(2006)离散数学
离散数学1
离散数学离散数学是数学的一个分支，它研究离散结构和离散对象。
与连续数学不同，离散数学的对象是不连续的，例如整数、图、组合和逻辑等。
离散数学在计算机科学、信息理论、密码学等领域有着广泛的应用。
本文将对离散数学的基本概念和应用领域进行简要介绍。
基本概念集合论集合论是离散数学的基础，它研究集合的性质和运算。
集合是由一些确定的、不同的元素所构成的整体。
集合论中的基本概念包括集合、元素、子集、并集、交集、差集和补集等。
数理逻辑数理逻辑是研究命题、谓词、推理和证明的形式化方法。
它主要包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑研究命题之间的逻辑关系，而谓词逻辑则进一步研究谓词和个体之间的关系。
代数结构代数结构是离散数学的一个重要组成部分，它研究集合上的元素之间的运算关系。
常见的代数结构有群、环、域等。
图论图论研究图的性质和应用。
图是由顶点和边组成的，它可以表示各种网络结构。
图论中的基本概念包括路径、回路、连通性等。
组合数学组合数学研究有限或可数无限集合的组合性质。
它主要包括排列、组合、二项式系数、生成函数等内容。
应用领域计算机科学离散数学在计算机科学领域有着广泛的应用，如数据结构、算法分析、计算机网络等。
例如，图论可以用于解决网络路由问题，组合数学可以用于计算排列组合等。
信息理论离散数学在信息理论中也有重要应用，如编码理论、信息熵等。
编码理论是研究如何将信息有效地传输和存储的理论，信息熵则是衡量信息量的一种方法。
密码学离散数学在密码学中也有着重要的应用，如公钥密码体制、数字签名等。
公钥密码体制是一种非对称加密技术，它使用一对密钥进行加密和解密操作。
数字签名则是一种验证消息完整性和发送者身份的技术。
总结：离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学分支，它在计算机科学、信息理论和密码学等领域有着广泛的应用。
通过学习离散数学，我们可以更好地理解和应用这些领域的知识和技术。
离散数学期末试卷及答案
一．判断题（共10小题，每题1分，共10分）在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误：1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ⇔ p ( )2．∀x(F(y)→G(x)) ⇔ F(y)→∃xG(x)。
( )3．初级回路一定是简单回路。
( )4．自然映射是双射。
( )5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。
( )6．群的运算是可交换的。
( )7．自然数集关于数的加法和乘法<N，+， >构成环。
( )8．若无向连通图G中有桥，则G的点连通度和边连通度皆为1。
( )9．设A={a,b,c},则A上的关系R={<a,b>,<a,c>}是传递的。
( )10．设A、B、C为任意集合，则A⨯(B⨯C)=(A⨯B)⨯C。
( )二、填空题（共10题，每题3分，共30分）11．设p：天气热。
q：他去游泳。
则命题“只有天气热，他才去游泳”可符号化为。
12．设M(x)：x是人。
S(x)：x到过月球。
则命题“有人到过月球”可符号化为。
13．p↔q的主合取范式是。
14．完全二部图K r,s（r < s）的边连通度等于。
15．设A={a,b}，,则A上共有个不同的偏序关系。
16．模6加群<Z6，⊕>中，4是阶元。
17．设A={1,2,3,4,5}上的关系R={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<3,3>,<4,5>}，则R的传递闭包t(R) = 。
.18．已知有向图D的度数列为(2,3,2,3)，出度列为(1,2,1,1)，则有向图D的入度列为。
19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。
20．7阶圈的点色数是。
三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分）21．求∃xF(x)→∃yG(x,y)的前束范式。
22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。
离散数学必备知识点总结资料
离散数学必备知识点总结资料离散数学是指离散的数学概念和结构，独立于连续的数学。
它是在计算机科学、信息科学、数学基础研究、工程技术等领域中的基础课程之一。
以下是离散数学必备的一些知识点总结。
一、逻辑与集合1. 命题与谓词：命题是一个陈述，可以被判断为真或假，而谓词是一种用来描述命题所涉及实体之间关系的语句。
2. 命题逻辑：重点关注命题真假和与或非等运算关系，包括真值表和主范式。
3. 一阶谓词逻辑：注意包含全称量词和存在量词，也包括a|b, a//b等符号的理解。
4. 集合与运算：集合是指不同元素组成的一个整体。
基本的集合运算包括并、交、差等。
5. 关系与函数：关系是一种元素之间的对应关系，而函数是一种具有确定性的关系，即每一个自变量都对应唯一的函数值。
6. 等价关系与划分：等价关系是指满足自反性、对称性和传递性的关系。
划分是指将一个集合分成若干个不相交的子集，每个子集称为一个等价类。
二、图论1. 图的定义和基本概念：图由节点和边构成，节点间的连线称为边。
包括度、路径、连通性等概念。
2. 图的表示方法：邻接矩阵和邻接表。
3. 欧拉图与哈密顿图：欧拉图是指能够一笔画出的图，哈密顿图是指含有一条经过每个节点恰好一次的路径的图。
4. 最短路径与最小生成树：最短路径问题是指在图中找出从一个节点到另一个节点的最短路径。
最小生成树问题是指在图中找出一棵覆盖所有节点的树，使得边权之和最小。
三、代数系统1. 代数结构：包括群、环、域等概念。
2. 群的定义和基本概念：群是在一个集合中定义一种二元运算满足结合律、单位元存在和逆元存在的代数结构。
四、组合数学1. 排列、组合和二项式系数：排列是指从n个元素中任选r个进行排序，组合是指从n个元素中任选r个但不考虑排序，二项式系数是指组合数。
2. 生成函数：将组合数与多项式联系起来的一种工具，用于求出某种算法或结构的某些特定函数。
3. 容斥原理：一个集合的容斥原理指在集合的并、交、补之间的关系。
离散数学第一章知识点总结
离散数学第一章知识点总结离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学等领域都有着广泛的应用。
第一章通常是对离散数学的基础概念和预备知识进行介绍，为后续的学习打下坚实的基础。
以下是对离散数学第一章知识点的详细总结。
一、集合的基本概念集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
集合中的对象称为元素。
我们通常用大写字母来表示集合，用小写字母表示元素。
如果一个元素 a 属于集合 A，记作 a ∈ A；如果一个元素 b 不属于集合 A，记作 b ∉ A。
集合有两种常见的表示方法：列举法和描述法。
列举法是将集合中的元素一一列举出来，例如 A ＝｛1, 2, 3, 4, 5}。
描述法是通过描述元素的共同特征来表示集合，例如 B ＝｛x ｜ x 是大于 0 小于 10 的整数}。
集合之间的关系包括子集、真子集和相等。
如果集合 A 中的所有元素都属于集合 B，那么 A 是 B 的子集，记作 A ⊆ B。
如果 A 是 B 的子集，且 B 中存在元素不属于 A，那么 A 是 B 的真子集，记作 A ⊂ B。
如果 A 和 B 包含相同的元素，那么 A 和 B 相等，记作 A ＝ B。
二、集合的运算集合的基本运算有并集、交集和差集。
集合 A 和集合 B 的并集，记作 A ∪ B，是由属于 A 或者属于 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 和集合 B 的交集，记作A ∩ B，是由同时属于 A 和 B 的所有元素组成的集合。
集合 A 与集合 B 的差集，记作 A B，是由属于 A 但不属于 B 的所有元素组成的集合。
此外，还有补集的概念。
如果给定一个全集 U，集合 A 的补集记作A，是由属于 U 但不属于 A 的所有元素组成的集合。
集合运算满足一些重要的定律，如交换律、结合律、分配律等。
例如，A ∪ B ＝ B ∪ A（并集的交换律），A ∩ B ＝B ∩ A（交集的交换律），（A ∪ B) ∪ C ＝ A ∪（B ∪ C)（并集的结合律），（A ∩B) ∩ C ＝A ∩ （B ∩ C)（交集的结合律）等。
离散数学知识点
离散数学知识点离散数学是计算机科学中一门非常重要的基础课程，它涵盖了众多的知识点。
在本文中，我将为大家介绍离散数学中的几个关键知识点，包括集合论、逻辑、数论和图论。
首先，我们来讨论集合论。
集合是离散数学中最基本的概念之一，它由一组互不相同的元素组成。
在集合论中，有许多重要的操作，如并集、交集和补集。
并集指的是将两个或多个集合的元素合并在一起，交集指的是两个或多个集合中共有的元素，而补集指的是与给定集合不相交的所有元素的集合。
掌握这些操作对于解决实际问题非常关键，例如在数据库中进行查询等。
接下来，逻辑是离散数学中另一个重要的知识点。
逻辑关注的是命题和它们之间的关系。
在逻辑中，常用的连接词有“与”、“或”和“非”。
通过应用逻辑运算，我们能够推导出更复杂的命题，如条件语句和双条件语句。
逻辑还包括谓词逻辑和命题逻辑，它们用于描述和推导具体的命题。
除了集合论和逻辑，数论也是离散数学中的一个重要分支。
数论研究的是整数及其性质。
这个领域的研究对于密码学和安全性技术等领域具有重要意义。
在数论中，有许多重要的概念和定理，如质数、最大公约数和同余等。
研究数论有助于我们理解数字间的关系，并通过运用数学中的方法解决实际问题。
最后，让我们来探讨离散数学中的图论。
图论是研究图及其性质的学科。
图由节点和连接节点的边组成。
图可以用来描述各种关系，如社交网络中的朋友关系、城市之间的交通路线等。
在图论中，有许多重要的定理和算法，如欧拉定理、哈密顿定理和最短路径算法等。
通过应用图论的知识，我们可以解决旅行推销员问题、网络优化问题等实际难题。
综上所述，离散数学是计算机科学中不可或缺的一部分。
在这篇文章中，我们简要介绍了离散数学中的几个关键知识点，包括集合论、逻辑、数论和图论。
这些知识点为我们理解和解决实际问题提供了强大的工具和方法。
通过深入学习离散数学，我们能够拓宽思维，提高问题解决能力，并为日后的计算机科学研究打下坚实基础。
离散数学课件-绪论
目录
• 离散数学的概述 • 离散数学的主要分支 • 离散数学的基本概念 • 离散数学的研究方法 • 离散数学的学习意义和价值
01
离散数学的概述
离散数学的定义
• 离散数学：离散数学是研究数学结构中非连续、分离对象的数 学分支。它主要关注集合论、图论、逻辑、组合数学等领域， 用于描述和研究离散对象之间的关系和性质。
在离散数学中，形式化方法常用于描述集合、关系、图等数学对象，如集合论中的集合定义和关系定 义。
归纳法
归纳法是从个别到一般的推理方法， 通过对一些具体实例的分析，归纳出 一般规律或性质。
VS
在离散数学中，归纳法常用于证明一 些关于自然数的性质和定理，如归纳 法在证明阶乘性质中的应用。
反证法
反证法是一种间接证明方法，通过假设与要 证明的命题相矛盾的命题成立，推出矛盾， 从而证明原命题成立。
逻辑学
01
逻辑学是研究推理和论证的规则 和结构的数学分支。逻辑学为离 散数学的各个分支提供了推理和 证明的工具和方法。
02
逻辑学中的基本概念包括命题、 量词、推理规则、证明等，这些 概念为离散数学的各个分支提供 了推理和证明的工具和方法。
组合数学
组合数学是研究计数、排列和组合问题的数学分支。组合数学在计算机科学、统 计学和运筹学等领域有广泛应用。
离散数学的起源和发展
起源
离散数学的起源可以追溯到古代数学中的一些研究，如几何学和逻辑学。随着 时间的推移，离散数学的各个分支逐渐形成和发展，成为一门独立的学科。
发展
离散数学的发展与计算机科学的发展密切相关。随着计算机科学的兴起，离散 数学在理论和实践方面都得到了广泛的应用和发展。
离散数学的应用领域
6自学考试离散数学试题汇编
全国2006年4月高等教育自学考试离散数学试卷课程代码：02324一、单项选择题<本大题共15小题，每小题1分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．下列命题公式为重言式的是< ）A．p→ (p∨q>B．(p∨┐p>→qC．q∧┐q D．p→┐q2．下列语句中不是．．命题的只有< ）A．这个语句是假的。
B．1+1=1.0C．飞碟来自地球外的星球。
D．凡石头都可练成金。
3．设p：我很累，q：我去学习，命题：“除非我很累，否则我就去学习”的符号化正确的是A．┐p∧qB．┐p→qC．┐p→┐q D．p→┐q4．下列等价式正确的是< ）A．┐)))()((∀(⇔y∀∀∃x)x∃A(x(⇔)Axy∃┐A B．AC．┐)Axxx(xB)(x⇔(∧∀∀∨Ax∀xBx∃⇔∀┐A D．)A(x)(()(())))()(5．在公式)yxQyPz∀∃中变元y是< ）P∧→x∃yy()))(,(z()())((,A．自由变元B．约束变元C．既是自由变元，又是约束变元D．既不是自由变元，又不是约束变元6．设A={1，2，3}，A上二元关系S={<1，1>，<1，2>，<3，2>，<3，3>}，则S是< ）A．自反关系B．反自反关系C．对称关系D．传递关系7．设集合X为人的全体，在X上定义关系R、S为R={<a，b|a，b∈X∧a是b的父亲}，S={<a，b>|a，b∈X∧a是b的母亲}，那么关系{<a，b>|a，b∈x∧a是b的祖母}的表达式为< ）A．R S B．R-1 SC．S R D．R S-18．设A是正整数集，R={(x，y>|x，y∈A∧x+3y=12}，则R∩({2，3，4，6}×{2，3，4，6}>=< ）A．O/B．{<3，3>}C．{<3，3>，<6，2>}D．{<3，3>，<6，2>，<9，1>}9．下列式子不正确的是< ）A．(A-B>-C=(A-C>-B B．(A-B>-C=A-(B∪C>C．(A-B>-C=(A-C>-(B-C> D．A-(B∪C>=(A-B>∪ C10．下列命题正确的是< ）A．{l，2}⊆{{1，2}，{l，2，3}，1}B．{1，2}⊆{1，{l，2}，{l，2，3}，2}C．{1，2}⊆{{1}，{2}，{1，2}}D．{1，2}∈{1，2，{2}，{l，2，3}}11．在下列代数系统中，不是环的只有< ）A．<Z，+，*>，其中Z为整数集，+，*分别为整数加法和乘法。
离散数学
课程教学大纲
（2006 年 10 月重印版）
课程编号 22143111
课程名称 离散数学
课程类别 专业必修
教材名称
离散数学
制订人
李国
审核人
陈之兵
2005 年 4 月修订
一、课程设计的指导思想
（一）课程性质
1．课程类别：专业必修课 2．适应专业：信息与计算科学、数学与应用数学 3．开设学期：第三学期 4．学时安排：周学时 3，总学时 54 5．学分分配：3 学分
主要内容
第一节 集合上的关系 第二节 自反性、对称性与传递性 第三节 等价关系 第四节 密码学的应用 第五节 偏序关系
基本要求
理解：理解关系的定义，关系的自反、对称、传递性质，理解等价关系。 掌握：掌握证明关系等价性、偏序关系的方法。 了解：关系在密码学中的应用。
第十章 图和树教学目的 Nhomakorabea了解图论的基本问题以及处理问题较独特的方法，理解其基本概念，理解并掌握求 最小生成树的 Kruskal 与 prim 算法。
教学要求
理解：理解整数的相关结论；理解对存在性命题的构造与非构造性证明的思想；理 解商－余数定理、Floor 与 Ceiling 函数、求商和余数的除法算法、求最大 公约数的 Euclidean 算法。
掌握：掌握对全称条件命题的直接证法、举反例法、反证法与换位证法；掌握两个 经典定理证明的基本技巧。
（九）参考书目
（1） 左孝凌，李为鑑，刘永才.《离散数学》.上海：上海科学技术文献出版社，2003. （2） Kolman B., Busby R.C., and Ross S. Discrete Mathematical Structures. Beijing:
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上海师范大学本科课程教学大纲
课程名称：离散数学(I,II) (Discrete Mathematics)
学分：6总学时：108
开课专业：信息与计算科学专业
一、课程性质、目的和培养目标
离散数学是信息与计算专业的限定选修课。
离散数学是现代数学的一个重要分支，也是信息与计算科学的基础理论。
离散数学是以研究离散量的结构和相互的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素，因此她充分描述了信息科学，特别计算机科学离散性特点。
这门课程主要介绍离散数学中的基本研究领域，包含了基础理论和应用两个部分。
基础理论包括了数理逻辑、朴素集合论、代数结构与布尔代数、图论等四方面内容；应用部分主要介绍形式语言和自动机以及纠错码初步。
通过教学要求学生掌握离散数学的基本概念、基本推理技巧与方法，通过学习培养学生的抽象思维和慎密概括能力，并为后续课程的学习打下良好的数学理论基础。
二、预修课程：
线性代数
三、课程内容及学时分配
第一章命题逻辑
(1) 命题及其表示法
(2) 命题逻辑语法与推理
(3) 命题逻辑语义与范式
本章学时数：12，本章习题数：20
第二章谓词逻辑
(1)谓词的概念与表示
(2)谓词逻辑的语法
(3)谓词演算的等价与范式
(4)谓词演算的推理理论
本章学时数：12，本章习题数：18
第三章集合与关系
(1)集合的概念与表示
(2)集合的运算
(3)关系
(4)集合的划分与等价关系
第四章函数与基数
(1)函数的概念与函数运算
(2)特征函数与模糊集合
(3)基数的概念与可数集
本章学时数：8；习题数：10
第五章代数结构
(1)代数系统的概念与运算
(2)半群与群
(3)阿贝尔群与循环群
(4)陪集与拉格朗日定理
(5)同态与同构
本章学时数：16；习题数20
第六章格与布尔代数
(1)序关系
(2)格的概念
(3)分配格与有补格
(4)布尔代数
本章学时数：12；习题数：20
第七章图论
(1)图的基本概念
(2)路与回路
(3)欧拉图
(4)树的概念
(5)树与根树
本章学时数：12；习题数：18
第八章形式语言与自动机
(1)语言的概念
(2)正规语言
(3)形式文法
(4)有限状态自动机
第九章纠错码初步
(1)通讯模型与纠错的基本概念
(2)海明码与线性分组码
本章学时数：9；习题数：6
五、教材和参考书目
教材：《离散数学》，左孝凌等编著，上海科学技术文献出版社，1982.
参考书目：
(1)《Discrete Mathematical Structures(离散数学结构)》(第三版)，
Bernard Kolman等编著，清华大学出版社，1997.
(2) 《Elements of the Theory of Computation(计算理论)》(第2版)，
Harry R. Lewis等编著，清华大学出版社，1999。
六、课外学习要求
要求学生课前预习和课后复习。
七、考核方式
书面考试：70%，平时作业和期中考试：30%
八、其他说明。