第十单元 相似形第33课时 相似形的应用
相似形的性质与判断
相似形的性质与判断相似形是几何学中的一个重要概念，它指的是具有相同形状但可能不同大小的图形。
在几何学中，相似形的性质与判断是一个基本而常见的问题，它对于解决与形状相关的几何问题具有重要的指导意义。
本文将探讨相似形的性质以及如何进行相似形的判断。
一、相似形的性质相似形的性质主要包括比例关系和对应角的相等。
1. 比例关系：如果两个图形的对应边的长度之比相等，并且对应边所成角的相等，则这两个图形是相似的。
具体而言，设三角形ABC与三角形DEF是相似的，可以表示为∆ABC ∽∆DEF。
则有以下比例关系成立：AB/DE = BC/EF = AC/DF也可以表示为a/b = c/d = e/f，其中a、b、c、d、e、f分别表示两个三角形对应边的长度。
2. 对应角的相等：在相似形中，对应角是相等的。
也就是说，两个相似形中的对应角的度数相等。
这一性质对于相似形的判断和证明非常重要。
二、相似形的判断方法相似形的判断方法主要包括“边比例法”和“角相等法”。
1. 边比例法：这是判断两个图形是否相似的常用方法。
相似形的边之比是相等的，因此我们可以通过比较两个图形中对应边的长度之比来判断它们是否相似。
如果对应边的长度之比相等，则可以确定这两个图形是相似的。
当然，判断相似形时还需要注意对应角的相等情况。
2. 角相等法：在相似形中，对应角是相等的。
所以，我们可以通过比较两个图形的对应角是否相等来判断它们是否相似。
如果两个图形中对应角的度数相等，则可以确定这两个图形是相似的。
三、相似形的应用相似形的性质与判断不仅仅是几何学中的一种概念，它还具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 测量：利用相似形的性质，我们可以通过测量一个图形的一些特定部分来计算其他部分的尺寸。
这对工程测量和设计具有重要的意义。
2. 运动：在运动学中，相似形的性质可以用来描述物体运动的几何特征。
例如，当两个物体运动的轨迹相似时，它们的相对位置和速度关系也是相似的。
相似形的性质与判定
相似形的性质与判定相似形是指两个或多个几何图形在形状上相似，但尺寸不一致。
在数学几何中，相似形是研究形状相似但大小不同的图形之间的性质和关系的分支。
相似形的性质与判定是几何学中重要的概念，对于解决实际问题和推理逻辑具有重要意义。
一、相似形的性质1. 对应边的比值相等：相似形的边长比值相等，即两个相似形的对应边的长度比等于相似比。
例如两个相似的三角形，它们对应边AB和A'B'的比值等于边AC和A'C'的比值等于边BC和B'C'的比值。
2. 对应角的相等：相似形的对应角相等，即两个相似形的对应角度度数相等。
例如两个相似的角度，它们分别是角ABC和角A'B'C'的度数相等。
3. 对应的边数成比例：相似形的对应边数成比例，即两个相似形的边数之比等于相似比。
例如一个三角形和另一个三角形相似，那么它们的边数之比等于相似比。
二、相似形的判定1. AA判定法：若两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
也就是说，如果两个三角形的两个角分别相等，则它们的第三个角也相等，从而确定两个三角形是相似的。
2. SSS判定法：若两个三角形的对应边的比值相等，那么这两个三角形是相似的。
也就是说，如果两个三角形的三条边之间的比例相等，则它们的对应角度也相等，从而确定两个三角形是相似的。
3. SAS判定法：若两个三角形的一对对应边的比值相等，并且包含这对边的两个角度分别相等，那么这两个三角形是相似的。
也就是说，如果两个三角形的一对对应边的比例相等，并且包含这对边的两个角度也相等，则它们的对应角度也相等，从而确定两个三角形是相似的。
三、相似形的应用相似形的性质与判定在实际应用中具有广泛的应用价值。
以下是相似形在实际中的一些应用：1. 测量高楼建筑的高度：由于高楼建筑往往难以直接测量其高度，可以利用相似形的性质与判定，通过测量建筑物与地面的距离和测量测量仪器与建筑物尖顶之间的距离，以及测量仪器与地面的高度，来计算出建筑物的准确高度。
相似形的概念与性质
相似形的概念与性质相似形是几何学中的一个重要概念，它在形状、大小及比例等方面与另一图形相似。
相似形的研究对于几何学的发展起到了重要的推动作用。
本文将探讨相似形的概念与性质，以及其应用。
一、相似形的定义相似形是指两个或更多个图形，在形状上相似，但大小可能不同。
形状相似意味着它们的内部角度相等，并且相应边的比值相等。
以两个三角形为例，如果它们的内部角度相等，并且对应边的比值相等，那么这两个三角形就是相似的。
比如，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作∆ABC∼∆DEF。
二、相似形的性质1. 内部角度相等相似形的最重要性质之一是内部角度相等。
两个相似的图形的对应角度始终相等。
例如，在相似三角形∆ABC与∆DEF中，∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
2. 边长比例相等另一个重要的性质是边长比例相等。
对于两个相似的图形，它们对应边的比值始终相等。
在∆ABC与∆DEF中，我们有AB/DE = BC/EF = AC/DF。
3. 面积比例相等相似形的面积比例也是相等的。
如果两个图形相似，那么它们的面积比例等于相应边的比例的平方。
在∆ABC与∆DEF中，我们有S(∆ABC)/S(∆D EF) = (AB/DE)^2 = (BC/EF)^2 = (AC/DF)^2。
三、相似形的应用1. 测量不规则图形的面积相似形的性质可以应用于测量不规则图形的面积。
通过将不规则图形划分为许多相似的简单形状，然后计算各个相似形的面积，最后将它们相加，我们可以得到整个不规则图形的近似面积。
2. 设计和建筑相似形的概念在设计和建筑领域也得到广泛应用。
设计师和建筑师可以利用相似形的性质来保持设计的对称性和美感。
使用相似形理论可以确保建筑物的各个部分在形状和比例上是一致的。
3. 地图制作在地图制作中，相似形也发挥了重要的作用。
地图上的各种地物和地区通过相似形来表示，使得地图更加准确和易读。
四、总结相似形作为几何学的一个重要概念，具有多样的性质与应用。
相似形的性质和判断
相似形的性质和判断相似形是几何学中的一个重要概念，它指的是两个或多个图形具有相同形状但不一定具有相同大小的特点。
在数学中，相似形是常常用来解决各种几何问题的基础。
本文将介绍相似形的性质以及在判断中的应用。
一、相似形的性质相似形的性质主要包括比例关系和对应角的相等关系。
1. 比例关系对于相似形A和B，它们之间的对应边的比值保持不变。
设A和B的对应边分别为a和b，则有a/b = k，其中k为一个常数，称为相似比。
当两个多边形的对应边的比值相等时，它们就是相似形。
2. 对应角的相等关系对于相似形A和B，它们之间的对应角相等。
即A和B的对应角分别为∠a和∠b，则有∠a = ∠b。
这个性质也可以用“对应角相等”来定义相似形。
二、相似形的判断在给定一些几何图形的情况下，判断它们是否为相似形可以通过以下常见方法进行。
1. 边比判断法若两个图形的对应边的比值相等，即a/b = c/d，则可以判断它们是相似形。
2. 角度比判断法若两个图形的对应角相等，即∠a = ∠b，则可以判断它们是相似形。
3. 副角比较法若两个图形的对应副角相等，即∠a' = ∠b'，则可以判断它们是相似形。
副角指的是与对应角相互补的角。
4. 直角判断法若两个三角形的一个角为直角，并且它们的另外两个角对应相等，即∠a = 90°，∠b = ∠c，则可以判断它们是相似形。
这个方法可以通过直角三角形的特性来判断相似。
三、相似形的应用相似形在实际应用中有广泛的运用，特别是在测量、建模、投影等领域。
1. 测量相似形的比例关系可以应用于距离、面积的测量。
例如，通过测量实际物体的长度和图像的长度，可以利用相似形的比例关系计算出实际物体的面积。
2. 建模在建筑、工程设计中，利用相似形可以进行建模。
例如，可以通过对一个大楼的模型进行相似放大或相似缩小，来设计它的不同尺寸的模型。
3. 投影在地图绘制、舞台设计等领域，利用相似形可以进行投影。
相似形的性质
相似形的性质相似形是几何学中常用的一个概念，用来描述两个或多个图形在形状上的相似程度。
当两个图形具有相同的形态，但尺寸不同的时候，我们可以称它们为相似形。
相似形的性质是几何学中的重要内容之一，具有广泛的应用。
一、相似形的定义相似形是指两个或多个图形的对应边成比例，并且对应角相等。
具体来说，对于两个图形A和B，若存在一个比例因子k，使得图形A的对应边与图形B的对应边的长度之比都等于k，而且图形A的对应角与图形B的对应角的度数相等，则可以称图形A与图形B为相似形。
二、相似形的性质1. 对应边成比例：对于相似形的两个图形A和B，它们的对应边的长度之比都等于一个常数k。
即A的一条边与B的相应边的长度之比等于k，而且对于A的其他边与B的相应边也都相等。
2. 对应角相等：相似形的两个图形A和B的对应角的度数相等，即A的一个角与B的相应角的度数相等，而且对于A的其他角与B的相应角也都相等。
3. 面积成比例：相似形的两个图形A和B的面积之比等于对应边的长度之比的平方。
即A的面积与B的面积的比等于(k^2)。
4. 周长成比例：相似形的两个图形A和B的周长之比等于对应边的长度之比。
三、相似形的证明方法在几何学中，要证明两个图形是相似形，通常有以下几种方法：1. AA判相似法：若两个三角形的两个角分别相等，则可得出这两个三角形是相似的结论。
2. SSS判相似法：若两个三角形的三条边对应成比例，则可推出这两个三角形是相似的结论。
3. SAS判相似法：若两个三角形的两个角分别相等，而夹在它们之间的那个边与另一个角夹在一起的那条边成比例，那么这两个三角形是相似的。
4. 已知比例因子法：若在已知两个图形相似的情况下，根据已知的比例因子，计算出其他对应边的长度。
四、相似形的应用1. 测量困难图形的尺寸：相似形的性质可以用来测量一些难以直接测量的图形的尺寸。
比如，可以通过相似形来测量高楼大厦的高度、高山陡坡的斜率等。
2. 设计绘画：相似形可以用于艺术设计中，通过调整图形的比例，使得整个画面看起来更协调、更美观。
中学数学《相似形》课件
相似形 线段的比
小结
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回 忆
全等形
指能够完全重合的两个图形， 即它们的形状和大小完全相同。
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相似形——形状相同，大小不一 定相等的图形叫做相似形。
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问题：在现实生活中，同学们还见过哪些形状相 同但大小不一定相等的图形？
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如图，把△ABC放大一定的倍数，就得到
和它相似的△ A´B´C´。
A´
A
B
C
B´
C´
下一页
如图，把五边形ABCDE缩小一定的倍数就
得到和它相似的五边形A´B´C´D´E´。
A
B
E
A´
B´
E´
C´
D´
C
D
所以研究相似图形，先要学习线 段的比和比例线段的有关知识。
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线段的比：如果选用同一长度单位量得
两条线段 a 、b 的长度分别是m 、n ，
A
∴
BD
1
=2
BC=
1 2
a
a
在Rt △ABD中 AB= a
∴AD= AB 2 BD 2
B 1a D
2
C
a2 (a)2
2
3 4
a2
3a 2
∴ AD
3a 2
3
AB a 2
返回
小结:本节课所学内容
1.相似图形的概念
相似形——形状相同，大小不一定相等的图形叫
做相似形。
2.两条线段的比
线段的比：——如果选用同一长度单位量得两条
2
BC 1
AC 3 AB 2
A 30°
C
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练习：P200 3 、4
小学数学重点之相似形的判断与应用
小学数学重点之相似形的判断与应用相似形的判断与应用相似形是小学数学中的重要内容之一，它在几何学中有广泛的应用。
通过相似形的判断和应用，我们能够解决与形状、比例和尺寸相关的问题。
下面，我们将详细介绍相似形的判断和应用。
一、相似形的判断相似形是指形状相同但尺寸不同的两个或多个图形。
当两个图形的对应角度相等时，我们可以判断它们为相似形。
具体来说，以下三种情况可以判断图形相似：1. AAA相似定理：如果两个三角形的三个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，三角形ABC与三角形DEF，角ABC等于角DEF，角ACB等于角DFE，角BAC等于角EDF，则可以判断三角形ABC与三角形DEF相似。
2. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形是相似的。
例如，当角ABC等于角DEF，角ACB等于角DFE时，可以判断三角形ABC与三角形DEF相似。
3. SSS相似定理：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形是相似的。
例如，当线段AB与线段DE的比例等于线段BC与线段EF的比例，以及线段AC与线段DF的比例，可以判断三角形ABC与三角形DEF相似。
利用相似形的判断定理，我们可以在解决问题时快速推断图形是否相似，为之后的应用打下基础。
二、相似形的应用相似形在几何问题和实际生活中有广泛的应用。
以下是相似形的几个常用应用：1. 测量与计算：在测量中，我们可以利用相似形的性质来求解不便测量的尺寸。
例如，利用相似形的比例关系，我们可以通过已知线段的长度和相似三角形的比例关系来计算未知线段的长度。
2. 地图比例尺：地图上常常标有比例尺，比如1:1000。
这表示地图上的一段长度与实际距离的比例为1:1000。
利用相似形的性质，我们可以知道地图上的两个点与实际地面上两个点之间的距离比与两个点在地图上的距离比相等。
3. 相似三角形的面积比：相似三角形的面积比等于它们对应边的平方比。
我们可以利用这个性质来求解实际问题中的面积比，如建筑物的表面积、矩形花坛的面积等。
小学数学点知识归纳相似形的概念与性质
小学数学点知识归纳相似形的概念与性质相似形是小学数学中重要的概念之一，它与几何图形的形状有关。
在学习相似形的过程中，我们不仅需要掌握其定义和性质，还要了解一些相关的知识点。
本文将对小学数学中与相似形相关的概念和性质进行归纳，以帮助学生更好地理解和应用这一知识。
一、相似形的定义相似形是指形状相似的两个或多个几何图形。
在相似形中，两个图形的形状相同，但大小可能不同。
当两个图形形状相同，并且对应边的比值相等时，我们可以称这两个图形为相似形。
例如，两个三角形的对应角相等，并且对应边的长度比相等，那么这两个三角形就是相似形。
二、相似形的性质1. 相似三角形的对应边比值相等。
当两个三角形相似时，它们的对应边的长度比值相等。
例如，如果一个三角形的边长分别为2cm、3cm、4cm，而另一个相似三角形的对应边与之成比例，则可以得到边长分别为4cm、6cm、8cm。
2.相似形的对应角相等。
如果两个图形相似，它们的对应角度相等。
这是相似形的一个重要性质，在判断两个图形是否相似时，我们可以通过比较它们的对应角度来进行判断。
3.相似形的对应边平行。
在相似形中，两个图形的对应边是平行的。
由于相似形的定义要求对应边的比值相等，而平行线之间的对应线段的比值是相等的，因此对应边也必然是平行的。
4. 相似形的面积比例是边长比例的平方。
当两个图形相似时，它们的面积比例等于对应边的长度比例的平方。
例如，如果两个相似三角形的对应边长度比为2∶3，那么它们的面积比就是4∶9。
三、相似形的应用相似形在解题中有着广泛的应用。
我们可以通过相似形的性质来求解未知图形的边长、角度和面积等问题。
以下是一些常见的相似形应用实例：1. 求未知边长：如果已知两个相似三角形的某个边长和对应边的比值，我们可以通过比例关系求解另一个三角形的边长。
例如，已知一个三角形的边长为4cm、6cm、8cm，并且与另一个相似三角形的对应边成比例，求另一个三角形的边长。
2. 求未知角度：在相似形中，对应角度相等。
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第33课时 相似形的应用一、选择题(每题6分，共24分)1．为了测量被池塘隔开的A ，B 两点之间的距离，根据实际情况，作出如图33－1所示的图形，其中AB ⊥BE ，EF ⊥BE ，AF 交BE 于D ，C 在BD 上．有四位同学分别测量出以下四组数据： ①BC ，∠ACB ；②CD ，∠ACB ，∠ADB ；③EF ，DE ，BD ；④DE ，DC ，BC .能根据所测数据，求出A ，B 间距离的有(C)图33－1A ．1组B ．2组C ．3组D ．4组【解析】 此题比较综合，要多方面考虑．①因为知道∠ACB 和BC 的长，所以可利用∠ACB 的正切来求AB 的长； ②可利用∠ACB 和∠ADB 的正切求出AB ； ③因为△ABD ∽△FED ，可利用FE AB ＝DEDB 求出AB ； ④无法求出A ，B 间距离．故共有3组数据可以求出A ，B 间距离．2．如图33－2是小明设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，且测得AB ＝1.2 m ，BP ＝1.8 m ，PD ＝12 m ，那么该古城墙的高度是(B)A ．6 mB ．8 mC ．18 mD ．24 m 【解析】 由平面镜的入射角等于反射角， 易得∠APB ＝∠CPD .又∵∠B ＝∠D ＝90°，∴△ABP ∽△CDP ，图33－2∴PB PD ＝AB CD ，即1.812＝1.2CD ， 解得CD ＝8 m.3．如图33－3，以点O 为支点的杠杆，在A 端用竖直向上的拉力将重为G 的物体匀速拉起，当杠杆OA 水平时，拉力为F ；当杠杆被拉至OA 1时，拉力为F 1，过点B 1作B 1C ⊥OA ，过点A 1作A 1D ⊥OA ，垂足分别为点C ，D.图33－3①△OB 1C ∽△OA 1D ；②OA ·OC ＝OB ·OD ； ③OC ·G ＝OD ·F 1；④F ＝F 1. 上述4个结论中，正确结论有(D) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．拟]如图33－4，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1 m 的竹竿的影长是0.8 m ，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m ，又测得地面的影长为2.6 m ，请你帮她算一下，树高是 (C) A ．3.25 m B ．4.25 m C ．4.45 mD ．4.75 m【解析】 设BD 是BC 在地面的影子，树高为x ，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得CB BD ＝10.8，而CB ＝1.2，∴BD ＝0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96＋2.6＝3.56，图33－4再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得x 3.56＝10.8.解得x ＝4.45.∴树高为4.45 m. 二、填空题(每题6分，共24分)5．如图33－5，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m 的位置上，则网球拍击球的高度h 为__1.4__m.图33－5【解析】 由题意得，DE ∥BC ， ∴△ABC ∽△AED ， ∴DE BC ＝AE AB ， 即0.8h ＝44＋3，解得h ＝1.4 m ．∴击球高度为1.4 m.6．如图33－6，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20 cm ，到屏幕的距离为60 cm ，且幻灯片中图形的高度为6 cm ，则屏幕上图形的高度为__18__cm.【解析】 根据相似三角形的性质，对应高的比等于相似比进行解答．7．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》．意思是说：如图33－7，矩形城池ABCD ，东边城墙AB 长9里，南边城墙AD 长7里，东门点E ，南门点F 分别是AB ，AD 中点，EG ⊥AB ，FH ⊥AD ，EG ＝15里，HG 经过A 点，则FH ＝__2120__里．图33－6图33－78．如图33－8，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使顶点C 恰好落在AB 边的中点C ′上，点D 落在D ′处，C ′D ′交AE 于点M .若AB ＝6，BC ＝9，则AM 的长为__94__. 【解析】 ∵C ′是AB 的中点，AB ＝6， ∴AC ′＝BC ′＝3，∵四边形DCFE 沿EF 翻折至D ′C ′FE ， ∴CF ＝C ′F ，∠C ＝∠MC ′F ， ∴BC ＝BF ＋FC ＝BF ＋FC ′＝9， ∴FC ′＝9－BF ，在Rt △BC ′F 中，根据勾股定理，得BF 2＋BC ′2＝FC ′2， 即32＋BF 2＝(9－BF )2， 解得BF ＝4，∴FC ′＝5，又∵∠BFC ′＋∠BC ′F ＝90°，∠AC ′M ＋∠BC ′F ＝90°， ∴∠BFC ′＝∠AC ′M ，∵∠A ＝∠B ＝90°，∴△FC ′B ∽△C ′MA ， ∴BF AC ′＝BC ′AM ，即43＝3AM ， ∴AM ＝94. 三、解答题(共20分)9．(10分)如图33－9，矩形ABCD 为台球桌面．AD ＝260 cm ，AB ＝130 cm.球目前在E 点位置，AE ＝60 cm.如果小丁瞄图33－8准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D 点的位置． (1)求证：△BEF ∽△CDF ； (2)求CF 的长．解：(1)由题意，得∠EFG ＝∠DFG ，∵∠EFG ＋∠BFE ＝90°，∠DFG ＋∠CFD ＝90°， ∴∠BFE ＝∠CFD ，∵∠B ＝∠C ＝90°， ∴△BEF ∽△CDF ；(2)∵△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BFCF ， ∴70130＝260－CFCF ，∴CF ＝169.10．(10分)如图33－10，M ，N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M ，N 两点之间的直线距离，选择测量点A ，B ，C ，点B ，C 分别在AM ，AN 上，现测得AM ＝1 km ，AN ＝1.8 km ，AB ＝54 m ，BC ＝45 m ，AC ＝30 m ，求M ，N 两点之间的直线距离． 解：连结MN ，∵AC AM ＝301 000＝3100，AB AN ＝541 800＝3100， ∴AC AM ＝AB AN ，∵∠BAC ＝∠NAM ，∴△BAC ∽△NAM ， ∴BC MN ＝3100，∴45MN ＝3100， ∴MN ＝1 500.答：M ，N 两点之间的直线距离为1 500 m.(20分)11．(10分)如图33－11，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF 与地面保持平行，并使边DE 与旗杆顶点A 在同一直线上，已知DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m，图33－10第10题答图目测点D 到地面的距离DG ＝1.5 m ，到旗杆的水平距离DC ＝20 m ，求旗杆的高度．图33－11【解析】 根据题意可得△DEF ∽△DCA ，进而利用相似三角形的性质得出AC 的长，即可得出答案． 解：由题意可得△DEF ∽△DCA ， 则DE DC ＝EF CA ，∵DE ＝0.5 m ，EF ＝0.25 m ， DG ＝1.5 m ，DC ＝20 m ， ∴0.520＝0.25AC ，解得AC ＝10， 故AB ＝AC ＋BC ＝10＋1.5＝11.5(m)， 答：旗杆的高度为11.5 m.12．(10分)如图33－12，四边形ABCD 中，AC 平分∠DAB ，∠ADC ＝∠ACB ＝90°，E 为AB 的中点． (1)求证：AC 2＝AB ·AD ； (2)求证：CE ∥AD ；(3)若AD ＝4，AB ＝6，求ACAF 的值． 解：(1)证明：∵AC 平分∠DAB ， ∴∠DAC ＝∠CAB .又∵∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴AD AC ＝AC AB ， ∴AC 2＝AB ·AD ；(2)证明：∵在Rt △ACB 中，E 为AB 的中点，图33－12∴CE＝12AB＝AE，∴∠EAC＝∠ECA.又∵∠CAD＝∠CAB，∴∠DAC＝∠ECA，∴CE∥AD；(3)∵CE∥AD.∴∠DAF＝∠ECF，∠ADF＝∠CEF，∴△AFD∽△CFE，∴ADCE＝AFCF.∵CE＝12AB，AB＝6，∴CE＝12×6＝3.又∵AD＝4，由ADCE＝AFCF得43＝AFCF，∴AFAC＝47，∴ACAF＝74.(12分)13．(12分)(1)问题如图33－13①，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC＝∠A＝∠B ＝90°.求证：AD·BC＝AP·BP；(2)探究如图②，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC＝∠A＝∠B＝θ时，上述结论是否依然成立？说明理由；(3)应用请利用(1)(2)获得的经验解决问题：如图③，在△ABD中，AB＝6，AD＝BD＝5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC＝∠A.设点P的运动时间为t(s)，当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值．图33－13解：(1)证明：∵∠DPC ＝∠A ＝∠B ＝90°， ∴∠ADP ＋∠APD ＝90°， ∠BPC ＋∠APD ＝90°， ∴∠ADP ＝∠BPC . ∴△ADP ∽△BPC . ∴AD BP ＝AP BC .∴AD ·BC ＝AP ·BP ；(2)结论AD ·BC ＝AP ·BP 仍成立． 理由：∵∠BPD ＝∠DPC ＋∠BPC ， 又∵∠BPD ＝∠A ＋∠ADP ， ∴∠DPC ＋∠BPC ＝∠A ＋∠ADP . ∵∠DPC ＝∠A ＝θ， ∴∠BPC ＝∠ADP ， 又∵∠A ＝∠B ＝θ， ∴△ADP ∽△BPC ， ∴AD BP ＝AP BC ， ∴AD ·BC ＝AP ·BP ；(3)如答图，过点D 作DE ⊥AB 于点E . ∵AD ＝BD ＝5，AB ＝6.∴AE ＝BE ＝3.由勾股定理得DE ＝4.∵以D 为圆心，以DC 为半径的圆与AB 相切．第13题答图∴DC＝DE＝4.∴BC＝5－4＝1，又∵AD＝BD，∴∠A＝∠B.∵∠DPC＝∠A，∴∠DPC＝∠A＝∠B.由(1)，(2)的经验可知AD·BC＝AP·BP.又AP＝t，BP＝6－t，∴t(6－t)＝5×1.解得t1＝1，t2＝5.∴t的值为1 s或5 s.。