A，AB⊂平面ABB1A1，AA1⊂平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1．…（6分）（Ⅱ）连接AC1，设A1C∩AC1=O，连接OD，…（7分）由正三棱柱ABC﹣A1B1C1，得AO=OC1，又因为在△ABC1中，AD=DB，所以OD∥BC1，…（10分）又因为BC1⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（13分）16．已知圆C：x2+y2﹣6x﹣8y+m=0，其中m∈R．（Ⅰ）如果圆C与圆x2+y2=1相外切，求m的值；（Ⅱ）如果直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，求m的值．【解答】解：（Ⅰ）将圆C的方程配方，得（x﹣3）2+（y﹣4）2=25﹣m，…（1分）∴圆C的圆心为（3，4），半径．…（3分）因为圆C与圆x2+y2=1相外切，所以两圆的圆心距等于其半径和，即，…（5分）解得m=9．…（7分）（Ⅱ）圆C的圆心到直线x+y﹣3=0的距离．…（9分）因为直线x+y﹣3=0与圆C相交所得的弦长为，所以由垂径定理，可得，…（11分）解得m=10．…（13分）17．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点．（Ⅰ）求四棱锥C﹣AEB1B的体积；（Ⅱ）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，求线段AM的长度；（Ⅲ）判断线段B1C上是否存在一点N，使得NE∥CD？（结论不要求证明）【解答】解：（Ⅰ）∵AA1⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴AA1⊥AD．又∵AB⊥AD，AA1∩AB=A，∴AD⊥平面ABB1A1．∵AB∥CD，∴四棱锥C﹣AEB 1B的体积••AD=×[×（1+2）×2]×1=1；（Ⅱ）以A为原点，以AD为x轴，以AA1为y轴，以AB为z轴，建立空间直角坐标系，∵AD=CD=1，AA1=AB=2，E为AA1的中点，∴B（0，0，2），B1（0，2，2），C1（1，2，1），C（1，0，1），E（0，1，0），，．设点M（a，b，c），∵点M在线段C1E上，∴=λ，λ＞0，∴（a，b﹣1，c）=λ（1，1，1）=（λ，λ，λ），∴a=λ，b=λ+1，c=λ，得M（λ，λ+1，λ），∴=（λ，λ+1，λ），设平面BCC1B1的一个法向量为=（x，y，z），由，取z=1，得．∵直线AM与平面BCC1B1所成角的正弦值为，∴|cos＜＞|=||=||=．解得．∴，则||==．∴线段AM的长度为；（Ⅲ）线段B1C上不存在点N，使得NE∥CD．18．设F为抛物线C：y2=2x的焦点，A，B是抛物线C上的两个动点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线AB经过焦点F，且斜率为2，求|AB|；（Ⅱ）当OA⊥OB时，求|OA|•|OB|的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，抛物线C的方程为y2=2x，则其焦点坐标为F（，1），则直线AB的方程为y=2（x﹣）=2x﹣1．由消去y，得4x2﹣6x+1=0．设点A（x1，y1），B（x2，y2），则△＞0，且x1+x2=，x1x2=，所以|AB|=•=•=．（Ⅱ）设直线OA的方程为y=kx，k≠0，∵OA⊥OB，∴直线OB的方程为y=﹣x，由，解得，即A（，），则|OA|2=+，由，解得，即B（2k2，﹣2k），则|OB|2=4k4+4k2，∴（|OA|•|OB|）2=（+）（4k4+4k2）=16（2++k2）≥16（2+2）=64，当且仅当k=±1时取等号，∴|OA|•|OB|的最小值为8．19．如图，在四面体A﹣BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，BC=CD=AD=2，M为AC的中点．（Ⅰ）求证：BC⊥MD；（Ⅱ）求二面角B﹣MD﹣C的余弦值．（Ⅲ）求四面体A﹣BCD的外接球的表面积．（注：如果一个多面体的顶点都在球面上，那么常把该球称为多面体的外接球．球的表面积S=4πR2）【解答】（Ⅰ）证明：AD⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，所以BC⊥AD，又：BC⊥CD，AD∩CD=D，所以BC⊥平面ACD，CM⊂平面ACD，∴BC⊥MD；（Ⅱ）解：以D为坐标原点，DC为x轴，过D平行BC的直线为y轴，DA所在直线为：z轴，如图：BC=CD=AD=2，M为AC的中点．D（0，0，0）；C（2，0，0），B（2，﹣2，0），M（1，0，1），平面MBC的一个法向量不妨为：=（0，1，0），设平面BMD的法向量为：=（x，y，z），则，即：，取x=1，则y=1，z=﹣1，=（1，1，﹣1），二面角B﹣MD﹣C的余弦值为：==．（Ⅲ）解：四面体A﹣BCD是棱长为2的正方体，外接球的球心是AB中点，半径为：=，外接球的表面积：12π．20．已知椭圆的一个焦点为，离心率为．点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）记线段OP与椭圆C交点为Q，求|PQ|的取值范围；（Ⅲ）设直线l经过点P且与椭圆C相切，l与圆M相交于另一点A，点A关于原点O的对称点为B，试判断直线PB与椭圆C的位置关系，并证明你的结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：c=，e==，则a=3，b2=a2﹣c2=4，∴椭圆的标准方程：；（Ⅱ）由题意可知：|PQ|=|OP|﹣|OQ|=﹣|OQ|，设Q（x1，y1），，∴|OQ|===，由x1∈[﹣3，3]，当x1=0时，|OQ|min=2，当x1=±3时，|OQ|max=3，∴|PQ|的取值范围[﹣3，﹣2]；（Ⅲ）证明：由题意，点B在圆M上，且线段AB为圆M的直径，所以PA⊥PB．分3种情况讨论：①，当直线PA⊥x轴时，易得直线PA的方程为x=±3，由题意，得直线PB的方程为y=±2，显然直线PB与椭圆C相切．②，同理当直线PA∥x轴时，直线PB也与椭圆C相切．③，当直线PA与x轴既不平行也不垂直时，设点P（x0，y0），直线PA的斜率为k，则k≠0，直线PB的斜率﹣，所以直线PA：y﹣y0=k（x﹣x0），直线PB：y﹣y0=﹣（x﹣x0），由，消去y，得（9k2+4）x2+18（y0﹣kx0）kx+9（y0﹣kx0）2﹣36=0．因为直线PA与椭圆C相切，所以△1=[18（y0﹣kx0）k]2﹣4（9k2+4）[9（y0﹣kx0）2﹣36]=0，整理，得△1=﹣144[（x02﹣9）k2﹣2x0y0k+y02﹣4]=0 （1）同理，由直线PB与椭圆C的方程联立，得△2=﹣144[（x02﹣9）+2x0y0+y02﹣4]．（2）因为点P为圆M：x2+y2=13上任意一点，所以x02+y02=13，即y02=13﹣x 02．代入（1）式，得（x02﹣9）k2﹣2x0y0k+（9﹣x02）=0，代入（2）式，得△2=﹣[（x02﹣9）+2x0y0k+（x02﹣4）k2]=﹣[（x02﹣9）+2x0y0k+（9﹣x02）k2]，=[（x02﹣9）k2﹣2x0y0k+（9﹣x02）]=0．所以此时直线PB与椭圆C相切．综上，直线PB 与椭圆C 相切．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； yxo（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。
北京市海淀区2017-2018学年高二上学期期末考试数学(理)试题 Word版无答案
海淀区高二年级第一学期期末练习数学（理科） 2018.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）直线在轴上的截距为A. B. C. D.（2）在空间直角坐标系中，已知点，则线段的中点的坐标是A. B. C. D.（3）已知圆经过原点，则实数等于A. B. C. D.（4）鲁班锁是曾广泛流传于民间的智力玩具，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，不用钉子和绳子，完全靠自身结构的连接支撑.它看似简单，却凝结着不平凡的智慧.下图为鲁班锁的其中一个零件的三视图，则该零件的体积为A.32B.34C.36D.40（5）已知平面，直线，下列命题中假命题．．．是A.若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，，则（6）椭圆的焦点为，若点在上且满足，则中最大角为A. B. C. D.（7）“”是“方程表示双曲线”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件（8）平面两两互相垂直，在平面内有一个点到平面，平面的距离都等于1.则在平面内与点，平面，平面距离都相等的点的个数为A.1B.2C.3D.4第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题4分，共24分。
（9）直线的倾斜角为 ,经过点且与直线平行的直线方程为 .（10）直线被圆所截得的弦长为 .（11）请从正方体的8个顶点中，找出4个点构成一个三棱锥，使得这个三棱锥的4个面都是直角三角形，则这4个点可以是 .（只需写出一组）（12）在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则 .（13）已知椭圆和双曲线的中心均在原点，且焦点均在轴上，从每条曲（14）曲线的方程为①请写出曲线的两条对称轴方程；②请写出曲线上的两个点的坐标；③曲线上的点到原点的距离的取值范围是 .三、解答题共4小题，共44分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（15）（本小题10分）在平面直角坐标系中，圆的半径为1，其圆心在射线上，且.（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若直线过点，且与圆相切，求直线的方程.（16）（本小题10分）如图，在三棱锥中，，且点分别是的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面平面.（17）（本小题12分）如图，平面平面，四边形和是全等的等腰梯形，其中，且，点为的中点，点是的中点.（Ⅰ）请在图中所给的点中找出两个点，使得这两点所在的直线与平面垂直，并给出证明．．；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得平面？如果存在，求出的长度；如果不存在，请说明理由.（18）（本小题12分）已知抛物线，直线与抛物线交于两点.点为抛物线上一动点，直线，分别与轴交于. （Ⅰ）若的面积为4，求点的坐标；（Ⅱ）当直线时，求线段的长；（Ⅲ）若与面积相等，求的面积.。
2018北京101中学高二(上)期末数学(理)【名校真题.北京】
2018北京101中学高二（上）期末数 学（理）（本试卷满分120分，考试时间100分钟）一、选择题共8小题。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 双曲线的左、右焦点坐标分别是F 1（-3，0），F 2（3，0），虚轴长为4，则双曲线的标准方程是（ ）A. 14y 5x 22=-B. 14x 5y 22=- C. 14y 13x 22=-D.116y 9x 22=- 2. 命题“∃x 0∈（0，+∞），lnx 0=x 0-1”的否定是（ ）A. ∀x ∈（0，+∞），lnx ≠x-1B. ∀x ∉（0，+∞），lnx=x-1C. ∃x 0∈（0，+∞），lnx 0≠x 0-1D. ∃x 0∉（0，+∞），lnx 0=x 0-l3. 抛物线y=4x 2的焦点坐标是（ ） A. （0，1）B. （0，161） C. （1，0） D. （161，0） 4. 有下列三个命题：①“若x+y=0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；②“若x>y ，则x 2>y 2”的逆否命题；③“若x<-3，则x 2+x-6>0”的否命题。
则真命题的个数是（ ）A. 3B. 2C. 1D. 05. 4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（ ）A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6. 已知圆M ：x 2+y 2-2ay=0截直线x+y=0所得的线段长是22，则a 的值为（ ） A. 2B. 2C. 2±D. ±27. 从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（ ） A. 24B. 18C. 12D. 68. 设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|=|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A. （332，2] B. [332，2） C . （332，+∞） D. [332，+∞） 二、填空题共6小越。
2018北京十一学校高二数 学II(理)(上)期末
2018北京十一学校高二数 学II （理）（上）期末2018.1本试卷共8页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、填空题(共15道小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分,共55分)1. 下面说法正确的是______.①长方体的八个顶点在同一个球面上,此时长方体称为球的内接长方体,球是长方体的外接球,并且长方体的对角线是球的直径;②一球与正方体的所有棱相切,则正方体每个面上的对角线长等于球的直径;③一球与正方体的所有面相切,则正方体的棱长等于球的直径.2. 在球内有相距9cm 的两个平行截面,面积分别为249πcm 和2400πcm ,则此球的半径为______.3. 已知异面直线a 与b 所成的角70θ=,P 为空间一点,则过P 点与a 和b 所成角45φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角35φ=的直线有______条,过P 点与a 和b 所成角70φ=的直线有______条4. 设,,l m n 表示不同的直线,,,αβγ表示不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的序号是______.①若//m l ,且m α⊥,则l α⊥;②若//m l ,且//m α,则//l α;③若,,l m n αββγγα===,则////l m n ; ④若,,m l n αββγγα===,且//n β,则//l m .5. 在三棱锥P ABC -中,点O 是点P 在底面ABC 内的射影.①若PA PB PC ==,则O 是ABC !的______心;②若,PA BC PB AC ⊥⊥,则O 是ABC !的______心;③若侧面,,PAB PBC PAC 与底面ABC 所成的二面角相等,则O 是ABC !的______心.6. 如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列四个命题正确的序号是______.①直线BM 与直线ED 平行; ②直线CN 与直线BE 是异面直线;③直线AF 与平面BDM 平行;④平面CAN 与平面BEM 平行.第6题图 第7题图 第8题图7. 某几何体的三视图如图所示,则它的体积是______.8. 如图所示,侧棱长为23的正三棱锥V ABC -中,40AVB BVC CVA ︒∠=∠=∠=,过A 作截面AEF ,则截面AEF !周长的最小值等于______.9. 如图,网格纸的小正方形的边长是1,在其上用粗线画出了某多面体的三视图,则这个多面体最长的一条棱的长为______.10. 在如图所示的空间直角坐标系O xyz -中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,00,(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①,②,③,④的四个图,则该四面体的正视图和左视图分别为______,______.①②③④ 11. 将一副斜边长相等的直角三角板拼接成如图所示的空间图形,其中2AD BD ==,30BAC ∠=,若他们的斜边AB 重合,让三角板ABD 以AB 为轴转动,则下列说法正确的是______.①当平面平面ABC 时,C 、D 两点间的距离为2;②在三角板ABD 转动过程中,总有AB CD ⊥;③在三角板ABD 转动过程中,三棱锥D ABC -体积的最大值为3612. 如图,PA 垂直于圆O 所在的平面,AB 是圆O 的直径,C 是圆O 上一点,,AE PC AF PB ⊥⊥,给出下列结论,其中真命题的序号有______.①AE BC ⊥;②EF PB ⊥;③AF BC ⊥;④AE ⊥平面PBC .13. 如图,在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD 为正三角形,底面ABCD 为边长为1的正方形,侧面PAD ⊥底面ABCD ,M 为底面ABCD 内的一个动点,且满足MP MC =,则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为______.14. 如图,正方形123SG G G 中,,E F 分别是1223,G G G G 的中点,现沿,SE SF 及EF 把这个正方形折成一个几何体,使113,,G G G 三点重合于点G .下列五个结论中,正确的是______.①SG ⊥平面EFG ;②SD ⊥平面EFG ;③GF ⊥平面SEF ;④EF ⊥平面GSD ;⑤GD ⊥平面SEF .15. 如图,在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中,E 为BC 的中点,点P 在正方体的表面上移动,且满足11B P D E ⊥,则点P 形成的轨迹图形的周长是______.B ACD二、解答题(共4小题,共45分.要求有推理计算过程)16. （本小题满分8分）证明:如果一个角所在平面外一点与角的顶点的连线与角的两边所成的角相等,那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上.17. （本小题满分12分）如图,已知直三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为2,底面ABC !是等腰直角三角形,且90,2,ACB AC D ∠==是1AA 的中点.（Ⅰ）求异面直线AB 和1C D 所成的角（用反三角函数表示）;（Ⅱ）若E 为线段AB 上一点,试确定点E 在AB 上的位置,使得11A E C D ⊥;（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,求点D 到平面11B C E 的距离.18. （本小题满分12分）如图,在三棱锥P ABC -中,底面ABC ,,60,90PA AB BC BCA =∠=∠=,点D 、E 分别在棱,PB PC 上,且//DE BC .（Ⅰ）求证:BC ⊥平面PAC ;（Ⅱ）当D 为PB 的中点时,求AD 与平面PAC 所成的角的大小;（Ⅲ）是否存在点E 使得二面角A DE P --为直二面角?并说明理由.19. （本小题满分13分）如图,已知菱形ABCD 与直角梯形ABEF 所在的平面互相垂直,其中1π//,,2,23BE AF AB AF AB BE AF CBA ⊥===∠=,P 为DF 的中点. （Ⅰ）求证://PE 平面ABCD ;（Ⅱ）求二面角D EF A --的余弦值;（Ⅲ）设G 为线段AD 上一点,AG AD λ=,若直线FG 与平面ABEF 所成角的正弦值为3926,求λ的值.数学试题答案一、填空题:本大题共15小题,1-5每小题3分,6-15每小题4分共55分.1.①②③2.25cm3.2;1;44.①④5.外;垂;内6.③④7.28π3- 8.6 9.23 10.④;③11.①③ 12.①②④13.A 14.①④ 15.3252+二、解答题:16. （本小题满分8分）已知:如图,点P 为BAC ∠所在平面外一点,PD AC ⊥于D ,PE AB ⊥于E ,PD PE =,PG ⊥平面ABC 于G .证明:连结,GE GD .PG ⊥平面ABC ,,EG DG ⊂平面ABC ,,PG EG PG DG ∴⊥⊥,又,PD PE PG PG ==,,PEG PDG GE GD ∴≅∴=!!,PG ⊥平面ABC ,EG ∴为PE 在平面ABC 内的射影,又,AB PE AB EG ⊥∴⊥,同理AC DG ⊥,,AGE AGD EAG DAG ∴≅∴∠=∠!!,AG ∴为BAC ∠的角平分线.17. （本小题满分12分）（Ⅰ）以C 为坐标原点,1,,CB CA CC 分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则11(0,2,0),(0,2,2),(2,0,0),(0,0,2),(0,2,1)A A B C D ,1(2,2,0),(0,2,1)AB C D ∴=-=-.异面直线AB 与1C D 所成的角为向量AB 与向量1C D 的夹角或其补角. 设AB 与1C D 的夹角为θ, 则410cos 5225θ-==-⨯, 10πarccos 5θ=-, 即异面直线AB 与1C D 所成的角为10arccos5. （Ⅱ）设E 点的坐标为(,,0)x y ,要使得11A E C D ⊥,只要110A E C D ⋅=,11(,2,2),(0,2,1),1A E x y C D y =--=-=, 又点E 在AB 上,//,(,2,0),(2,2,0)AE AB AE x y AB ∴=-=-, 1,(1,1,0)x E ∴=,E ∴点为AB 的中点.（Ⅲ）取AC 中点N ,连接1,EN C N ,则11//EN B C . 11B C ⊥平面11AA C C ,∴平面11B C NE ⊥平面11AA C C , 过点D 作1DH C N ⊥,垂足为H ,则DH ⊥平面11B C NE , DH ∴的长度即为点D 到平面11B C E 的距离.在正方形11AA C C 中,由计算知355DH =, 即点D 到平面11B C E 的距离为355.18. （本小题满分12分）解:（Ⅰ）PA ⊥底面ABC ,PA BC ∴⊥,又90BCA ︒∠=,AC BC ∴⊥,BC ∴⊥平面PAC .（Ⅱ）D 为PB 的中点,//DE BC ,12DE BC ∴=.又由（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC ,DAE ∴∠是AD 与平面PAC 所成的角,PA ⊥底面ABC ,PA AB ∴⊥.又PA AB =,ABP ∴!为等腰直角三角形, 12AD AB ∴=.在Rt ABC !中,60ABC ︒∠=,12BC AB ∴=,∴在Rt ADE !中,2sin 24DE BC DAE AD AD ∠===,即AD 与平面PAC 所成角的正弦值为24.（Ⅲ）//DE BC ,又有（Ⅰ）知,BC ⊥平面PAC , DE ∴⊥平面PAC .又AE ⊂平面PAC ,PE ⊂平面PAC ,,DE AE DE PE ∴⊥⊥,AEP ∴∠为二面角A DE P --的平面角, PA ⊥底面ABC ,PA AC ∴⊥,90PAC ︒∴∠=,∴在棱PC 上存在一点E ,使得AE PC ⊥. 这时90AEP ︒∠=,故存在点E 使得二面角A DE P --是直二面角.19. （本小题满分13分）解:（Ⅰ）取AD 的中点M ,连接,PM BM , P 是DF 的中点,M 是AD 的中点,1//,2PM AF PM AF ∴=, 又1//,,//,2BE AF BE AF BE PM BE PM ==, ∴四边形BEPM 是平行四边形,//PE BM ∴,又PE Ú平面ABCD ,BM ⊂平面ABCD , //PE ∴平面ABCD .（Ⅱ）取AB 中点M ,连接,AC CM ,在ABC !中,π,3AB BC CBA =∠=, ABC ∴!是等边三角形,CM AB ∴⊥, 又平面ABCD ⊥平面ABEF AB =,CM ∴⊥平面ABEF ,又AB AF ⊥,AB ∴⊥平面DAF ,AF ⊥平面ABCD , ∴以A 为原点,作//Az MC 建立如图所示的空间直角坐标系, 设1AB =,则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,0,3),(1,0,3),(0,4,0)A B E C D F -,(3,2,3),(1,4,3)DE DF ∴=-=-,设平面DEF 的法向量(,,)n x y z =,则00n DE n DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即3230430x y z x y z ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩,令1z =,则33,55y z ==, 故33(,,1)55n =为平面DEF 的一个法向量,又因为AF ⊥平面ABCD , 故AF 为平面ABCD 的一个法向量,所以39cos ,31AF nAF n AF n ⋅<>==⋅, 平面DEF 与平面ABCD 所成角的余弦值为3931. （Ⅲ）过G 作GH BA ⊥,交BA 延长线于H ,连接,FH FG , 平面ABCD ⊥平面ABEF ,平面ABCD 平面,,ABEF AB GH AB GH =⊥⊂平面ABCD , GH ∴⊥平面ABCD , GFH ∴∠位置线FG 与平面ABEF 所成角. ,2,AG AD AG λλ=∴=π3CBA DAH ∠=∠=, ππsin 3,cos ,33GH AG AH AG λλ∴=⋅==⋅= 22216HF AF AH λ∴=+=+, 22224FG GH FH λ=+=+,2339sin 2624GH GFH FG λλ∠===+, 计算得出33λ=.。
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2018北京十一学校高二（上）期末数 学（理） 2018.1本试卷共5页,100分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(共8小题,每小题4分,共32分) 1. 函数y x =在1x =处的导数为（A ）0 （B ）12（C ）1 （D ）22. 抛物线28y x =的焦点坐标为（A ）(0,2) （B ）(2,0)（C ）1(,0)32（D ）1(0,)323. 双曲线221916x y -=的渐近线方程为（A ）43y x =±（B ）35y x =±（C ）34y x =±（D ）54y x =±4. 已知方程22121x y m m +=-+表示的曲线是椭圆,则实数m 的取值范围是（A ）(1,2)-（B ）11(1,)(,2)22- （C ）1(1,)2-（D ）1(,2)25. 已知O 为坐标原点,椭圆221169x y +=上的点M 到左焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,则ON 的值等于（A ）3（B ）4（C ）5（D ）66.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程是3y x =,且它的一个焦点在抛物线28y x =的准线上,则双曲线的方程为（A ）221412x y -=（B ）221124x y -=（C ）2213y x -=（D ）2213x y -=7. 已知椭圆221(0)259x y a b +=>>的两个焦点分别为1F ,2F ,P 是椭圆上一点,且1260F PF ∠=,则12F PF !的面积等于 （A ）63（B ）33（C ）6（D ）38. 若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两个焦点为1F ,2F ,若双曲线上存在一点P ,满足12||3||PF PF =,则该双曲线的离心率的取值范围是 （A ）12e <<（B ）12e ≤≤（C ）12e <≤（D ）12e ≤<二、填空题(共6小题,每小题4分,共24分) 9. 函数x y xe =的导数是______.10. 已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到准线的距离与椭圆22194x y +=的长轴长相等,则抛物线的标准方程为______.11. 已知定点(3,4)M ,F 为抛物线28y x =的焦点,点P 在该抛物线上移动,当||||PM PF +取最小值时,点P 的坐标为______.12. 已知直线l 的参数方程为23x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数）,以平面直角坐标系的坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin 4cos 0(0,02)ρθθρθπ-=≥≤<,则直线l 与曲线C 的位置关系是______.13. 已知函数3()3ln f x x x x =-+,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为______.14. 已知点P 圆22:(4)4C x y -+=上,点Q 在椭圆2214y x +=上移动,则||PA 的最大值为______.三、解答题(共2道大题,共44分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程). 15. （本小题9分）设函数21()ln ()2a f x x ax x a -=+-∈R （1）当1a =时,求函数()f x 的极小值; （2）当2a ≥时,讨论函数()f x 的单调性.16. （本小题35分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为(0,1)B ,半焦距为c ,离心率32e =,又直线:(0)l y kx m k =+≠交椭圆于11(,)M x y ,22(,)N x y 两点,且00(,)P x y 为MN 中点.（5分）（1）求椭圆C 的标准方程; （5分）（2）若1,1k m ==-,求弦MN 的长;（5分）（3）若点1(1,)2Q 恰好平分弦MN ,求实数,k m ;（8分）（4）若满足||||BM BN =,求实数m 的取值范围并求MN OP k k 的值;（6分）（5）设圆222:(2)(0)T x y r r ++=>与椭圆C 相交于点E 与点F ,求TE TF ⋅的最小值,并求此时圆T 的方程;（6分）（6）若直线l 是圆224:5O x y +=的切线,证明MON ∠的大小为定值.数学试题答案一、选择题:本大题共8小题,每小题4分,共32分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BDABACBC二、填空题:本大题共6小题,每小题4分,共24分.11.(1)x x e + 12.212y x = 13.(2,4) 14.相切 15.3y x =-16.7三、解答题（本大题共2道大题,共44分）解:(1)当1a =时,()ln f x x x =-,1()x f x x-'=, 当01x <<时,()0f x '<,()f x 单调递减;当1x >时,()0f x '>,()f x 单调递增, 所以()f x 极小值为(1)1f =.(2)11()(1)()1a f x x x x a -'=---,由2a ≥得1011a <≤- ①当2a =时,2(1)()0x f x x--'=-<,()f x 在(0,)+∞单调递减;②当2a >时,1011a <<-,令()0f x '>,解得101x a <<-或1x >;令()0f x '<,解得111x a <<-. 综上所述:①当2a =时,()f x 在(0,)+∞单调递减; ②当2a >时,()f x 在1(0,)1a -和(1,)+∞单调递增,()f x 在1(,1)1a -单调递减. 16.解:(1)根据题意:222132b cab c a =⎧⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩,解得21a b =⎧⎨=⎩,所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=;（2）联立直线方程和椭圆方程:22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,整理得:2580x x -=,解得0x =或85-,所以(0,1)M -,83(,)55N ,则228382||()(1)555MN =++=.（3）1(1,)2Q 恰好平分弦MN ,所以00112x y =⎧⎪⎨=⎪⎩,,M N 在椭圆上,则221122221414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,上下相减得12121212()(+)+()(+)04x x x x y y y y --=, 即120120()2+()204x x x y y y -⨯-⨯=,即1212()+()02x x y y --=,则121212y y x x -=--,即12k =-, 点Q 在直线上,所以直线11:(1)22l y x -=--,整理得112y x =-+,所以1m =, 综上所述:12k =-,1m =.（4）由（3）知120120()2+()204x x x y y y -⨯-⨯=,等号两边同时除以120()2x x x -⨯,得104MN OP k k +=,所以14MN OP k k =-. 联立直线方程和椭圆方程:2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,整理得:222(41)8440k x kmx m +++-=,2222644(41)(44)0k m k m ∆=-+->,解得2214m k ->,则122841km x x k +=-+,所以12024241x x km x k +==-+,则00241my kx m k =+=+,因为||||B M B N =,所以1BP k k =-,则200211141441BPmy k k km x k k --+===--+,化简得23104m k +=->,则13m <-,又2214m k ->,所以231144m m +-->,解得133m -<<-, 综上所述:133m -<<-,14MN OP k k =-.（5）设333(,)(0)E x y y >,33(,)F x y -,则33(2,)TE x y =+33(2,-)TF x y =+,所以2233(2)TE TF x y ⋅=+-,点E 与点F 在椭圆上:223314x y =-,所以2335434TE TF x x ⋅=++,当385x =-时,TE TF ⋅取得最小值15-,此时335y =,13||25r TE ==,综上所述:TE TF ⋅的最小值为15-,此时圆T 的方程2213(2)25x y ++=.（6）由（4）得122841km x x k +=-+且222(41)8440k x kmx m +++-=,所以21224441m x x k -=+,2212121212()()()y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++,所以2222121212122544(1)()41m k OM ON x x y y k x x mk x x m k --⋅=+=++++=+直线l 是圆224:5O x y +=的切线,所以点O 到直线l 距离为25,即2||251m k =+,整理得225440m k --=,所以0OM ON ⋅=,即MON ∠的大小为90.。