高三 数学 科 数列的综合应用
高三 数学 科 数列的综合应用 (复习)学案 考纲要求:综合利用等差数列与等比数列的有关知识,解决数列综合问题和实际问题。 课前预习 一、 知识梳理
1. 解答数列应用题的步骤:
2. 数列应用题常见模型:(1)等差模型 (2)等比模型 (3)递推数列模型 二、 自我检测
1.等比数列{a n }的前
n
项和为
s
n
,且
12344a 2a a a 1s ==1,,成等差数列,若,则 ( )A 7 B 8 C 15 D 16
2.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 成等比
数列,且c=2a ,则cosB= ( )A 1
4
B 34
3.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有1个这样的细菌和100个这样的病毒,问细菌将将病毒全部杀死至少需要( ) A 6秒 B 7秒 C 8秒 D 9秒
4.等差数列{n a }中,n a ≠0,n ∈N +,有2
3711220,a a a -+=数列{b n }是等
比数列,且7768,b a b a ==则 ( )A 2 B 4 C 8 D 16 5.已知三个数a 、b 、c 成等比数列,则函数f (x )=ax 2+bx+c 的图像与x 轴公共点的个数为
6.在数列{n a }中,对任意自然数n ∈N +,1221,n a a a ++=-n …则
122
2a a ++=2n …+a
课内探究 典例讲解
题型一:性质的综合应用
例1 设{n a }为等差数列,{n b }为等比数列,112432431,,,a b a a b b b a ==+==分别求出{n a }及{n b }的前10项和1010,.S T
题型二:求通项公式
例2 在数列{n a }中,111,22.n n n a a a +==+(1)设1
,2n
n n a b -=证明数列{n b }是等差数列; (2)求n a 数列{n a }前n 项和s n 。
例3 (2009全国1,理20)在数列{n a }中,1n+1n n 1
n 1
a 1a 1a .n
2
+==
++,() (1)设b n =
n
a n
,求数列{b n }的通项公式; (2)求数列{a n }的前n 项和s n .
题型三:数列的实际应用
例4 假设某市2004年新建住房400万平方米,其中250万平方米是中低价房,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8℅,另外,每年姓曾住房中,中低价房的面积比上一年增加50万平方米,那么到哪一年底,
(1) 该市历年所建中低价房的累计面积(以2004年为累计的第
一年)将首次不少于4750万平方米?
(2) 当年建造的中低价房面积占该年建造住房面积的比例首次
大于85%?
巩固练习:
1、等差数列{n a }的前m 项和为30,前2m 项和为100,则它的前3m 项和为 ( )A 130 B 170 C 210 D 260
2、已知数列{n a }是等差数列,10a =10,其前10项和10s =70,则公差d 为 ( )A 2
3- B 13- C 13 D 23
3、已知数列{n a }中,111260,3,n n a a a a a +=-=+++=30则…a ( ) A 445 B 765 C 1080 D 3105
4、在等差数列{n a }中,154567,405,s s s =-==30则( ) A 68 B 189 C 78 D 129
5、在西部大开发中,西部某厂在国家积极财政政策的推动下,积极
吸引外资,盘活工厂活力,从2006年一月起,到2008年12月止的36个月中,月产值不断递增且构成等比数列{n a },若逐月累计的产值12n a 10136,n n n s a a s a =++=-…+满足关系式则该厂的年增长率为((1+1%)12≈1.1268)A 12.66% B 12.68% C 12.69% D12.70% 6、在等差数列{n a }中,已知公差d 为
1
2
,且139960,a a ++=…a 则1234100a a a a ++++…+a =
7、在等比数列{n a }中,各项都是正数,61035484841,4,a a a a a a a a +==+则=
8、(08陕西)已知数列{n a }的首项a 1=2
3
,a 1n +=21
n
n a a +,n=1,2,… (1)证明:数列{11n a -}是等比数列;
(2)求数列{n
n
a }前n 项和s n .
9、已知数列{n a }的前n 項和为s n ,且-1、s n 、1n a +成等差数列,n ∈n +,
11,f a x ==函数()㏒x
3
.(1)求数列{n a }的通项公式;(2)社数列{n b }满足n b =
n 1
n 3f a 2++,
()【()】
计数列{n b }的前n 項和为T n ,试比较T n 与 52512312
n +-的大小。
求数列通项专题高三数学复习教学设计
假如单以金钱来算,我在香港第六、七名还排不上,我这样说是有事实根据的.但我认为,富有的人要看他是怎么做.照我现在的做法我为自己内心感到富足,这是肯定的. 求数列通项专题高三数学复习教学设计 海南华侨中学邓建书 课题名称 求数列通项(高三数学第二阶段复习总第1课时) 科目 高三数学 年级 高三(5)班 教学时间 2009年4月10日 学习者分析 数列通项是高考的重点内容 必须调动学生的积极让他们掌握! 教学目标 一、情感态度与价值观 1. 培养化归思想、应用意识. 2.通过对数列通项公式的研究 体会从特殊到一般 又到特殊的认识事物规律 培养学生主动探索 勇于发现的求知精神 二、过程与方法 1. 问题教学法------用递推关系法求数列通项公式 2. 讲练结合-----从函数、方程的观点看通项公式 三、知识与技能 1. 培养学生观察分析、猜想归纳、应用公式的能力; 2. 在领会函数与数列关系的前提下 渗透函数、方程的思想 教学重点、难点 1.重点:用递推关系法求数列通项公式 2.难点:(1)递推关系法求数列通项公式(2)由前n项和求数列通项公式时注意检验第一项(首项)是否满足 若不满足必须写成分段函数形式;若满足
则应统一成一个式子. 教学资源 多媒体幻灯 教学过程 教学活动1 复习导入 第一组问题: 数列满足下列条件 求数列的通项公式 (1);(2) 由递推关系知道已知数列是等差或等比数列即可用公式求出通项 第二组问题:[学生讨论变式] 数列满足下列条件 求数列的通项公式 (1);(2); 解题方法:观察递推关系的结构特征 可以利用"累加法"或"累乘法"求出通项 (3) 解题方法:观察递推关系的结构特征 联想到"?=?)" 可以构造一个新的等比数列 从而间接求出通项 教学活动2 变式探究 变式1:数列中 求 思路:设 由待定系数法解出常数
高考数学压轴专题专题备战高考《数列》难题汇编及答案
数学高考《数列》试题含答案 一、选择题 1.已知等比数列{a n },a n >0,a 1=256,S 3=448,T n 为数列{a n }的前n 项乘积,则当T n 取得最大值时,n =( ) A .8 B .9 C .8或9 D .8.5 【答案】C 【解析】 【分析】 设等比数列{a n }的公比为q ,由a n >0,可得q >0.根据a 1=256,S 3=448,可得256(1+q +q 2)=448,解得q .可得a n ,T n ,利用二次函数的单调性即可得出. 【详解】 设等比数列{a n }的公比为q ,∵a n >0,∴q >0. ∵a 1=256,S 3=448, ∴256(1+q +q 2)=448, 解得q 12= . ∴a n =2561 1()2 n -?=29﹣n . T n =28?27?……?2 9﹣n =2 8+7+…+9﹣n ()217 289[)89242 2 22 n n n ??--- ?+-? ?==. ∴当n =8或9时,T n 取得最大值时, 故选C . 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 2.已知等比数列{}n a 满足13a =,13521a a a ++=,则357a a a ++=( ) A .21 B .42 C .63 D .84 【答案】B 【解析】 由a 1+a 3+a 5=21得24242 1(1)21172a q q q q q ++=∴++=∴=∴ a 3+a 5+a 7=2 135()22142q a a a ++=?=,选B. 3.数列{}n a 的通项公式为( )n a n c n N * =-∈.则“2c <”是“{}n a 为递增数列”的( ) 条件. A .必要而不充分 B .充要 C .充分而不必要 D .即不充分也不必要
2011高考数学压轴题专题训练
2011高考数学压轴题专题训练--数列(36页WORD ) 第六章 数列 高考题 三、解答题 22.(2009全国卷Ⅰ理)在数列{}n a 中,1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ (I )设n n a b n = ,求数列{}n b 的通项公式 (II )求数列{}n a 的前n 项和n S 分析:(I )由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) (II )由(I )知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型, 易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析:09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和,一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.(2009北京理)已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ;对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤,i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . (Ⅰ)分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ,并说明理由;
高三数学数列专题复习题含答案
高三数学数列专题复习题含答案 一、选择题 1.等比数列{}n a 中,12a =,8a =4,函数 ()128()()()f x x x a x a x a =---L ,则()'0f =( ) A .62 B. 92 C. 122 D. 152 【答案】C 【解析】考查多项式函数的导数公式,重点考查学生创新意识,综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中,含有x 项均取0,则()' 0f 只与函数()f x 的一次项 有关;得:412 123818()2a a a a a a ??==L 。 2、在等比数列{}n a 中,11a =,公比1q ≠.若12345m a a a a a a =,则m= (A )9 (B )10 (C )11 (D )12 【答案】C 3、已知{}n a 是首项为1的等比数列,n s 是{}n a 的前n 项和,且369s s =,则数列1n a ?? ???? 的前5项和为 (A ) 158或5 (B )3116或5 (C )3116 (D )15 8 【答案】C 【解析】本题主要考查等比数列前n 项和公式及等比数列的性质,属于中等题。 显然q ≠1,所以3639(1q )1-=121-q 1q q q q -?+?=-,所以1{}n a 是首项为1,公比为1 2 的等比数列, 前5项和5 51 1()31211612 T -= =-. 4、已知各项均为正数的等比数列{n a },123a a a =5,789a a a =10,则456a a a = (A) 【答案】A
【解析】由等比数列的性质知31231322()5a a a a a a a ===g ,3 7897988()a a a a a a a ===g 10,所以 13 2850a a =, 所以13 3 3 64564655 28()()(50)52a a a a a a a a a =====g 5.已知等比数列{m a }中,各项都是正数,且1a , 321 ,22 a a 成等差数列,则91078a a a a +=+ A.12+ B. 12- C. 322+ D 322- 6、设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ,则下列等式中恒成立的是 A 、2X Z Y += B 、()()Y Y X Z Z X -=- C 、2 Y XZ = D 、()()Y Y X X Z X -=- 【答案】 D 【分析】取等比数列1,2,4,令1n =得1,3,7X Y Z ===代入验算,只有选项D 满足。 8、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于 A .6 B .7 C .8 D .9 【答案】A 【解析】设该数列的公差为d ,则461282(11)86a a a d d +=+=?-+=-,解得2d =, 所以22(1) 11212(6)362 n n n S n n n n -=-+ ?=-=--,所以当6n =时,n S 取最小值。 9、已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ,且25252(3)n n a a n -?=≥,则当1n ≥时, 2123221log log log n a a a -+++=L A. (21)n n - B. 2 (1)n + C. 2n D. 2 (1)n -
高考数学压轴题:交集数列
高考数学压轴题:交集数列 数列中一类元素交并问题,实际考查思想方法,如最小公倍数、余数分析法,二项式定理应用. 类型一 两个等差数列取交集数列问题 典例1. 若数列{}n a 的通项公式为232n n a +=- ,数列{b }n 的通项公式为n b 5 34 n =--. 设集合* {|2,}n A x x a n N ==∈, *{|4,}n B y y b n N ==∈.若等差数列{}n c 任一项 1,n c A B c ∈是A B 中的最大数,且10265125c -<<-,求{}n c 的通项公式. 类型二 一个等差数列和一个二次型数列取交集数列问题 典例2已知数列{n a }的通项公式为72n a n =+,数列{n b }的通项公式为2 n b n =.若将数 列{n a },{n b }中相同的项按从小到大的顺序排列后看作数列{n c },则数列{}n c 的通项公式为____. 类型三 一个等差数列和一个指数型数列取交集数列问题 典例3 已知数列{}n a 和{}n b 的通项公式分别为319n a n =-, 2n n b =.将{}n a 与{}n b 中的公共项按照从小到大的顺序排列构成一个新数列记为{}n c . (1)试写出1c ,2c ,3c ,4c 的值,并由此归纳数列{}n c 的通项公式; (2)证明你在(1)所猜想的结论. 1. 设数列{a n }的通项公式为12-=n a n ,数列{b n }的通项公式为b n =3n -2.集合A ={x ∣x =a n ,n ∈N * },B ={x ∣x =b n ,n ∈N * }.将集合A ∪B 中的元素从小到大依次排列, 构成数列c 1,c 2,c 3,…,则{c n }的通项公式为___________. 2. 已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0,设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项, (1)若k=7,12a = (i )求数列{}n n a b 的前n 项和T n ;
高考数学第2讲数列求和及综合问题
第2讲数列求和及综合问题 高考定位 1.高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现,通过分组转化、错位相减、裂项相消等方法求数列的和,难度中档偏下;2.在考查数列运算的同时,将数列与不等式、函数交汇渗透. 真题感悟 1.(2020·全国Ⅰ卷)数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1,前16项和为540,则a1=________. 解析法一因为a n+2+(-1)n a n=3n-1, 所以当n为偶数时,a n+2+a n=3n-1, 所以a4+a2=5,a8+a6=17,a12+a10=29,a16+a14=41, 所以a2+a4+a6+a8+a10+a12+a14+a16=92. 因为数列{a n}的前16项和为540, 所以a1+a3+a5+a7+a9+a11+a13+a15=540-92=448.① 因为当n为奇数时,a n+2-a n=3n-1, 所以a3-a1=2,a7-a5=14,a11-a9=26,a15-a13=38, 所以(a3+a7+a11+a15)-(a1+a5+a9+a13)=80.② 由①②得a1+a5+a9+a13=184. 又a3=a1+2,a5=a3+8=a1+10,a7=a5+14=a1+24,a9=a7+20=a1+44,a11=a9+26=a1+70,a13=a11+32=a1+102,
所以a 1+a 1+10+a 1+44+a 1+102=184,所以a 1=7. 法二 同法一得a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15=448. 当n 为奇数时,有a n +2-a n =3n -1, 由累加法得a n +2-a 1=3(1+3+5+…+n )-n +1 2 =32(1+n )·n +12-n +12=34n 2+n +1 4, 所以a n +2=34n 2+n +1 4+a 1. 所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9+a 11+a 13+a 15 =a 1+? ????34×12+1+14+a 1+? ????34×32+3+14+a 1+? ?? ?? 34×52+5+14+a 1+ ? ????34×72+7+14+a 1+? ????34×92+9+14+a 1+? ?? ??34×112 +11+14+a 1+ ? ???? 34×132+13+14+a 1=8a 1+392=448,解得a 1=7. 答案 7 2.(2018·全国Ⅰ卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和.若S n =2a n +1,则S 6=________. 解析 法一 因为S n =2a n +1,所以当n =1时,a 1=2a 1+1,解得a 1=-1. 当n ≥2时,a n =S n -S n -1=2a n +1-(2a n -1+1), 所以a n =2a n -1,所以数列{a n }是以-1为首项,2为公比的等比数列, 所以a n =-2n -1. 所以S 6=-1×(1-26)1-2 =-63. 法二 由S n =2a n +1,得S 1=2S 1+1,所以S 1=-1,当n ≥2时,由S n =2a n +1得S n =2(S n -S n -1)+1,即S n =2S n -1-1,∴S n -1=2(S n -1-1),又S 1-1=-2,∴{S n -1}是首项为-2,公比为2的等比数列,所以S n -1=-2×2n -1=-2n ,所以S n =1-2n ,∴S 6=1-26=-63.