【优选整合】人教A版高中数学高三一轮第二章第8课时 函数与方程(学案)
新人教A版版高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数函数与方程教案文
一、知识梳理１．函数的零点函数零点的概念对于函数y ＝f（x）（x∈D），把使f（x）＝0成立的实数x叫做函数y ＝f（x）（x∈D）的零点方程的根与函数零点的关系方程f（x）＝0有实数根⇔函数y＝f（x）的图象与x轴有交点⇔函数y＝f（x）有零点函数零点的存在性定理函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，若f（a）·f （b）<0，则y＝f（x）在（a，b）内存在零点２．二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax２＋bx＋c（a＞0）的图象与x轴的交点（x１，0），（x２，0）（x１，0）无交点零点个数两个一个零个有关函数零点的结论（１）若连续不断的函数f（x）在定义域上是单调函数，则f（x）至多有一个零点．（２）连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．（３）连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．二、习题改编１．（必修１P9２A组T５改编）函数f（x）＝ln x—错误!的零点所在的大致范围是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（２，３）Ｃ．错误!和（３，４）Ｄ．（４，＋∞）答案：B２．（必修１P88例１改编）f（x）＝e x＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３答案：B３．（必修１P9２A组T４改编）函数f（x）＝x错误!—错误!错误!的零点个数为．答案：１一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．（）（２）函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点（函数图象连续不断），则f（a）·f（b）<0．（）（３）二次函数y＝ax２＋bx＋c（a≠0）在b２—４ac<0时没有零点．（）（４）若函数f（x）在（a，b）上单调且f（a）·f（b）<0，则函数f（x）在[a，b]上有且只有一个零点．（）答案：（１）×（２）×（３）√（４）√二、易错纠偏错误!（１）忽略限制条件致误；（２）错用零点存在性定理致误．１．函数f（x）＝（x—１）ln（x—２）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．由x—２>0，得x>２，所以函数f（x）的定义域为（２，＋∞），所以当f（x）＝0，即（x—１）ln（x—２）＝0时，解得x＝１（舍去）或x＝３．２．已知函数f（x）＝２ax—a＋３，若∃x0∈（—１，１），使得f（x0）＝0，则实数a的取值范围是．解析：依题意可得f（—１）·f（１）<0，即（—２a—a＋３）（２a—a＋３）<0，解得a<—３或a>１．答案：（—∞，—３）∪（１，＋∞）函数零点所在区间的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝log３x＋x—２的零点所在的区间为（）Ａ．（0，１）Ｂ．（１，２）Ｃ．（２，３）Ｄ．（３，４）【解析】法一（定理法）：函数f（x）＝log３x＋x—２的定义域为（0，＋∞），并且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，图象是一条连续曲线．由题意知f（１）＝—１<0，f（２）＝log３２>0，f（３）＝２>0，根据零点存在性定理可知，函数f（x）＝log３x＋x—２有唯一零点，且零点在区间（１，２）内．法二（图象法）：函数f（x）的零点所在的区间转化为函数g（x）＝log３x，h（x）＝—x＋２图象交点的横坐标所在的范围．作出两个函数的图象如图所示，可知f（x）的零点所在的区间为（１，２）．故选Ｂ．【答案】B错误!判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象设f（x）＝３x—x２，则在下列区间中，使函数f（x）有零点的区间是（）Ａ．[0，１] Ｂ．[１，２]Ｃ．[—２，—１] Ｄ．[—１，0]解析：选Ｄ．因为f（x）＝３x—x２，所以f（—１）＝３—１—１＝—错误!<0，f（0）＝３0—0＝１>0，所以f（—１）·f（0）<0．函数零点个数的判断（师生共研）（一题多解）函数f（x）＝错误!的零点个数为（）Ａ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．0【解析】法一（方程法）：由f（x）＝0，得错误!或错误!解得x＝—２或x＝e.因此函数f（x）共有２个零点．法二（图形法）：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）共有２个零点．【答案】B错误!判断函数零点个数的３种方法（１）方程法：令f（x）＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（２）定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f（a）·f（b）<0，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性、周期性、对称性）才能确定函数有多少个零点．（３）图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．已知函数f（x）＝错误!则f（x）的零点个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．当x>１时，令f（x）＝ln（x—１）＝0，得x＝２；当x≤１时，令f（x）＝２x—１—１＝0，得x＝１．故选Ｃ．函数零点的应用（师生共研）设函数f（x）＝错误!（１）若a＝１，则f（x）的最小值为；（２）若f（x）恰有２个零点，则实数a的取值范围是．【解析】（１）若a＝１，则f（x）＝错误!作出函数f（x）的图象如图所示．由图可得f（x）的最小值为—１．（２）当a≥１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足２１—a≤0，即a≥２，所以a≥２；当a<１时，要使f（x）恰有２个零点，需满足错误!解得错误!≤a<１．综上，实数a的取值范围为错误!∪[２，＋∞）．【答案】（１）—１（２）错误!∪[２，＋∞）错误!利用函数零点求参数取值范围的方法及步骤（１）常用方法（２）一般步骤１．函数f（x）＝２x—错误!—a的一个零点在区间（１，２）内，则实数a的取值范围是（）Ａ．（１，３）Ｂ．（１，２）Ｃ．（0，３）Ｄ．（0，２）解析：选Ｃ．由题意，知函数f（x）在（１，２）上单调递增，又函数一个零点在区间（１，２）内，所以错误!即错误!解得0<a<３，故选Ｃ．２．已知函数f（x）＝错误!若函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，则实数m的取值范围是．解析：画出函数f（x）＝错误!的图象，如图所示．由于函数g（x）＝f（x）—m有３个零点，结合图象得0<m<１，即m∈（0，１）．答案：（0，１）３．若函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，则实数a的取值范围是．解析：因为函数f（x）＝４x—２x—a，x∈[—１，１]有零点，所以方程４x—２x—a＝0在[—１，１]上有解，即方程a＝４x—２x在[—１，１]上有解．方程a＝４x—２x可变形为a＝错误!错误!—错误!，因为x∈[—１，１]，所以２x∈错误!，所以错误!错误!—错误!∈错误!.所以实数a的取值范围是错误!.答案：错误!核心素养系列５直观想象——用图形快速解决的常见几类题直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养．主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路．一、利用图形研究函数的性质【解析】由已知条件得f（x＋２）＝f（x），则y＝f（x）是以２为周期的周期函数，１正确；当—１≤x≤0时，0≤—x≤１，f（x）＝f（—x）＝错误!错误!，函数y＝f（x）的部分图象如图所示：由图象知２正确，３不正确；当３<x<４时，—１<x—４<0，f（x）＝f（x—４）＝错误!错误!，因此４正确，故正确命题的序号为１２４．【答案】１２４错误!作出函数图象，由图象观察可得函数的定义域、值域、最值、单调性、奇偶性、极值点等性质，并将这些性质用于转出条件求得结论．二、利用图形解不等式使log２（—x）<x＋１成立的x的取值范围是．【解析】在同一直角坐标系内作出y＝log２（—x），y＝x＋１的图象，知满足条件的x∈（—１，0）．【答案】（—１，0）错误!f（x），g（x）之间大小不等关系表现为图象中的上下位置关系，画出两个函数的图象，根据函数图象的交点和图象的相对位置确定所求不等式的解集．三、利用图形求解不等式中的参数范围若不等式|x—２a|≥错误!x＋a—１对x∈R恒成立，则a的取值范围是．【解析】作出y＝|x—２a|和y＝错误!x＋a—１的简图，依题意知应有２a≤２—２a，故a≤错误!.【答案】错误!错误!对含有参数的函数不等式问题，一般将不等式化简，整理、重组、构造两个函数，一个含有参数，一个不含参数，研究两个函数的性质，画出两个函数的图象，观察参数的变化如何带动含参函数图象的变化，根据两函数图象的相对位置确定参数满足的不等式，解不等式得出参数a的取值范围．四、利用图形研究零点问题已知函数f（x）＝２x＋x，g（x）＝log３x＋x，h（x）＝x—错误!的零点依次为a，b，c，则（）Ａ．a<b<cＢ．c<b<aＣ．c<a<bＤ．b<a<c【解析】在同一直角坐标系下分别画出函数y＝２x，y＝log３x，y＝—错误!的图象，如图，观察它们与y＝—x的交点可知a<b<c，故选Ａ．【答案】A错误!零点的个数等价于两函数图象交点的个数，零点的范围、大小可以转化为交点的横坐标的范围、大小，参数的取值范围通过图象的变化寻找建立不等式求解．１．函数f（x）＝|x—２|—ln x在定义域内的零点的个数为（）A．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．由题意可知f（x）的定义域为（0，＋∞），在同一直角坐标系中画出函数y１＝|x—２|（x>0），y２＝ln x（x>0）的图象，如图所示．由图可知函数f（x）在定义域内的零点个数为２．２．已知函数f（x）＝错误!若f（a２）<f（２—a），则实数a的取值范围是．解析：函数f（x）的图象如图所示，由图象知函数f（x）在（—∞，＋∞）上单调递增，所以a２<２—a，解得—２<a<１，故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）[基础题组练]１．（２0２0·福州期末）已知函数f（x）＝错误!则函数y＝f（x）＋３x的零点个数是（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｃ．令f（x）＋３x＝0，则错误!或错误!解得x＝0或x＝—１，所以函数y＝f（x）＋３x 的零点个数是２．故选Ｃ．２．下列函数中，在（—１，１）内有零点且单调递增的是（）Ａ．y＝log错误!xＢ．y＝２x—１Ｃ．y＝x２—错误!Ｄ．y＝—x３解析：选Ｂ．函数y＝log错误!x在定义域上单调递减，y＝x２—错误!在（—１，１）上不是单调函数，y＝—x３在定义域上单调递减，均不符合要求．对于y＝２x—１，当x＝0∈（—１，１）时，y＝0且y＝２x—１在R上单调递增．故选Ｂ．３．（２0２0·甘肃酒泉敦煌中学一诊）方程log４x＋x＝7的解所在区间是（）Ａ．（１，２）Ｂ．（３，４）Ｃ．（５，6）Ｄ．（6，7）解析：选Ｃ．令函数f（x）＝log４x＋x—7，则函数f（x）是（0，＋∞）上的单调递增函数，且是连续函数．因为f（５）<0，f（6）>0，所以f（５）·f（6）<0，所以函数f（x）＝log４x＋x—7的零点所在区间为（５，6），所以方程log４x＋x＝7的解所在区间是（５，6）．故选Ｃ．４．（２0２0·内蒙古月考）已知函数f（x）＝x２—２|x|—m的零点有两个，则实数m的取值范围为（）Ａ．（—１，0）Ｂ．{—１}∪（0，＋∞）Ｃ．[—１，0）∪（0，＋∞）Ｄ．（0，１）解析：选Ｂ．在同一直角坐标系内作出函数y＝x２—２|x|的图象和直线y＝m，可知当m>0或m＝—１时，直线y＝m与函数y＝x２—２|x|的图象有两个交点，即函数f（x）＝x２—２|x|—m有两个零点．故选Ｂ．５．已知函数f（x）＝x e x—ax—１，则关于f（x）的零点叙述正确的是（）Ａ．当a＝0时，函数f（x）有两个零点B．函数f（x）必有一个零点是正数Ｃ．当a<0时，函数f（x）有两个零点Ｄ．当a>0时，函数f（x）只有一个零点解析：选Ｂ．f（x）＝0⇔e x＝a＋错误!（x≠0），在同一直角坐标系中作出y＝e x与y＝错误!的图象，观察可知A，C，D选项错误，选项B正确．6．已知函数f（x）＝错误!＋a的零点为１，则实数a的值为．解析：由已知得f（１）＝0，即错误!＋a＝0，解得a＝—错误!.答案：—错误!7．（２0２0·新疆第一次适应性检测）设a∈Z，函数f（x）＝e x＋x—a，若x∈（—１，１）时，函数有零点，则a的取值个数为．解析：根据函数解析式得到函数f（x）是单调递增的．由零点存在性定理知若x∈（—１，１）时，函数有零点，需要满足错误!⇒错误!—１<a<e＋１，因为a是整数，故可得到a的可能取值为0，１，２，３．答案：４8．已知f（x）＝x２＋（a２—１）x＋（a—２）的一个零点比１大，一个零点比１小，则实数a的取值范围是．解析：法一：设方程x２＋（a２—１）x＋（a—２）＝0的两根分别为x１，x２（x１<x２），则（x１—１）（x２—１）<0，所以x１x２—（x１＋x２）＋１<0，由根与系数的关系，得（a—２）＋（a２—１）＋１<0，即a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围为（—２，１）．法二：函数f（x）的图象大致如图，则有f（１）<0，即１＋（a２—１）＋a—２<0，得a２＋a—２<0，所以—２<a<１．故实数a的取值范围是（—２，１）．答案：（—２，１）9．设函数f（x）＝ax２＋bx＋b—１（a≠0）．（１）当a＝１，b＝—２时，求函数f（x）的零点；（２）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．解：（１）当a＝１，b＝—２时，f（x）＝x２—２x—３，令f（x）＝0，得x＝３或x＝—１．所以函数f（x）的零点为３或—１．（２）依题意，f（x）＝ax２＋bx＋b—１＝0有两个不同的实根，所以b２—４a（b—１）>0恒成立，即对于任意b∈R，b２—４ab＋４a>0恒成立，所以有（—４a）２—４×（４a）<0⇒a２—a<0，解得0<a<１，因此实数a的取值范围是（0，１）．１0．已知函数f（x）＝ax２＋bx＋c（a≠0），满足f（0）＝２，f（x＋１）—f（x）＝２x—１．（１）求函数f（x）的解析式；（２）若函数g（x）＝f（x）—mx的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，求m的取值范围．解：（１）由f（0）＝２得c＝２，又f（x＋１）—f（x）＝２x—１，得２ax＋a＋b＝２x—１，故错误!解得a＝１，b＝—２，所以f（x）＝x２—２x＋２．（２）g（x）＝x２—（２＋m）x＋２，若g（x）的两个零点分别在区间（—１，２）和（２，４）内，则满足错误!⇒错误!解得１<m<错误!.所以m的取值范围为错误!.[综合题组练]１．（一题多解）函数f（x）＝２x—错误!零点的个数为（）Ａ．0 Ｂ．１Ｃ．２Ｄ．３解析：选Ｂ．法一：当x<0时，f（x）＝２x—错误!>0恒成立，无零点；又易知f（x）＝２x—错误!在（0，＋∞）上单调递增，最多有一个零点．又f错误!＝错误!—２<0，f（１）＝２—１>0，所以有一个零点．故选Ｂ．法二：在同一平面直角坐标系中，作出函数y＝２x和y＝错误!的图象，如图所示．函数f（x）＝２x—错误!的零点等价于２x＝错误!的根等价于函数y＝２x和y＝错误!的交点．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选Ｂ．２．已知命题p：“m＝２”是“幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数”的充要条件；命题q：已知函数f（x）＝ln x＋３x—8的零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＋b＝５．则下列命题为真命题的是（）Ａ．p∧qＢ．（﹁p）∧qＣ．﹁qＤ．p∧（﹁q）解析：选Ａ．对于命题p，若幂函数f（x）＝（m２—m—１）x m在区间（0，＋∞）上为增函数，则错误!解得m＝２，所以命题p是真命题，﹁p是假命题．对于命题q，函数f（x）＝ln x＋３x—8在（0，＋∞）上单调递增，且f（２）＝ln ２—２<0，f（３）＝ln ３＋１>0，所以零点x0∈[a，b]，且b—a＝１（a，b∈N*），则a＝２，b＝３，a＋b＝５，所以命题q为真命题，﹁q为假命题．所以p∧q 是真命题，（﹁p）∧q，﹁q，p∧（﹁q）都是假命题．故选Ａ．３．设函数f（x）＝错误!（x>0）．（１）作出函数f（x）的图象；（２）当0<a<b，且f（a）＝f（b）时，求错误!＋错误!的值；（３）若方程f（x）＝m有两个不相等的正根，求m的取值范围．解：（１）如图所示．（２）因为f（x）＝错误!＝错误!故f（x）在（0，１]上是减函数，而在（１，＋∞）上是增函数，由0<a<b且f（a）＝f（b），得0<a<１<b，且错误!—１＝１—错误!，所以错误!＋错误!＝２．（３）由（１）中函数f（x）的图象可知，当0<m<１时，方程f（x）＝m有两个不相等的正根．所以m的取值范围是（0，１）．４．（创新型）已知函数f（x）＝—x２—２x，g（x）＝错误!（１）求g（f（１））的值；（２）若方程g（f（x））—a＝0有４个实数根，求实数a的取值范围．解：（１）利用解析式直接求解得g（f（１））＝g（—３）＝—３＋１＝—２．（２）令f（x）＝t，则原方程化为g（t）＝a，易知方程f（x）＝t在t∈（—∞，１）上有２个不同的解，则原方程有４个解等价于函数y＝g（t）（t<１）与y＝a的图象有２个不同的交点，作出函数y＝g （t）（t<１）的图象，如图，由图象可知，当１≤a<错误!时，函数y＝g（t）（t<１）与y＝a有２个不同的交点，即所求a的取值范围是错误!.。
高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第八节函数与方程学案理(含解析)新人教A版
第八节函数与方程2019考纲考题考情1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点。
(2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点。
(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根。
2．二分法对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系1．若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点。
函数的零点不是一个“点”，而是方程f (x )＝0的实根。
2．函数零点存在定理是零点存在的一个充分不必要条件。
3．周期函数如果有零点，则必有无穷多个零点。
一、走进教材1．(必修1P 92A 组T 2改编)已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)解析 由所给的函数值的表格可以看出，x ＝2与x ＝3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f (2)·f (3)<0，所以函数在(2,3)内有零点。
故选B 。
答案 B2．(必修1P 88例1改编)函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析 由f ′(x )＝e x＋3>0，所以f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点。
【高考领航】高三数学一轮复习 第2章 第8课时 函数与方程课件 文 新人教版
考点突破 题型透析
考点一 判定函数零点所在区间
要验证连续函数y＝fx的零点在区间a，b内，只须判定fafb<0即可.
考点突破 题型透析
考点一 判定函数零点所在区间
{注意点2} 用图象判定零点的区间，力求图象尽量准确 函数 y＝f(x)－g(x)的零点可转化为 y＝f(x)与 y＝g(x)图象交点的横坐标， 确定横坐标的取值范围为零点区间．
高三总复习.数学（文）
第二章
基本初等函数、导数及其应用 第8课时 函数与方程
考 点
考点一 判定函数零点所在区间 考点二 求函数零点或零点个数
考点三 由函数零点求参数值或范围 ■思想方法•系列 ■应考迷津•展示
考纲·展示
1.求常见函数的零点． 2.判断基本初等函数的零点区间． 3.用二分法求基本初等函数的零点． 4.根据函数的零点与方程的根的关系求字母参数的取值．
图，观察它们与 y＝－x 的交点可知 a<b<c.
考点突破 题型透析
考点一 判定函数零点所在区间
此种方法要结合图象上的某些特殊点，观察交点的位置.
考点突破 题型透析
考点一 判定函数零点所在区间
1 3． (2015· 西安五校联考)函数 y＝ln(x＋1)与 y＝x的图象交点的横坐标所在 区间为( A．(0,1) C．(2,3) ) B．(1,2) D．(3,4)
考点突破 题型透析
考点一 判定函数零点所在区间
1 1 选 B.在同一个坐标系中， 分别作出 y＝ln(x＋1)与 y＝x的图象如图， y＝x过 1 1 点 P(1,1)，当 x＝1 时，ln 2<1，y＝x过点(2，2)，当 x＝2 时，ln 3>1. 1 设 y＝ln(x＋1)与 y＝x的交点为 Q(xQ，yQ) 则 1<xQ<2.
最新人教版A版高三数学(理)高考一轮复习2.8 函数与方程教学设计及答案
第八节函与方程函的零点与方程的根(1)结合二次函的图象，了解函的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个．(2)根据具体函的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识点一函的零点1．函的零点(1)定义对于函y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实x叫作函y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)函的零点与相应方程的根、函的图象与x轴交点间的关系．方程f(x)＝0有实根⇔函y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函y＝f(x)有零点．(3)函零点的判定(零点存在性定)如果函y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系1．函y ＝f (x )的零点即方程f (x )＝0的实根，易误为函点．2．由函y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点不一定能推出f (a )·f (b )＜0，如图所示．所以f (a )·f (b )＜0是y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上有零点的充分不必要条件． 必记结论 有关函零点的结论(1)若连续不断的函f (x )在定义域上是单调函，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函，其相邻两个零点之间的所有函值保持同号． (3)连续不断的函图象通过零点时，函值可能变号，也可能不变号．[自测练习]1．函y ＝|log 2x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：令y ＝|log 2x |－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0，即|log 2x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在同一坐标系下作出y ＝|log 2x |和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函有2个零点．答案：C2．(2016·东城期末)函f (x )＝e x ＋12x －2的零点所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1,2)D ．(2,3)解析：∵f ′(x )＝e x＋12＞0，∴f (x )在R 上单调递增，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝e －74＜3－74＜0，f (1)＝e －32＞0，∴零点在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上． 答案：B知识点二 二分法 二分法的定义对于在区间[a ，b ]上连续不断且f (a )·f (b )＜0的函y ＝f (x )，通过不断地把函f (x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法．必备方法 用二分法求函零点的方法用二分法求零点近似值的口诀为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上判断．[自测练习]3．根据下面表格中的据，可以判定方程e x －x －2＝0的一个根所在的区间为( )A.(1,2) C ．(－1,0)D ．(2,3)解析：本题考查二分法的应用．令f (x )＝e x －x －2，则由表中据可得f (1)＝2.72－3＜0，f (2)＝7.39－4＞0，所以函f (x )的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．答案：A 、考点一 判定函零点所在区间|1．已知函f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析：因为f (1)＝6－log 21＝6>0，f (2)＝3－log 22＝2>0，f (4)＝32－log 24＝－12<0，所以函f (x )的零点所在区间为(2,4)．答案 C2．(2015·上海二模)若函f (x )＝ax ＋1在区间(－1,1)上存在一个零点，则实a 的取值范围是( )A ．(1，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)解析：由题意知f (－1)f (1)＜0，即(1－a )(1＋a )＜0，解得a ＜－1或a ＞1.答案：C3．(2015·温州十校联考)设f (x )＝ln x ＋x －2，则函f (x )的零点所在的区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1＜0，f (2)＝ln 2＞0， ∴f (1)·f (2)＜0，∵函f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的， ∴函f (x )的零点所在的区间是(1,2)．法二：函f (x )的零点所在的区间转为函g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．答案：B确定函f (x )的零点所在区间的两种常用方法(1)利用函零点的存在性定：首先看函y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )＜0.若有，则函y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)形结合法：通过画函图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点判断．考点二 判断函零点个|(1)(2015·高考天津卷)已知函f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x ＞2，函g (x )＝3－f (2－x )，则函y ＝f (x )－g (x )的零点个为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 分别画出函f (x )，g (x )的草图，观察发现有2个交点，故选A.[答案] A(2)已知符号函sgn(x )＝⎩⎨⎧1， x ＞0，0， x ＝0，－1， x ＜0，则函f (x )＝sgn(ln x )－ln 2x的零点个为( )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] 本题考查新定义创新能力、函零点的个．①当ln x ＞0，即x ＞1时，f (x )＝1－ln 2 x ，令1－ln 2 x ＝0，得x ＝e ，即此时有一个零点；②当ln x＝0，即x＝1时，f(x)＝－ln2x，令－ln2x＝0，得x＝1，此时也有一个零点；③当ln x＜0，即0＜x＜1时，f(x)＝－1－ln2x，令－1－ln2x＝0，无解，即当0＜x＜1时，函f(x)＝sgn(ln x)－ln2x没有零点．综上，函f(x)＝sgn(ln x)－ln2x的零点个为2.故选B.[答案] B函零点个的三种判断方法(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定：利用定不仅要求函在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函有多少个零点．(3)利用图象交点的个：画出两个函的图象，看其交点的个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．1．(2015·辽宁三校联考)已知函f(x)＝2x＋x，g(x)＝log3x＋x，h(x)＝x－1x的零点依次为a，b，c，则( )A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．b＜a＜c解析：在同一坐标系下分别画出函y＝2x，y＝log3x，y＝－1x的图象，如图，观察它们与直线y＝－x的交点情况可知a＜b＜c.答案：A考点三 函零点的应用|(2015·高考北京卷)设函f (x )＝⎩⎨⎧2x－a ，x ＜1，x －ax －2a ，x ≥1.(1)若a ＝1，则f (x )的最小值为________；(2)若f (x )恰有2个零点，则实a 的取值范围是________． [解析] (1)若a ＝1，则f (x )＝⎩⎨⎧2x－1，x ＜1，x －x －，x ≥1.作出函f (x )的图象如图所示．由图可得f (x )的最小值为－1.(2)当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2；当a ＜1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎨⎧a ＜1≤2a21－a ＞0，解得12≤a ＜1.综上，实a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪[2，＋∞)．[答案] (1)－1 (2)[12，1)∪[2，＋∞)已知函有零点(方程有根)求参取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参的不等式，再通过解不等式确定参范围．(2)分离参法：先将参分离，转成求函值域问题加以解决．(3)形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函的图象，然后形结合求解．2．已知f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( )A ．(－1,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－72∪(－1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－72，－1 解析：本题考查函零点及函与方程的关系．当x ∈(0,1]时，f (x )＝1－x 2＋x 2＋kx ＝kx ＋1，此时方程f (x )＝0有一个零点－1k ；当x ∈(1,2)时，f (x )＝g (x )＝x 2－1＋x 2＋kx ＝2x 2＋kx －1.∵g (x )＝2x 2＋kx －1＝0必有一正根、一负根，∴正根一定位于区间(1,2)上，即⎩⎪⎨⎪⎧g ＜0，g ＞0，0＜－1k ≤1，解得－72＜k ＜－1，故选D.答案：D7.转法求解二次方程根的分布问题【典例】 (2015·烟台莱州一中月考)若方程x 2－2mx ＋4＝0的两根满足一根大于2，一根小于1，则m 的取值范围是________．[思路点拨] 由条件知，构造f (x )＝x 2－2mx ＋4问题转为二次函f (x )的零点问题，形结合写出条件可求解．[解析] 令函f (x )＝x 2－2mx ＋4，由题意可知⎩⎨⎧f＜0，f＜0，即⎩⎨⎧1－2m ＋4＜0，4－4m ＋4＜0，所以⎩⎨⎧m ＞52，m ＞2，即m ＞52.[答案] (52，＋∞)[方法点评] 二次方程实根的分布问题主要是构造二次函之后，形结合，从判别式Δ，对称轴与区间关系及区间端点值符号三个方面得出条件，解决时要注意逐一方面进行验证．[跟踪练习] 方程x 2－2ax ＋4＝0的一根在(0,1)内，另一个根在(6,8)内，则实a 的取值范围是________．解析：设f (x )＝x 2－2ax ＋4，则⎩⎨⎧f ＞0，f＜0，f＜0，f＞0.解得103＜a ＜174.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫103，174A 组 考点能力演练1．f (x )是R 上的偶函，f (x ＋2)＝f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，则函y ＝f (x )－|log 5 x |的零点个为( )A ．4B ．5C ．8D ．10解析：由零点的定义可得f (x )＝|log 5x |，两个函图象如图，总共有5个交点，所以共有5个零点．答案：B2．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析：本题考查零点的存在性定．依题意得f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定知f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.答案：A3．设函f (x )＝e x ＋2x －4，g (x )＝ln x ＋2x 2－5，若实a ，b 分别是f (x )，g (x )的零点，则( )A ．g (a )＜0＜f (b )B ．f (b )＜0＜g (a )C ．0＜g (a )＜f (b )D ．f (b )＜g (a )＜0解析：依题意，f (0)＝－3＜0，f (1)＝e －2＞0，且函f (x )是增函，因此函f (x )的零点在区间(0,1)内，即0＜a ＜1.g (1)＝－3＜0，g (2)＝ln 2＋3＞0，函g (x )的零点在区间(1,2)内，即1＜b ＜2，于是有f (b )＞f (1)＞0.又函g (x )在(0,1)内是增函，因此有g (a )＜g (1)＜0，g (a )＜0＜f (b )．选A.答案：A4．若函f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，则实a 的取值范围是( )A ．(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C ．(1，＋∞)D ．(0,1)解析：函f (x )＝a x －x －a (a ＞0且a ≠1)有两个零点，就是函y ＝a x (a ＞0且a ≠1)与函y ＝x ＋a (a >0且a ≠1)的图象有两个交点，由图1知，当0＜a ＜1时，两函的图象只有一个交点，不符合题意；由图2知，当a ＞1时，因为函y ＝a x (a ＞1)的图象与y 轴交于点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以两函的图象一定有两个交点，所以实a 的取值范围是a ＞1.答案：C5．(2015·武汉调研)设a 1，a 2，a 3均为正，λ1＜λ2＜λ3，则函f (x )＝a 1x －λ1＋a 2x －λ2＋a 3x －λ3的两个零点分别位于区间( ) A ．(－∞，λ1)和(λ1，λ2)内 B ．(λ1，λ2)和(λ2，λ3)内 C ．(λ2，λ3)和(λ3，＋∞)内 D ．(－∞，λ1)和(λ3，＋∞)内解析：本题考查函与方程．利用零点存在定求解．当x ∈(λ1，λ2)时，函图象连续，且x →λ1，f (x )→＋∞，x →λ2，f (x )→－∞，所以函f (x )在(λ1，λ2)上一定存在零点；同当x ∈(λ2，λ3)时，函图象连续，且x →λ2，f (x )→＋∞，x →λ3，f (x )→－∞，所以函f (x )在(λ2，λ3)上一定存在零点，故选B.答案：B6．若f (x )＝⎩⎨⎧x 2－x －1，x ≥2或x ≤－1，1， －1<x <2，则函g (x )＝f (x )－x 的零点为________．解析：求函g (x )＝f (x )－x 的零点，即求f (x )＝x 的根， ∴⎩⎨⎧x ≥2或x ≤－1，x 2－x －1＝x或⎩⎨⎧－1<x <2，1＝x .解得x ＝1＋2或x ＝1. ∴g (x )的零点为1＋2，1. 答案：1＋2，17．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间为________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，则f (2)＝－1＜0，f (2.5)＝2.53－10＞0.从而下一个有根的区间为(2,2.5)． 答案：(2,2.5)8．已知函f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝________.解析：∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1＞0，且函f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为增函， ∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3. ∴a ＋b ＝5. 答案：59．关于x 的方程mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14＝0有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实m 的取值范围．解：令f (x )＝mx 2＋2(m ＋3)x ＋2m ＋14， 依题意得⎩⎨⎧m >0，f ，或⎩⎨⎧m <0，f，即⎩⎨⎧m >0，26m ＋38<0，或⎩⎨⎧m <0，26m ＋38>0.解得－1913<m <0， 即实m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1913，0.10．设函f (x )＝x 2＋2bx ＋c (c ＜b ＜1)的一个零点是1，且函g (x )＝f (x )＋1也有零点．(1)证明：－3＜c ≤－1，且b ≥0；(2)若m 是函g (x )的一个零点，试判断f (m －4)的正负并加以证明． 解：(1)证明：由f (1)＝0，得b ＝－c ＋12.又c ＜b ＜1，故c ＜－c ＋12＜1，∴－3＜c ＜－13.方程f (x )＋1＝0有实根， 即方程x 2＋2bx ＋c ＋1＝0有实根， 故Δ＝4b 2－4(c ＋1)≥0，即c 2－2c －3≥0. ∴c ≥3，或c ≤－1，又－3＜c ＜－13，所以－3＜c ≤－1.又b ＝－c ＋12，∴b ≥0.(2)∵f (x )＝x 2＋2bx ＋c ＝(x －c )(x －1)，且m 是函g (x )＝f (x )＋1的一个零点，∴f (m )＝－1＜0，故c ＜m ＜1. ∴c －4＜m －4＜－3＜c .∴f (m －4)＝(m －4－c )(m －4－1)＞0， 所以f (m －4)的符号为正．B 组 高考题型专练1．(2015·高考安徽卷)下列函中，既是偶函又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln xD ．y ＝x 2＋1解析：y ＝cos x 是偶函，且存在零点；y ＝sin x 是奇函；y ＝ln x 既不是奇函又不是偶函；y ＝x 2＋1是偶函，但不存在零点．故选A.答案：A2．(2015·高考天津卷)已知函f (x )＝⎩⎨⎧2－|x |，x ≤2，x －2，x ＞2，函g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，＋∞ B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，74C.⎝⎛⎭⎪⎫0，74D.⎝ ⎛⎭⎪⎫74，2 解析：函y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实根，即直线y ＝b 与函y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ＋2，x ＜0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x ＞2，作出该函的图象如图所示，由图可得，当74＜b ＜2时，直线y ＝b 与函y ＝f (x )＋f (2－x )有4个交点，故选D.答案：D3．(2015·高考湖北卷)函f (x )＝4cos 2 x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个为________．解析：因为f (x )＝4cos 2 x 2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x＋1)|＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin 2x －|ln(x ＋1)|，所以函f (x )的零点个为函y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|图象的交点的个．函y ＝sin 2x 与y ＝|ln(x ＋1)|的图象如图所示，由图知，两函图象有2个交点，所以函f (x )有2个零点．答案：24．(2015·高考湖南卷)已知函f (x )＝⎩⎨⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a .若存在实b ，使函g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．解析：令 φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x ＞a )，函g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a ＜0或φ(a )＞h (a )，即a ＜0或a 3＞a 2，解得a ＜0或a ＞1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，0)∪(1，＋∞)5．(2014·高考江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实a 的取值范围是________．解析：当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2－12，由f (x )是周期为3的函，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根．由图可知a ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，12. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，12。
《一轮复习教学案第二章函数导数及其应用第八节函数与方程》优秀教案
第八节 函数与方程
☆☆☆2021考纲考题考情☆☆☆
自|主|排|查
1．函数的零点 1函数零点的定义
对于函数＝f ∈D ，把使f ＝0的实数叫做函数＝
f ∈D 的零点。
2几个等价关系
方程f ＝0有实数根⇔函数＝f 的图象与轴有交点⇔函数＝f 有零点。
3函数零点的判定零点存在性定理
如果函数＝f 在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fa ·fb 0的图象与零点的关系
0的图象
与轴的交点1,0，2,01,0无交点零点个数210
微点提醒
1．有关函数零点的结论
1若连续不断的函数f在定义域上是单调函数，则f至多有一个零点。
2连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。
3连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号。
2．三个等价关系
方程f＝0有实数根⇔函数＝f的图象与轴有交点⇔函数＝f有零点。
小|题|快|练
一、走进教材
1．必修192A
0f－
________。
解析设函数f＝2＋m－6，则根据条件有f22m
3m3m4m23m
错误!⇔错误!错误!即错误!
∴－5即错误!错误!2a错误!
将①代入上述不等式中，解得2021a>2或a1即可，解得2<a<错误!。
【答案】错误!。
高三数学一轮复习精品教案8：2.8 函数与方程教学设计
2.8 函数与方程结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.从近两年的高考试题来看，函数的零点，方程根的问题是热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题.预计今后高考仍有可能以函数的零点，方程根的存在性问题为主要考点，并结合考查相应函数的图象和性质.1.函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点.(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) .2.函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间『a，b』上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c也就是方程f(x)＝0的根.3.二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4考点梳理4)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1，0)C．(0，1) D．(1，2)(2012·湖北)函数f(x)＝x cos x2在区间『0，4』上的零点个数为() A．4 B．5 C．6 D．7x的零点，若0＜x0＜a，则()已知a是函数f(x)＝ln x－log12A．f(x0)＝0 B．f(x0)＞0C．f(x0)＜0 D．f(x0)的符号不确定已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1. 若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为 .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k ＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.类型一 判断函数零点所在的区间判断下列函数在给定的区间内是否存在零点.(1)f (x )＝3x －5x ＋1，x ∈『－1，1』；(2)f (x )＝sin x －x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6. (2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞) 类型二 零点个数的判断(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2013·天津)函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．41.判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间『a ，b 』上连续；(2)计算f (a )，f (b )的值并判断f (a )·f (b )的符号；(3)若f (a )·f (b )＜0，则有实数解.除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断.2.确定函数f (x )零点个数(方程f (x )＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f (x )在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程f (x )＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断.(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题.(3)若函数f(x)在『a，b』上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点.答案『考点梳理』1.(1)f (x )＝0 (2)有交点 有零点2.f (a )·f (b )＜0 (a ，b ) (a ，b ) f (c )＝0『解析』∵f (－1)＝12－3<0，f (0)＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0，因此，函数f (x )在区间(－1，0)内有零点．故选B.『解析』若f (x )＝0，则x ＝0或cos x 2＝0，x 2＝k π＋π2，k ∈Z ，又x ∈『0，4』，k ＝0，1，2，3，4，所以f (x )共有6个零点．故选C.『解析』因为f (x )＝ln x －log 12x 在(0，＋∞)上是增函数，所以当0＜x 0＜a 时，有f (x 0)＜f (a )＝0，故选C.『解析』⎩⎪⎨⎪⎧a >0，2（1－a ）＋a ＝－（1＋a ）－2a ， 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，－（1－a ）－2a ＝2（1＋a ）＋a . 可得a ＝－34.故填－34. 『解析』令函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.『解析』(1)∵f (－1)＝3－1＋5＋1＞0，f (1)＝3－5＋1＜0.∴f (－1)·f (1)＜0，∴f (x )在『－1，1』内有零点．(2)∵f ⎝⎛⎭⎫－π6＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6＋π6＝π6－12＞0， f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π6－π6＝12－π6＜0， f ⎝⎛⎭⎫－π6·f ⎝⎛⎭⎫π6<0，∴f (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π6内有零点． 『评析』要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．『解析』∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B. 解法一：∵f (0)f (1)＝(－1)×1＝－1＜0，且函数在定义域上单调递增且连续，∴函数f (x )在区间(0，1)内有且只有1个零点，可知B 正确．解法二：设y 1＝2x ，y 2＝2－x 3，在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，在区间(0，1)内，两图象的交点个数即为f (x )的零点个数．故选B.『评析』(1)连续函数在区间『a ，b 』上有f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数的零点，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点来求．『解析』函数f (x )的零点可转化为方程f (x )＝2x |log 0.5x |－1＝0的根，由此得到|log 0.5x |＝⎝⎛⎭⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝⎛⎭⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B.。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第8课时 函数与方程精品课件
3．函数 f(x)＝lg x－1x的零点所在的区间是( )
A．(0,1]
B．(1,10]
C．(10,100]
D．(100，＋∞)
解析：
由于f(1)f(10)＝(－1)×
9 10
＜0，根据二分法得函数在区间(1,10]
内存在零点．
答案： B
4．已知函数f(x)＝x2＋x＋a(a＜0)在区间(0,1)上有零点，则a的范围 为________．
∴f(0)·f(1)＜0.
故(0,1)为函数f(x)的零点所在的一个区间．
答案： C
3．(2010·浙江卷)已知x0是函数f(x)＝2x＋
1 1－x
的一个零点，若
x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0
B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0
∴3a－b＝0,3a＝b.
令g(x)＝0得bx2＋3ax＝0，
即bx2＋bx＝0，bx(x＋1)＝0，
∴x＝0或x＝－1.
∴g(x)的零点为0或－1.
答案： C
2．下列函数图象与x轴均有交点，其中不宜用二分法求交点横坐标 的是( )
解析： ∵B中x0左右两边的函数值均大于零，不适合二分法求零 点的条件．
解析： 由题意f(1)·f(0)＜0.∴a(2＋a)＜0. ∴－2＜a＜0. 答案： (－2,0)
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间(2,4)上的近似解，验证f(2)·f(4)＜
0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x1＝
2＋4 2
＝3，计算得f(2)·f(x1)
＜0，则此时零点x0∈________(填区间)．
高三数学一轮复习第二章函数2-8函数与方程学案文含解析新人教A版
2.8函数与方程必备知识预案自诊知识梳理1.函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=f(x)(x∈D),把使成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.(2)与函数零点有关的等价关系方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与有交点⇔函数y=f(x)有.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ=0Δ<0图象3.二分法函数y=f(x)的图象在区间〖a,b〗上连续不断,且,通过不断地把它的零点所在区间,使所得区间的两个端点逐步逼近,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.1.若y=f(x)在闭区间〖a,b〗上的图象连续不断,且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.2.f(a)f(b)<0是y=f(x)在闭区间〖a,b〗上有零点的充分不必要条件.3.若函数f (x )在〖a ,b 〗上是单调函数,且f (x )的图象连续不断,则f (a )f (b )<0⇒函数f (x )在区间〖a ,b 〗上有且只有一个零点.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)函数f (x )=x 2-1的零点是(-1,0)和(1,0).( )(2)二次函数y=ax 2+bx+c (a ≠0)在b 2-4ac<0时没有零点. ( ) (3)只要函数有零点,我们就可以用二分法求出零点的近似值. ( ) (4)已知函数f (x )在(a ,b )内图象连续且单调,若f (a )f (b )<0,则函数f (x )在〖a ,b 〗上有且只有一个零点. ( )(5)函数y=2sin x-1的零点有无数多个. ( ) 2.(2020云南玉溪一中二模)函数f (x )=2x +3x 的零点所在的一个区间是( ) A.(-2,-1)B.(-1,0)C.(0,1)D.(1,2)3.(2020山东济南二模,2)函数f (x )=x 3+x-4的零点所在的区间为( ) A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)4.若函数f (x )=2x -a 2-a 在(-∞,1〗上存在零点,则正实数a 的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,1〗 C.(0,2) D.(0,2〗5.(2020天津和平区一模)已知〖x 〗表示不超过实数x 的最大整数,g (x )=〖x 〗为取整函数,x 0是函数f (x )=ln x+x-4的零点,则g (x 0)= .关键能力学案突破考点判断函数零点所在的区间〖例1〗(1)(2020陕西西安中学八模,理4)根据表格中的数据,可以判定方程e x -x-2=0的一个根所在的区间为(k ,k+1)(k ∈N ),则k 的值为( )A.-1B.0C.1D.2(2)设定义域为(0,+∞)内的单调函数f (x ),对任意的x ∈(0,+∞),都有f 〖f (x )-ln x 〗=e +1,若x 0是方程f (x )-f'(x )=e 的一个解,则x 0可能存在的区间是( )A.(0,1)B.(e-1,1)C.(0,e-1)D.(1,e)解题心得判断函数y=f(x)在某个区间上是否存在零点,常用以下方法:(1)解方程:当对应方程易解时,可通过解方程,观察方程是否有根落在给定区间上.(2)利用函数零点存在定理进行判断:首先看函数y=f(x)在区间〖a,b〗上的图象是否连续,然后看是否有f(a)f(b)<0.若有,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点,若没有,则不一定有零点.(3)通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.对点训练1(1)(2020辽宁沈阳二中五模,文6)函数f(x)=ln(x+1)-2x的一个零点所在的区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)(2)如图是二次函数f(x)=x2-bx+a的部分图象,则g(x)=e x+f'(x)的零点所在的大致区间是()A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,3)考点判断函数零点的个数〖例2〗(1)函数f(x)=2x|log0.5x|-1的零点个数为()A.1B.2C.3D.4(2)(2020广东肇庆二模,理11)已知函数f(x)为定义域为R的偶函数,且满足f(1+x)=f(1-x),当x∈〖-1,0〗时,f(x)=-x,则函数F(x)=f(x)+x+41-2x在区间〖-9,10〗上零点的个数为()A.10B.12C.18D.20解题心得判断函数零点个数的方法(1)解方程法:若对应方程f(x)=0可解时,通过解方程,有几个解就有几个零点.(2)零点存在定理法:利用定理不仅要判断函数的图象在区间〖a,b〗上是连续不断的曲线,且f(a)f(b)<0,还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点.(3)数形结合法:转化为两个函数的图象的交点个数问题.先画出两个函数的图象,再看其交点的个数,其中交点的个数就是函数零点的个数.对点训练2(1)(2020山东青岛二模,8)已知图象连续不断的函数f (x )的定义域为R ,且f (x )是周期为2的奇函数,y=|f (x )|在区间〖-1,1〗上恰有5个零点,则f (x )在区间〖0,2 020〗上的零点个数为( )A.5 050B.4 041C.4 040D.2 020(2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且对于任意的x ∈〖0,+∞),满足f (x+2)=f (x ),若当x ∈〖0,2)时,f (x )=|x 2-x-1|,则函数y=f (x )-1在区间〖-2,4〗上的零点个数为 .考点函数零点的应用(多考向探究)考向1 已知函数零点所在区间求参数〖例3〗(1)(2020山东烟台模拟,6)函数f (x )=2x -2x -a 的一个零点在区间(1,2)内,则实数a 的取值范围是( )A.(1,3)B.(1,2)C.(0,3)D.(0,2)(2)(2020湖南湘潭三模,理16)已知函数f (x )={2x (x 2+m ),0≤x ≤1,2x+1-x 2-m ,-1≤x <0,若在区间〖-1,1〗上方程f (x )=1只有一个解,则实数m 的取值范围为 .解题心得对于已知函数零点所在区间求参数的问题:若已知函数在所给区间上连续且单调,则由零点存在定理列出含参数的不等式,求出参数的范围;若已知函数在所给区间上不单调,则要作出函数的图象利用数形结合法求参数的范围.对点训练3(1)已知函数f (x )=2ax-a+3,若∃x 0∈(-1,1),f (x 0)=0,则实数a 的取值范围是( ) A.(-∞,-3)∪(1,+∞) B.(-∞,-3) C.(-3,1) D.(1,+∞)(2)若函数f (x )=4x -2x -a ,x ∈〖-1,1〗有零点,则实数a 的取值范围是 .考向2 已知函数零点个数求参数问题〖例4〗(1)(2020东北三省四市模拟,理11)已知函数f (x )={2x+1+2,x ≤0,|log 2x |,x >0,若关于x 的方程〖f (x )〗2-2af (x )+3a=0有6个不相等的实数根,则实数a 的取值范围为( )A.3,165B.3,165C.(3,4)D.(3,4〗(2)(2020四川成都七中三模,文16)若指数函数y=a x (a>0,且a ≠1)与一次函数y=x 的图象恰好有两个不同的交点,则实数a 的取值范围是 .解题心得已知函数有零点(方程有根),求参数的取值范围常用的方法:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围. (2)分离参数法:先将参数分离,再转化成求函数值域问题加以解决.(3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,再数形结合求解.对点训练4(1)(2020天津河北区一模,9)已知函数f (x )={x 3-2x ,x ≤0,-lnx ,x >0,若函数g (x )=f (x )-x-a有3个零点,则实数a 的取值范围是( )A.〖0,2)B.〖0,1)C.(-∞,2〗D.(-∞,1〗(2)(2020山东济宁5月模拟,16)设f (x )是定义在R 上的偶函数,∀x ∈R 都有f (2-x )=f (2+x ),且当x ∈〖0,2〗时,f (x )=2x -2.若函数g (x )=f (x )-log a (x+1)(a>0,a ≠1)在区间(-1,9〗内恰有三个不同零点,则实数a 的取值范围是 .1.函数零点的常用判定方法:(1)零点存在性定理;(2)数形结合;(3)解方程f (x )=0.2.研究方程f (x )=g (x )的解,实质就是研究G (x )=f (x )-g (x )的零点.3.转化思想:方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题;已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题.1.函数f (x )的零点是一个实数,是方程f (x )=0的根,也是函数y=f (x )的图象与x 轴交点的横坐标.2.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象等综合考虑.2.8 函数与方程 必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)f (x )=0 (2)x 轴 零点 (3)连续不断的 f (a )·f (b )<0 f (x 0)=02.(x 1,0),(x 2,0) (x 1,0) 2 1 03.f (a )f (b )<0 一分为二 零点考点自诊1.(1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√2.B 易知f (x )=2x +3x 在R 上单调递增,且f (-2)=2-2-6<0,f (-1)=2-1-3<0,f (0)=1>0,所以由函数零点存在定理得,零点所在的区间是(-1,0).故选B .3.C 易知函数f (x )=x 3+x-4在R 上单调递增,因f (0)=-4<0,f (1)=-2<0,f (2)=6>0,故函数在(1,2)上有唯一零点.故选C .4.B 由f (x )=2x -a 2-a=0,得2x =a 2+a ,由x ∈(-∞,1〗,得2x ∈(0,2〗,可得0<a 2+a ≤2,解得0<a ≤1,故选B .5.2 ∵函数f (x )=ln x+x-4在定义域(0,+∞)上单调递增,且其图象是连续不断的,f (e)=1+e -4<0,f (3)=ln3-1>0,∴函数的零点所在的区间为(e,3),g (x 0)=〖x 0〗=2.关键能力·学案突破例1(1)C (2)D (1)令f (x )=e x -x-2,由表格知f (1)<0,f (2)>0,所以方程e x -x-2=0的一个零点所在的区间是(1,2),所以k=1,故选C .(2)令f (x )-ln x=k ,则f (x )=ln x+k.由f 〖f (x )-ln x 〗=e +1,得f (k )=e +1.又f (k )=ln k+k=e +1,可知k=e .故f (x )=ln x+e,所以f'(x )=1x ,x>0.所以f (x )-f'(x )=ln x-1x+e .令g (x )=ln x-1x+e -e =ln x-1x,x ∈(0,+∞).因为g (x )=ln x-1x 在(0,+∞)内的图象是连续的,且g (1)=-1<0,g (e)=1-1e >0,所以存在x 0∈(1,e),使g (x 0)=0.故选D .对点训练1(1)B (2)B (1)∵f (1)=ln2-2<0,f (2)=ln3-1>lne -1=0,即f (1)f (2)<0,∴函数f (x )的零点在区间(1,2)上.故选B .(2)由图象知12<b2<1,得1<b<2,f'(x )=2x-b ,所以g (x )=e x +f'(x )=e x +2x-b ,由g (0)=1-b<0,g (1)=e +2-b>0,所以g (0)g (1)<0,则g (x )的零点在区间(0,1)上,故选B . 例2(1)B (2)A (1)函数f (x )=2x |log 0.5x|-1的零点也就是方程2x |log 0.5x|-1=0的根,即2x |log 0.5x|=1,整理得|log 0.5x|=(12)x.令g (x )=|log 0.5x|,h (x )=(12)x ,画出g (x ),h (x )的图象如图所示.因为两个函数的图象有两个交点,所以f (x )有两个零点.(2)求F (x )在〖-9,10〗上零点的个数,等价于f (x )与g (x )=-x+41-2x 的图象在〖-9,10〗上交点的个数,∵f (x )为偶函数,且当x ∈〖-1,0〗时,f (x )=-x ,∴当x ∈〖0,1〗时,f (x )=x , 又f (1+x )=f (1-x ),∴f (x+2)=f 〖(x+1)+1〗=f (1-1-x )=f (-x )=f (x ),即f (x )的周期为2,g (x )=-x+41-2x =x+42x -1=12+94(x -12),∴g (x )的图象关于点12,12对称,作出f (x )与g (x )在12,10上的函数图象如图所示,由图象可知f (x )与g (x )在12,10上有5个交点,根据对称性可知在-9,12上也有5个交点,故选A .对点训练2(1)B (2)7 (1)由f (x )是定义域为R 的奇函数,得f (0)=0,由f (x )的周期为2,得f (0)=f (2)=…=f (2020)=0,由y=|f (x )|是偶函数,得其图象关于y 轴对称,由y=|f (x )|在〖-1,1〗上恰有5个零点,则y=|f (x )|在〖-1,0)和(0,1〗上各有两个零点,因f (x )的周期为2,所以y=|f (x )|的周期为1,所以y=|f (x )|在(1,2〗上也有两个零点,同理在(2,3〗,…,(2019,2020〗上各有两个零点.因为函数|f (x )|的图象是由f (x )的图象关于x 轴对称到x 轴上面,故两个函数的零点个数相等,则f (x )在区间〖0,2020〗上的零点个数为1+2020×2=4041.(2)由题意作出y=f (x )在区间〖-2,4〗上的图象,如图所示,可知与直线y=1的交点共有7个,故函数y=f (x )-1在区间〖-2,4〗上的零点个数为7.例3(1)C (2)m |-1≤m <-12,或m=1 (1)函数f (x )=2x -2x -a 在区间(1,2)内连续,因为f (x )的一个零点在区间(1,2)内,所以f (1)f (2)<0,即(2-2-a )(4-1-a )<0,解得0<a<3,故选C .(2)当0≤x ≤1时,由f (x )=1,得2x (x 2+m )=1,即12x=x 2+m ; 当-1≤x ≤0时,由f (x )=1,得2x+1-x 2-m=1,即2x+1-1=x 2+m. 设g (x )={(12) x ,0≤x ≤1,2x+1-1,-1≤x <0,h (x )=x 2+m ,则问题转化为g (x )与h (x )=x 2+m 的图象在〖-1,1〗上只有一个交点.画出g (x )与h (x )在〖-1,1〗上的图象如图所示,结合图象可知,当h (0)=1,即m=1时,两个函数的图象只有一个交点;当{ℎ(1)<g (1),ℎ(-1)≥g (-1),解得-1≤m<-12时,两个函数的图象只有一个交点,故所求实数m 的取值范围是m -1≤m<-12,或m=1.对点训练3(1)A (2)-14,2 (1)由f (x )=2ax-a+3,若∃x 0∈(-1,1),f (x 0)=0,可得f (-1)f (1)<0,即(-3a+3)(a+3)<0,可得a ∈(-∞,-3)∪(1,+∞).(2)因为函数f (x )=4x -2x -a ,x ∈〖-1,1〗有零点,所以方程4x -2x -a=0在〖-1,1〗上有解,即方程a=4x -2x 在〖-1,1〗上有解.方程a=4x -2x 可变形为a=2x -122-14,因为x ∈〖-1,1〗,所以2x ∈12,2,所以2x -122-14∈-14,2.所以实数a 的取值范围是-14,2. 例4(1)B (2)1,e1e(1)令f (x )=t ,则t 2-2at+3a=0,作出函数f (x )和直线y=t 的图象如图所示,由图象可知y=t 与y=f (x )最多有3个不同交点,又当x ≤0时,2x+1+2>2,要使关于x 的方程〖f (x )〗2-2af (x )+3a=0有6个不相等的实数根,则t 2-2at+3a=0有两个不同的根t 1,t 2∈(2,4〗,设g (t )=t 2-2at+3a 由根的分布可知,{Δ=4a 2-12a >0,2<a <4,g (2)>0,g (4)≥0,解得3<a ≤165.故选B .(2)由题意,a x =x ,两边取对数得,x ln a=ln x ,所以ln a=lnx x,设y=lnx x,则y'=1-lnx x 2,故y=lnx x 在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以当x=e 时,得y max =1e ,所以当0<ln a<1e ,方程ln a=lnx x有两个实数根,所以a ∈1,e1e.对点训练4(1)A (2)19,15∪(√3,√7) (1)函数g (x )=f (x )-x-a 有3个零点,等价于方程f (x )-x-a=0有3个实数根,即方程a=f (x )-x 有3个实数根,设h (x )=f (x )-x ,当x ≤0时,h (x )=x 3-3x ,h'(x )=3x 2-3,由h'(x )>0得x<-1或x>1(舍去),此时h (x )单调递增.由h'(x )<0得-1<x<1,∵x ≤0,∴-1<x<0,此时h (x )单调递减,即当x=-1时,函数取得极大值为h (-1)=-1+3=2.当x>0时,h (x )=f (x )-x=-ln x-x 单调递减,作出函数h (x )的图象如图所示,要使a=h (x )有3个根,则0≤a<2,即实数a 的取值范围为〖0,2),故选A .(2)∵f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (2-x )=f (2+x ),∴f (x-2)=f (2+x ),令x-2=t ,则f (t )=f (4+t ),∴f (x )的周期为4.由g (x )=f (x )-log a (x+1)=0得f (x )=log a (x+1)(a>0,且a ≠1).函数y=f (x )和y=log a (x+1)的图象在区间(-1,9〗内有3个不同的公共点. 作函数f (x )与y=log a (x+1)在(-1,9〗上的图象如下,当a>1时,{log a (2+1)<2,log a (6+1)>2,解得√3<a<√7.当0<a<1时,{log a (4+1)>-1,log a (8+1)<-1,解得19<a<15.故实数a 的取值范围为19,15∪(√3,√7).。
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第8课时 函数与方程1．一元二次函数与一元二次方程一元二次函数与一元二次方程（以后还将学习一元二次不等式）的关系一直是高中数学函数这部分内容中的重点，也是高考必考的知识点．我们要弄清楚它们之间的对应关系：一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标是对应一元二次方程的解；反之，一元二次方程的解也是对应的一元二次函数的图象与x 轴的交点的横坐标． 2．函数与方程两个函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标就是方程()()f x g x =的解；反之，要求方程()()f x g x =的解，也只要求函数()y f x =与()y g x =图象交点的横坐标． 3．二分法求方程的近似解二分法求方程的近似解，首先要找到方程的根所在的区间(,)m n ，则必有()()0f m f n ⋅<，再取区间的中点2m np +=，再判断()()f p f m ⋅的正负号，若()()0f p f m ⋅<，则根在区间(,)m p 中；若()()0f p f m ⋅>，则根在(,)p n 中；若()0f p =，则p 即为方程的根．按照以上方法重复进行下去，直到区间的两个端点的近似值相同（且都符合精确度要求），即可得一个近似值．例1.（1）若xx x f 1)(-=，则方程x x f =)4(的根是( ) A ．21 B ．－21C ．2D ．－2解：A ．（2）设函数()f x 对x R ∈都满足(3)(3)f x f x +=-,且方程()0f x =恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为（ ）A ．0B ．9C ．12D ．18解：由(3)(3)f x f x +=-知()f x 的图象有对称轴3x =，方程()0f x =的6个根在x 轴上对应的点关于直线3x =对称，依次设为1231233,3,3,3,3,3t t t t t t ---+++，故6个根的基础过关典型例题和为18，答案为D ． （3）已知155=-acb ，（a 、b 、c ∈R ），则有（ ） A ．ac b 42> B ．ac b 42≥ C ．ac b 42< D ．ac b 42≤ 解法一：：依题设有 550a b c ⋅-⋅+=∴5是实系数一元二次方程02=++c bx ax 的一个实根； ∴△＝ac b 42-≥0 ∴ac b 42≥，答案为B ．解法二：去分母，移项，两边平方得：22252510b a ac c =++≥10ac ＋25a c ⋅⋅＝20ac ． ∴ac b 42≥，答案为B ．（4）关于x 的方程 22(28)160x m x m --+-=的两个实根 1x 、2x 满足 1232x x <<，则实数m 的取值范围解：设22()(28)16f x x m x m =--+-，则239()3(4)160216f m m =--+-<， 即：241270m m --<，解得：1722m -<<． （5）若对于任意[1,1]a ∈-，函数2()(4)42f x x a x a =+-+-的值恒大于零, 则x 的取值范围是解：设2()(2)44g a x a x x =-+-+，显然，2x ≠则22(1)2440(1)2440g x x x g x x x ⎧-=-+-+>⎪⎨=-+-+>⎪⎩，即3221x x x x ><⎧⎨><⎩或或，解得：x>3或x<1． 变式训练1： 当01x ≤≤时，函数1y ax a =+-的值有正值也有负值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a < B ．1a > C ．112a a <>或 D ．112a << 解：D例2.设123,,x x x 依次是方程12log 2x x +=,2log (2)x x +=-，22x x +=的实数根，试比较123,,x x x 的大小 ．解：在同一坐标内作出函数2y x =-，12log y x =，2x y =-的图象从图中可以看出，310x x << 又20x <，故231x x x <<变式训练2：已知函数()()y f x x R =∈满足(3)(1)f x f x +=+，且x ∈[－1,1]时，()||f x x =，则()y f x =与5log y x =的图象交点的个数是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：由(3)(1)f x f x +=+知(2)()f x f x +=故()f x 是周期为2的函数，在同一坐标系中作出()y f x =与5log y x =的图象，可以看出，交点个数为4．例3. 已知二次函数2()(,f x ax bx a b =+为常数，且0)a ≠ 满足条件：(1)(3)f x f x -=-，且方程()2f x x =有等根. （1）求()f x 的解析式；（2）是否存在实数m 、n ()m n <，使()f x 定义域和值域分别为［m ，n ］和［4m ，4n ］，如果存在，求出m 、n 的值；如果不存在，说明理由.解：（1）∵方程22ax bx x +=有等根，∴2(2)0b ∆=-=，得b=2 ．由(1)(3)f x f x -=-知此函数图象的对称轴方程为12bx a=-=，得1a =-， 故2()2f x x x =-+ ．（2）2()(1)11f x x =--+≤，∴4n ≤1，即14n ≤而抛物线22y x x =-+的对称轴为1x = ∴14n ≤时，()f x 在［m ，n ］上为增函数. 若满足题设条件的m ，n 存在，则⎩⎨⎧==n n f mm f 4)(4)(，⎩⎨⎧-==-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-2020424222n n m m n n n m m m 或或即又14m n <≤， ∴2,0m n =-=，这时定义域为［–2，0］，值域为［–8，0］. 由以上知满足条件的m 、n 存在， 2,0m n =-=． 变式训练3：已知函数11()f x a x=- ((0,0)a x >>. （1）求证：()f x 在(0,+∞)上是增函数；（2）若()2f x x ≤在(0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）若()f x 在［m ，n ］上的值域是［m ，n ］(m ≠n)，求a 的取值范围. 解：（1）证明 任取120x x >>1212122112111111()()()()x x f x f x a x a x x x x x --=---=-=∵120x x >>，∴120x x ⋅>，120x x ->，∴12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >，故()f x 在(0,+∞)上是增函数. （2）解： ∵112x a x-≤在(0,+∞)上恒成立，且a ＞0, ∴112a x x≥+在（0，+∞）上恒成立， 令421221121)(=⋅≤+=xx xx x g ，当且仅当12(0)x x x =>即x=22时取等号 要使112a x x≥+在(0,+∞)上恒成立，则24a ≥故a 的取值范围是［42,+∞)． （3）解： 由（1）()f x 在定义域上是增函数. ∴(),()m f m n f n ==，即2110m m a -+=，2110n n a-+= 故方程2110x x a -+=有两个不相等的正根m ，n ，注意到1m n ⋅=，10m n a +=> 故只需要(21()40a ∆=->,由于0a >，则102a << ．例4．若函数|1|()2x f x m --=-的图象与x 轴有交点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．01m <≤B ．01m ≤≤C ．10m m ≥<或D ．10m m ><或 解：令()0f x =，得：|1|1()2x m -=，∵ |1|0x -≥，∴ |1|10()12x -<≤，即01m <≤．变式训练4：对于函数()f x ，若存在0x ∈R,使00()f x x ＝成立，则称0x 为()f x 的不动点.已知函数2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠（1）当1,2a b ==-时，求()f x 的不动点；（2）若对任意实数b ，函数()f x 恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围；解：（1）当1,2a b ==-时，2()3f x x x =-- 由题意可知23x x x =--，得121,3x x =-= 故当当1,2a b ==-时，()f x 的不动点 1,3-．（2）∵2()(1)1(0)f x ax b x b a =+++-≠恒有两个不动点， ∴2(1)1x ax b x b =+++-， 即210ax bx b ++-=恒有两相异实根∴2440()b ab a b R ∆=-+>∈恒成立.于是2(4)160a a '∆=-<解得故当b ∈R ，()f x 恒有两个相异的不动点时，01a <<.本节主要注意以下几个问题：1．利用函数的图象求方程的解的个数； 2．一元二次方程的根的分布；3．利用函数的最值解决不等式恒成立问题小结归纳。