抽取与内插滤波器
PCM／CVSD系统中内插和抽取高效滤波算法
（ ｈ ４ｈＲｓ ｒ ｎｔｒ Ｅ Ｃ， ｈｉ ｈａ ｇｔ ｂｉ ．０ １ Ｃ ｉ ） Ｔｅ５ ｔ ｅ ａｃ ｓｔ ｅｆＣ Ｔ Ｓ ｉ ｚｕｎ ｔ ｅ ００ ８ ， ｈ ａ ｅ ｈｌ ｉａ ｏ ｊ ａ ｅ ５ ｎ
Ａｂ ｔａ ｔ Ａｔｆ ｓ ，ｈ ｐ ｌｃ ｔｏ ａ ｋ ｒ ｕ ｄ ｏ ｎｔｒｏ ａｉｎ ａ ｄ ｄ ｃ ｍａｉｎ ｆ ｔｒ ｔｅ ｒ ａｔｍｅ ｃ ｎ ｅ ｓｏ ｙ ｔｍ ｅｗｅ ｎ ＰＣＭ ｎｄ ｓｒｃ ｒｔ ｔｅ ａ ｐｉ ａｉｎ ｂ ｃ ｇｏ ｎ ｆ ｉ ｅｐ ｌｔ ｎ ｅ ｉ ｔ ｌｅｓ，ｈ ｅ ｌｉ ｏ ｖ ｒｉｎ ｓｓｅ ｂ ｔ ｅ ｉ ｏ ｏ ｉ ａ
Ｃ Ｄ， ｎｒｄ ｃ ｄ． ｈ ｎ， ｉ ｌ ｄ ｅ ｉｉｎ ｅ ｉｎ ｍｅ ｄ ｏ ｔｒ ｏａｉｎ ａ ｄ ｄ ｃｍａ ｏ ｌ ｒ ａ ｅ ｎ ａ￣ ｆ ｄ ｆ ｔｒｉ ｐ ｅｅ ｔ ， ＶＳ ｉ ｉｔ ｕ ｅ Ｔ ｅ ａ ｓ ｓ ｏ ｍｐｅ ａ ｆ ｃｅ ｔｄ ｓｇ ￣ｏ ｆｉ ｅｐ ｌｔ ｅ ｉ ｔ ｎ ｆｔ ｓｂ ｓ ｄ ｏ ｎ ｎ ｏ ｎ ｉ ｉｅ ｌ ｍｎ ｅ ｓ ｒｓ ｎ ｅ ｌ ｉ ｄ
音 采用 Ａ律 ６ ｂ ｓ Ｐ Ｍ编 码体 制 。为 了解决 这 ４ｋ ｐ 的 Ｃ ２ 不 同语 音 编 码 方 式 的通 信 网之 间 的互 通 ， 要 种 需 对 内插 和抽 取 滤波器 的设 计 以半 带滤 波器 为基
础 ， 特征 介绍 如下 ： 其
① 半 带 ＦＲ滤 波 器 的 冲激 响应 除 了零 点 不 为 Ｉ
ｈ ｌ ｎ ｅ ｔｏ ａｌ ｄ ｍｔｒｍｅｈ ｄ ｂａ
０ 引言
某 专 用 网话 音 部 分 采用 １ ｂ ｓ的连 续 可变 斜 ６ｋ ｐ
１ 内插 和 抽 取 滤 波器 的设 计
ch7_1信号的抽取与内插
p p
1
X (e
j( p
p
)
p
p p
1
p p
3X D (e j )
p p
p p
序列抽取不混叠的条件
X(ej)=0，||>p/M
1
X(ej)
p
p
p
1
p X(ej)
p
p
p
p
p
1
p X(ej(p)
1
l
M
WM )
l
M
)
l0
H (z) M
X (z M WM )
l
l0
基本单元
内插等式
x[k ] L
L
H (z )
y3 [k ]
x[k ]
H ( z)
L
y 4 [k ]
Y3 ( z ) X ( z ) H ( z )
L L
Y4 ( z ) X ( z ) H ( z )
L
X (z )H (z )
n
X I ( z) X ( z )
L
XI(ej)= X(ejL)
基本单元
XI(ej)= X(ejL)
L=5时内插序列的频谱
1 X(ej)
p
镜像 1
XI(ej)
镜像
p
p
p
p
p
基本单元的连接
M
N
y[k] x[k]
MN
y[k]
x1[k]
1
x1[k]
p
p
p
p
p
p
抽取与内插滤波器
利用MATLAB计算抽样率变换
1
0.8 0.6 抽取后信号的谱 0.4 0.2 0 0 p /4 p /2 抽取滤波后 信号的谱 3p /4 p
原信号的谱
利用Matlab 计算抽样率变换
(2) 内插 [y,h] = interp(x,L)
使内插后的信号的均方误差最小来确定FIR滤波器。
h: 所用FIR的系数。 M=255; L=4; x = firls(M,[0 0.5 0.5 1],[1 1 x1=zeros(1,L*length(x)); x1(1:L:end)=x; x2=interp(x,4); w=linspace(0,pi,512); X=freqz(x,[1],w); X1=freqz(x1,[1],w); X2=freqz(x2,[1],w);
h0 h1 h2 h0 h3 h1 h2 h3
x 0 x1 x2 x 3 h0 h1
2倍内插滤波器的矩阵表示
内插矩阵[Ih]的列
h0 h1 h 2 h3 Ih h0 h1 h2 h0 h3 h1 h2 h3 h0 h1
1 π / M H (e ) 0 π / M π 但理想低通滤波器无法实现。
j
抽取滤波器
x[k ]
H (z )
M
y[k ]
X(ej)
-p
-
π M
-
m
M
m
M
π M
p
若m/M 为X(ej)中需保留的最高频率分量，则有
H (e
j
1 m / M ) 0 π / M π
ch8_1信号的抽取与内插
4.
5.
掌握抽取滤波器和内插滤波器的多级实现的基本思想。
了解半带滤波器的基本特性以及设计方法。
6. 了解两通道滤波器组的基本概念，以及两通道FIR PR滤 波器组的设计方法和主要步骤。
重 点 和 难 点
本章的重点是信号的抽取和内插的时域、 频域及z域分析
本章的难点是两通道滤波器组的分析与设计
信号的内插与抽取
x[k / L]z k
x[n]z nL
n
X I ( z) X ( z L )
基本单元
XI(ej)= X(ejL)
XI(ej)= X(ejL)
L=5时内插序列的频谱
1 X(ej)
p
镜像 1
XI(ej)
镜像
p
p
p
p
p
基本单元的联接
M
N
L L
基本单元
xD[k]
0 1 2 3 k
基本单元
例： M倍抽取是时变系统。
x[k ]
1 0 2 3 4 5
x D [k ], M 2
k
0
1
2
k
y[k ] x[k 1]
2 0 1 3 4 5 6
y D [k ], M 2
k
0 1 2 3
k
利用Matlab实现对正弦序列抽取
N=40; w0=0.6*pi; M=2 k=0:N-1; x=sin(w0*k); y=x(1:M:end); subplot(2,1,1); stem(k,x); title('x[k]'); subplot(2,1,2); stem(0:length(y)-1,y); title('y[k]');
数字信号处理7-2抽取滤波器和内插滤波器
M=2
抽取滤波器的基本概念
X(ej) 1
3 2/3 2/3
3
XD(ej)
1/2
3
序列抽取M倍不混叠的条件:
3
X(ej)=0，||>/M
x[k ]
H(z)
M
y[k ]
H(z) 2
D/A
fsam=32kHz
frec=16kHz
x(t)
x[k]
t
k
连续信号
抽样频率为32kHz的离散信号
问题解决：16 kHz 系统播放抽样频率 32 kHz信号
x[k]
w[k]
y(t)
x(t) A/D
H(z) 2
D/A
fsam=32kHz
frec=16kHz
w[k] k
频率转换后的离散信号
问题解决： 16 kHz 系统播放抽样频率 24 kHz信号
x(t)
x[k ]
A/D
2
fsam 24kHz
w[k ]
y(t)
H(z) 3
D/A
frec 16kHz
x(t)
连续信号号
问题解决： 16 kHz 系统播放抽样频率 24 kHz信号
...
/L /L
可用理想低通滤波器滤除内插后信号频谱XI(ej)中的镜像分量
H
(e
j
)
1, 0,
Ω π/L
π / L | | π
内插滤波器的基本概念
X(ej)
+m m
...
XI(ej)
m m
...
抽取与内插浅说
内插和抽取浅说Freehardman， CD，2008-10-22（转载请注明出处）数字通信系统中由于要将模拟信号数字化，必须要进行A/D变换。
A/D变换所带来的问题不只是模拟信号数字化了。
更为关键的是如何最大限度的保持原有模拟信号中所包含的有用信息。
一般涉及到两个指标，一个是ADC的分辨率，简单的表示就是转换后的数字信号的位宽，另一个就是ADC的采样速率。
在ADC分辨率一定的情况下，提高采样速率是一种有效的提高采样质量的方法。
但是采样速率的提高会给后续的处理带来压力。
在这种情况下就产生了多速率信号处理技术。
所谓多速率处理就是对已有的数字样值的处理不是按照一个速率进行，而是多个速率，其本质我认为就是对数字样值数量进行的一个变换。
样值数量的改变就是增加新的样值或者减少已有的样值。
增加样值：如果样值数量增加，那么必然导致要有一个频率相应增加的时钟信号。
如果样值数量增加一倍，那么就要有一个2倍于采样时钟的信号。
依此类推。
这个过程用术语说就是内插。
其实相当于增加采样率。
减少样值：如果样值数量减少，那么必然导致要有一个频率相应降低的时钟信号。
如果样值数量减少1半，那么就要有一个频率是采样时钟频率一半的时钟信号。
依此类推。
这个过程用术语说就是抽取。
其实相当于减少采样率。
数字下变频与数字上变频：在数字通信系统中，一般信号输入端进行减少样值（抽取），在信号输出端进行增加样值（内插）。
由前面可知，抽取后，相应的时钟频率可以降低，所以这个过程也叫数字下变频；内插后，相应的时钟频率就要升高，因此这个过程又叫数字上变频。
疑问：既然要抽取，为什么不直接在ADC采样的时候就降低频率呢？我的理解是这样的：因为在硬件电路处理上，ADC的采样时钟确定后，在工作过程中就会再有采样时钟频率的变化。
如果要求采样时钟变化，则必然要有一个控制电路以及相应和指标都很好的DDS或其他可程控的时钟源，这在硬件设计和处理上都增加复杂度。
抽取对信号本身频率的影响：在时域和频域有相应的公式，可以很容易找到。
抽取和内插
多速率信号处理及抽取和内插一：多速率信号处理1、在信号处理系统中有时需要不同的抽样率，这样做的目的有时是为了适应不同系统之间的级联，以利于信号的处理、编码、传输和存储，有时则是为了节省计算工作量。
数据速率的转换两种途径：1）数字信号数模转换模拟信号模数转换另一抽样率抽样2）数字信号处理数字信号处理基本方法抽样率转换目的：改变原有数字信号的频率方法：抽取和内插，低通滤波。
低通滤波：抽取和内插的前提条件是信号频带内没有频谱混叠，实现这一点需要用到低通滤波。
2、多速率滤波器-->具有线性相位的FIR滤波器。
常用的多速率滤波器：多速率FIR滤波器，积分梳状滤波器（CIC）和半带滤波器(HB);3、常用多速率信号处理结构第一级：CIC滤波器。
用于实现抽取和低通滤波第二级：fir实现的半带滤波器优点：工作在较低频率下，且滤波器参数得到优化，更容易以较低阶数实现，达到节省资源，降低功耗的目的。
二：抽取概念：使抽样率降低的转换。
1、整数倍抽取当信号的抽取数据量太大时，为了减少数据量以便于处理和计算，我们把抽样数据每隔（D-1）个取一个，这里D是一个整数。
这样的抽取称为整数抽取，D称为抽取因子。
2、抽取后结果：信号的频谱：信号的频谱周期降低1/D;信号的时域：信号的时域每D个少了（D-1）信号。
3、抗混叠滤波：在抽取前，对信号进行低通滤波，把信号的频带限制在抽样后频率的一半以下，这样，整数倍抽取的的问题就变成了一个低通滤波的问题。
信号时域图信号频域图程序运行后所得到的滤波前后信号的时域图，滤波器的频率响应图如上图。
从图中可以看出，经半带滤波器滤波后的信号，与原信号相比，波形没有改变，但抽样速率降低了一半；半带滤波器通阻带容限相同，具有严格线性相位。
三：内插概念：使抽样率升高的转换。
1、整数倍内插：在已知的相邻抽样点之间等间隔插入（I-1）个零值点。
然后进行低通滤波，即可求得I倍内插的结果。
2、内插后结果：信号的时域：已知抽样序列的两相邻抽样点之间等间隔多了I-1个值信号的频谱：信号的频谱周期增加了I倍。
数字信号处理讲义-信号的抽取与内插
j2πl
X(e M
)
12
M倍抽取后频谱的变换规律
XD(ej)M 1M l01
2πl
j
X(e M )
X (e j
)
扩 M 倍
X
j
(e M
)
周 期 化 2π为
1 M1
2πl
j
X(e M )
M l0
13
证明
~M[k]
M1
1 kl WM
M l0
XD(z)x[kM ]zk
n
x[n]z M
k
n是M的整数倍
1X (ej( )
13 X D (ej )
序列抽取不混叠的条件 X(ej)=0，||>/M15
1 X(ej)
X(ej) 1
1
X(ej()
2XD(ej) 1
2倍抽取产生的频谱混叠
16
抽取和内插的变换域描述
(b) L倍内插
XI(z) xI[k]zk
Ml0
H(z)M1
M l0
1
X(zMWM l )
20
内插等式
x[k ] L
H (z L ) y3[k]
x[k ] H (z)
y4[k] L
Y3(z)X(zL)H(zL) Y4(z)X(z)H(z)LX(zL)H(zL)
21
基本单元的连接
x[k ]
L v1[k] M y1[k] ?
x[k] M v2[k] L
0
3
6
9
k
xD[k]
k
0
1
2
3
5
例： M倍抽取是时变系统。
x[k ]
xD [k], M 2
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2020年4月22日星期三
抽取滤波器和内插滤波器
抽取滤波器 • 2倍抽取滤波的矩阵表示
内插滤波器 2倍内插滤波的矩阵表示
抽取滤波器
X(ejW)
-p
可用理想低通滤波器滤除X(ejW)中的高频分量
W
p
但理想低通滤波器无法实现。
抽取滤波器
X(ejW)
W
-p
p
若Wm/M 为X(ejW)中需保留的最高频率分量，则有
第0列 h0[k] =h[2k] 第2列 h0[k-1] = h[2k-2]
第4列 h0[k-2] = h[2k-4] 第2n列 h0[k-n] = h[2k-2n]
第1列 第3列
h-1[k]=h[2k -1] h-1[k-1] = h[2k-3]
第5列 h-1[k-2] = h[2k-5] 第2n+1列 h-1[k-n] = h[2k-(2n+1)]
2倍内插滤波器的时域表示
内插滤波器的时域表示
例：2倍抽取滤波器hR[k]=h[-k]的矩阵表示
例：2倍内插滤波器hR[k]=h[-k]的矩阵表示
利用MATLAB 计算抽样率变换
(1) 抽取 y = decimate(x,M)
用8阶Chebyshev I 型 IIR 低通滤波器进行滤波。 为保证零相位，对序列进行正向和反向滤波。
第4行 h0[2-n]= h[4-2n]
第2k行 h0[k-n]= h[2k-2n]
第-1行 第1行 第3行 第2k-1行
h-1[-n] = h[-1-2n] h-1[1-n]= h[1-2n ] h-1[2-n]= h[3-2n ] h-1[k-n] = h[2k-1-2n]
矩阵[Ih]的第k行第n 列
2倍抽取滤波的时域表示
M倍抽取滤波的时域表示
内插滤波器(interpolation filter)
可用理想低通滤波器滤除XI(ejW)中的镜像分量
内插滤波器(interpolation filter)
内插滤波器的幅度响应为
2倍内插滤波器的矩阵表示
2倍内插滤波器的矩阵表示
➢内插矩阵[Ih]的列
第0列 第1列 第2列 第n列
h[k] h[k -2] h[k -4] h [k-2n]
矩阵[Ih]的第k行第n 列
2倍内插滤波器的矩阵表示
➢内插矩阵[Ih]的行 第0行 h0[-n]= h[-2n]
第2行 h0[1-n] =h[2-2n] 第4行 h0[2-n]= h[4-2n] 第2k行 h0[k-n]= h[2k-2n]
1 0]);
M=255; x = firls(M,[0 0.25 0.25 0.5 0.5 1],[1 1 1
0 0 0]); x1=x(1:4:end); x2=decimate(x,4); w=linspace(0,pi,512); X=freqz(x,[1],w);X1=freqz(x1,[1],w); X2=freqz(x2,[1],w);
2倍抽取滤波的矩阵表示
➢抽取矩阵[Dh]的列
第-1列 第1列 第3列 第2n-1列
h1 [k] = h[2k +1] h1[[k-n] = h[2k-(2n-1)]
第0列 第2列 第4列 第2n列
h0[k] = h[2k] h0[k-1] = h[2k-2] h0[k-2] = h[2k-2] h0[k-n] = h[2k-2n]
利用MATLAB计算抽样率变换
1 0.8 0.6 0.4 0.2
0 0
原信号的谱 抽取后信号的谱
抽取滤波后
信号的谱
p/4
p/2
3p /4
p
W
利用Matlab 计算抽样率变换
(2) 内插
[y,h] = interp(x,L)
使内插后的信号的均方误差最小来确定FIR滤波器。
h: 所用FIR的系数。
M=255; L=4; x = firls(M,[0 0.5 0.5 1],[1 1 x1=zeros(1,L*length(x)); x1(1:L:end)=x; x2=interp(x,4); w=linspace(0,pi,512); X=freqz(x,[1],w); X1=freqz(x1,[1],w); X2=freqz(x2,[1],w);
第1行 第3行 第5行 第2k+1行
h1[-n] = h[1-2n] h1[1-n]= h[3-2n ] h1[2-n]= h[5-2n ] h1[k-n] = h[2k+1-2n]
矩阵[Ih]的第k行第n 列
2倍内插滤波器的矩阵表示
➢内插矩阵[Ih]的行 第0行 h0[-n]= h[-2n]
第2行 h0[1-n] =h[2-2n]
抽取滤波器
更一般地，抽取滤波器的幅度响应可为
2倍抽取滤波的矩阵表示
2倍抽取滤波的矩阵表示
➢抽取矩阵[Dh]的行
第0行 h[-n] 第1行 h[2-n] 第k行 h[2k-n]
右移2个样本 (k 固定，不同的n表示列 )
抽取矩阵[Dh]的第k行第n 列
2倍抽取滤波的矩阵表示
➢抽取矩阵[Dh]的列