第三节 高维波动方程的初值问题
第二章波动方程
第二章 波动方程一、小结本章主要提供了波动方程初值问题与混合问题的求解方法。
对于不同的方程或同一类方程，由于维数的不同，定解条件的不同，它的定解问题的求解方法往往也是不同的。
1．波动方程的初值问题20(0,)(I)(,0)(),(,0)()tt xx t u a u t x u x x u x x ϕψ⎧-=>-∞<<∞⎪⎨==⎪⎩可用达朗贝尔方法求解，得到解的表达式为11(,)[()()]()22x atx atu x t x at x at d a ϕϕψξξ+-=++-+⎰当21(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞，利用上面公式可直接验证问题（I ）是适定的。
（2）半无弦自由振动的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t u a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作奇延拓，把问题（II ）化为问题（I ）。
对于第二边值的混合问题20(0,0)(II)(,0)(),(,0)()(0,)0tt xx t xu a u t x u x x u x x u t ϕψ⎧-=>>⎪'==⎨⎪=⎩可将初始函数(),()0x x x ∞∞=在(-,+)上关于j y 作偶延拓，也可把问题化为问题（I ）。
（3）三维齐次波动方程的初值问题2312312312300(0,(,,))(III)(,,),(,,),tt t t t u a u t x x x R u x x x u x x x ϕψ==⎧=∆>∈⎪⎨==⎪⎩用球平均法求解，得到解的表达式（泊松公式）为：1232211(,,,)[]44x xatatat at S S u x x x t dS dS t a t a t ϕψππ∂=+∂⎰⎰⎰⎰ 当32(,),(,)C C ϕψ∈-∞+∞∈-∞+∞,由上式确定的123(,,,)u x x x t 是问题(III)的解。
波动方程初值问题与行波法
1 x at 1 u d 2 2a x at 1
1 arctan( x at ) arctan( x at ) 2a
例4： 求二阶线性偏微分方程初值问题的解
uxx 2uxy 3u yy 0 2 u | 3 x , u y | y 0 0 y0
2 F 3 x G x 3 x F ' 3 x G ' x 0
1 F 3x G x C 3
9 2 F 3x x C ' 4 G x 3 x 2 C ' 4
P( x, t )
依赖区间
x at
x at
x
区间 [ x at , x at ] 为解的依赖区间。
2.决定区域 该区域中任一点(x, t )的依 赖区间都落在区间[c, d]内 部，因此解在此该区域中的 数值完全由区间[c, d]上的 初始条件决定。
t
x c at
x d at
例5 求二阶线性偏微分方程的通解
uxx 2sin xuxy cos xuyy 0.
2
解：特征方程为
dy
2
2sin xdxdy cos x dx 0
2 2
dy dy 1 sin x 1 sin x 0 dx dx
G(x-at)=G(x0+at-at)=G(x0)
u2 G ( x ) ( t 0)
O
at
u2 G ( x at ) ( t t0 )
x0
x x0 at
x
u1 F ( x at )
高维波动方程的初值问题
div vd v ndS
其中 为简单闭曲面 所围成的区域，n 是的单位
外法向。
现将方程(27)两边在
V
M r
上积分得
u div u
utt dVrM a2 udVrM a2 div udVrM
VrM
VrM
VrM
a2r 2 u(M r,t)d 4a 2r 2 u .
在(29)(30)式中取 t 0 得
(ru )t |t0 af (r) ag(r), (ru )r |t0 f (r) g (r),
10
utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z , t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28)
u
dS
M r
S rM
a2r2
S1M
u (M r
r,t)d
6
utt a2 (uxx uyy uzz ) ( x, y, z Байду номын сангаас t 0), (27) u(x, y, z,0) (x, y, z), ut (x, y, z,0) (x, y, z), (28) 微积分里面的奥-高公式写成散度形式为
2 0 0
t 2 sin 3 cos sin)dd
13
u(M ,t)
t
t
4
(M
S1M
at)d
t
4
S1M
(M
at)d.
(31)
科学与工程计算第3章-4
高维一阶双曲型方程组
u u u 设方程： A B 0 t x y T 其中u u1 ,, u p ，A, B为实的 p * p矩阵
如果对所有的 , , 1，有非奇异的矩阵 S 使 S A B S 1为实对角矩阵。
1 若b a，则条件为a r 2
(2) Lax-Wendroff格式：
u u u 设u x , y, t 是 方 程 a b 0的 解 ， 那 么 ： t x y
2u u u a b 2 t x y t
u 维问题
1. 一阶双曲型方程
u u u b 0 a x y 初值问题： t u x, y,0 u x, y , x, y 0 其解为： ux, y, t u0 x at, y bt
一般设 x y h，有：
(3) 分数步长法：
为 放 宽 稳 定 性 条 件 而入 引的 技 巧 。 方法是：
第一步由x方向的差分把 t k 推进到t k ； 2 第二步由y方向的差分把 tk 2 推进到t k＋1。
一般形式： k1 k k 2 u u D u j ,m j ,m 1 j ,m 1 1 k k u k 1 u 2 D u 2 j ,m 2 j ,m j ,m
故有： k 1 k u j ,m Lhu j ,m
1 1 2 2 x x x y [ I r A 0 B 0 r A B 2 y y 2 2 1 2 x y k r AB BA 0 0 ]u j ,m 2
0 0 a B 0 0 0 a 0 0
如何推导波动方程解答波动问题
如何推导波动方程解答波动问题推导波动方程解答波动问题引言波动是物理学领域研究的一个重要部分，涉及光、声、水波等各个领域。
在解答波动问题时，推导波动方程是一个关键步骤，通过波动方程可以获取波动现象的行为规律和性质。
本文将介绍如何推导波动方程并利用它解答波动问题。
一、波动方程的推导波动方程描述了波动现象的传播和演化规律。
对于简单的一维波动，我们考虑一根细弦上的波动，将弦上任意位置的横向位移用函数y(x,t)表示，其中x为坐标，t为时间。
为了推导波动方程，我们需要考虑弦元上的受力以及受力对弦元的加速度的影响。
1.1 弦元受力分析我们考虑弦元上的张力和重力对弦元的影响。
根据牛顿第二定律，弦元上的受力为张力和重力的合力。
由于弦的垂直性质，我们将张力分解为两个分力，分别作用于水平和垂直方向上。
1.2 弦元受力对加速度的影响根据受力分析，我们可以得到弦元受力对加速度的贡献。
将受力分解为弦元上横向位移y(x,t)对x的偏导数和t的偏导数，得到加速度的表达式。
1.3 波动方程的推导将弦元受力对加速度的表达式带入牛顿第二定律的公式中，并考虑弦元长度的微元Δx趋近于0的极限情况，即可得到一维波动方程的表达式。
二、波动问题的解答得到波动方程后，我们可以基于方程进行波动问题的解答。
这里以弦上的波动为例，讨论如何利用波动方程解决弦的振动问题。
2.1 边界条件的确定在解答波动问题时，我们需要根据实际情况确定边界条件。
对于弦的振动问题，边界条件通常包括两个方面：弦的初始形状和弦的初速度。
确定了边界条件后，我们可以将其代入波动方程并进行求解。
2.2 波动方程的解法波动方程通常是一个偏微分方程，我们可以运用各种数学方法进行求解。
其中一种常见的求解方法是分离变量法。
通过将波动方程中的变量分离，并应用边界条件，我们可以获得波函数的具体表达式。
2.3 波动问题的讨论在解答完波动问题之后，我们可以从波函数中分析波的传播性质、幅度和频率等方面。
(优选)三维波动方程初值问题
xat
( )d 为初始位移
xat
在 [x at, x at] 上的算
术平均值，
1
xat
( )d 为初始速度 在 [x at, x at]上的算术均值
2at xat
受此启发，在以M(x,y,z)为中心，以at为半径的球面上作初
始函数 和 的平均值，分别为
1 (, , )dS, 1 (, , )dS.
2.1 三维齐次波动方程的球对称解
考虑初值问题
utt a2 (uxx uyy uzz ), (x, y, z) R3,t 0
u
t0
(x,
y,
z), ut
t0
(x,
y,
z), ( x,
y,
z) R3
其中 , 满足一定的光滑性条件。
(2.1)
x r sin cos,
引入球坐标系 (r,,),
2ar atr
2.2 三维齐次波动方程的泊松公式和球平均法
(1) 主要结果
一维齐次波动方程的达朗贝尔解
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] + 1
xat
( )d
2
2a xat
可改写成
u(x,t)
t
t
1 2at
xat
(
xat
)d
+t
1 2at
xat
( )d
xat
1
其中 2at
则类似于半界弦的振动情况，可得初值问题(2.3)-(2.4)的解
1 2r
[(r
at
) (r
at)
(r
at)
(r
at)]
u(r, t )
1
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
数学物理方程
将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：
x at x 1 1 [ ( x at ) ( x at )] ( s ) ds , t 2 a x at 2 a u ( x, t ) 1 [ ( x at ) (at x)] 1 x at ( s )ds, t x 2 2 a at x a
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) ( )d x at 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
第 3章
波动方程初始问题的求解
——行波法 （达朗贝尔公式） （特征线积分法）
1
数学物理方程
达朗贝尔公式（行波法）[一维问题]
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的 线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方 程类型的求解十分有效. 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶 偏微分方程。
代入通解得： u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
x at
x at
( s)ds
达朗贝尔公式
(3.1.2) 5
数学物理方程
（4）达朗贝尔公式的意义： a. 只有初始位移时，u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
波动方程初始问题的求解
当 1/2a t 3/4a
x, 1 2 at , u ( x, t ) 1 2 ( x at ), 1 ( x at ), 2 1 2 (1 x at ), 0 x1 2 at 1 2 at x 1 at 1 at x at at x 1 2 at
第二节 特征线方法
弦振动方程的初始问题
2 2u u 2 a , x , t 0 t 2 2 x u ( x, 0) ( x), x ut ( x, 0) ( x),
等价问题
u u a v, t x x , t 0 v a v 0, x t u ( x, 0) ( x), v( x, 0) ( x) a ( x), x
第四节 球平均法
三维波动方程的初始问题
p x, y , z R 3 , t 0 p x, y , z R 3
2 2 2 2u u u u 2 2 a 2 2 2 , y z t x u ( p, 0) ( p), u ( p, 0) ( p), t
r
p
M u ( p,0, t ) u( p, t )
M ( p,0) ( p)
M ( p,0) ( p)
2 2 rM u 2 a rM u , r R, t 0 2 2 t r rM u ( p, r , 0) rM ( p, r ), rR rM u ( p, r , 0) rM ( p, r ), t
依赖区间
影响区域