永州市2019年第一次模拟考试理科数学问卷(定稿)

永州市2019年高考第一次模拟考试试卷
数学（理科）
命题人：王勇波（祁阳一中） 廖信亮（新田一中）
陶先国（蓝山二中） 杨迪虹（永州一中）
审题人：蒋 健（永州市教科院） 注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置． 3．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4．考试结束后，只交答题卡．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，请将正确选项的代号填入答题卷内．） 1．设集合A =｛x ∈Z|x 2－4x +3≤0｝，集合B ={2，3，4，5}，则A B =
A ．φ
B ．{2}
C ．{2，3}
D ．{2，3，4}
2．已知1
1z i
=
+（i 是虚数单位），则复数z 的模为 A ．12 B
C
D ． 2
3．若2x >，则4
2
x x +-的最小值为
A ．4
B ． 5
C ． 6
D ． 7
4． 已知数列{a n }满足a 2=2，a n+1=1
2
a n ，则数列{a n }的前5项和S 5等于
A ．
31
4
B ．
31
2
C ．31
D ．32
5．已知实数,x y 满足2402202x y x y y --≥--≤≤⎧⎪
⎨⎪⎩
，则z x y =-的最小值是
A ． －1
B ． 1
C ．2
D ．4
6．如图所示的程序框图的算法思路来源于“欧几里得算法”．图中的
“a MOD b ”表示a 除以b 的余数，若输入a ，b 的值分别为195，
52，则执行该程序后输出的结果为
A ．13
B ．26
C ．39
D ．780
7．已知数列{a n }前n 项和为S n ，且a n =n ，令b n =12n
S ，则数列{b n }的前n 项和T n 为
A ．1
1-n
B ．111
-
+n C ．2
2-n
D ．221
-
+n
8．若函数cos 2sin =+f a x x x （）在区间63
ππ（，）单调递减，则实数a 的取值范围是 A ．1[)2
+∞， B ．1
()2
+∞，
C
．)6
+∞ D ．1
[)4
+∞，
9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A ．364π-
B ．62π-
C ．64π-
D ．64
π+
10．已知函数f （x －1）（x ∈R ）是偶函数，且函数f （x ）的图象关于
点（1，0）成中心对称，当x ∈［－1，1］时，f （x ）=x －1，则f （2019）=
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．2
11．直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2，AC ＝BC ＝3，AA 1
直线AA 1与平面A 1BC 所成角的正弦值是
A ．3
5
B ．34
C ．45
D ．43
12．已知点F 是双曲线C ：22
22100-=>>x y a b a b
（，）的右焦点，过点F 作其中一条渐近线的
垂线，垂足为M ，与另一条渐近线交于N ，若2=FN MF u u u r u u u r
，则双曲线的离心率为
A
B
C
D
．
第II 卷
本卷包括必考题和选考题，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卷中对应题号后的横
线上．） 13．
在3
2x （的展开式中，常数项是 ．
14．从3个男生、2个女生中随机抽取2人，则抽中的2人不全是男生的概率是 ．
俯视图
侧视图
正视图（第9小题图）
15．椭圆是圆的一个伸缩变换，椭圆C ′：222210+=>>x y a b a b （）是圆C ：22
221+=x y a a
作伸缩
变换'='=⎧⎪
⎨⎪⎩
x x
b y y a 得到的，我们说C ′与C 的纵伸缩比是b a ，横伸缩比是1，伸缩变换的两
图形的面积比为伸缩比之积，圆C ：22
221+=x y a a
的面积是S ＝πa 2，椭圆C ′：
22221(0)+=>>x y a b a b 的面积S S '＝1b b a a ⨯=，S ′＝πab ．过点P （3，0）作直线l 与椭圆22142
+=x y 相交于点M ，N ，则△OMN （O 是坐标原点）的面积最大值是 ． 16．在△ABC 中，CA ＝2，CB ＝4，2⋅=-CA CB u u r u u r ，O 是△ABC 的外心，若=+CO xCA yCB u u u r u u r u u r ，
则x +y ＝ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD =2，
cos ∠ADC =17，cos ∠DAB =1314
．
（1）求角B ； （2）求AC 的长．
18．（本小题满分12分）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为长方形，AB ＝2BC ＝6，点E 是线段AB 的中点，PC ＝PD ＝PE
＝，点F 在线段 PC 上，且1
3=PF PC ．
（1）证明：AD PC ⊥；
（2）求二面角F －DE －C 的余弦值．
19．（本小题满分12分）如图，圆M ：x 2+(y －2)2=32，N （0，－2），
点P 是圆M 上的点，连接PN 交圆M 于点Q ，过N 作MQ 的平行线交MP 于E ．
（1）求证：｜ME ｜＋｜NE ｜为定值，并求动点E 的轨迹Γ的
方程；
（2）点F （4，3），点A （1，0），过A 作直线l 交Γ于G ，H 两
点，求证：直线FG ，FH 的斜率之和为定值．
（第19小题图）
D B A
（第17小题图） E
D F
B C
A
P
（第18小题图）
20．（本小题满分12分）某城市的美团外卖和百度
外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下： 美团外卖的底薪90元，每单提成m 元；百度 外卖的底薪120元，每日前40单无提成，超出 40单的部分每单提成6元．现从两公司各随机 抽取50名“骑手”，跟踪30天，考察他们的 每天的派送单数，得出两公司的“骑手”的人 平均派送单数情况如右条形图：
（1）求百度外卖公司的“骑手”日工资y （单位：
元）与送餐单数n 的函数关系； （2）若将频率视为概率，回答以下问题：
①记百度外卖的“骑手”日工资为X （单位：元），求X 的分布列和数学期望； ②要使美团“骑手”的日工资期望值与百度外卖的“骑手”日工资期望值相等，求m 的值（精确到0.1）．
21．（本小题满分12分）函数f （x ）=x 2+m ln （x +1）． （1）当4m =-时，求函数f （x ）的单调减区间；
（2）若函数f （x ）有两个极值点x 1、x 2，且x 1＜x 2，求21f x x （）的取值范围．
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，点A
的极坐标4π，），曲线C 1的极坐标方程为cos 4
πρθ-=a （），且曲线C 1过点A ，曲线
C 2的极坐标方程为2cos ρθ=-．
（1）求a 的值及曲线C 2的直角坐标方程；
（2）求曲线C 2上的点到曲线C 1的距离的最大值．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数1=+f x x （）． （1）解不等式：2f x x ≤（
）； （2）若不等式2f x a x --≥（）的解集为非空集合，求a 的取值范围．。