第三章第六讲曲率求法与方程求解共30页文档
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曲率及其计算公式-高数中曲率的计算公式
§3．9 曲 率
一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
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1
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
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12
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8．
把它们代入曲率公式，得
K | y | 0．8．2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K | y |
2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
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8
例2
抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K
| y | (1 y2 )3 2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
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一、弧微分
有向弧段的值、弧微分公式
二、曲率及其计算公式
曲率、曲率的计算公式
三、曲率圆与曲率半径
曲率圆曲率半径
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1
一、弧微分
(
有向弧段M0 M 的值 s(简称为弧s) ：
s 的绝对值等于这弧段的长度，当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0，相反时s<0．
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
y=0．4 x2
4
2O
2
x
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12
例3 设工件表面的截线为抛物线y0．4x 2．现在要用砂轮 磨削其内表面．问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径． y0．8x ，y0．8， y|x00，y|x00．8．
把它们代入曲率公式，得
K | y | 0．8．2
解 由y 1 ，得
x
1 y x 2
，y
2 x3
．
因此，y|x11，y|x12．
曲线x y 1在点(1，1)处的曲率为
K | y |
2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
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8
例2
抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K
| y | (1 y2 )3 2
1 2．
(1 y2 )3 2 (1 (1)2 )3 2 2 2
抛物线顶点处的曲率半径为
r 1 1．25．
K
所以选用砂轮的半径不得超过1．25单位长，即直径不得超过
2．50单位长．
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《高等数学曲率》课件
曲率与生物形态
在自然界中，许多生物形态都呈现出 曲率的特点。例如，鸟类的飞行轨迹 、河流的流向、植物的生长方式等都 与曲率密切相关。通过研究这些生物 形态的曲率特点，可以更好地理解自 然界的规律和原理。
VS
曲率在生物形态中的应用还体现在仿 生学领域。通过模仿自然界中生物的 形态和运动方式，可以创造出更加高 效、环保和可持续的交通工具、建筑 材料等。例如，仿生学中的“蜂巢” 结构就是利用了曲率的特点，具有很 好的抗压和抗震性能。
曲率与建筑设计
在建筑设计中，曲率也被广泛应用。通过合理利用曲率，可以创造出更加美观、舒适和功能性的建筑。例如，在建筑设计时 可以利用曲率来优化建筑的外观和结构，提高建筑的稳定性和安全性。
曲率还可以用于建筑内部的布局和空间设计。例如，利用曲率可以将建筑的内部空间划分为不同的区域，提高建筑的实用性 和舒适性。
曲率研究展望
曲率与几何拓扑关系
未来研究可以探索曲率与几何拓扑之间的关系，例如研究 曲率在曲面分类中的作用，以及曲率在流形学习等方面的 应用。
高维空间曲率研究
随着高维几何的发展，对高维空间中曲率的研究也日益重 要，未来可以进一步探讨高维空间中曲率的性质和计算方 法。
数值计算与模拟
随着计算机技术的发展，数值计算和模拟已经成为研究曲 率的重要手段，未来可以借助更先进的计算方法和模拟技 术，对曲率进行更精确和深入的研究。
03
曲率应用
曲率在几何学中的应用
曲率在几何学中有着广泛的应用，它描述了曲线在某一点的 弯曲程度。在平面几何中，曲率用于描述曲线在某一点的弯 曲程度，而在球面几何中，曲率则用于描述曲面在某一点的 弯曲程度。
在几何学中，曲率的概念可以帮助我们更好地理解空间中的 几何形状，以及它们之间的相互关系。例如，在研究行星运 动时，曲率的概念可以帮助我们理解行星轨道的形状和大小 。
0406教师用书配套课件
第六节 曲率
一、曲率的概念 二、弧微分 三、曲率的计算公式
一、曲率的概念
1.曲线弯曲程度的二个要素
(1) 与转角有关
弧段 M 2M 3 比较平直，当动点沿这段弧从M1移动
到M2时，切线转过的角度1不大.弧段
M1M
弯曲得
2
比较厉害，转角2 就比较大.
(2) 与弧长有关
两段曲线弧 M1M 2 及N1N2，尽管切线转过的角
2a2 | x3 | ,
(x4 x4)32
因此在点(a,a)处
K
|(a,a)
(a
2a 4
2a3 a4)
3 2
1. 2a
例5 试判定曲线(抛物线)y ax2 bx c上哪一点处 的曲率半径最小？
解 由 y ax2 bx c ,可得y 2ax b, y 2a.
由曲率公式可知，直线上任意一点处的曲率K=0.
例3 求圆周 (x a)2 ( y b)2 R2 上任意一点处的 曲率.
解 设M(x,y)为圆周的任意一点，则由平面几何知 识可知
s R. 因此 K lim | | lim 1 1 .
s0 s x0 R R
即圆周上各点处的曲率相同，皆等于该圆半径的 倒数.
例4 求曲线xy a2 (a 0)在点(a,a)处的曲率.
解 由xy a2可得y a2 . x
y a2 , x2
y
2a 2 x3
,
K
(1
y y2 ) 32
2a2
||
x3
[1
(
a x
2 2
)2
3
]
一、曲率的概念 二、弧微分 三、曲率的计算公式
一、曲率的概念
1.曲线弯曲程度的二个要素
(1) 与转角有关
弧段 M 2M 3 比较平直，当动点沿这段弧从M1移动
到M2时，切线转过的角度1不大.弧段
M1M
弯曲得
2
比较厉害，转角2 就比较大.
(2) 与弧长有关
两段曲线弧 M1M 2 及N1N2，尽管切线转过的角
2a2 | x3 | ,
(x4 x4)32
因此在点(a,a)处
K
|(a,a)
(a
2a 4
2a3 a4)
3 2
1. 2a
例5 试判定曲线(抛物线)y ax2 bx c上哪一点处 的曲率半径最小？
解 由 y ax2 bx c ,可得y 2ax b, y 2a.
由曲率公式可知，直线上任意一点处的曲率K=0.
例3 求圆周 (x a)2 ( y b)2 R2 上任意一点处的 曲率.
解 设M(x,y)为圆周的任意一点，则由平面几何知 识可知
s R. 因此 K lim | | lim 1 1 .
s0 s x0 R R
即圆周上各点处的曲率相同，皆等于该圆半径的 倒数.
例4 求曲线xy a2 (a 0)在点(a,a)处的曲率.
解 由xy a2可得y a2 . x
y a2 , x2
y
2a 2 x3
,
K
(1
y y2 ) 32
2a2
||
x3
[1
(
a x
2 2
)2
3
]
曲率及其曲率半径的计算课件
报告收集方式
明确报告收集方式，如电子邮件、在线平台提交 等。
3
报告整理与反馈
强调教师将对学生的自我评价报告进行整理和分 析，并针对普遍存在的问题进行反馈和解答。
下节课预告及作业布置
下节课预告
预告下节课将要学习的内容，为学生做好预习准 备。
作业布置
布置相关作业，要求学生应用本节课所学知识进 行计算和练习，以巩固所学内容。作业难度适中 ，题量适当。
方法选择
根据数据类型和精度要求选择合适的方法 。
结果整理
整理计算结果，包括曲率半径、误差等信 息。
结果展示与误差分析
01
02
03
结果展示
以表格或图形形式展示计 算结果，包括曲率半径、 误差等信息。
误差分析
分析计算结果的误差来源 ，如数据质量、方法精度 等。
改进措施
根据误差分析结果，提出 改进措施，如优化算法、 提高数据质量等。
THANKS
感谢观看
非弧长参数化下曲率公式
非弧长参数化
以其他参数（如时间、角度等）为参数，将曲线进行参数化，得到非弧长参数 化下的曲线方程。
曲率公式推导
在非弧长参数化下，通过引入切向量和法向量等概念，可以推导出曲率公式 k(t)=|dθ(t)/dt|/|dr(t)/dt|，其中t为非弧长参数，θ(t)为切向量与某一固定方向 的夹角，r(t)为非弧长参数化下的曲线方程。
实际应用案例分享与讨论
螺旋线曲率计算
以螺旋线为例，介绍如何应用曲 率计算公式求解其曲率半径，并 分析曲率半径随参数变化的规律
。
曲线设计与优化
讨论如何利用曲率概念进行曲线设 计与优化，例如在道路工程、机械 工程等领域中的应用。
曲线拟合与插值
明确报告收集方式，如电子邮件、在线平台提交 等。
3
报告整理与反馈
强调教师将对学生的自我评价报告进行整理和分 析，并针对普遍存在的问题进行反馈和解答。
下节课预告及作业布置
下节课预告
预告下节课将要学习的内容，为学生做好预习准 备。
作业布置
布置相关作业，要求学生应用本节课所学知识进 行计算和练习，以巩固所学内容。作业难度适中 ，题量适当。
方法选择
根据数据类型和精度要求选择合适的方法 。
结果整理
整理计算结果，包括曲率半径、误差等信 息。
结果展示与误差分析
01
02
03
结果展示
以表格或图形形式展示计 算结果，包括曲率半径、 误差等信息。
误差分析
分析计算结果的误差来源 ，如数据质量、方法精度 等。
改进措施
根据误差分析结果，提出 改进措施，如优化算法、 提高数据质量等。
THANKS
感谢观看
非弧长参数化下曲率公式
非弧长参数化
以其他参数（如时间、角度等）为参数，将曲线进行参数化，得到非弧长参数 化下的曲线方程。
曲率公式推导
在非弧长参数化下，通过引入切向量和法向量等概念，可以推导出曲率公式 k(t)=|dθ(t)/dt|/|dr(t)/dt|，其中t为非弧长参数，θ(t)为切向量与某一固定方向 的夹角，r(t)为非弧长参数化下的曲线方程。
实际应用案例分享与讨论
螺旋线曲率计算
以螺旋线为例，介绍如何应用曲 率计算公式求解其曲率半径，并 分析曲率半径随参数变化的规律
。
曲线设计与优化
讨论如何利用曲率概念进行曲线设 计与优化，例如在道路工程、机械 工程等领域中的应用。
曲线拟合与插值
高等数学：第六节 曲率
22
四、作业
作业19
30
5
一、曲率及其计算公式
设曲线光滑的(即对应函数具有连续导数),动点
沿曲线从点M1移动到点M2 , 切线方向从M1T1转到
M2T2 , 切线的转角称为曲线弧M1M2的转角.
可用曲线弧 M1 M 2的转角定量刻画曲线的弯曲:
转角大的弯曲程度大; y
T2
M2
T1
P0
M1
x
6
M1M2与N1 N2的转角相同, 但由于
解
由y
1 得y' x
1 x2 ,
y''
2 x3 .
(1,1)处的曲率为
| y'' |
2
2
k [1 ( y' )2 ]3/ 2 [1 (1)2 ]3/ 2 2 .
x1
13
直角坐标系下：
k= d
ds
| y'' | [1 ( y' )2 ]3/ 2 .
曲线:由参数方程表示： x (t), y (t)
ds
10
容易求出:
圆在每一点处的曲率都等于其平均曲率 1 , R
这与我们的直观感知一致: 圆上各点处的弯曲程度一样; 圆的半径越小,曲率越大,从而 弯曲得越厉害.
11
设曲线C:y f ( x), f 二阶可导,则曲线C在M( x, y)处的
切线斜率为y' tan, (为切线倾斜角),
y'' sec2 d ,
y
(t)
| r 2 2r '2 rr'' | k (r 2 r'2 )3/ 2
极坐标式曲线 r r( )
四、作业
作业19
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一、曲率及其计算公式
设曲线光滑的(即对应函数具有连续导数),动点
沿曲线从点M1移动到点M2 , 切线方向从M1T1转到
M2T2 , 切线的转角称为曲线弧M1M2的转角.
可用曲线弧 M1 M 2的转角定量刻画曲线的弯曲:
转角大的弯曲程度大; y
T2
M2
T1
P0
M1
x
6
M1M2与N1 N2的转角相同, 但由于
解
由y
1 得y' x
1 x2 ,
y''
2 x3 .
(1,1)处的曲率为
| y'' |
2
2
k [1 ( y' )2 ]3/ 2 [1 (1)2 ]3/ 2 2 .
x1
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直角坐标系下：
k= d
ds
| y'' | [1 ( y' )2 ]3/ 2 .
曲线:由参数方程表示： x (t), y (t)
ds
10
容易求出:
圆在每一点处的曲率都等于其平均曲率 1 , R
这与我们的直观感知一致: 圆上各点处的弯曲程度一样; 圆的半径越小,曲率越大,从而 弯曲得越厉害.
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设曲线C:y f ( x), f 二阶可导,则曲线C在M( x, y)处的
切线斜率为y' tan, (为切线倾斜角),
y'' sec2 d ,
y
(t)
| r 2 2r '2 rr'' | k (r 2 r'2 )3/ 2
极坐标式曲线 r r( )
曲率计算公式推导过程
曲率计算公式推导过程
曲率k=y''/[(1+(y')^2)^(3/2)]，其中y', y"分别为函数y对x的一阶和二阶导数(函数形式)。
曲率计算公式的推导过程如下：
曲线的曲率（curvature）就是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度。
数学上表明曲线在某一点的弯曲程度的数值。
曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大。
曲率的倒数就是曲率半径。
扩展资料：
曲率是几何体不平坦程度的一种衡量。
平坦对不同的几何体有不同的意义。
在动力学中，一般的，一个物体相对于另一个物体做变速运动时也会产生曲率。
这是关于时空扭曲造成的。
结合广义相对论的等效原理，变速运动的物体可以看成处于引力场当中，因而产生曲率。
按照广义相对论的解释，在引力场中，时空的性质是由物体的“质量”分布决定的，物体“质量”的分布状况使时空性质变得不均匀，引起了时空的弯曲。
因为一个物体有质量就会对时空造成弯曲，而你可以认为有了速度，有质量的物体变得更重了，时空弯曲的曲率就更大了。
在物理中，曲率通常通过法向加速度（向心加速度）来求，具体请参见法向加速度。
曲率和曲率半径的计算公式
曲率和曲率半径的计算公式在我们的数学世界里，曲率和曲率半径可是相当有趣又重要的概念。
你要是能把它们搞清楚，那在解决好多数学问题的时候，就能轻松应对啦！先来说说曲率。
曲率啊，简单理解就是描述曲线弯曲程度的一个量。
那怎么来计算它呢？对于函数 y = f(x)，其曲率的计算公式是 k = |y''| / (1 + y'²)^(3/2) 。
这里的 y' 表示函数的一阶导数，y'' 表示二阶导数。
咱们来举个例子感受一下。
比如说有一条抛物线 y = x²。
首先，对它求一阶导数，y' = 2x ，再求二阶导数，y'' = 2 。
然后把它们代入曲率的公式里，就能算出在某个点的曲率啦。
接下来再讲讲曲率半径。
曲率半径呢，就是曲率的倒数。
它的计算公式就是 R = 1 / k 。
给大家分享一个我在教学中的小趣事。
有一次上课，我刚讲到曲率和曲率半径的计算公式，下面的同学一个个都皱着眉头，满脸疑惑。
其中有个特别积极的同学举手说：“老师，这也太复杂了，感觉脑袋都要炸啦！”我笑着回答他：“别着急，咱们一步一步来，就像爬楼梯，只要一个台阶一个台阶地走，总能到顶的。
”然后我就带着他们从最简单的函数开始，一点点推导计算，让他们自己动手去感受这个过程。
慢慢地，同学们紧锁的眉头开始舒展开了，眼睛里也有了亮光。
等到下课的时候，那个一开始抱怨的同学跑过来跟我说：“老师，我好像有点懂啦！”看着他们逐渐掌握这些知识，我心里那叫一个欣慰。
在实际应用中，曲率和曲率半径的计算可有着大用处呢。
比如在工程设计里，要设计一条弯曲的道路或者桥梁，就得先算出曲率和曲率半径，来保证行驶的安全和舒适。
在物理学中，研究曲线运动的时候，这两个概念也能帮助我们更好地理解物体的运动状态。
总之，曲率和曲率半径的计算公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们多练习、多思考，就能把它们拿下。
相信大家在以后的学习和生活中，遇到需要用到它们的时候，都能轻松应对，游刃有余！。
《曲率及其计算公式》PPT课件
4
二、曲率及其计算公式
观察曲线的弯曲线程度与切线单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
5
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧 为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我们称 K Da
y
y
M0 s>0
M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
2
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
(
(
(
Ds Dx
2
MM Dx
2
|
MM MM
|
2
|
为弧段 MM 的平均曲率．
Ds
曲率：
我们称 K lim Da 为曲线C在点M处的曲率．
Ds0 Ds
在 lim Da da 存在的条件下K da ．
Ds0 Ds ds
ds
6
1.什么是传统机械按键设计？
传统的机械按键设计是需要手动按压按键触动 PCBA上的开关按键来实现功能的一种设计方式。
传统机械按键结构 层图：
按
PCBA
键
开关 键
传统机械按键设计要点：
1.合理的选择按键的类 型，尽量选择平头类的 按键，以防按键下陷。
2.开关按键和塑胶按键 设计间隙建议留 0.05~0.1mm，以防按键 死键。
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y0.8x,y0.8
y x0 0,y x0 0.8
所以，K=0.8
因而，求得抛物线顶点处的曲率半径 1 1.25
K
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
11
四、小节
本讲主要讲述了函数图形的描绘、注意做题步 骤、曲线的曲率与曲率半径的定义。会用公式 求解。
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
曲线C在点M处的曲率
K lim
s0 s
在limd存在的条 , K件 d下 .
s0 s ds
ds
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
5
注意: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径 越小曲率越大.
2、曲率的计算公式
y
设y f(x)二阶 可 , t导 an y,
第七节 曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
四、曲率中心的计算公式 渐屈线 与渐伸线
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
1
一、弧微分***
设函数 f (x)在区间 (a,b) 内具有连续.导数
基点 :A(x0,y0), M(x, y)为任意一, 点
y
N
T
A
M
y
x R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求近似实根的步骤：
１．确定根的大致范围——根的隔离．
确定一个区 [a,间 b]使所求的根是位于这个 区间内的唯一实间 根[a． ,b]区 称为所求实 根的隔离区间．
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
15
如图，精确 y画 f(x)出 的图形，然后从 定出它 x轴 与交点的大概位置．
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得 满足精确度要求的近似实根．
M N ( x )2( y)2 1(y)2x 1y2dx, x
MN s ds,
M T(d)x 2(d)2 y 1y2dx,
NT ydy0, 故 d s 1y2d.x
ss(x)为单调增,函故 数d s 1y2d.x
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
3
二、曲率及其计算公式
1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
抛物线在顶点处最 的大 曲 . 率
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
8
三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f (x) 在点
y
M (x, y) 处的曲率为k(k 0).
在点 M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D, 使 DM
D 1
k
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
o
M
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
yf(x)
x
D曲率中 , 心 曲率半. 径
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
9
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互 为倒数.
即 1,k 1. k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲 率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线 越弯曲).
12
五、作业 CT3-7 P177 3 4 8
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
13
重点：本章基本内容及基本计算方法。 难点：基本计算方法及应用。 关键：微分中值定理的内容及灵活应用方法。
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
14
一、问题的提出
问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确 根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计 算方法．
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线 弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
10
2、应用
例2 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x.2现在要用
砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部 分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处 曲率半径中的最小值.由本节例1可知，抛物线在其顶点 处的曲率半径最小。因此
1
2
M2
S2
M3
S1
M1
S1
M
M
N
S2 N
弧段弯曲程度 越大转角越大
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
09.05.2020
泰山医学院信息工程学院 刘照军
4
y 设曲线C是光滑的，
C
M0 是基点 . M M s,
MM切线转 角 . 为
M0
M.
S
S
.M )
定义
o
x
弧M 段 M 的平均K 曲 率 . 为
s
09.05.2020
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如f(果 1 )与 f(a )同号a ， 11 ,b 1 那 b , 末
由f(a1) f(b1)0，即 a1 知 b1，且
b1a11 2(ba);
如f(果 1 )与 f(b )同号a ， 1 a ,b 1那 1 , 末
o x 0 x xx x
规定：(1)曲线的正x向 增与 大的方向; 一致
(2)AM s,当AM的方向与曲线正向
一致时 ,s取正号 ,相反时 ,s取负号 .
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单调增函数 ss(x).
设 N (x x ,y y),
y
N
T
A
M
y
x R
MM NM NN T当 T x0 o时 , x 0 x xx x
k
3.
[2(t)2(t)2]
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3、应用 例1 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率最大
解 y2a xb, y2a,
k
2a 3.
[1(2axb)2]2
显然, 当x b 时, k最大.
2a 又(b,b24ac)为抛物线,的顶点
2a 4a
常用方法——二分法和切线法（牛顿法）
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二、二分法
设f(x)在区[a间 ,b]上连续 f(a)， f(b)0，
且方f程 (x)＝在 ０(a,b)内仅有一， 个于 实是 根
[a,b]即是这个根的 区一 间个 ．隔离
作法：
取 [a ,b ]的 中 1a 2点 b ，计 f(1).算 如f( 果 1 ) 0 ， 那 1 ； 末
C
M.
有 arctya ,dn
1yy2
dx, M
0
S
S
.M )
ds 1y2dx .k
y o 3.
x
(1 y2)2
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设xy((tt)),, 二阶可, 导
dy(t), dx (t)
d d2y 2x(t)( t) 3( t)(t)(t).
(t)(t)(t)(t)
y x0 0,y x0 0.8
所以，K=0.8
因而，求得抛物线顶点处的曲率半径 1 1.25
K
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四、小节
本讲主要讲述了函数图形的描绘、注意做题步 骤、曲线的曲率与曲率半径的定义。会用公式 求解。
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曲线C在点M处的曲率
K lim
s0 s
在limd存在的条 , K件 d下 .
s0 s ds
ds
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注意: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且半径 越小曲率越大.
2、曲率的计算公式
y
设y f(x)二阶 可 , t导 an y,
第七节 曲率
一、弧微分
二、曲率及其计算公式 三、曲率圆与曲率半径
四、曲率中心的计算公式 渐屈线 与渐伸线
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一、弧微分***
设函数 f (x)在区间 (a,b) 内具有连续.导数
基点 :A(x0,y0), M(x, y)为任意一, 点
y
N
T
A
M
y
x R
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
求近似实根的步骤：
１．确定根的大致范围——根的隔离．
确定一个区 [a,间 b]使所求的根是位于这个 区间内的唯一实间 根[a． ,b]区 称为所求实 根的隔离区间．
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如图，精确 y画 f(x)出 的图形，然后从 定出它 x轴 与交点的大概位置．
２．以根的隔离区间的端点作为根的初始近似 值，逐步改善根的近似值的精确度，直至求得 满足精确度要求的近似实根．
M N ( x )2( y)2 1(y)2x 1y2dx, x
MN s ds,
M T(d)x 2(d)2 y 1y2dx,
NT ydy0, 故 d s 1y2d.x
ss(x)为单调增,函故 数d s 1y2d.x
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二、曲率及其计算公式
1、曲率的定义 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量．
抛物线在顶点处最 的大 曲 . 率
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三、曲率圆与曲率半径
定义 设曲线 y f (x) 在点
y
M (x, y) 处的曲率为k(k 0).
在点 M 处的曲线的法线上, 在凹的一侧取一点D, 使 DM
D 1
k
1 .以 D 为圆心, 为半径
k
o
M
作圆(如图),称此圆为曲线在点M 处的曲率圆.
yf(x)
x
D曲率中 , 心 曲率半. 径
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注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互 为倒数.
即 1,k 1. k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点处的曲 率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲率越大(曲线 越弯曲).
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五、作业 CT3-7 P177 3 4 8
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重点：本章基本内容及基本计算方法。 难点：基本计算方法及应用。 关键：微分中值定理的内容及灵活应用方法。
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一、问题的提出
问题：高次代数方程或其他类型的方程求精确 根一般比较困难,希望寻求方程近似根的有效计 算方法．
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线 弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
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2、应用
例2 设工件内表面的截线为抛物线 y 0.4x.2现在要用
砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适？
解 为了在磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部 分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处 曲率半径中的最小值.由本节例1可知，抛物线在其顶点 处的曲率半径最小。因此
1
2
M2
S2
M3
S1
M1
S1
M
M
N
S2 N
弧段弯曲程度 越大转角越大
转角相同弧段越 短弯曲程度越大
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y 设曲线C是光滑的，
C
M0 是基点 . M M s,
MM切线转 角 . 为
M0
M.
S
S
.M )
定义
o
x
弧M 段 M 的平均K 曲 率 . 为
s
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如f(果 1 )与 f(a )同号a ， 11 ,b 1 那 b , 末
由f(a1) f(b1)0，即 a1 知 b1，且
b1a11 2(ba);
如f(果 1 )与 f(b )同号a ， 1 a ,b 1那 1 , 末
o x 0 x xx x
规定：(1)曲线的正x向 增与 大的方向; 一致
(2)AM s,当AM的方向与曲线正向
一致时 ,s取正号 ,相反时 ,s取负号 .
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单调增函数 ss(x).
设 N (x x ,y y),
y
N
T
A
M
y
x R
MM NM NN T当 T x0 o时 , x 0 x xx x
k
3.
[2(t)2(t)2]
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3、应用 例1 抛物y线 ax2bxc上哪一点的曲 ? 率最大
解 y2a xb, y2a,
k
2a 3.
[1(2axb)2]2
显然, 当x b 时, k最大.
2a 又(b,b24ac)为抛物线,的顶点
2a 4a
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二、二分法
设f(x)在区[a间 ,b]上连续 f(a)， f(b)0，
且方f程 (x)＝在 ０(a,b)内仅有一， 个于 实是 根
[a,b]即是这个根的 区一 间个 ．隔离
作法：
取 [a ,b ]的 中 1a 2点 b ，计 f(1).算 如f( 果 1 ) 0 ， 那 1 ； 末
C
M.
有 arctya ,dn
1yy2
dx, M
0
S
S
.M )
ds 1y2dx .k
y o 3.
x
(1 y2)2
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设xy((tt)),, 二阶可, 导
dy(t), dx (t)
d d2y 2x(t)( t) 3( t)(t)(t).
(t)(t)(t)(t)