2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试(一模)数学(文)试卷(带解析)

8．C
【解析】
易知函数定义域为 ，且 ，因此函数图象关于原点对称，又当自变量从原点右侧 时， ，故选C．
9．D
【解析】
由三视图知，这是一个底面半径为2，高为2的圆柱挖去一个底面半径为2高为2的圆锥，所以平行底面的平面截得一个圆环，其面积为两个圆面积之差，根据比例关系知截圆锥所得圆的半径为h，所以面积为 ，故选D．
A. B. C. D.
8．函数 的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
9．祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为 的平面截该几何体，则截面面积为（）
17．（1） ；（2） .
【解析】
试题分析：（1）分析已知条件， ，一般消去 ，转化为含有 与 的递推关系式，进而构造等差或等比数列，特别地 ，提示构造数列的形式，另外还要注意当 时， ，易得 ；（2）由（1）知 ，则 ，根据式子结构特点，采用错位相减法求和．
试题解析：（1）当 时， ，易得 ；
当 时， ，
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2017届广东省深圳市高三下学期第一次调研考试（一模）数学（文）试卷（带解析）
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人
得分
一、选择题
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．已知向量 ，若 ，则 __________．
14．已知 是锐角， ,且 __________．
15．直线 与圆 相交于 两点，若 ，则实数 的取值范围是__________．
16．若实数 满足不等式组 ，目标函数 的最大值为12，最小值为0，则实数 __________．
2．B
【解析】
因为 为纯虚数，所以 且 ，解得 ，故选B．
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数，共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化，转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分．
1．若集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2．若复数 为纯虚数，其中 为虚数单位，则 （ ）
A.-3B.-2C.2D.3
3．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）
A. B. C. D.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）写出曲线 的普通方程和极坐标方程；
（2）若直线 与曲线 相交于点 两点，且 ，求证： 为定值，并求出这个定值．
23．选修4-5：不等式选讲
已知 ．
（1）当 ，解不等式 ；
可知 ，解出 ；（3）分别求出各组中值点的电价，并求其概率（频率），再求平均值 ．
试题解析：（1）当 时， ；
当 时， ，
当 时， ，
所以 与 之间的函数解析式为： ；
（2）由（1）可知：当 时， ，则 ，
结合频率分布直方图可知： ，
∴ ；
（3）由题意可知：
当 时， ，∴ ，
当 时， ，∴ ，
当 时， ，∴ ，
∴三棱锥 的体积为 ．
解法二：∵ ，∴点 到平面 的距离为点 到平面 的距离的两倍，所以 ，
作 ，∵平面 平面 平面 ，
∴ ，
∴三棱锥 的体积为 ．
19．（1） ；（2） ；（3） .
【解析】
试题分析：（1）根据电价的分档情况，可以写出分段函数，当 时， ；当 时， ，
当 时， ；（2）由（1）可知：当 时， ，则 ，根据频率分布直方图
试题解析：（1）证明：
连接 ，
∵四边形 为菱形，
∵ ，
在 和 中，
， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 平面 ；
（2）解法一：连接 ，∵ 面 平面 ，∴ ，
在平行四边形 中，易知 ，
∴ ，即 ，又因为 为平面 内的两条相交直线，所以 平面 ，所以点 到平面 的距离为 ，
∵ ，
综上所述，直线 的方程为 或 ．
点睛：本题主要考查了椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，是高考的必考点，属于难题．求椭圆方程的方法一般就是根据条件建立 的方程，求出 即可，注意 的应用；涉及直线与圆锥曲线相交时，未给出直线时需要自己根据题目条件设直线方程，要特别注意直线斜率是否存在的问题，避免不分类讨论造成遗漏，然后要联立方程组，得一元二次方程，利用根与系数关系写出 ，再根据具体问题应用上式，其中要注意判别式条件的约束作用．
（1）求某户居民用电费用 （单位：元）关于月用电量 （单位：度）的函数解析式；
（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求 的值；
（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．
点睛：本题考查线性规划问题，涉及到目标函数中有参数问题，综合性要求较高，属于难题．解决此类问题时，首先做出可行域，然后结合参数的几何意义进行分类讨论，本题参数为直线的斜率，所以可以考虑斜率的正负进行讨论，当 时，显然直线越上移 越小，结合可行域显然最小值不可能为 ，分析 时，只有当直线 过点 时取最小值，从而求出 ．
（2）对任意 恒成立，求 的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】
由 得： ，所以 ，故选B．
点睛：集合是高考中必考的知识点，一般考查集合的表示、集合的运算比较多．对于集合的表示，特别是描述法的理解，一定要注意集合中元素是什么，然后看清其满足的性质，将其化简；考查集合的运算，多考查交并补运算，注意利用数轴来运算，要特别注意端点的取值是否在集合中，避免出错．
18．（1）证明见解析；（2） .
【解析】
试题分析：（1）要证面面垂直，需要找线面垂直，本题中重点分析线段 ，利用条件底面是菱形可得 ，通过全等可知 ，从而 ，故 是平面 的垂线，从而得证；（2）由 知点 到平面 的距离为点 到平面 的距离的两倍，所以 ，作 ，证明 平面 ，利用三棱锥体积公式求解；也可证明 平面 ，从而直接求高，计算体积．
试题解析：
（1）由题意可知： ，又 ，
∴ ，所以椭圆 的方程为 ；
（2）①若直线 的斜率不存在，此时 为原点，满足 ，所以，方程为 ，
②若直线 的斜率存在，设其方程为 ，
将直线方程与椭圆方程联立可得
，即 ，
可得 ，
设 ，则 ，
由 可知 ，
化简得 ，
解得 或 ，将结果代入 验证，舍掉 ，
此时，直线 的方程为 ，
21．（1）①当 时， 在 上为减函数；②当 时， 的减区间为 ，增区间为 ；（2）证明见解析；（3）一个零点，理由见解析.
20．已成椭圆 的离心率为 ．其右顶点与上顶点的距离为 ，过点 的直线 与椭圆 相交于 两点．
（1）求椭圆 的方程；
（2）设 是 中点，且 点的坐标为 ，当 时，求直线 的方程．
21．已知函数 是 的导函数， 为自然对数的底数．
（1）讨论 的单调性；
（2）当 时，证明： ；
（3）当 时，判断函数 零点的个数，并说明理由．
整理得 ，
∴ ，
∴数列 构成以首项为 ，公比为2等比数列，
∴数列 的通项公式 ；
（2）由（1）知 ，则 ，
则 ，①
∴ ，②
由①-②得：
，
∴ ．
点睛：数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前 项和，主要利用解方程得思想处理通项公式问题，利用分组求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和．在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误．
3．C
【解析】
因为4个小球随机选3个共有 种不同选法，其中能构成等比数列的三个数分别为2，3，4；2，4，6，有两种不同的选法，所以根据古典概型概率公式得： ，故选C．
4．B
【解析】
根据指数函数对数函数的增减性知，因为 ， ， ，所以 ，所以选B．
点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．
【解析】
由 ， ，因为 ，令 ，若 ，即 时， 恒成立，所以 时 ， 时 ，所以当 时 有最小值，当 ，即 时，令 ，不妨设两解为 ， ，当 时 ， 时 ，当 时 ，当 时， ，所以函数 必有最小值 与 中较小者，故选D．
点睛：本题考查了三角函数的图像和性质以及利用导数研究函数的最值单调性问题，综合性较强，属于难题．首先要根据求导公式及法则对复合函数求导，其次要研究导数的正负需要综合正弦余弦在不同区间的符号去对参数分类讨论，最后讨论过程需要条理清晰，思维严谨，运算能力较强．