高中数学 1.4 生活中的优化问题举例同步练习 新人教A版选修2-2
数学：1.4《生活中的优化问题举例》教案(1)(新人教A版选修2-2)
§1.4生活中的优化问题举例（2课时）教学目标：1． 使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用。
2． 提高将实际问题转化为数学问题的能力。
教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题。
教学过程：一．创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题。
二．新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。
解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。
再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具。
利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．汽油的使用效率何时最高我们知道，汽油的消耗量w （单位：L ）与汽车的速度v （单位：km/h ）之间有一定的关系，汽油的消耗量w 是汽车速度v 的函数．根据你的生活经验，思考下面两个问题：（1） 是不是汽车的速度越快，汽车的消耗量越大？（2） “汽油的使用率最高”的含义是什么？分析：研究汽油的使用效率（单位：L/m ）就是研究秋游消耗量与汽车行驶路程的比值．如果用G 表示每千米平均的汽油消耗量，那么w G s=，其中，w 表示汽油消耗量（单位：L ），s 表示汽油行驶的路程（单位：km ）．这样，求“每千米路程的汽油消耗量最少”，就是求G 的最小值的问题通过大量的统计数据，并对数据进行分析、研究，人们发现，汽车在行驶过程中，汽油平均消耗率g （即每小时的汽油消耗量，单位：L/h ）与汽车行驶的平均速度v （单位：km/h ）之间有如图所示的函数关系()g f v =。
(新课程)高中数学《1.4生活中的优化问题举例》评估训练新人教A版选修2-2
JS 时凰固书书(I 爭3.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元,1.4 生活中的优化问题举例HH HUaVEGDlFjANXUNLlAN ■…013 * 活页规范训练双基达标限时20分钟1 •如果圆柱截面的周长I 为定值，则体积的最大值为().B. 3D .4 44 4解析 设圆柱的底面半径为r ,高为h ,体积为V,则4r + 2h = I ,I — 4r2 ，2 I23IV =n r h = 7；n r — 2 n r 0<r <.24则 V'= I n r — 6 n r 2,令 V'= 0,得 r = 0 或 r =］，而 r >0, 6.r =；是其唯一的极值点.6I I 3•••当r = 2时，V 取得最大值，最大值为 3n.66答案 A2•若一球的半径为r ,作内接于球的圆柱，则其侧面积最大为( ).2 2A. 2 n r B .n r 1 2 C. 4 n rD.§ n r解析 设内接圆柱的高为h ,底面半径为x ,则由组合体的知识得 h 2 + (2X )2= (2r )2，又圆柱的侧面积S = 2 n xh ,• S 2= 16n 2(r 2x 2—X 4), (S 2)，= 16n 2(2 r 2x — 4x 3),令(S 2) '= 0得 x =-^r (x = 0舍去)，2•• S max = 2 n r ，故选 A.A.IC. 4答案AJS时凰固书书(I爭3.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元,大时，每年生产产品的单位数是A. 150 B . 200 C . 250 D . 300 解析由题意得，总利润3x300x -20 000 , 0W x w 390,Rx) =90070 090 — 100x , x >390,令 P'(x ) = 0，得 x = 300,故选 D. 答案 D4.有矩形铁板，其长为 6，宽为4,现从四个角上剪掉边长为 x 的四个小正方形，将剩余部 分折成一个无盖的长方体盒子，要使容积最大，则x= ________ .解析 可列出V = (6 — 2x )(4 — 2x ) • x ，求导求出x 的最大值.答案宇5 •如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为L = 2x + 乎(x >0)，贝U L ，= 2—爭令 L '= 0,得 x =± 16.T x >0,「. x = 16.512当x = 16时，L min = 64,此时堆料场的长为 = 32(米).答案 32; 166 •如图所示，已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线 y = 4 — x 2在x 轴上若总收入R 与年产量x 的关系是Rx)=3x—900+ 400x , O w x W 390,则当总利润最90 090 , x >390,解析要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x 米，则长为 512x米,因此新墙壁总长度方的曲线上，求这个矩形面积最大时的边长.2 2则 | AB = y = 4 — x ,则矩形面积为 S = 2x (4 — x )(0< x <2),即 S综合提高限时25分钟7 .设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时，底面边长为解析 设底面边长为x ,侧棱长为I ，则V = |x 2 • sin 60。
高中数学人教A版选修2-2优化练习：第一章 1.4 生活中的优化问题举例 Word版含解析
[课时作业] [A 组 基础巩固]1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203 C ．－1D ．－8解析：原油温度的瞬时变化率为f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1(0≤x ≤5)，所以当x ＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.答案：C2．以长为10的线段AB 为直径作半圆，则它的内接矩形的面积的最大值为( ) A ．10 B ．15 C ．25D ．50解析：如图，CDEF 为半圆O 的内接矩形，C 、D 为圆上的动点， 连接OC ，设∠COF ＝α，则 CF ＝5sin α，OF ＝5cos α， ∴S 矩形CDEF ＝2×5cos α·5sin α ＝25sin 2α(0<α<π2)．∴S 矩形CDEF 的最大值为25. 答案：C3．某人要购买8件礼物，分两次购买，商家规定每次购买礼物付款金额为当次购买礼物数量的三次方，若使购买礼物付款额最省，此人每次购买礼物的数量分别为( )A ．2,6B ．4,4C ．3,5D ．1,7解析：设第一次购买了x 件礼物，则第二次购买了8－x 件，则付款额f (x )＝x 3＋(8－x )3， f ′(x )＝3x 2－3(8－x )2＝3(16x －64)， 令f ′(x )＝0，得x ＝4， ∴当x ＝4时，付款额最省． 答案：B4．某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x ，(0≤x ≤390)，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300解析：由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20 000，0≤x ≤390，由P ′(x )＝－x 2300＋300＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0；当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．答案：D5．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为( )A ．0.032B ．0.024C ．0.04D ．0.036解析：设存款利率为x ，依题意：存款量是kx 2，银行应支付的利息是kx 3，贷款的收益是0.048kx 2，x ∈(0，0.048)．所以银行的收益是y ＝0.048kx 2－kx 3(0<x <0.048)，由于y ′＝0.096kx －3kx 2，令y ′＝0得x ＝0.032或x ＝0(舍去)，又当0<x <0.032时，y ′>0；当0.032<x <0.048时，y ′<0，所以当x ＝0.032时，y 取得最大值．答案：A6．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30海里/时，当速度为10海里/时时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800海里，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________．解析：由题意设每小时的燃料费y 与航速v 间满足y ＝a v 3(0≤v ≤30)， 又∵25＝a ·103，∴a ＝140.设从甲地到乙地海轮的航速为v ，总费用为f (v )， 则f (v )＝a v 3×800v ＋800v ×400＝20v 2＋320 000v ， 由f ′(v )＝40v －320 000v 2＝0，得v ＝20<30.答案：20海里/时7．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．解析：设长，宽分别为a ，b ，则ab ＝512，且l ＝a ＋2b ，∴l ＝2b ＋512b ，∴l ′＝2－512b2，令l ′＝0得b 2＝256，∴b ＝16，a ＝32.即当长、宽分别为32 m 、16 m 时最省材料．答案：32 m,16 m8．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2(万元)与到车站的距离成正比，如果在距离车站10 km 处建仓库，y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km 处．解析：依题意可设每月土地占用费y 1＝k 1x ，每月库存货物的运费y 2＝k 2x ，其中x 是仓库到车站的距离，k 1，k 2是比例系数．于是由2＝k 110得k 1＝20；由8＝10k 2得k 2＝45.因此，两项费用之和为y ＝20x ＋4x 5(x >0)，y ′＝－20x 2＋45，令y ′＝0，得x ＝5，或x ＝－5(舍去)．当0<x <5时，y ′<0；当x >5时，y ′>0.因此，当x ＝5时，y 取得极小值，也是最小值．故当仓库建在离车站5千米处时，两项费用之和最小． 答案：59.圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？解析：设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积， S ＝2πRh ＋2πR 2由V ＝πR 2h ，得h ＝VπR 2，则S (R )＝2πR V πR 2＋2πR 2＝2VR ＋2πR 2，令S ′(R )＝－2VR 2＋4πR ＝0，解得，R ＝3V2π，从而h ＝VπR2＝V π( 3V 2π)2＝34V π＝2·3V 2π.即h ＝2R .因为S (R )只有一个极值，所以它是最小值． 所以当罐的高与底直径相等时，所用材料最省．10．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图所示)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解析：设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3.则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4 320x(0<x<24)．V′(x)＝12x2－552x＋4 320＝12(x2－46x＋360)＝12 (x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数；因此，在定义域(0,24)内，函数V(x)只有当x＝10时取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19 600(cm3)．故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19 600 cm3.[B组能力提升]1．横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的高和宽分别为()A.3d，33d B.33d，63dC.63d，33d D.63d，3d解析：如图所示，设矩形横断面的宽为x，高为y，由题意，知当xy2取最大值时，横梁的强度最大．∵y2＝d2－x2，∴xy2＝x(d2－x2)(0<x<d)．令f(x)＝x(d2－x2)(0<x<d)，求导数，得f′(x)＝d2－3x2.令f′(x)＝0，解得x＝33d，或x＝－33d(舍去)．当0<x<33d时，f′(x)>0；当33d<x<d时，f′(x)<0，因此，当x ＝33d 时，f (x )取得极大值，也是最大值． 综上，当矩形横断面的高为63d ，宽为33d 时，横梁的强度最大． 答案：C2．已知矩形的两个顶点位于x 轴上，另两个顶点位于抛物线y ＝4－x 2在x 轴上方的曲线上，则这种矩形中面积最大的矩形的长和宽分别为( )A ．2，233B.83，433C.83，2 D ．4，83解析：设位于抛物线上的矩形的一个顶点为(x ，y )，其中0<x <2，y >0，则另一个在抛物线上的顶点为(－x ，y )，在x 轴上的两个顶点分别为(－x,0)，(x,0)．设矩形的面积为S ，则S ＝2x (4－x 2)(0<x <2)，则S ′＝8－6x 2.令S ′＝0，得x ＝233或x ＝－233(舍去)．当0<x <233时S ′>0；当233<x <2时，S ′<0.因此，当x ＝233时，S 取得极大值，也就是最大值，此时，2x ＝433，4－x 2＝83.所以矩形的长和宽分别为83和433时，矩形的面积最大．答案：B3．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为________．解析：设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ， 由题知k ＝250 000，则a 2x ＝250 000， 所以a ＝500x ，总利润y ＝500x －275x 3－1 200(x >0)， y ′＝250x －225x 2，由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′>0，当x ∈(25，＋∞)时，y ′<0， 所以当x ＝25时，y 取得最大值． 答案：25件4．若一球的半径为r ，则内接于球的圆柱的侧面积最大为________．解析：如图，设内接圆柱的底面半径为R ，母线长为l ，则R ＝r cos θ，l ＝2r sin θ.∴S 侧＝2πR ·l ＝2πr cos θ×2r sin θ＝4πr 2sin θcos θ. ∴由S ′侧＝4πr 2(cos 2θ－sin 2θ)＝0，得θ＝π4.∴当θ＝π4，即R ＝22r 时，S 侧最大，且S 侧最大值为2πr 2.答案：2πr 25．某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每投入广告费t (百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (百万元)(0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年广告费的投入控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入资金)解析：(1)设投入t (百万元)的广告费后增加的收益为f (t )(百万元)，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t ＝－(t －2)2＋4(0<t ≤3)．故当t ＝2(百万元)时，f (t )取得最大值4百万元，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x (百万元)，则用于广告促销的资金为(3－x )(百万元)(0≤x ≤3)，又设由此而获得的收益是g (x )，则有g (x )＝(－13x 3＋x 2＋3x )＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)．∴g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0， 解得x ＝－2(舍去)或x ＝2. 又当0≤x <2时，g ′(x )>0； 当2<x ≤3时，g ′(x )<0，故g (x )在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数．∴当x ＝2时，g (x )取得最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．6．设某物体一天中的温度T (℃)是时间t (h)的函数：T (t )＝at 3＋bt 2＋ct ＋d (a ≠0)．t ＝0表示12点，t >0表示12点以后，t <0表示12点以前．若测得该物体在8点的温度为8 ℃，12点的温度为60 ℃，13点的温度为58 ℃，并且该物体的温度在8点和16点有相同的变化率．(1)写出该物体的温度T 与时间t 之间的函数表达式；(2)该物体在10点到14点这段时间内(包括10点和14点)，在何时温度最高？最高值是多少？解析：(1)根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧T (－4)＝8，T (0)＝60，T (1)＝58，即⎩⎪⎨⎪⎧－64a ＋16b －4c ＋d ＝8，d ＝60，a ＋b ＋c ＋d ＝58.又∵该物体的温度在8点和16点有相同的变化率，且T ′＝3at 2＋2bt ＋c ， ∴T ′(－4)＝T ′(4)，即 48a －8b ＋c ＝48a ＋8b ＋c . ∴b ＝0.将b ＝0代入上述方程组中，并进行化简得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝60，a ＋c ＝－2，16a ＋c ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝－3，d ＝60.∴该物体的温度T 与时间t 之间的函数表达式为T ＝t 3－3t ＋60. (2)由(1)，T ′(t )＝3t 2－3＝3(t －1)(t ＋1)(－2≤t ≤2)， 令T ′(t )＝0，得t ＝±1.当t 变化时，T ′(t )和T (t )的变化情况如下表：极小值为T (1)＝58.又函数在区间[－2,2]的端点函数值为T (－2)＝58，T (2)＝62，比较以上数值可以得出，当t ＝2或－1时，T (t )取最大值，即在11点、14点时物体的温度最高，最高温度为62 ℃.。
高中数学 1.4 生活中的优化问题举例同步练习 新人教A版选修2-2
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<400时 ,P ′<0 ,分析可知当x ＝300时 ,取得最|大值 ,故应选D.4．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架 ,要求长方体的长与宽之比为2 1 ,那么该长方体的最|大体积为( )A ．2m 3B ．3m 3C ．4m 3D ．5m 3[答案] B[解析] 设长方体的宽为x (m) ,那么长为2x (m) ,高为h ＝18－12x 4＝4.5－3x (m)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32 故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝9x 2－6x 3⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x ) 令V ′(x )＝0 ,解得x ＝1或x ＝0(舍去) 当0<x <1时 ,V ′(x )>0；当1<x <32时 ,V ′(x )<0故在x ＝1处V (x )取得极大值 ,并且这个极值就是V (x )的最|大值 从而最|大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 2)．5．假设球的半径为R ,作内接于球的圆柱 ,那么其侧面积的最|大值为( ) A ．2πR 2B ．πR 2C ．4πR 2D.12πR 2 [答案] A[解析] 设内接圆柱的高为h ,底面半径为x , 那么x ＝R 2－h 24∴S 侧＝2πxh ＝2πhR 2－h 24＝2πR 2h 2－h 44令t ＝R 2h 2－h 44 ,那么t ′＝2R 2h －h 3令t ′＝0 ,那么h ＝2R当0<h <2R 时 ,t ′>0 ,当2R <h <2R 时 ,t ′<0 , 所以当h ＝2R 时 ,圆柱侧面积最|大．∴侧面积最|大值为2π2R 4－R 4＝2πR 2,故应选A.6．(2021·山东文 ,8)某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234 ,那么使该生产厂家获取最|大的年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] 此题考查了导数的应用及求导运算． ∵x >0 ,y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x ) ,令y ′＝0 ,解得x ＝9 ,所以x ∈(0,9)时 ,y ′>0 ,x ∈(9 ,＋∞)时 ,y ′<0 ,y 先增后减．∴x ＝9时函数取最|大值 ,选C ,属导数法求最|值问题．7．内接于半径为R 的半圆的矩形中 ,周长最|大的矩形的边长为( )A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75RD ．以上都不对[答案] B[解析] 设矩形一边的长为x , 那么另一边长为2R 2－x 2, 那么l ＝2x ＋4R 2－x 2(0<x <R ) ,l ′＝2－4xR 2－x 2,令l ′＝0 ,解得x 1＝55R ,x 2＝－55R (舍去)． 当0<x <55R 时 ,l ′>0；当55R <x <R 时 ,l ′<0. 所以当x ＝55R 时 ,l 取最|大值 ,即周长最|大的矩形的边长为55R ,455R . 8．要做一个圆锥形的漏斗 ,其母线长为20cm ,要使其体积最|大 ,那么高为( ) A.33cmB.1033cm C.1633cmD.2033cm [答案] D[解析] 设圆锥的高为x ,那么底面半径为202－x 2, 其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0<x <20) ,V ′＝13π(400－3x 2) ,令V ′＝0 ,解得x 1＝203 3 ,x 2＝－2033舍去．当0<x <2033时 ,V ′>0；当2033<x <20时 ,Vx ＝2033时 ,V 取得最|大值．9．在半径为r 的半圆内作一内接梯形 ,使其底为直径 ,其他三边为圆的弦 ,那么梯形面积最|大时 ,其梯形的上底为( )A.r2 B.32r C.33r D ．r[答案] D[解析] 如下列图所示 ,为圆及其内接梯形 ,设∠COB ＝θ ,那么CD ＝2r cos θ ,h ＝r sin θ ,∴S ＝2r (1＋cos θ)2·r sin θ＝r 2sin θ(1＋cos θ)∴S ′＝r 2[cos θ(1＋cos θ)－sin 2θ] ＝r 2(2cos 2θ＋cos θ－1)令S ′＝0得cos θ＝－1(舍去)或cos θ＝12.即当cos θ＝12时 ,梯形面积最|大 ,此时上底CD ＝2r cos θ＝r .故应选D.10．某厂生产某种产品x 件的总本钱：C (x )＝1200＋275x 3 ,又产品单价的平方与产品件数x 成反比 ,生产100件这样的产品的单价为50元 ,总利润最|大时 ,产量应定为( )A ．25件B ．20件C ．15件D ．30件[答案] A[解析] 设产品单价为a 元 ,又产品单价的平方与产品件数x 成反比 ,即a 2x ＝k ,由题知k ＝250000 ,那么a 2x ＝250000 ,所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0) ,y ′＝250x －225x 2, 由y ′＝0 ,得x ＝25 ,当x ∈(0,25)时 ,y ′>0 ,x ∈(25 ,＋∞)时 ,y ′<0 ,所以x ＝25时 ,y 取最|大值．二、填空题11．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场 ,一边可以利用原有的墙壁 ,其他三边需要砌新的墙壁 ,当墙壁所用的材料最|省时堆料场的长和宽分别为________．[答案] 32m,16m[解析] 设长 ,宽分别为a ,b ,那么ab ＝512 ,且l ＝a ＋2b ,∴l ＝2b ＋512b,∴l ′＝2－512b2 ,令l ′＝0得b 2＝256 ,∴b ＝16 ,a ＝32. 即当长、宽分别为32m 、16m 时最|省材料．12．容积为256L 的方底无盖水箱 ,它的高为________时最|省材料． [答案] 4[解析] 设水箱高为h ,底面边长为a ,那么a 2h ＝256 ,其面积为S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ·256a 2＝a 2＋210a.令S ′＝2a －210a2＝0 ,得a ＝8.当0<a <8时 ,S ′<0；当a >8时 ,S ′>0；当a ＝8时 ,S 最|小 ,此时h ＝2826＝4.13．内接于半径为R 的球 ,且体积最|大的圆柱的高为____________． [答案]233R [解析] 如图 ,ABCD 为球面内接圆柱的轴截面 ,BD ＝2R ,设圆柱的高为x ,那么圆柱底面半径为r ＝124R 2－x 2,圆柱体积V ＝πr 2x ＝π4(4R 2－x 2)x (0<x <2R )令V ′＝π4(4R 2－3x 2)＝0得x ＝233R .因为V (x )只有一个极值 ,所以当圆柱的高为233R 时 ,球内接圆柱体积最|大．14．如图(1) ,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形 ,再沿虚线折起 ,做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为________时 ,其容积最|大．[答案] 23[解析] 设四边形较短边为x ,那么较长边为3x ,正六棱柱底面边长为1－2x ,高为3x ,∴V ＝6×12×sin60°×(1－2x )2×3x ＝92x (1－2x )2.V ′＝92(1－2x )(1－6x ) ,令V ′＝0 ,得x ＝16或x ＝12(舍去)．当0<x <16时 ,V ′>0；当16<x <12时 ,V ′<0.因此当x ＝16时 ,V 有最|大值 ,此时底面边长为1－2×16＝23.三、解答题15．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．速度为每小时10千米时 ,燃料费是每小时6元 ,而其它与速度无关的费用是每小时96元 ,问轮船的速度是多少时 ,航行1千米所需的费用总和为最|小 ?[解析] 设速度为每小时v 千米的燃料费是每小时p 元 ,那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3 ,其中k 为比例常数 ,它可以由v ＝10 ,p ＝6求得 ,即k ＝6103pv 3. 又设当船的速度为每小时v 千米时 ,行1千米所需的总费用为qv 3＋96(元) ,而行1千米所需用时间为1v小时 ,所以行1千米的总费用为q ＝1v v 3v 2＋96v . qv －96v2＝(v 3－8000) , 令q ′＝0 ,解得v ＝20.因当v ＜20时 ,q ′＜0；当v ＞20时 ,q ′＞0 ,所以当v ＝20时取得最|小值． 即当速度为20千米/小时时 ,航行1千米所需费用总和最|小．16．(2021·湖南理 ,19)某地建一座桥 ,两端的桥墩已建好 ,这两墩相距m 米 ,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算 ,一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布 ,所有桥墩都视为点 ,且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时 ,需新建多少个桥墩才能使y 最|小 ?[分析] 考查函数的性质和导数的运算及利用导数研究函数性质的能力和解决实际应用问题的能力．[解析] (1)设需新建n 个桥墩 ,那么(n ＋1)x ＝m , 即n ＝m x－1 ,所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x(2＋x )x＝256mx＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知 ,f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x2(x 32－512)．令f ′(x )＝0 ,得x 32＝512 ,所以x ＝64.当0<x <64时 ,f ′(x )<0 ,f (x )在区间(0,64)内为减函数 , 当64<x <640时 ,f ′(x )>0 ,f (x )在区间(64,640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最|小值 ,此时n ＝m x －1＝64064－1＝9 ,故需新建9个桥墩才能使y 最|小．17．(2021·湖北理 ,17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层 ,某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层 ,每厘米厚的隔热层建造本钱为6万元．该建筑物每年的能源消消耗用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10) ,假设不建隔热层 ,每年能源消消耗用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式．(2)隔热层修建多厚时 ,总费用f (x )到达最|小 ,并求最|小值．[解析] (1)设隔热层厚度为x cm ,由题设 ,每年能源消消耗用为C (x )＝k3x ＋5 ,再由C (0)＝8 ,得k ＝40 ,因此C (x )＝403x ＋5,而建造费用为C 1(x )＝6x .最|后得隔热层建造费用与20年的能源消消耗用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－2400(3x ＋5)2 ,令f ′(x )＝0 ,即2400(3x ＋5)2＝6 ,解得x ＝5 ,x ＝－253(舍去)．当0<x <5时 ,f ′(x )<0 ,当5<x <10时 ,f ′(x )>0 ,故x ＝5是f (x )的最|小值点 ,对应的最|小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时 ,总费用到达最|小值70万元．18．(2021·山东理 ,21)两县城A 和B 相距20km ,现方案在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂 ,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关 ,对城A 和城B 的总影响度为城A 与对城B 的影响度之和．记C 点到城A 的距离为x km ,建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查说明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比 ,比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比 ,比例系数为k ,当垃圾处理厂建在弧的中点时 ,对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性 ,并判断弧上是否存在一点 ,使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最|小 ?假设存在 ,求出该点对城A 的距离；假设不存在 ,说明理由．[解析] (1)根据题意∠ACB ＝90° ,AC ＝x km ,BC ＝400－x 2km ,且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2 ,对城B 的影响度为k 400－x 2 ,因此 ,总影响度y 为y ＝4x2＋k400－x2(0<x <20)．又因为垃圾处理厂建在弧AB 的中点时 ,对城A 和城B 的总影响度为0.065 , 所以4(102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065 , 解得k ＝9 ,所以y ＝4x2＋9400－x2(0<x <20)．(2)因为y′＝－8x3＋18x (400－x2)2＝18x4－8×(400－x2)2x3(400－x2)2＝(x2＋800)(10x2－1600)x3(400－x2)2.由y′＝0解得x＝410或x＝－410(舍去)．易知410∈(0,20)．y ,y′随x的变化情况如下表：x (0,410)410(410 ,20)y′－0＋y 极小值由表可知 ,函数在(0,410)内单调递减 ,在(410 ,20)内单调递增．y最|小值＝y|x＝410＝116,此时x＝410 ,故在上存在C点 ,使得建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响最|小 ,该点与城A的距离x＝410km.。
高中数学1.4生活中的优化问题举例精练人教A版选修2_2
1.4 生活中的优化问题举例A 级：基础巩固练一、选择题1．某公司的盈利y (元)和时间x (天)的函数关系是y ＝f (x )，假设f (x )>0恒成立，且f ′(10)＝10，f ′(20)＝1，则这些数据说明第20天与第10天比较( )A ．公司已经亏损B ．公司的盈利在增加，且增加的幅度变大C ．公司在亏损且亏损幅度变小D ．公司的盈利在增加，但增加的幅度变小 答案 D解析 导数为正说明盈利是增加的，导数变小说明增加的幅度变小了，但还是增加的． 2．某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x (0≤x ≤390)的关系是R (x )＝－x 3900＋400x,0≤x ≤390，则当总利润最大时，每年生产的产品单位数是( )A ．150B ．200C ．250D ．300 答案 D解析 由题意可得总利润P (x )＝－x 3900＋300x －20000，0≤x ≤390，所以P ′(x )＝－x 2300＋300，由P ′(x )＝0，得x ＝300.当0≤x <300时，P ′(x )>0，当300<x ≤390时，P ′(x )<0，所以当x ＝300时，P (x )最大．3．一点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒运动的距离为s ＝14t 4－53t 3＋2t 2，那么速度为零的时刻是( )A ．1秒末B ．0秒C ．4秒末D ．0,1,4秒末答案 D解析 s ′＝t 3－5t 2＋4t ，令s ′＝0，得t 1＝0，t 2＝1，t 3＝4，故选D ．4．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益r 与年产量x 的关系是r ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400，则总利润最大时，年产量是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 答案 D解析 设总利润为y ，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2－100x －20000，0≤x ≤400，80000－100x －20000，x >400，当0≤x ≤400时，利用导数得，当x ＝300时，y 取最大值为25000元．当x >400时，函数为减函数，y <20000元．因此，当x ＝300时，总利润y 最大．5．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A ．3V B ．32V C ．34V D ．23V 答案 C解析 设底面边长为x ，高为h ， ∴34x 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3x2＝43V 3x 2. ∴S 表＝2·34x 2＋3x ·h ＝32x 2＋43Vx(x >0)， S ′(x )＝3x －43Vx 2，令S ′(x )＝0可得3x ＝43V x2，x 3＝4V ，x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′(x )<0；当x >34V 时，S ′(x )>0， ∴当x ＝34V 时S (x )最小．6．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )A ．RB ．2RC ．43RD ．34R答案 C解析 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2， ∴V ＝13πr 2h ＝23πRh 2－π3h 3，∴V ′＝43πRh －πh 2.V ′＝0时，得h ＝43R 或h ＝0(舍去)．当0<h <43R 时，V ′>0；当43R <h <2R 时，V ′<0， ∴h ＝43R 时，圆锥体积最大．二、填空题7．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件．答案 3解析 依题意得，y ′＝－3x 2＋27＝－3(x －3)(x ＋3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0.因此，当x ＝3时，该商品的年利润最大．8．某超市中秋前30天，月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30，t ∈Z )的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋12，则该超市前t 天平均售出⎝⎛⎭⎪⎫如前10天的平均售出为f 1010的月饼最少为________．答案 17 解析 记g (t )＝f t t ＝t ＋12t ＋10，∴g ′(t )＝1－12t2，令g ′(t )＝0⇒t ＝±2 3.函数g (t )在区间(0，23)上单调递减，在区间(23，30]上单调递增，考虑到t ∈Z ，且g (3)＝g (4)＝17，g (t )最小值为17.9.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A ，B 在抛物线上运动，C ，D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．答案439解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，0，点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，所以矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x ，x ∈(0,2)．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍去)，x 2＝23，所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )>0，f (x )是递增的；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的，所以当x ＝23时，f (x )取最大值439.三、解答题10．某工厂拟建一座平面图(如图所示)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．写出总造价y (元)与污水处理池长x (米)的函数关系式，并指出其定义域．求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．解 设长为x 米，则宽为200x米．根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤16，200x≤16，解得252≤x ≤16.由y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2×200x ×400＋2×200x ×248＋200×80＝800x ＋259200x＋16000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x ≤16，则y ′＝800－259200x 2.令y ′＝0，解得x ＝18.因为函数定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤252，16，且当252≤x ≤16时，y ′＜0，所以该函数在定义域内为单调减函数，即y 在x ＝16处取得最小值，最小值为800×16＋25920016＋16000＝45000.因此当污水处理池的长为16米，宽为12.5米时，总造价最低，为45000元．B 级：能力提升练11．某公司为了获得更大的利益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t (单位：百万元)，可增加销售额约为－t 2＋5t (单位：百万元，且0≤t ≤5)．(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x (单位：百万元)，可增加的销售额约为－13x 3＋x 2＋3x (单位：百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．(注：收益＝销售额－投入)解 (1)设投入t 百万元的广告费后增加的收益为f (t )百万元，则有f (t )＝(－t 2＋5t )－t ＝－t 2＋4t＝－(t －2)2＋4(0≤t ≤3)，所以当t ＝2时，f (t )取得最大值4，即投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x 百万元，则用于广告促销的资金为(3－x )百万元，又设由此获得的收益是g (x )，则g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13x 3＋x 2＋3x ＋[－(3－x )2＋5(3－x )]－3＝－13x 3＋4x ＋3(0≤x ≤3)，所以g ′(x )＝－x 2＋4.令g ′(x )＝0，解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.当0≤x <2时，g ′(x )>0；当2<x ≤3时，g ′(x )<0， 故g (x )在[0,2)上是增函数，在(2,3]上是减函数，所以当x ＝2时，g (x )取最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销时，该公司由此获得的收益最大．12．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a 元(a 为常数，2≤a ≤5)的管理费，根据多年的统计经验，预计当每件产品的售价为x 元时，产品一年的销售量为ke x (e 为自然对数的底数)万件，已知每件产品的售价为40元时，该产品的一年销售量为500万件，经物价部门核定每件产品的售价x 最低不低于35元，最高不超过41元．(1)求分公司经营该产品一年的利润L (x )(万元)与每件产品的售价x 的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，该产品一年的利润L (x )最大？并求出L (x )的最大值． 参考公式：(eax ＋b)′＝a eax ＋b(a ，b 为常数)．解 (1)由于年销售量为Q (x )＝k e x ，则ke 40＝500，所以k ＝500e 40，则年售量为Q (x )＝500e 40ex万件，则年利润L (x )＝(x －a －30)500e 40e x ＝500e 40·x －a －30e x(35≤x ≤41)． (2)L ′(x )＝500e 40·31＋a －x e x. ①当2≤a ≤4时，33≤a ＋31≤35， 当35≤x ≤41时，L ′(x )≤0，所以x＝35时，L(x)取最大值为500(5－a)e5.②当4<a≤5时，35<a＋31≤36，令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知x＝a＋31时，L(x)取最大值为500e9－A．综上所述，当2≤a≤4，每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元；当4<a≤5，每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9－a万元．。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-2同步训练：1.4 生活中的优化问题举例 Word版含答案
1.4 生活中的优化问题举例1、已知某生产厂家的年利润y (单位:万元)与年产量x (单位:万件)的函数关系式为31812343y x x =-+-,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )A.13万件B.11万件C.9万件D.7万件2、家报刊推销 员从报社买进报纸的价格是每份2元，卖出的价格是每份3元，卖不完的还可以以每份0. 8元的价格退回报社.在一个月（以30天计算）内有20天每天可卖出 400份，其余10天每天只能卖出250份，且每天从报社买进报纸的份数都相同，要使推销员每月所获得的利润最大，则应该每天从报社买进报纸（ ） A.215 份B.350 份C.400 份D.250 份3、已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812863y x x =-+-，则该生产厂家获取的最大年利润为( )A.300万元B.252万元C.200万元D.128万元 4、内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为（ ） A. R B. 2R C.43R D. 34R 5、海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比,已知某海轮的最大航速为30海里/小时, 当速度为10海里/小时时,它的燃料费是每小时25元,其余费用(无论速度如何)都是每小时400元.如果甲乙两地相距800海里,则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低,它的航速应为( ) A. 30海里/小时 B. 25海里/小时 C. 20海里/小时 D. 10海里/小时6、某工厂需要建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,当砌新墙所用材料最省时,堆料场的长和宽分别为( ) A. 32米, 16米 B. 30米, 15米 C. 40米, 20米 D. 36米, 18米7、用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接成水箱,则水箱最大容积为( ) A. 3120000cm B. 3128000cm C. 3150000cm D. 3158000cm8、方底无盖水箱的容积为256,则最省材料时,它的高为( ) A.4B.6C.4.5D.89、若一球的半径为r ,则内接于球的圆柱的侧面积最大为( ) A. 22r π B. 2r π C. 24r π D. 212r π10、中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之，亦倍下袤，上袤从之。
高中数学选修2-2新人教A版1-4生活中的优化问题举例练习(解析版)
5．在半径为r的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为( )
A. B. r
C. rD．r
【答案】D
(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；
(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？
【解析】(1)依题意得y＝ (960＋0.6x2)＝ ＋300x，且由题意知，函数的定义域为(0,35]，
即y＝ ＋300x(0＜x≤35)．
(2)由(1)知，y′＝－ ＋300，令y′＝0，
解得x＝40或x＝－40(舍去)．
因为函数的定义域为(0,35]，所以函数在定义域内没有极值点．
又当0＜x≤35时，y′＜0，
所以y＝ ＋300x在(0,35]上单调递减，
故当x＝35时，函数y＝ ＋300x取得最小值．
故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶．
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
总利润y＝500 － x3－1200(x>0)，
y′＝ － x2，由y′＝0，得x＝25，当x∈(0,25)时，y′>0，
x∈(25，＋∞)时，y′<0，所以x＝25时，y取最大值．
二、填空题
7．设直线x＝t与函数f(x)＝x2，g(x)＝lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为________．
1.4生活中的优化问题举例
一、选择题
1．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A．RB．2R
C. RD. R
【答案】C
高中数学《1.4生活中的优化问题举例》课件 新人教A版选修2-2
5ax ∴y′＝－3a＋ 2 2.令 y′＝0，解得 x＝30. x ＋40 在(0,50)上，y 只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在 x ＝30 km 处取得最小值，此时 AC＝50－x＝20 (km)． ∴供水站建在 A、D 之间距甲厂 20 km 处，可使水管费用最省． 用料最省问题是日常生活中常见的问题之一， 解决 这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象，正确 书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．
方法技巧 转化与化归思想在生活中优化
问题的应用 生活中的利润最大、用料最省、效率最高等问题，通过认真 阅读理解关于实际问题的材料，建立相关数学模型，转化为利用 导数这一工具能够解决的一般数学问题．其解决问题的过程就体
现了转化与化归的思想，基本思路如图：
【示例】 某生产饮料的企业拟投入适当的广告费对产品进行促 销，在一年内，预计年销量 Q(万件)与广告费 x(万元)之间的 3x＋1 函数关系为 Q＝ (x≥0)，已知生产此产品的年固定投入 x＋1 为 3 万元， 每生产 1 万件此产品需再投入 32 万元． 若每件产 品售价为“年平均每件成本的 150%”与“年平均每件所占 广告费的 50%”之和． (1)试将年利润 y(万元)表示为年广告费 x(万元)的函数．如果 年广告费投入 100 万元，企业是亏损还是盈利？ (2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？
18 000 18 000x S＝xy＝x x－20 ＋25＝ ＋25x， x－20
18 000[x－20－x] －360 000 ∴S′＝ ＋25＝ ＋25. x－202 x－202
令 S′>0 得 x>140，令 S′<0 得 20<x<140. ∴函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20,140)上单调递减，∴S(x) 的最小值为 S(140)． 当 x＝140 时， y＝175.即当 x＝140， y＝175 时， 取得最小值 24 500， S 故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm 时，可使广告的面积最小．
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高考数学 选修2-2 1.4 生活中的优化问题举例一、选择题1．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( ) A ．R B ．2R C.43RD.34R [答案] C[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(R －h )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R .当0<h <43R 时，V ′>0；当4R3<h <2R 时，V ′<0.因此当h ＝43R 时，圆锥体积最大．故应选C.2．若底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V[答案] C[解析] 设底面边长为x ，则V ＝34x 2h ，∴h ＝4V3x2 . ∴S 表＝2×34x 2＋3x ·4V 3x2＝32x 2＋43V x ， ∴S ′表＝3x －43V x2，令S ′表＝0得x ＝34V .当0<x <34V 时，S ′<0；x >34V 时，S ′>0. 因此当底边长为34V 时，其表面积最小．3．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与产量x 的关系式R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80000，x >400.则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300[答案] D[解析] 由题意，总成本为C ＝20000＋100x . 所以总利润为P ＝R －C＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000，0≤x ≤400，60000－100x ，x >400，∴P ′＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x ，0≤x ≤400，－100，x >400，令P ′＝0，得x ＝300，当0<x <300时，P ′>0，当300<x <400时，P ′<0，分析可知当x ＝300时，取得最大值，故应选D.4．用长为18m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2，则该长方体的最大体积为( )A ．2m 3B ．3m 3C ．4m 3D ．5m 3[答案] B[解析] 设长方体的宽为x (m)，则长为2x (m)，高为h ＝18－12x 4＝4.5－3x (m)⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝9x 2－6x 3⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x ) 令V ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝0(舍去) 当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极值就是V (x )的最大值 从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 2)．5．若球的半径为R ，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为( ) A ．2πR 2B ．πR 2C ．4πR 2D.12πR 2 [答案] A[解析] 设内接圆柱的高为h ，底面半径为x ， 则x ＝R 2－h 24∴S 侧＝2πxh ＝2πhR 2－h 24＝2πR 2h 2－h 44令t ＝R 2h 2－h 44，则t ′＝2R 2h －h 3令t ′＝0，则h ＝2R当0<h <2R 时，t ′>0，当2R <h <2R 时，t ′<0， 所以当h ＝2R 时，圆柱侧面积最大． ∴侧面积最大值为2π2R 4－R 4＝2πR 2，故应选A.6．(2010·山东文，8)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大的年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件[答案] C[解析] 本题考查了导数的应用及求导运算． ∵x >0，y ′＝－x 2＋81＝(9－x )(9＋x )，令y ′＝0，解得x ＝9，所以x ∈(0,9)时，y ′>0，x ∈(9，＋∞)时，y ′<0，y 先增后减．∴x ＝9时函数取最大值，选C ，属导数法求最值问题．7．内接于半径为R 的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为( )A.R 2和32R B.55R 和455R C.45R 和75RD ．以上都不对[答案] B[解析] 设矩形一边的长为x ， 则另一边长为2R 2－x 2， 则l ＝2x ＋4R 2－x 2(0<x <R )，l ′＝2－4xR 2－x 2，令l ′＝0，解得x 1＝55R ，x 2＝－55R (舍去)．当0<x <55R 时，l ′>0；当55R <x <R 时，l ′<0. 所以当x ＝55R 时，l 取最大值，即周长最大的矩形的边长为55R ，455R . 8．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( ) A.33cmB.1033cm C.1633cmD.2033cm [答案] D[解析] 设圆锥的高为x ，则底面半径为202－x 2， 其体积为V ＝13πx (202－x 2)(0<x <20)，V ′＝13π(400－3x 2)，令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033舍去．当0<x <2033时，V ′>0；当2033<x <20时，V ′<0.所以当x ＝2033时，V 取得最大值．9．在半径为r 的半圆内作一内接梯形，使其底为直径，其他三边为圆的弦，则梯形面积最大时，其梯形的上底为( )A.r2 B.32r C.33rD ．r[答案] D[解析] 如下图所示，为圆及其内接梯形，设∠COB ＝θ，则CD ＝2r cos θ，h ＝r sin θ，∴S ＝2r (1＋cos θ)2·r sin θ＝r 2sin θ(1＋cos θ)∴S ′＝r 2[cos θ(1＋cos θ)－sin 2θ] ＝r 2(2cos 2θ＋cos θ－1)令S ′＝0得cos θ＝－1(舍去)或cos θ＝12.即当cos θ＝12时，梯形面积最大，此时上底CD ＝2r cos θ＝r .故应选D.10．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1200＋275x 3，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为( )A ．25件B ．20件C ．15件D ．30件[答案] A[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ，由题知k ＝250000，则a 2x ＝250000，所以a ＝500x.总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0)，y ′＝250x －225x 2， 由y ′＝0，得x ＝25，当x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝25时，y 取最大值．二、填空题11．某工厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当墙壁所用的材料最省时堆料场的长和宽分别为________．[答案] 32m,16m[解析] 设长，宽分别为a ，b ，则ab ＝512，且l ＝a ＋2b ，∴l ＝2b ＋512b ，∴l ′＝2－512b2，令l ′＝0得b 2＝256，∴b ＝16，a ＝32. 即当长、宽分别为32m 、16m 时最省材料．12．容积为256L 的方底无盖水箱，它的高为________时最省材料． [答案] 4[解析] 设水箱高为h ，底面边长为a ，则a 2h ＝256，其面积为S ＝a 2＋4ah ＝a 2＋4a ·256a2＝a 2＋210a.令S ′＝2a －210a2＝0，得a ＝8.当0<a <8时，S ′<0；当a >8时，S ′>0；当a ＝8时，S 最小，此时h ＝2826＝4.13．内接于半径为R 的球，且体积最大的圆柱的高为____________．[答案]233R [解析] 如图，ABCD 为球面内接圆柱的轴截面，BD ＝2R ，设圆柱的高为x ，则圆柱底面半径为r ＝124R 2－x 2，圆柱体积V ＝πr 2x ＝π4(4R 2－x 2)x (0<x <2R )令V ′＝π4(4R 2－3x 2)＝0得x ＝233R .因为V (x )只有一个极值，所以当圆柱的高为233R 时，球内接圆柱体积最大．14．如图(1)，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图(2))．当这个正六棱柱容器的底面边长为________时，其容积最大．[答案] 23[解析] 设四边形较短边为x ，则较长边为3x ，正六棱柱底面边长为1－2x ，高为3x ， ∴V ＝6×12×sin60°×(1－2x )2×3x ＝92x (1－2x )2.V ′＝92(1－2x )(1－6x )，令V ′＝0，得x ＝16或x ＝12(舍去)．当0<x <16时，V ′>0；当16<x <12时，V ′<0.因此当x ＝16时，V 有最大值，此时底面边长为1－2×16＝23.三、解答题15．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其它与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和为最小？[解析] 设速度为每小时v 千米的燃料费是每小时p 元，那么由题设的比例关系得p ＝k ·v 3，其中k 为比例常数，它可以由v ＝10，p ＝6求得，即k ＝6103＝0.006.于是有p ＝0.006v 3. 又设当船的速度为每小时v 千米时，行1千米所需的总费用为q 元，那么每小时所需的总费用是0.006v 3＋96(元)，而行1千米所需用时间为1v小时，所以行1千米的总费用为q ＝1v (0.006v 3＋96)＝0.006v 2＋96v . q ′＝0.012v －96v 2＝0.012v2(v 3－8000)，令q ′＝0，解得v ＝20.因当v ＜20时，q ′＜0；当v ＞20时，q ′＞0，所以当v ＝20时取得最小值． 即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需费用总和最小．16．(2009·湖南理，19)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？[分析] 考查函数的性质和导数的运算及利用导数研究函数性质的能力和解决实际应用问题的能力．[解析] (1)设需新建n 个桥墩，则(n ＋1)x ＝m ， 即n ＝mx－1，所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝ ⎛⎭⎪⎫m x －1＋m x(2＋x )x＝256mx＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x2(x 32－512)．令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)内为减函数， 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)内为增函数．所以f (x )在x ＝64处取得最小值，此时n ＝m x －1＝64064－1＝9，故需新建9个桥墩才能使y 最小．17．(2010·湖北理，17)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗 ，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式．(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．[解析] (1)设隔热层厚度为x cm ，由题设，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5， 而建造费用为C 1(x )＝6x .最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x ＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)．(2)f ′(x )＝6－2400(3x ＋5)2，令f ′(x )＝0，即2400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0，当5<x <10时，f ′(x )>0，故x ＝5是f (x )的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元．18．(2009·山东理，21)两县城A 和B 相距20km ，现计划在两县城外以AB 为直径的半圆弧上选择一点C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A 和城B 的总影响度为城A 与对城B 的影响度之和．记C 点到城A 的距离为x km ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y .统计调查表明：垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为k ，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.(1)将y 表示成x 的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度最小？若存在，求出该点对城A 的距离；若不存在，说明理由．[解析] (1)根据题意∠ACB ＝90°，AC ＝x km ，BC ＝400－x 2km ，且建在C 处的垃圾处理厂对城A 的影响度为4x 2，对城B 的影响度为k400－x 2，因此，总影响度y 为y ＝4x2＋k400－x2(0<x <20)．又因为垃圾处理厂建在弧AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065， 所以4(102＋102)2＋k400－(102＋102)2＝0.065， 解得k ＝9，所以y ＝4x2＋9400－x2(0<x <20)． (2)因为y ′＝－8x3＋18x(400－x 2)2＝18x 4－8×(400－x 2)2x 3(400－x 2)2＝(x 2＋800)(10x 2－1600)x 3(400－x 2)2.由y ′＝0解得x ＝410或x ＝－410(舍去)． 易知410∈(0,20)．y ，y ′随x 的变化情况如下表：y 最小值＝y |x ＝410＝116，此时x ＝410， 故在上存在C 点，使得建在此处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响最小，该点与城A 的距离x ＝410km.。