第二十八章锐角三角函数单元检测试卷含答案解析

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人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)单元测试1(含解析)

人教版九下第28章锐角三角函数单元测试一、选择题（共10小题）1. 在△ABC中，∠C=90∘，AC=6，BC=2，那么下列各式中正确的是( )A. tan A=13B. cot A=13C. sin A=13D. cos A=132. 如图，已知Rt△ABC，CD是斜边AB边上的高，那么下列结论正确的是( )A. CD=AB⋅tan BB. CD=AD⋅cot AC. CD=AC⋅sin BD. CD=BC⋅cos A3. 在Rt△ABC中，sin A的值为12，则cos A的值等于( )A. 12B. 22C. 32D. 34. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(4,0)，点B的坐标为(0,3)，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，连接BC，则∠C的正弦值为( )A. 13B. 3 C. 1010D. 310105. 如图，点E在矩形ABCD的边CD上，AB=2BC，则tan∠CBE+tan∠DAE的值是( )A. 2B. 2+3C. 2−3D. 2+236. 在△ABC中，AB=23，∠BAC=30∘．下列线段BC的长度不能使△ABC的形状和大小都确定的是( )A. 2B. 4C. 3D. 237. 如图，为加快5G网络建设，某通信公司在一个坡度i=1:2.4的山坡AB上建了一座信号塔CD，信号塔底端C到山脚A的距离AC=13米，在距山脚A水平距离18米的E处，有一高度为10米的建筑物 EF ，在建筑物顶端 F 处测得信号塔顶端 D 的仰角为 37∘（信号塔及山坡的剖面和建筑物的剖面在同一平面上），则信号塔 CD 的高度约是 ( )（参考数据：sin37∘≈0.60，cos 37∘≈0.80，tan37∘≈0.75）A. 22.5 米B. 27.5 米C. 32.5 米D. 45.0 米8. 如图，某梯子长 10 米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为 α 时，梯子顶端靠在墙面上的点 A 处，底端落在水平地面的点 B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为 β，已知 sin α=cos β=35，则梯子顶端上升了 ( )A. 1 米B. 1.5 米C. 2 米D. 2.5 米9. 在 Rt △ABC 中，AC =8，BC =6，则 cos A 的值等于 ( )A. 45B. 74C. 45 或 74D. 45 或 27710. 如图，电线杆 CD 的高度为 ℎ，两根拉线 AC 与 BC 互相垂直，∠CAB =α（A ，D ，B 三点在同一条直线上），则拉线 BC 的长度为 ( )A. ℎsin αB. ℎcos αC. ℎtan αD. ℎ⋅cos α二、填空题（共8小题）11. 如果在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为 (3,4)，射线 OP 与 x 轴的正半轴所夹的角为 α，那么 α 的余弦值等于．+∣tan B−3∣=0，那么△ABC的形状是．12. 若cos A−1213. 如图，点C在线段AB上，且AC=2BC，分别以AC，BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE，BCFG，连接EC，EG，则tan∠CEG=．14. 如果矩形一边的两个端点与它对边上的一点所构成的角是直角，那么我们就把这个点叫做矩形的“直角点”，如图，如果E是矩形ABCD的一个“直角点”，且CD=3EC，那么AD:AB的值是．15. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角为45∘的传送带AB调整为坡度i=1:3的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是42 m，那么新传送带AC的长是m．16. 如图，某校为了筹备校园艺术节，要在通往舞台的台阶上铺上红色地毯．如果地毯的宽度恰好与台阶的宽度一致，台阶的侧面如图所示，台阶的坡角为30∘，∠BCA=90∘,台阶的高BC为2 m，那么m长的地毯恰好能铺好台阶（精确到0.1 m；参考数据：2≈1.414，3≈1.732）．17. 如图，在△ABC和△DEF中，∠B=40∘，∠E=140∘，AB=EF=5，BC=DE=8，则这两个三角形面积的大小关系为S△ABC S△DEF（填“>”“=”或“<”）．18. 如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在，则矩形ABCD 边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF⋅AD=15，tan∠BNF=52的面积为．三、解答题（共6小题）19. 计算：4sin260∘−2sin30∘−cot45∘．tan60∘−2cos45∘20. 已知二次函数y=ax2+x+c的图象经过点A(4,0)，B(−2,0)，与y轴交于点C，求∠ACB的正切值．21. 如图，已知△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E在同一直线上，连接BD交AC边于点F．（1）如果∠ABD=∠CAD，求证：BF2=DF⋅DB；（2）如果AF=2FC，S四边形ABCD=18，求S△DCF的值．22. 在数学综合实践活动课上，某小组要测量学校升旗台旗杆的高度．如图，测得BC∥AD，斜坡AB的长为6 m，坡度i=1:3，在点B处测得旗杆顶端的仰角为70∘，点B到旗杆底部C的距离为4 m．（参考数据：sin70∘≈0.94，cos70∘≈0.34，tan70∘≈2.75，结果精确到1 m）（1）求斜坡AB的坡角α的度数；（2）求旗杆顶端离地面的高度ED．23. 由于发生山体滑坡灾害，武警救援队火速赶往灾区救援，探测出某建筑物废墟下方点C处有生命迹象．在废墟一侧地面上探测点A，B相距2米，探测线与该地面的夹角分别是30∘和60∘（如图所示），试确定生命所在点C的深度（参考数据：2≈1.414，3=1.732，结果精确到0.1）24. 如图所示，一幢楼房AB的后面有一台阶CD，台阶每层高0.2米，且AC=17.2米，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60∘时，测得楼房在地面上的影长AE=10米，现有一只小猫睡在台阶的MN这层上晒太阳．（参考数据：3≈1.73）（1）求楼房的高度约为多少米；（结果精确到0.1米）（2）过了一会儿，当α=45∘时，小猫（填“能”或“不能”）晒到太阳．答案1. A【解析】∵∠C=90∘，BC=6，AC=2，∴AB=62+22=210．A．tan A=BCAC =26=13，正确；B．cot A=ACBC =62=3，故不正确；C．sin A=BCAB =2210=1010，故不正确；D．cos A=ACAB =6210=31010，故不正确．2. D3. C【解析】∵sin A=12，∴∠A=30∘，∴cos A=cos30∘=32．故选C．4. D【解析】由题意知OA=4，OB=3，在Rt△AOB中，AB=OA2+OB2=32+42=5，∴AC=AB=5，∴OC=AC−AO=1，在Rt△BOC中，BC=OC2+OB2=12+32=10，∴sin C=OBBC =310=31010．5. A6. A【解析】如图（1），过点B作BD⊥AC于点D，×23=3，则BD=AB sin30∘=12故当BC=3，即点D与点C重合时，△ABC的形状和大小唯一确定，即C选项不符合题意；当BC=2时，如图（2），则BC1=BC2=2，此时△ABC1与△ABC2的形状和大小不相同，即选项A符合题意；当BC=23时，△ABC是等腰三角形，如图（3），此时△ABC的形状与大小确定，故选项D不符合题意；当BC=4时，如图（4），△ABC是钝角三角形，形状与大小确定，故选项B不符合题意．7. B8. C【解析】如图所示，在Rt△ABC中，AC=sinα×AB=35×10=6（米）；在Rt△DEC中，DC=cosβ×DE=35×10=6（米），EC=DE2−DC2=100−36=8（米）；∴AE=EC−AC=8−6=2（米）．9. C【解析】存在两种情况：①当AB为斜边时，∠C=90∘，∵AC=8，BC=6，∴AB=AC2+BC2=82+62=10．∴cos A=ACAB =810=45，②当AC为斜边时，∠B=90∘，∵AC=8，BC=6，∴AB=AC2−BC2=82−62=27，∴cos A=ABAC =278=74．综上所述，cos A的值等于45或74．10. B11. 35【解析】过P作PA⊥x轴于A，∵P(3,4)，∴PA=4，OA=3，由勾股定理得：OP=5，∴α的余弦值是OAOP =35．答案为：35．12. 等边三角形【解析】由题意得cos A−12=0，tan B−3=0，∴cos A=12，tan B=3，∴∠A=60∘，∠B=60∘，∴∠C=60∘，∴△ABC的形状是等边三角形．13. 12【解析】设BC=a，则AC=2a．∵正方形ACDE，∴EC=(2a)2+(2a)2=22a，∠ECD=12∠ACD=45∘．同理：CG=2a，∠GCD=12∠BCD=45∘．∴tan∠CEG=CGCE =2a22a=12．14. 2315. 8【解析】作AD⊥直线CB于点D，∵∠ABD=45∘，∴AD=BD，∵AB=42，∴AD=BD=AB sin45∘=42×22=4，∵新传带AC的坡度i=1:3，∴ADDC =4DC=13，则DC=43，∴AC=AD2+DC2=8(m)．16. 5.517. =【解析】如图1，过点D作DH⊥EF，交FE的延长线于点H，∵∠DEF=140∘，∴∠DEH=40∘．∴DH=sin∠DEH⋅DE=8sin40∘，∴S△DEF=12EF⋅DH=20sin40∘．如图2，过点A作AG⊥BC于点G．∵AG=sin B⋅AB=5sin40∘，∴S△ABC=12BC⋅AG=20sin40∘，∴S△DEF=S△ABC．18. 155【解析】由折叠的性质可得AE=EF，AD=DF，AN=NF，∠EAN=∠EFN，∴∠BEF=2∠EAN．在Rt△ABF中，∵AN=NF，∴BN=AN=NF，∴∠EAN=∠EBN，∠BNF=2∠EAN，∴∠BEF=∠BNF，∵tan∠BNF=52，∴tan∠BEF=52，∴BFBE =52，设BF=5k(k>0)，则BE=2k，∴AE =EF =BF 2+BE 2=3k ，∴AB =CD =5k ．由折叠的性质可得 ∠EFD =∠EAD =90∘，∴∠BFE +∠CFD =90∘，又 ∵∠BEF +∠BFE =90∘，∴∠CFD =∠BEF ．∴ 在 Rt △CFD 中，tan ∠CFD =CD CF =52， ∴CF =25k ，∴AD =BC =35k ．∵BF ⋅AD =15，∴5k ⋅35k =15，解得 k =1（会去负值），∴AB =5，BC =35，∴矩形ABCD 的面积=AB ⋅BC =5×35=155．19. 原式==3−2=3+2.20. 解法一：根据题意，得 0=16a +4+c,0=4a−2+c.解得 a =−12,c =4.∴ 二次函数的解析式为 y =−12x 2+x +4．∴ 点 C (0,4)．作 BH ⊥AC ，垂足为点 H ．可求得 AH =BH =32，AC =42．∴CH =2．∴tan ∠ACB =3．【解析】解法二：设二次函数的解析式为 y =a (x−4)(x +2)．展开，得 y =ax 2−2ax−8a ．比较系数，得 −2a =1．a =−12．∴ 二次函数的解析式为 y =−12x 2+x +4．（下同解法一）．21. （1） ∵△ABC ，△DCE 均为等边三角形，∴AB =AC ，∠BAC =∠ACB =∠DCE =60∘，∴∠ACD =180∘−∠ACB−∠DCE =60∘，∴∠BAC =∠ACD ，在 △ABF 和 △CAD 中， ∠BAC =∠ACD,∠ABD =∠CAD,AB =AC,∴△ABF ≌△CAD ，∴AD =BF ，∵∠ABD =∠FAD ，∠ADB =∠ADB ，∴△ADF ∽△BDA ，∴AD BD =DF AD ，即 AD 2=DF ⋅DB ，∵AD =BF ，∴BF 2=DF ⋅DB ．（2） ∵∠AFB =∠DFC ，∠BAF =∠DCF ，∴△DCF ∽△ABF ，∴BF DF =AF FC ，∵AF =2FC ，∴BF DF =AF FC =2，∴BF =2FD ，设 S △DCF =x ，∵S △ADF S △DCF =AF FC =2，∴S △ADF =2x ，同理可得，S △ABF =4x ，S △BCF =2x ，∵S 四边形ABCD =18，∴S △DCF +S △ADF +S △ABF +S △BCF =18，即 x +2x +4x +2x =18，解得 x =2，即 S △DCF =2．22. （1）如图，作 BF ⊥AD 于点 F ，∵i =tan ∠BAF =BF AF =13=33， ∴∠BAF =30∘，即 α=30∘．（2） ∵∠BAF =30∘，AB =6，∴CD=BF=12AB=3．在Rt△BCE中，∵∠EBC=70∘，BC=4，∴EC=BC⋅tan∠EBC=4tan70∘≈11，∴ED=EC+CD=11+3=14(m)．答：旗杆顶端离地面的高度ED约为14 m．23. 如图所示，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由题意可知，∠CAD=30∘，∠CBD=60∘，设CD=x米，则BD=xtan60∘，AD=xtan30∘，∵AB=2米，AD=AB+BD，∴AD=2+BD，∴2+xtan60∘=xtan30∘，解得，x≈1.7．即生命所在点C的深度是1.7米．24. （1）当α=60∘时，在Rt△ABE中，∵tan60∘=ABAE =AB10，∴AB=10⋅tan60∘=103≈10×1.73=17.3（米）．即楼房的高度约为17.3米．（2）能【解析】当α=45∘时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α=45∘时，从点B射下的光线与地面AD的交点为点F，与MC的交点为点H，如图所示．∵∠BFA=45∘，∴tan45∘=ABAF=1，此时的影长AF=AB≈17.3米，∴CF=AF−AC≈17.3−17.2=0.1（米），∴CH=CF=0.1米，∴楼房的影子落在台阶MC这个侧面上，∴小猫能晒到太阳．。

人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)单元测试1(含答案)

人教版九年级数学下册第二十八章-锐角三角函数定向测试考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，ABA ．sin AB ．tan A ＝2C ．cos B ＝2D ．sin B 2、已知，在矩形ABCD 中，DE AC ⊥于E ，设ADE α∠=，且35=cos α，4AB =，则AD 的长为（）A ．3B ．163C ．203D ．1653、如图，△ABC 的顶点在正方形网格的格点上，则cos ∠ACB 的值为（）A ．12BCD 4）A ．2B ．3C ．4D ．55、在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则sin B 的值为（）A B C ．12D6sin60°﹣2tan45°的值是（）A ．2B ．32C ．D ．27、如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =5，AC =12，则tanB 等于（）A ．512B ．125C ．513D ．12138、在 ABC 中，(22cos 1tan 0A B +-= ，则 ABC 一定是（）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形9、如图所示，九（二）班的同学准备在坡角为α的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的水平距离为8 m ，那么这两棵树在坡面上的距离AB 为（）A．8cosαm B．8cosαm C．8sina m D．8sinαm10、tan30︒的相反数是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，大坝的横截面是一个梯形，坝顶宽10mDC=，坝高15m，斜坡AD的坡度11:2l=，斜坡BC的坡度23:4l=，则坡底宽AB=__________m．2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝A为圆心，AC长为半径作弧交AB于点D，再以点B为圆心，BD长为半径作弧交BC于点E，则图中阴影部分的面积为______．3、如图公路桥离地面的高度AC为6米，引桥AB的水平宽度BC为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD，使其坡度为1：6，则BD的长____．4、如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB，CD于点E，F，则弧EF的长是_________．5、如图，将ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处．如果:3:5∠的值AB AD=，那么tan EFC是__________三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒，观测旗杆底部B 的仰角为45︒，则建筑物BC的高约为多少米？（结果保留小数点后一位）．（参考数据sin530.80︒≈，︒≈）︒≈，tan53 1.33cos530.602、计算：221cot 60cos30tan 60sin 453⋅-+ ．3、如图，平行四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，与BD 交O 一点，直线EF 过点O 分别交直线AB ，CD ，BC 于E ，F ，H ．（1）求证：△BOE ≌△DOF ；（2）若OC 2＝HC •BC ，OC ：BH ＝，求sin∠BAC ；（3）在△AOF 中，若AF ＝8，AO ＝OF ＝ABCD 的面积．4、计算：sin30°•tan45°+sin 260°﹣2cos60°．5、计算、解方程：（1）267x x =+（2）24(3)(3)x x x -=-（3）112tan 454sin 602-⎛⎫-︒+︒- ⎪⎝⎭---------参考答案-----------一、单选题1、D【分析】根据正弦、余弦及正切的定义直接进行排除选项．【详解】解：在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AB∴2AC ==，∴1sin tan ,cos 2BC BC BC AC A A B B AB AC AB AB ========；故选D ．【点睛】本题主要考查三角函数，熟练掌握三角函数的求法是解题的关键．2、B【分析】根据同角的余角相等求出∠ADE =∠ACD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC =∠ACD ，然后求出AC ，再利用勾股定理求出BC ，然后根据矩形的对边相等可得AD =BC ．【详解】解：∵DE ⊥AC ，∴∠ADE +∠CAD =90°，∵∠ACD +∠CAD =90°，∴∠ACD =∠ADE =α，∵矩形ABCD 的对边AB ∥CD ，∴∠BAC =∠ACD ，∵cosα=35，∴35AB AC =，∴AC =53×4=203，由勾股定理得，BC =163，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD =BC =163．故选：B ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质，熟记各性质并求出BC 是解题的关键．3、D【分析】根据图形得出AD 的长，进而利用三角函数解答即可．【详解】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，∴DC =1，AD =3，∴AC =，∴cos ∠ACB =DC AC ==【点睛】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是掌握勾股定理逆定理及余弦函数的定义．4、B【分析】如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，再由等边三角形的性质，可得∠OAB =30°，12AD AB =，然后根据锐角三角函数，即可求解．【详解】解：如图，O 为正三角形ABC 的外接圆，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，连接OA ，根据题意得：OA，∠OAB =30°，12AD AB =，在Rt AOD △中，3cos 2AD OA OAB =⋅∠== ，∴AB =3，即这个正三角形的边长是3．故选：B【点睛】本题主要考查了锐角三角函数，三角形的外接圆，熟练掌握锐角三角函数，三角形的外接圆性质是解题的关键．5、A先根据勾股定理求出斜边AB 的值，再利用正弦函数的定义计算即可．【详解】解：∵在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，BC =2，∴AB =∴sin B =AC AB 故选：A ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理．解决此类题时，要注意前提条件是在直角三角形中，此外还有熟记三角函数的定义．6、B【分析】先分别求解特殊角的三角函数值，再代入运算式进行计算即可.【详解】sin60°﹣2tan45°21+-´ 1322=+- 32=故选B【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的混合运算，正确的记忆特殊角的三角函数值是解本题的关键.7、B【分析】根据锐角三角函数求解即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝5，AC ＝12，所以tanB ＝AC BC ＝125，故选：B ．【点睛】本题考查锐角三角函数，掌握正切的定义：正切是指是直角三角形中，某一锐角的对边与另一相邻直角边的比，是正确解答的关键．8、D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得(32cos 0A =，1tan 0B -=，从而得cos A =tan 1B =，根据特殊角度三角函数的性质，得45A ∠=︒，45B ∠=︒；根据等腰三角形和三角形内角和性质计算，即可得到答案．【详解】解：∵(32cos 1tan 0A B +-=∴(32cos 0A =，1tan 0B -=∴02cos A =，1tan 0B -=∴cos A =tan 1B =∴45A ∠=︒，45B ∠=︒∴18090C A B ∠=︒-∠-∠=︒，BC AC=∴ ABC 一定是等腰直角三角形故选：D ．【点睛】本题考查了绝对值、三角函数、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角函数的性质，从而完成求解．9、B【分析】运用余弦函数求两树在坡面上的距离AB ．【详解】解：∵坡角为α，相邻两树之间的水平距离为8米，∴两树在坡面上的距离8cos AB α=（米）．故选：B ．【点睛】此题主要考查解直角三角形中的坡度坡角问题及学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．10、C【分析】先计算tan 30︒【详解】∵tan 30︒故选C ．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，相反数的定义，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．二、填空题1、60【解析】【分析】过点D 作DE AB ⊥于点E ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，先根据矩形的判定与性质可得10m EF DC ==，再根据坡度的定义求出,AE BF 的长，然后根据线段的和差即可得．【详解】解：如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，过点C 作CF AB ⊥于点F ，则15m DE CF ==，四边形DEFC 是矩形，10m EF DC ∴==，斜坡AD 的坡度11:2l =，斜坡BC 的坡度23:4l =，13,24DE CF AE BF ∴==，即151153,24AE BF ==，解得30(m),20(m)AE BF ==，则坡底宽30102060(m)AB AE EF BF =++=++=，故答案为：60．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用（坡度）、矩形的判定与性质等知识点，掌握理解坡度的定义（坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度）是解题关键．2、π【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，求出∠B 和∠A 的度数，再根据三角形的面积公式和扇形的面积公式分别求出△ACB 和扇形ACD 、扇形BDE 的面积，最后求出答案即可．【详解】解：∵∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝∴由勾股定理得：AB =4，∴tan AC B BC ===∴∠B ＝30°，∠A ＝60°，由题意，AC =AD =2，则BD =AB -AD =2，∴阴影部分的面积S ＝S △ABC ﹣S 扇形ACD ﹣S 扇形BDE22160230222360360ππ⨯⨯=⨯⨯-π=，故答案为：π-．【点睛】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，以及扇形面积相关计算问题，掌握特殊角的三角函数值，以及扇形的面积计算公式是解题关键．3、12米##12m【解析】【分析】根据坡度的概念可得ACCD =16，求得CD，即可求解．【详解】解：根据坡度的概念可得ACCD =16，CD=6AC=36m，BD=CD−BC=12m，故答案为：12m【点睛】此题考查了坡度的概念，掌握坡度的概念是解题的关键，坡面的垂直高度和水平方向的距离的比叫做坡度．4、2 3π【解析】【分析】先根据12OD OF=得出30OFD∠=︒，同理可得出30OEA∠=︒，进而得出60EOF∠=︒，根据扇形的弧长公式计算即可．【详解】由题意可得：2OE OG OF===∴12OD OF =∴在Rt ODF 中，1sin 2OD OFD OF ∠==∴30OFD ∠=︒同理可得：30OEA ∠=︒AB OG DC∥∥ 30EOG OEA ∴∠=∠=︒，30FOG OFD ∠=∠=︒∴60EOF EOG FOG ∠=∠+∠=︒∴ 60221801803n r EF πππ⨯===故答案为：23π【点睛】本题考查了扇形的弧长计算，以及直角三角形的性质，熟练掌握扇形的弧长计算公式和直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．5、43##113【解析】【分析】利用“一线三垂直”模型，可知=EFC BAF ∠∠，由折叠可知，AE =AD ，利用勾股定理表示出BF ，即可求出tan EFC ∠的值．【详解】解：由题意得，∵=90D AFE ∠∠=︒,∴==90B C AFE ∠∠∠=︒，即：90EFC BFA BFA BAF ∠+∠=∠+∠=︒，∴=EFC BAF ∠∠．设：AB 为3x ，则AD 为5x ，∵AE =AD =5x ，∴在t R ABF 中，有勾股定理得：4BF x ===，∴44tan =33BF x BAF AB x ∠==，∴4tan =3EFC ∠．故答案为：43．【点睛】本题是图形与三角函数的综合运用，利用图形的变换，表示出所求的教角的函数值是本题的关键．三、解答题1、建筑物BC 的高约为24.2米【解析】【分析】先根据等腰直角三角形的判定与性质可得BC CD =，设m BC CD x ==，从而可得(8)m AC x =+，再在Rt ACD △中，利用正切三角函数解直角三角形即可得．【详解】解：由题意得：AC CD ⊥，8m AB =，53ADC ∠=︒，45BDC ∠=︒，Rt BCD ∴ 是等腰直角三角形，BC CD ∴=，设m BC CD x ==，则(8)m AC x =+，在Rt ACD △中，tan AC ADC CD∠=，即8tan 53 1.33x x +=︒≈，解得24.2(m)x ≈，经检验，24.2(m)x ≈是所列分式方程的解，且符合题意，∴建筑物BC 的高约为24.2米，答：建筑物BC 的高约为24.2米．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．2、0【解析】【分析】先将特殊角锐角三角锐角三角函数值代入，再合并，即可求解．【详解】解：2213=⨯+原式11122=-+=0【点睛】本题主要考查了锐角三角函数的混合运算，熟练掌握特殊角锐角三角锐角三角函数值是解题的关键．3、（1）证明见解析；（2（3）80．【解析】【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得,OB OD AB CD = ，再根据平行线的性质可得,OBE ODF OEB OFD ∠=∠∠=∠，然后根据三角形全等的判定定理即可得证；（2）先根据菱形的判定证出平行四边形ABCD 是菱形，再根据菱形的性质可得,AC BD AB BC ⊥=，然后设(0),(0)BH x x CH y y =>=>，从而可得,OC AB BC x y ===+，代入2OC HC BC =⋅解一元二次方程可得9y x =，由此可得10,AB x OB ==，最后在Rt AOB 中，利用正弦三角函数的定义即可得；（3）先根据平行四边形的判定证出四边形AECF 是平行四边形，再根据矩形的判定证出平行四边形AECF 是矩形，根据矩形的性质可得90AFC ∠=︒，然后利用勾股定理可得16CF =，设(0)AD CD a a ==>，从而可得16DF a =-，在Rt ADF 中，利用勾股定理可得10a =，最后利用平行四边形的面积公式即可得．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，,,AB CD OB OD AB CD ∴== ，,OBE ODF OEB OFD ∴∠=∠∠=∠，在BOE △和DOF △中，OBE ODF OEB OFD OB OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BOE DOF AAS ∴≅ ；（2）AB CD ∥，BAC ACD ∴∠=∠，AC 平分BAD ∠，BAC DAC ∴∠=∠，ACD DAC ∴∠=∠，AD CD ∴=，∴平行四边形ABCD 是菱形，,AC BD AB BC ∴⊥=，:OC BH =∴设(0),(0)BH x x CH y y =>=>可得,OC AB BC x y ===+，由2OC HC BC =⋅得：2)()y x y =+，解得9y x =或100y x =-<（不符题意，舍去），10,AB x OB ∴===，在Rt AOB 中，sin OB BAC AB ∠==（3）由（1）已证：BOE DOF ≅△△，,BE DF OE OF ∴==，AB CD = ，AB BE CD DF ∴+=+，即AE CF =，又AB CD ∥，即AE CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，AO OF ==AO OF OE OC ∴====AC EF ∴==∴平行四边形AECF 是矩形，90AFC ∴∠=︒，16CF ∴===，设(0)AD CD a a ==>，则16DF a =-，在Rt ADF 中，222AF DF AD +=，即2228(16)a a +-=，解得10a =，即10CD =，则平行四边形ABCD 的面积为10880CD AF ⋅=⨯=．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、一元二次方程的应用、正弦三角函数等知识点，熟练掌握特殊平行四边形的判定与性质是解题关键．4、14【解析】【分析】将特殊角的三角形函数值代入计算即可【详解】原式2111222=⨯+-⨯13124=+-14=【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解答的关键．5、（1）127,1x x ==-；（2）123,4x x ==；（3）-【解析】（1）利用配方法求出方程的解；（2）利用因式分解法求出方程的解；（3）利用负指数幂法则，特殊角的三角函数值计算，化简二次根式后计算出最后的结果．【详解】（1）解：x 2=6x +7方程可化为26916x x -+=即2(3)16x -=∴34x -=±∴127,1x x ==-；（2）解：4(x −3)2=x (x −3)方程可化为：24(3)(3)0x x x ---=∴(3)(312)0x x --=∴30x -=或3120x -=∴123,4x x ==．（3））11()2-−2tan45°+4sin60°−＝2﹣2+＝﹣本题考查了实数的运算、解一元二次方程，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．。

【初三数学】滁州市九年级数学下(人教版)第二十八章《锐角三角函数》单元综合练习题(含答案解析)

九年级数学人教版《锐角三角函数》单元测试题（Word 版有答案）一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值( )A ．扩大2倍B ．缩小12 C ．不变 D ．无法确定2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则∠A 的余弦值是( )A.35B.34C.43D.453．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AB 的长等于( )A.2sin α B ．2sin α C.2cos αD ．2cos α 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm 5．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，tanA ＝512，则cosA ＝( )A.125 B.1213 C.513 D.5126．三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则最小角的正切值是( )A ．1 B.22 C.33D. 3 7．(－sin60°，cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )A ．(32，12) B ．(－32，12) C ．(－32，－12) D ．(－12，－32) 8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2 B.255 C.55 D.129．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D.若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 310．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC11．将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是( )A.23 3 cm B.433 cm C. 5 cm D ．2 cm12．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13 m 至坡顶B 处，再沿水平方向行走6 m 至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD 的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A ．8.1 mB ．17.2 mC ．19.7 mD ．25.5 m13．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC ＝2BF ，连接AE ，EF.若AB ＝2，AD ＝3，则cos ∠AEF 的值是( )A. 3B.32 C.22 D.1214．如图，以坐标原点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(sin α，cos α)D ．(cos α，sin α)15．如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米16．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，点P 在四边形ABCD 的边上，若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．计算：cos 245°＋3tan60°＋cos30°＋2sin30°－2tan45°＝．18．张丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝63，tanC ＝，求BC 的长度”．张丽翻看答案后，得知BC ＝6＋33，则部分为． 19．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝113，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝．(用含n 的代数式表示)三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝0.8，b＝0.4，解这个直角三角形．解：21．(本小题满分9分)△ABC中，(3·tanA－3)2＋|2cosB－3|＝0.(1) 判断△ABC的形状；(2) 若AB＝10，求BC，AC的长．解：22．(本小题满分9分)如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°.若房屋的高BC＝6 m．求树高DE.解：23．(本小题满分9分)如图，某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值( D ) A．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D 处后进球.已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，视线AD 与水平线AE 的夹角为a ，如图所示.若tana=310，则点D 到地面的距离CD 是( C )A.2.7米B.3.0米C.3.2米D.3.4米3.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ． 144 cmB ． 180 cmC ． 240 cmD ． 360 cm4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝，则∠A 的度数是( A )A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 70°5.如图，有两个全等的正方形ABCD 和BEFC ，则tan(∠BAF ＋∠AFB)=( A )A.1B.56 C. 23D. 6.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′，那么锐角∠A 、∠A ′的余弦值的关系是( B )A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定7.如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是( A )海里/时 /时海里/时海里/时8.如图，在△ABC 中，AB =2，BC =4，∠ABC =30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ A ） A.B.C.D.9.如图，△ABD 和△BDC 都是直角三角形，且∠ABD=∠BDC=90°，∠BAD=30°，∠DBC=45°，则tan ∠DAC 的值为( C )A.B. C. D. 310.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( D )A ．26米B ．28米 C.30米 D ．46米11.如图，△ABC 内接于⊙0，AD 为⊙0的直径，交BC 于点E ，若DE=2，0E=3，则tan ∠ACB ·tan ∠ABC=( C )A.2B.3C.4D.5二、填空题12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ∶BC ＝1∶2，则sinB ＝________． [答案] 3413.如图，在半径为3的⊙0中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC=2，则tanD=____.[答案]14.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，则cos75°＝________．【答案】6－2415.如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE=∠B=a ，DE 交AC 于点E ，且cosa=45，则线段CE 的最大值为____.【答案】6.416.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D ，再爬倾斜角为60度的山坡200米，这座山的高度为______________(结果保留根号)【答案】(150＋100)米17.如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20 m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414≈1.732)【答案】54.618.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．【答案】5三、解答题19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，求cos A的值．【答案】解在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴cos A＝sin B＝.20.被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“玉米楼”)坐落在风景如画的如意湖畔，是来郑州观光的游客留影的最佳景点.学完了三角函数知识后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度.如图，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上的D处测得楼顶的仰角为40°.若高台DE的高为5米，点D到点C的水平距离EC为47.4米，A，C，E三点共线，求“玉米楼”AB的高度.(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数)【解析】如图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，交BC 于点F ，过点C 作CG ⊥DM 于点G ，设BM=x 米，由题意，得DG=47.4米，CG=5米，∠BFM=45°，∠BDM=40°，则FM=BM=x 米，GF=CG=5米，∴DF=DG ＋GF=52.4米，∴DM=BM tan BDM ∠=x tan 40︒≈x0.84(米)，∵DM －FM=DF ，∴x0.84－x=52.4，解得x≈275.1，∴AB=BM ＋AM=BM ＋DE ≈280米. 答：“玉米楼”AB 的高约为280米.21.计算：sin 45°＋cos 230°＋2sin 60°. 【答案】解原式＝×＋2＋2×＝＋＋＝1＋. 22.如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 至P ，使BP=OB ，BD 垂直于弦BC ，垂足为点B ，点D 在PC 上，设∠PCB=α，∠P0C=β，求证tan α·tan β=13【解析】如图，连接AC ，则∠A=12∠POC=2β. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴tan 2β=BCAC.∵BD ⊥BC ，tan α=BD BC ，BD ∥AC ，∴△PBD ∽△PAC ，∴BD AC =PBPA.∵PB=OB=OA ，∴PB PA =13.∴BD AC =13.∴tan α·tan 2β=BD BC ·BC AC =BDAC人教版九年级数学下册第二十八章锐角三角函数检测卷一、选择题(每小题3分，共30分)1.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，BC ＝5，那么下列式子中正确的是( A )A.sin A ＝58B.cos A ＝58C.tan A ＝58 D.以上都不对 2.若cos A ＝32，则∠A 的大小是( A ) A.30° B.45° C.60° D.90°3.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝37，BC ＝4，则AB 的长度为( D ) A.43 B.74 C.8103 D.2834.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( A )A.2＋ 3B.2 3C.3＋ 3D.3 35.△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是( C )A.sin α＝cos αB.tan C ＝2C.sin β＝cos βD.tan α＝16.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2 海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是( C )A.2 海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里7.Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，那么c 等于( B )A.a cos A＋b sin BB.a sin A＋b sin BC.asin A＋bsin B D.acos A＋bsin B8.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( D )A.4sinθ米2 B.4cosθ米2 C.(4＋tanθ4)米2 D.(4＋4tanθ)米29.如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD 垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( D )A.(11－22)米B.(113－22)米C.(11－23)米D.(113－4)米10.如图，小明爬山，在山脚下B处看山顶A的仰角为30°，小明在坡度为i＝512的山坡BD上去走1300米到达D处，此时小明看山顶A的仰角为60°，则山高AC为( B )A.600－250 3B.6003－250C.350＋350 3D.500 3二、填空题(每小题4分，共24分)11.计算：2sin60°12.如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于13.传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶0.75，它把物体从地面送到离地面高8米的地方，物体在传送带上所经过的路程为10米.14.如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米(假设拉线是直的)，且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平(结果保留根号).15.如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝12 .16.△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是三、解答题(共66分)17.(6分)计算：2cos 245°－(tan60°－2)2－(sin60°－1)0＋(12)－2 解：原式＝2×(22)2－|3－2|－1＋4＝1－(2－3)－1＋4＝3＋2.18.(6分)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值.解：∵在直角△ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213.19.(6分)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12米，求大厅两层之间的距离BC 的长.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60)解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB·sin∠BAC＝12×0.515≈6.2(米).即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.20.(8分)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m).(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.21.(8分)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示.已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由.(提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内.理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC·sin50°＝20×0.8＝16 cm，CD＝AC·cos50°＝20×0.6＝12 cm，∵BC＝18 cm，∴DB＝BC－CD＝18－12＝6 cm，∴AB＝AD2＋BD2＝162＋62＝292，∵17＝289＜292，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内.22.(10分)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73)人教新版九年级下学期单元测试卷：《锐角三角函数》一．选择题1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan A ＝（）A．B．1C．D．2．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1利用上述公式计算下列三角函数①s in105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）7．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝60°，OA＝OB＝14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm8．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（）A．30米B．18.9米C．32.6米D．30.6米10．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时二．填空题11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝37°，则BC的长为（注：tan ∠B＝0.75，sin∠B＝0.6，c os∠B＝0.8）12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．13．若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝．14．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，则cos A＝．15．在△ABC中，若|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，则∠C的度数是．16．请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A：一个正多边形的一个外角为36°，则这个多边形的对角线有条．B：在△ABC中AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，则∠A的度数约为．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°．）17．如图，点A（t，2）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，则t＝18．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（点B，F，C在同一条直线上），则AE之间的长为米．（结果精确到lm，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）三．解答题19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．20．我们知道：sin30°＝，tan30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，sin60°＝，tan60°＝，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝．求cos A，sin B，tan B的值．22．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．23．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．24．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（6，y），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为．求：（1）y的值；（2）角α的正弦值．25．某建筑物的金属支架如图所示，根据要求AB长为4m，C为AB的中点，点B到D的距离比立柱CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，求立柱CD长．26．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD（结果果保留根号）．参考答案一．选择题1．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．∴BE∥AC．∵AB＝BD，∴AC＝2BE．又∵tan∠BCD＝，设BE＝x，则AC＝2x，∴tan A＝＝＝，故选：A．2．【解答】解：∵cos A＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，∴当0°＜∠A＜45°时，sin A＜cos A，即sin A﹣cos A＜0．故选：B．3．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．4．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝×+×＝，故此选项正确；②tan105°＝tan（60°+45°）＝＝＝＝﹣2﹣，故此选项正确；③sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°＝×﹣×＝，故此选项正确；④cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°＝×﹣×＝0，故此选项正确；故正确的有4个．故选：D．5．【解答】解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．6．【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC＝＝2，∵∠CBH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠OAB＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，∵∠CHB＝∠AOB＝90°，∴△CBH∽△BAO，∴＝＝＝2，∴BH＝﹣2a，CH＝2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴＝，∴＝，∴FH＝2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b＝﹣2a，∴2b＝﹣2a﹣2c，b＝﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．7．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA＝OB＝14厘米，∠AOB＝60°，∴∠AOG＝∠BOG＝30°，AG＝BG，∴OG＝OA•cos30°＝7厘米，故选：D．8．【解答】解：作BC⊥AC．在Rt△ABC中，∵AB＝13m，BC：AC＝5：12，∴可以假设：BC＝5k，AC＝12k，∵AB2＝BC2+AC2，∴132＝（5k）2+（12k）2，∴k＝1，∴BC＝5m，故选：A．9．【解答】解：过B作BF⊥CD，作FG⊥BD，∵∠BDF＝∠FDC＝30°，∴EF＝FH，∵∠BGF＝90°，∴EF＝FH＝10，∴DF＝20，∴DC＝DH+HC＝10+1.6≈18.9．故选：B．10．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°，∴BD＝AB•cos60°＝AB＝6，AD＝AB•sin60°＝6，∴CD＝10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tan B＝，∴BC＝＝＝4．故答案为4．12．【解答】解：∵cos50°＝sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．13．【解答】解：∵tanα＝1（0°＜α＜90°），∴∠α＝45°，则sinα＝，故答案为．14．【解答】解：如图，由tan B＝，得AC＝4k，BC＝3k，由勾股定理，得AB＝5k，cos A＝＝＝，故答案为：．15．【解答】解：∵在△ABC中，|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．故答案为：90°．16．【解答】解：A、由一个正多边形的一个外角为36°，得360÷36＝10，则这个多边形的对角线有＝35，B、由AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，得cos A＝≈0.667，A＝42.5故答案为：35，42.5°．17．【解答】解：过A作AB⊥x轴于B．∴sinα＝，∵sinα＝，∴＝，∵A（t，2），∴AB＝2，∴OA＝，∴t＝，故答案为：．18．【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为xm，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴BC＝BF+FC＝（x+13）m，在Rt△AEM中，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝（x﹣2）m，又tan∠AEM＝，∠AEM＝22°，∴＝0.4，解得x≈12，则ME＝BC＝BF+13≈12+13＝25（m）．在Rt△AEM中，cos∠AEM＝，∴AE＝≈≈27（m），故AE的长约为27m．故答案为：27．三．解答题（共8小题）19．【解答】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝．20．【解答】解：对于任意锐角α，都有tanα＞sinα，理由如下：如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设∠A＝α．则tanα＝，sinα＝，∵b＜c，∴＞，∴tanα＞sinα．21．【解答】解：∵sin A＝＝，∴设AB＝13x，BC＝12x，由勾股定理得：AC＝＝＝5x，∴cos A＝＝，sin B＝cos A＝，tan B＝＝．22．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°＝＝＝．23．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°＝2××＝，sin60°＝．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，∴2sin30°•cos30°＝sin60°，2sin22.5°•cos22.5＝sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；故结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α．24．【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C．∵t anα＝，OC＝6，∴PC＝8，即y＝8．（2）∵OP＝＝10．则sinα＝＝＝．25．【解答】解：连接BD，作OB⊥CD于点O，∵在直角三角形BCO中，∠BCD＝60°，AB长为4m，C为AB的中点，∴OC＝m，OB＝OC＝m，在直角三角形BOD中，设CD为x，OD＝DC﹣OC＝x﹣1，BD＝CD﹣0.5＝x﹣0.5，OB＝，可得：，解得：x＝3.75，答：CD的长为3.75m．26．【解答】解：过B作BF⊥AD于F．在Rt △ABF 中，AB ＝5，BF ＝CE ＝4．∴AF ＝3．在Rt △CDE 中，tan α＝＝i ＝． ∴∠α＝30°且DE ＝＝4，∴AD ＝AF +FE +ED ＝3+4.5+4＝7.5+4．答：坡角α等于30°，坝底宽AD 为7.5+4．人教版九年级下学期第28章锐角三角函数单元过关测试卷含参考答案一、选择题（每小题3分，共18分）1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，b=53c ，则sinB 的值是（） A 、53 B 、54 C 、43 D 、34 2、在△ABC中，若1sin 02A B -=，则△ABC 是（） A 、等腰三角形 B 、等腰直角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=53，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（） A 、21 B 、2 C 、25 D 、554、如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（）A ．32 m B．62 m C ．（32﹣2）m D ．（62﹣2）m5、一人乘雪橇沿坡度为i=１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间的关（第3题）（第4题）（第6题） E D C B A D B C A B D C E A系为Ｓ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（）A 、72米B 、36米C 、336米D 、318米6、某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）A ．8.1米B ．17.2米C ．19.7米D ．25.5米二、填空题（每小题3分，共21分）7、在△ABC 中，∠C ＝90°，若sinB ＝31，则sinA 的值为 8、如图，P 是∠α 的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4），则sin α=9、升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为 . （取3=1.732，结果精确到0.1m ）10、如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A 测得D 点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC= 米.11、如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤高BC=5m ，则坡面AB 的长度是米．12、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为13、四边形的对角线的长分别为，可以证明当时（如图1），四边形的面积，那么当所夹的锐角为θ时（如图2），四边形的面积．（用含的式子表示）三、解答题（共61分）14、计算：（8分）（145sin 60)︒-︒（2）3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°．（第10题）（第11题）（第13题）Ｄ图1 Ｃ图215、（8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结果保留0.1m，1.732）.16、（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB=AD ，BD 平分∠ABC ，若CD=3，BD=62，sin ∠DBC=33，求对角线AC 的长．17、（8分）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）18、（8分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (≈1.411.73≈2.45， )AB19、（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。

人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元检测试卷（有答案）

人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元检测试卷（有答案）人教版九年级下《第28章锐角三角函数》单元检测试卷（有答案）考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为A，关于∠A的三角函数值与梯子的倾斜程度之间，叙述正确的是（）A.sinA的值越大，梯子越陡B.cosA的值越大，梯子越陡C.tanA的值越小，梯子越陡D.陡缓程度与∠A的函数值无关2.温州市处于东南沿海，夏季经常遭受台风袭击．一次，温州气象局测得台风中心在温州市A的正西方向300千米的B处（如图），以每小时10√7千米的速度向东偏南30°的BC方向移动，并检测到台风中心在移动过程中，温州市A将受到影响，且距台风中心200千米的范围是受台风严重影响的区域．则影响温州市A 的时间会持续多长？（）A.5B.6C.8D.103.如图，两建筑物水平距离为32米，从点A测得对点C的俯角为30°，对点D的俯角为45°，则建筑物CD的高约为（）B.17米C.20米D.22米4.在如图所示的方格纸中，点A、B、C都在方格线的交点．则∠ACB=( )A.120°B.135°C.150°D.165°5.已知α+β=90°，且sinα+cosβ?√3=0，则锐角α等于（）A.30°B.45°C.60°D.无法求6.如图，一根铁管CD固定在墙角，若BC=5米，∠BCD=55°，则铁管CD的长为（）A.5sin55°米B.5?sin55°米C.5 cos55米D.5?cos55°米7.为美化环境，在△ABC空地上种植售价为a元/平方米的一种草皮，已知AB= 20m，AC=30m，∠A=150°，则购买草皮至少需要（）A.450a元B.225a元D.300a元8.如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=( )A.2+√3B.2?√3C.0.3D.√3?√29.堤的横断面如图．堤高BC是5米，迎水斜坡AB的长时13米，那么斜坡AB的坡度是（）A.1:3B.1:2.6C.1:2.4D.1:210.小明去爬山，在山脚看山顶角度为30°，小明在坡比为5:12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，求山高（）A.600?250√5米B.600√3?250米C.350+350√3米D.500√3米二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=3，AC=10，则S△ABC等于________．12.小美同学从A地沿北偏西60°方向走200m到B地，再从B地向正南方向走100m到C地，此时小美同学离A地________．13.如图，C岛在A岛的北偏东50o方向，C岛在B岛的北偏西40o方向，若AC=40海里，BC=20海里，则A，B两岛的距离等于________海里．（结果保留根号）14.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，如果∠B=α，BC=3，那么AD=________．（用锐角α的三角比表示）15.如图，当小明沿坡度i=1:3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距离AC=________米．（结果可以用根号表示）．16.课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成28°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC长为25米，则旗杆AB 的高度是________米．17.在离建筑物120米处，用测角仪测得建筑物顶的仰角为30°，已知测角仪的高度为1.5米，求这个建筑的高度________米（精确到0.1米）18.如图，△ABC的三个顶点分别在边长为1的正方形网格的格点上，则tan(α+β)________tanα+tanβ．（填“>”“=”“<”）19.如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东600方向上，渔船向正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是________．20.请从以下两题中任选一题作答，若多选，则按所选的第一题计分．(A)如图所示的四边形中，若去掉一个50°的角得到一个五边形，则∠1+∠2=________．(B)如果某人沿坡度i=1:3的斜坡前进100m，那么他所在的位置比原来的位置升高了________m．（结果精确到0.1m）三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.(1)2sin60°+3tan30°21. (2)sin260°+cos260°?tan45°(3)cos60°?tan45°+sin60°tan30+sin30(4)√22sin45°+sin60°?2cos45°．22.如图，一艘货轮以30海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现在它的北偏东48°方向有一港口B ，货轮继续向北航行40分钟后到达C 处，发现港口B 在它的北偏东76°方向上，若货轮急需到港口B 补充供给，请求出C 处与港口B 的距离CB 的长度．（结果保留整数）（参考数据：sin76°≈2021，tan76°≈4，tan48°≈109，sin48°≈45）23.如图，在小山的东侧A 处有一热气球，以每分钟10米的速度沿着仰角为75°的方向上升，20分钟后上升到B 处，这时气球上的人发现在点A 的正西方向俯角为45°的C 处有一着火点，求气球的升空点A 与着火点C 之间的距离．（结果保留根号）24.超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为100米的点P 处．这时，一辆出租车由西向东匀速行驶，测得此车从A 处行驶到B 处所用的时间为4秒，且∠APO =60°，∠BPO =45°．(1)求A 、B 之间的路程；(2)请判断此出租车是否超过了城南大道每小时60千米的限制速度？25.如图，小明想测山高和索道的长度．他在B 处仰望山顶A ，测得仰角∠B =31°，再往山的方向（水平方向）前进80m 至索道口C 处，沿索道方向仰望山顶，测得仰角∠ACE =39°．(1)求这座山的高度（小明的身高忽略不计）；(2)求索道AC 的长（结果精确到0.1m ）．（参考数据：tan31°≈35，sin31°≈12，tan39°≈911，sin39°≈711）26.某居民楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC?//?AD ，BE ⊥AD ，斜坡AB 长为30米，坡角∠BAD =75°．为了减缓坡面防止山体滑坡，居委会决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚A 不动，坡顶B 沿BC 向左移15米到F 点处，问这样改造能确保安全吗？（参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73，tan49°30′≈1.17，tan51°57′≈1.28）答案1.A2.D3.A4.B5.C6.C7.C8.B9.C10.B11.15012.100√3m13.20√514.3sinαtanα15.30√1016.25?tan28°17.76.518.>19.4√3海里20.230°31.621.解：(1)2sin60°+3tan30°=2×√32+3×√33=√3+√3=2√3；(2)sin 260°+cos 260°?tan45°=1?1=0；(3)cos60°?tan45°+sin60°tan30+sin30=121+√32√33+√32=√32?125√36=3?√35；(4)√22sin45°+sin60°?2cos45°=√2×√2+√3?2×√2 =12+√32?√2．22.解：AC =30×4060=20海里，在Rt △BDC 中，BD CD =tan76°，则BD =CD ?tan76°，在Rt △ABD 中，BD AD =tan48°，即CD?tan76°20+CD=tan48°，于是4CD 20+CD =109，解得CD =10013，BD =10013×4=40013，在Rt △BDC 中，BD CB =sin76°，40013BC =2021，则BC ≈32海里．23.解：过点A 作AD ⊥BC 于点D ，由题意得，BE?//?AC ，∠EBC =45°，∠BAD =75°，∴∠ABD =30°，∵AB =10×20=200(m)，在Rt △ABD 中，AD =ABsin∠ABD =12×200=100(m)，∵BE?//?AC，∴∠BCA=∠EBC=45°，∴AC=ADsin45°=√22=100√2(m)，即气球的升空点A与着火点C之间的距离为100√2m．24.解：(1)由题意知：PO=100米，∠APO=60°，∠BPO=45°，在直角三角形BPO中，∵∠BPO=45°，∴BO=PO=100米，在直角三角形APO中，∵∠APO=60°，∴AO=PB?tan60°=100√3米，∴AB=AO?BO=(100√3?100)=100(√3?1)（米）；(2)∵从A处行驶到B 处所用的时间为4秒，∴速度为100(√3?1)÷4=25(√3?1)米/秒，∵60千米/时=60×10003600=503米/秒，而25(√3?1)>503，∴此车超过了每小时60千米的限制速度25.索道AC长约为282.9米．26.解；过F作FG⊥AD，垂足为G，连接AF，∵斜坡AB长为30米，坡角∠BAD=75°，∴BE=sin∠BAD×AB=sin75°×30=0.97×30=29.1，AE=cos∠BAD×AB=cos75°×30=0.26×30=7.8，∴AG=AE+GE=7.8+15=22.8，FG=29.1，∴tan∠FAG=FGAG =29.122.8≈1.28，∴∠FAG>50°，∴这样改造不能确保安全．。

人教版九年级数学下册《第二十八章锐角三角函数》单元测试卷-含答案

人教版九年级数学下册《第二十八章锐角三角函数》单元测试卷•含答案（120分钟150分）题号123456789101112一、选择题（每小题3分，共36分）1.如图，在RtAABC中,ZC=90°4C=4?BC=3,则（）2.RtAABC中C=90。

,A09,sin项U AB=()A.15B.12C.9D.63.小明沿着坡度为1:2的山坡向下走了1000m,则他下降了（）A.200V5mB.500mC.500V3mD.l000m4.如图直径为10的OA经过点C（0,5）和点0（0,0）,8是y轴右侧OA优弧上一点,则tan ZOBC的值为（）5.如图，四边形A8CQ中,ZB=ZC=90°,CD=2米,8。

=5米sin4二二则AB=()D CA.8米B.10米C.12米D.14米6.如图所示，平地上一棵树高为5米，两次观察地面上的影子,第一次是当阳光与地面成45。

时第二次是阳光与地面成30。

时第二次观察到的影子比第一次长__________米.()A.5V3-5B.5-V3C.5+5V3D.5号7.(2023.长春中考)学校开放日即将来临,负责布置的林老师打算从学校图书馆的顶楼拉出一条彩旗绳A8到地面如图所示.已知彩旗绳与地面形成25。

角(即ZBAC=25°)＞旗绳固定在地面的位置与图书馆相距32米(即AC=32米)，则彩旗绳A8的长度为()A.32sin25咪B.32cos25。

米C.表米D.看米8.如图在矩形A8CQ中『是BC中点,E是AQ上一点，且/归8=30。

,/器。

二90。

, Eg=4cm,则矩形的面积为cm2.()A.16B.8V3C.16V3D.329.如图,A8是圆锥的母线,8。

为底面直径，已知BC=6cm,圆锥的侧面积为15兀cm2,则cos ZABC的值为（）3345A・Z C-5D310.如图，在AABC中,sin B=|,AB=84C=5,且匕C为锐角，则cos C的值是（）AB CA.-B.-C,— D.-552411.小明去爬山，在山脚看山顶角度为30。

人教版初3数学9年级下册第28章(锐角三角函数)单元测试题 (含答案)

初中数学人教版九年级锐角三角函数单元测试题学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________ 1. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，若AC=3，BC=2，则tan A的值是()A.12B.23C.52D.2552. 已知在Rt△ABC中，∠C=90∘，sin A=12，AC=23，那么BC的值为（ )A.2B.4C.43D.63. 海中有一个小岛P，该岛四周12海里范围内（含12海里）是一个暗礁区．今有货轮由西向东航行，开始在A点观测P在北偏东60∘．若行驶10海里后到达B点观测P在北偏东α(0<α<90∘)处，若货船不改变航向，则当tanα为何值时，货轮会有触礁的危险，则根据以上数据可计算得tanα的值为（）A.tanα=63−56B.tanα≥63−56C.0<tanα≤63−56D.56<tanα<34. 兰州是古丝绸之路上的重镇，以下准确表示兰州市的地理位置的是( )A.北纬34∘03′B.在中国的西北方向C.甘肃省中部D.北纬34∘03′，东经103∘49′5. 如图，①以点A为圆心，5cm长为半径画弧分别交∠MAN的两边AM，AN于点B，D；②以点B为圆心，AD长为半径画弧，再以点D为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点C；③分别连接BC，CD，AC．若tan∠BAC=12，点C到射线AN的距离是( )A.3B.4C.5D.256. 如图，小明从点A沿坡度i=1:2的斜坡走到点B，若AB=10米，则上升高度是（）米．A.5B.2C.25D.237. 如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长32m，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿AC逆时针转动15∘到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′长度是( )A.3mB.33mC.23mD.4m8. 你认为tan15∘的值可能是（）A.36B.2+3 C.2−3 D.329. 如图是深圳市少年宫到中心书城地下通道的手扶电梯示意图，其中AB、CD分别表示地下通道、市民广场电梯口处地面的水平线，∠ABC＝135∘，BC的长约是5，则乘电梯从点B到点C上升的高度ℎ是（）A.mB.5mC.mD.10m10. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，AB=5，AC=2，则sin B的值是（）A.35B.25C.23D.32．11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB于D，下列式子正确的是( )A.sin A=BDBC B.cos A=ACADC.AC2=AD⋅BDD.tan A=CDAB12. 如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值是( )A.12B.22C.2D.2213. 如果某飞机的飞行高度为m千米，从飞机上看到地面控制点的俯角为α，那么此时飞机与地面控制点之间的距离是（）A.m⋅tanαB.mcosαC.msinαD.m⋅cotα14. 在Rt△ABC中，∠C=90∘，下列式子不一定成立的是（）A.tan A=cot BB.sin2A+cos2A=1C.sin2A+sin2B=1D.tan A⋅cot B=115. 中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i=1:2.4的斜坡上．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前的一座雕像C的俯角为76∘（雕像的高度忽略不计），远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27∘．已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，问此时轮船E距离海岸线D的距离ED的长为（）（参考数据：tan76∘≈4.0，tan27∘≈0.5，sin 76∘≈0.97，sin 27∘≈0.45．A.262B.212C.244D.27616. 西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC 高为a ．已知，冬至时北京的正午日光入射角∠ABC 约为26.5∘，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC 的长）约为( )A.a sin 26.5∘B.atan 26.5C.a cos 26.5∘D.acos 26.517. 已知，菱形的一个内角为60∘，边长为2，用六个这样完全一样的菱形拼成如图所示的图形，则tan ∠ABC 的值是( )A.12 B.33C.233D.3218. 如图是一张简易活动餐桌，现测得OA ＝OB ＝40cm ，OC ＝OD ＝60cm ，现要求桌面离地面的高度为50cm ，那么两条桌腿的张角∠COD 的大小应为（）A.150∘B.135∘C.120∘D.100∘19. 在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70∘方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（）A.北偏东20∘方向上B.北偏西20∘方向上C.北偏西30∘方向上D.北偏西40∘方向上20. 轮船航行到C处观测小岛A的方向是北偏西48∘,那么从A同时观测轮船在C处的方向是()A.南偏东48∘B.东偏北48∘C.东偏南48∘D.南偏东42∘21. 若tanα⋅tan36∘=1，则α=________度．22. 若1−tanα=0，则锐角α=________度．23. 已知∠α=36∘，若∠β是∠α的余角，则∠β=________度，sinβ=________．（结果保留四个有效数字）24. 如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(−2, −4)，B(0, −4)，C(1, −1).(1)请在网格中，画出线段BC关于原点对称的线段B1C1；(2)请在网格中，过点C画一条直线CD，将△ABC分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D，写出点D的坐标；(3)若另有一点P(−3, −3)，连接PC，则tan∠BCP=________．25. 如图，某学校灯光球场的大功率照明灯发出的光线与灯杆成30∘角，照射在地面上的大距离为AB=60m，现在准备调整它的照明角度，使它发出的光线与灯杆AC成45∘角，请你通过计算回答：调整后，这个大功率照明灯是否影响距离灯杆100m的D处的居民休息？（参考数据：3≈1.73）26. 2019年10月1日李明和他的爸爸、妈妈一同驾车到云南石林风景区旅游．如图，他利用自己带的测角仪站在一处高大的石林AB的前方C点处测得∠ACB=60∘，再沿BC方向走20m到达D处，测得∠ADC=30∘．(1)求点C到AD的距离；(2)求出石林AB的高度．（测角仪高度忽略不计，结果精确到1m）27. 已知以直线x=1为对称轴的抛物线y1与x轴交于点A1(d,0)和A2，顶点为B1，以直线x=2为对称轴的抛物线y2与x轴交于点A2和A3，顶点为B2,…，以直线x=n为对称轴的抛物线y n与x轴交于点A n和A n+1，顶点为B n，我们把这样的抛物线y1, y2 ,…,y n对应的二次函数称为“整对称轴”二次函数.(1)当0<d<1时，①填空：A1A2=_______，A2A3=_______，A3A4=________；（用含d的代数式表示）②若d=0.4，“整对称轴”二次函数y1,y2,…,y n的图象的顶点B1,B2,…,B n都在直线y=15 x上，当n的值为多少时，△A n A n+1B n是直角三角形？(2)当0<d<1时，已知“整对称轴”二次函数y1,y2,…，y n的图象的开口方向都向下，且△A1A2B1,△A2A3B2，⋯,△A n A n+1B n均为直角三角形.①请求出“整对称轴”二次函数y1,y2的解析式，并猜想出y2019的解析式（可以含d)；②请通过画草图分析直线y=1与抛物线y1,y2,…，y2019的公共点个数.228. 如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OD 的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F．(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若∠ABC=60∘，AB=10，求线段CF的长．参考答案与试题解析一、选择题（本题共计 20 小题，每题 3 分，共计60分）1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】B6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】C9.【答案】B10.【答案】B11.【答案】A12.【答案】A13.【答案】C14.【答案】D15.【答案】B16.【答案】B17.【答案】D18.【答案】C19.【答案】B20.【答案】A二、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）21.【答案】5422.【答案】4523.【答案】54,0.8090三、解答题（本题共计 5 小题，每题 10 分，共计50分）24.【答案】解：(1)作出点B1，C1连接即可；(2)因为直线CD 将△ABC 分成面积相等的两部分，且与线段AB 相交于点D ，故点D 为线段AB 的中点，画出直线CD ，可知点D 坐标为(−1, −4)；125.【答案】解：在直角△ABC 中，∠C =30∘，AB =60，tan ∠ACB =ABAC ，∴ AC =AB tan ∠ACB=603，在直角△ACD 中，∠ACD =45∘，AC =603，AD =AC =603≈103.8(m )，∴ 照明灯会影响距离灯杆100m 的D 处的居民休息．26.【答案】解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AD 于点E ，在Rt △CDE 中，CD =20m ，∠ADC =30∘，所以CE =12CD =12×20=10(m )即点C 到AD 的距离是10m .(2)∵ ∠ACB =60∘，∠ADC =30∘，∴ ∠CAD =30∘，∴ ∠CAD =∠ADC ，∴ AC =DC =20，在Rt △ABC 中，AB =AC sin 60∘=20×sin 60∘=20×32=103≈17(m).∴ 石林AB 的高度约为17m .27.【答案】解：(1)① 2−2d ；2d ； 2−2d ；②∵ 顶点 B 1,B 2,⋯B n 都在直线 y =15x 上，∴ 当x =n 时， y =15n ，由(1)可知，当n 为奇数时， A n A n +1=2−2d ，当n 为偶数时， A n A n +1=2d ，∴ 当d =0.4 时，只要 15n =12A n A n +1=12(2−2d)=0.6，或15n =12A n A n +1=12×2d =0.4时，△A n A n +1B n 是直角三角形，解得n =3或n =2.(2)①∵ △A 1A 2B 1 是直角三角形， A 1A 2=2−2d ，∴ y 1 的顶点 B 1 的坐标为 (1,1−d)，设y 1 的解析式为 y 1=a 1(x−1)2+1−d ，∵ y 1 过点 A 1(d,0) ，将A 1 的坐标代入得 a 1=1d−1，∴ y 1 的解析式为 y 1=1d−1(x−1)2+1−d ，同理，∵ △A 2A 3B 2 是直角三角形， A 2A 3=2d ，∴ y 2 的顶点 B 2 的坐标为 (2,d)，设y 2 的解析式为 y 2=a 2(x−2)2+d ，∵ y 2 过点 A 2(2−d,0)，将A 2的坐标代入得 a 2=−1d ，∴ y 2 的解析式为 y 2=−1d (x−2)2+d .猜想 y 2019 的解析式为 y 2019=1d−1(x−2019)2+1−d.②通过以上探究，画出草图，可知：当0<d <12 时，直线 y =12 与y 1,y 2,…,y 2019 的公共点个数为2020个；当d =12 时，直线 y =12 与y 1,y 2,…,y 2019 的公共点个数为2019个；当12<d <1 时，直线 y =12与 y 1,y 2,…,y 2019 的公共点个数为2018个 .28.【答案】(1)证明：如图，连接OC ，∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴AD=CD，∴PA=PC，在△OAP和△OCP中，∵OA=OC, PA=PC, OP=OP,∴△OAP≅△OCP(SSS)，∴∠OCP=∠OAP，∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90∘，∴∠OCP=90∘，即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线.(2)解：∵OB=OC，∠OBC=60∘，∴△OBC是等边三角形，∴∠COB=60∘，∵AB=10，∴OC=5，由(1)可知，∠OCF=90∘，∴CF=OC⋅tan∠COB=53．。

九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷含答案

九年级下学期第28章《锐角三角函数》达标检测卷时间：100分钟满分：120分一、选择题(每题3分，共30分) 1．cos 45°的值为( ) A.12 B.22 C.32 D ．12．如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高．若AB ＝5，AC ＝3，则tan ∠BCD 为( )A.43B.34C.45D.35(第2题) (第4题) (第5题) (第6题) 3．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos A －12＋(1－tan B )2＝0，则∠C 的度数是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．105°4．如图，A ，B ，C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC ′B ′，则tan B ′的值为( ) A.12B.13C.14D.245．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上的影长BC 为24 m ，那么旗杆AB 的高度是( ) A ．12 mB ．8 3 mC ．24 mD ．24 3 m6．如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10 m ，坝高12 m ，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( ) A ．26 mB ．28 mC ．30 mD ．46 m7．如图，长4 m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为( ) A ．2 3 mB ．2 6 mC ．(23－2)mD ．(26－2)m(第7题)(第8题)8．如图，过点C(－2，5)的直线AB分别交坐标轴于A(0，2)，B两点，则tan ∠OAB等于()A.25 B.23 C.52 D.329．如图，菱形ABCD的周长为20 cm，DE⊥AB，垂足为E，sin A＝35，则下列结论中正确的有()①DE＝3 cm；②BE＝1 cm；③菱形的面积为15 cm2；④BD＝210 cm.A．1个B．2个C．3个D．4个(第9题)(第10题) (第12题)10．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝30°，以点A为圆心，BC长为半径画弧交AB于点D，分别以点A，D为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点E，连接AE，DE，则∠EAD的余弦值是()A.312 B.36 C.33 D.32二、填空题(每题3分，共24分)11．已知α为锐角，sin(α－20°)＝32，则α＝________.12．如图，若点A的坐标为(1，3)，则∠1＝________.13．已知锐角A的正弦sin A是一元二次方程2x2－7x＋3＝0的根，则sin A＝________．(第14题) (第15题) (第16题) (第18题)14．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是BC 边上的中线，若sin ∠CAM ＝35，则tan B ＝________．15．如图，航拍无人机从A 处测得一幢建筑物顶部B 的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD 为90 m ，那么该建筑物的高度BC 约为________m(精确到1 m ，参考数据：3≈1.73)． 16．如图，在半径为3的⊙O 中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC ＝2，则tan D ＝________．17．△ABC 中，若AB ＝6，BC ＝8，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为________． 18．在综合实践课上，小聪所在小组要测量一条河的宽度，如图，河岸EF ∥MN ，小聪在河岸MN 上点A 处用测角仪测得河对岸小树C 位于东北方向，然后沿河岸走了30 m ，到达B 处，测得河对岸电线杆D 位于北偏东30°方向，此时，其他同学测得CD ＝10 m ．请根据这些数据求出河的宽度为______________m. 三、解答题(19，21，24题每题12分，其余每题10分，共66分) 19．计算：(1)(－2)3＋16－2sin 30°＋(2 019－π)0；(2)sin 2 45°－cos 60°－cos 30°tan 45°＋2sin 2 60°·tan 60°.20．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知2a ＝3b，求∠B的正弦、余弦和正切值．21．如图，已知四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sin A＝45，求AD的长．(第21题)22．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现，一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角尺直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．(第22题)23．如图，天星山山脚下西端A处与东端B处相距800(1＋3)m，小军和小明同时分别从A处和B处向山顶C匀速行走．已知山的西端的坡角是45°，东端的坡角是30°，小军的行走速度为22m/s.若小明与小军同时到达山顶C处，则小明的行走速度是多少？(第23题)24．如图，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M 处出发，向前走3 m到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端E的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°.已知A点离地面的高度AB＝2 m，∠BCA＝30°，且B，C，D三点在同一直线上．求：(1)树DE的高度；(2)食堂MN的高度．(第24题)答案一、1. B 2. A 3. C 4. B 5. B 6. D7．B 8. B 9. C10．B 点拨：如图，设BC ＝x .在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠BAC ＝30°，∴AC ＝2BC ＝2x ，AB ＝3BC ＝3x .根据题意，得AD ＝BC ＝x ，AE ＝DE ＝AB ＝3x ，过点E 作EM ⊥AD 于点M ，则AM ＝12AD ＝12x .在Rt △AEM 中，cos ∠EAD ＝AM AE ＝12x3x＝36.(第10题)二、11. 80° 12. 60° 13. 12 14. 23 15. 20816．22 点拨：如图，连接BC ，易知∠D ＝∠A .∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°.∵AB ＝3×2＝6，AC ＝2，∴BC 2＝62－22＝32, ∴BC ＝4 2.∴tan D ＝tan A ＝BC AC ＝422＝2 2.(第16题)17．123 点拨：如图，过A 点作AD ⊥CB ，交CB 的延长线于点D ，则∠ABD ＝180°－120°＝60°.在Rt △ABD 中，AD ＝AB ·sin ∠ABD ＝6×32＝33，∴S △ABC ＝12AD ·BC ＝12×33×8＝12 3.(第17题)18．(30＋103)三、19.解：(1)原式＝－8＋4－2×12＋1＝－8＋4－1＋1＝－4；(2)原式＝(22)2－12－32＋2×(32)2×3＝ 3.20．解：由2a ＝3b ，可得a b ＝32.设a ＝3k (k ＞0)，则b ＝2k ，由勾股定理，得c ＝a 2＋b 2＝9k 2＋4k 2＝13k ，∴sin B ＝b c ＝2k 13k ＝21313，cos B ＝a c ＝3k 13k ＝31313，tan B ＝b a ＝2k 3k ＝23.21．解：(1)在Rt △ABE 中，∵∠A ＝60°，∠ABE ＝90°，AB ＝6，tan A ＝BEAB ，∴∠E ＝30°，BE ＝AB ·tan A ＝6×tan 60°＝6 3.在Rt △CDE 中，∵∠CDE ＝90°，CD ＝4，sin E ＝CDCE ，∠E ＝30°， ∴CE ＝CD sin E ＝412＝8.∴BC ＝BE －CE ＝63－8.(2)∵∠ABE ＝90°，AB ＝6，sin A ＝45＝BEAE ，∴可设BE ＝4x (x ＞0)，则AE ＝5x ，由勾股定理可得AB ＝3x ， ∴3x ＝6，解得x ＝2. ∴BE ＝8，AE ＝10.∴tan E ＝AB BE ＝68＝CD DE ＝4DE ，解得DE ＝163.∴AD＝AE－DE ＝10－163＝143.22．解：在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝BCtan A＝2 3.∴EF＝AC＝2 3.∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝ 6.∴AF＝AC－FC＝23－ 6.23.解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，设AD＝x，小明的行走速度是a.(第23题)∵∠A＝45°，CD⊥AB，∴CD＝AD＝x，∴AC＝2x.在Rt△BCD中，∵∠B＝30°，∴BC＝CDsin 30°＝x12＝2x.∵小军的行走速度为22m/s，小明与小军同时到达山顶C处，∴2x22＝2xa，解得a＝1(m/s)．答：小明的行走速度是1 m/s. 24．解：(1)设DE＝x.∵AB＝DF＝2，∴EF＝DE－DF＝x－2.∵∠EAF＝30°，∴AF＝EFtan∠EAF＝x－233＝3(x－2)．又∵CD＝DEtan ∠DCE ＝x3＝33x，BC＝ABtan ∠ACB＝233＝23，∴BD＝BC＋CD＝23＋3 3x.由AF＝BD可得3(x－2)＝23＋33x，解得x＝6(m)．答：树DE的高度为6 m.(2)如图，延长N M交DB的延长线于点P，则AM＝B P＝3.(第24题)由(1)知CD＝33x＝33×6＝23，BC＝23，∴PD＝BP＋BC＋CD＝3＋23＋23＝3＋4 3. ∵∠NDP＝45°，∴NP＝PD＝3＋4 3.∵MP＝AB＝2，∴NM＝NP－MP＝3＋43－2＝1＋43(m)．答：食堂M N的高度为(1＋43)m.。

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】

人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。

【单元练】北京市北京四中九年级数学下册第二十八章《锐角三角函数》测试卷(含答案解析)

一、选择题1．如图，已知该圆锥的侧面展开图的圆心角为120°、半径长为6，圆锥的高与母线的夹角为α，则（）A ．圆锥的底面半径为3B ．2tan 2α=C ．该圆锥的主视图的面积为82D ．圆锥的表面积为12πC解析：C【分析】根据圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，可知2πr ＝180n l π，求出r 以及圆锥的母线l 和高h 即可解决问题．【详解】解：设圆锥的底面半径为r ，高为h ．A 选项，由题意：2πr ＝1206180π⨯⨯，解得r ＝2，故错误； B 选项，h ＝226242-=，所以tanα＝22442=，故错误； C 选项，圆锥的主视图的面积＝12×4×42＝82，故正确； D 选项，表面积＝4π+2π×6＝16π，故错误．故选：C ．【点睛】本题考查圆锥的有关知识，记住圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长，即2πr ＝180n l π，圆锥的表面积＝πr 2+πrl 是解决问题的关键，属于中考常考题型． 2．如图，在矩形ABCD 中，G 是AB 边上一点，连结GC ，取线段CG 上点E ，使ED DC =且90AED ∠=︒，AF CG ⊥于F ，2AF =，1FG =，则EC 的长（）A ．4B ．5C ．163D ．83C 解析：C【分析】如图，过D 作DP CE ⊥于,P 证明：,EP CP EDP CDP =∠=∠，,DEC DCE ∠=∠再证明,AEF BCG EDP ∠=∠=∠ 结合矩形的性质证明：,AFG EFA ∽利用相似三角形的性质可得4EF =，再求解,AG AE ，设,BG x = 可得2,DE x AD x =+= 利用勾股定理求解,x 再由,BCG EDP ∠=∠可得：1,2EP DP =设,EP m = 则2,DP m = 由勾股定理求解m ，从而可得答案．【详解】解：如图，过D 作DP CE ⊥于,P,DE DC =,EP CP EDP CDP ∴=∠=∠， ,DEC DCE ∠=∠90,AED DCB ∠=︒=∠90,AEF DEC DCE BCG DEC EDP ∴∠+∠=︒=∠+∠=∠+∠,AEF BCG EDP ∴∠=∠=∠,,90AGF CGB AF CG B ∠=∠⊥∠=︒，,FAG BCG ∴∠=∠,FAG AEF ∴∠=∠90AFG EFA ∠=∠=︒，,AFG EFA ∴∽,AF FG EF FA∴= 21AF FG ==，，21,2EF ∴= 4EF ∴=，AE ∴== AG == 设BG x =，则,AB CD x DE ==+=AEF BCG ∠=∠，1tan tan ,2AF AEF BCG EF ∴∠=∠== 1,2BG BC ∴=2,BC x AD ∴==()()()2222255,x x ∴=++2325250,x x ∴--=553x ∴=或5x =-（舍去） 5585533DE ∴=+=， ,EDP BCG ∠=∠1,2EP DP ∴= 设,EP m = 则2,DP m =()22285+2,3m m ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭ 83m ∴=（负根舍去） 162.3EC EP ∴==故选：.C【点睛】本题考查的是矩形的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．3．如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，则建筑物MN 的高度等于( )A ．31)mB ．31)mC．1)m D．1)m A 解析：A【解析】设MN=xm，在Rt△BMN中,∵∠MBN=45∘，∴BN=MN=x，在Rt△AMN中,tan∠MAN=MN AN，∴tan30∘=16xx+=3√3，解得：，则建筑物MN的高度等于 +1)m；故选A.点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题，要明确哪个角是仰角，哪个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的夹角，并与三角函数相结合求边的长.4．在ABC中，(2sinA-1)2=0，则ABC是（）A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．无法确定C解析：C【分析】根据非负数的性质可得sinA和cosB的值，进而可得∠A和∠B的度数，即可知△ABC的形状．【详解】解：∵(2sinA-1)2=0，∴2sinA-1=0，cosB-12=0，∴sinA=12，cosB=12，∴∠A=30°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，故△ABC为直角三角形．故选C．【点睛】本题主要考查了非负数的性质和特殊角的三角函数值，根据两个非负数的和为零，则这两个数都为零求出sinA和cosB的值是解决此题的关键．5．某兴趣小组想测量一座大楼 AB的高度．如图，大楼前有一段斜坡BC ，已知 BC的长为12 米它的坡度1:3i=．在离 C点 40 米的 D处，用测量仪测得大楼顶端 A的仰角为 37度，测角仪DE的高度为 1.5米，求大楼AB 的高度约为（）米（sin370.60,cos370.80,tan370.75,3 1.73︒=︒=︒==）A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7C解析：C【分析】延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H，在Rt△BCF中利用坡度的定义求得CF的长，则DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函数求得AF的长，进而求得AB的长．【详解】解：延长AB交直线DC于点F，过点E作EH⊥AF，垂足为点H．∵在Rt△BCF中，BFCF =3 i=∴设BF=k，则3k，BC=2k．又∵BC=12，∴k=6，∴BF=6，CF=63∵DF=DC+CF，∴DF=40+3∵在Rt△AEH中，tan∠AEH=AHEH，∴AH=tan37°×（40+63≈37.785（米），∵BH=BF-FH，∴BH=6-1.5=4.5．∵AB=AH-HB，∴AB=37.785-4.5≈33.3．故选C．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解，注意利用两个直角三角形的公共边求解是解答此类题型的常用方法．6．如图，在△ABC 中，sinB=13， tanC=2，AB=3，则AC 的长为（）A ．2B ．52C ．5D ．2B解析：B【分析】过A 点作AH ⊥BC 于H 点，先由sin ∠B 及AB=3算出AH 的长，再由tan ∠C 算出CH 的长，最后在Rt △ACH 中由勾股定理即可算出AC 的长．【详解】解：过A 点作AH ⊥BC 于H 点，如下图所示：由1sin =3∠=AH B AB ，且=3AB 可知，=1AH ，由tan =2∠=AH C CH ，且=1AH 可知，12CH =， ∴在Rt ACH ∆中，由勾股定理有：2222151()2=+=+=AC AH CH ．故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形及勾股定理等知识，如果图形中无直角三角形时，可以通过作垂线构造直角三角形进而求解．7．如图，菱形ABCD 的边长为2，且∠ABC ＝120°，E 是BC 的中点，P 为BD 上一点，且△PCE的周长最小，则△PCE的周长的最小值为（）A．3+1 B．7+1 C．23+1 D．27+1B解析：B【分析】由菱形ABCD中，∠ABC＝120°，易得△BCD是等边三角形，继而求得∠ADE的度数；连接AE，交BD于点P；首先由勾股定理求得AE的长，即可得△PCE周长的最小值＝AE+EC．【详解】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴BC＝CD＝AD＝2，∠C＝180°﹣∠ABC＝60°，∠ADC＝∠ABC＝120°，∴∠ADB＝∠BDC＝1∠ADC＝60°，2∴△BCD是等边三角形，∵点E是BC的中点，∠BDC＝30°，∴∠BDE＝12∴∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝90°，∵四边形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴PA＝PC，++，∵△PCE的周长=PC PE CE若△PCE的周长最小，即PC+PE最小，也就是PA+PE最小，即A，P，E三点共线时，∵DE＝CD•sin60°＝3，CE＝1BC＝1，2∴在Rt△ADE中，227=+=，AE AD DE∴△PCE周长为：PC+PE+CE＝PA+PE+CE＝AE+CE＝71+，故选：B．【点睛】本题考查了菱形的性质、最短路线问题、等边三角形的性质，熟练掌握菱形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．8．若菱形的周长为16，高为2，则菱形两个邻角的比为（）A ．6:1B ．5:1C ．4:1D ．3:1B解析：B【分析】由锐角函数可求∠B 的度数，可求∠DAB 的度数，即可求解．【详解】如图，∵四边形ABCD 是菱形，菱形的周长为16，∴AB=BC=CD=DA=4，∵AE=2，AE ⊥BC ，∴sin ∠B=12BE AB ＝ ∴∠B=30° ∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC ，∴∠DAB+∠B=180°，∴∠DAB=150°，∴菱形两邻角的度数比为150°：30°=5：1，故选：B ．【点睛】本题考查了菱形的性质，锐角三角函数，能求出∠B 的度数是解决问题的关键． 9．如图，在扇形OAB 中，120AOB ∠=︒，点P 是弧AB 上的一个动点（不与点A 、B 重合），C 、D 分别是弦AP ，BP 的中点．若33CD =，则扇形AOB 的面积为（）A ．12πB ．2πC ．4πD ．24πA解析：A【分析】如图，作OH ⊥AB 于H ．利用三角形中位线定理求出AB 的长，解直角三角形求出OB 即可解决问题．【详解】解：如图作OH ⊥AB 于H ．∵C 、D 分别是弦AP 、BP 的中点．∴CD 是△APB 的中位线，∴AB ＝2CD ＝63， ∵OH ⊥AB ， ∴BH ＝AH ＝33，∵OA ＝OB ，∠AOB ＝120°，∴∠AOH ＝∠BOH ＝60°，在Rt △AOH 中，sin ∠AOH ＝AH AO， ∴AO ＝336sin 32AH AOH ==∠， ∴扇形AOB 的面积为：2120612360ππ=，故选：A ．【点睛】本题考查扇形面积公式，三角形的中位线定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10．在半径为1的O 中，弦AB 、AC 的长度分别是3，2，则BAC ∠为（）度． A ．75B ．15或30C ．75或15D ．15或45C解析：C【分析】根据题意画出草图，因为C 点位置待定，所以分情况讨论求解．【详解】利用垂径定理可知：AD=3222AE =，．sin ∠AOD=32，∴∠AOD=60°； sin ∠AOE=22，∴∠AOE=45°； ∴∠BAC=75°．当两弦共弧的时候就是15°．故选：C ．【点睛】此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形.二、填空题11．已知ABC 与ABD △不全等，且3AC AD ==，30ABD ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，则CD =________．或3【分析】如图△ABC ≌△ABP 当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时满足条件分别求解即可【详解】解：如图△ABC ≌△ABP ∴∴CAP 共线∴△BPC 是等边三角形当D′是PB 中点时AD′=BP=AC 解析：3或3【分析】如图，△ABC ≌△ABP ，当D′是PB 中点或点D″是BC 的中点时，满足条件，分别求解即可．【详解】解：如图，△ABC ≌△ABP ，3AC AP ==，30ABP ABC ∠=∠=︒，60ACB ∠=︒，∴60APB ∠=︒，90CAB PAB ∠=∠=︒，∴C ，A ，P 共线，BC BP AC AP ===，∴△BPC 是等边三角形，当D′是PB 中点时，AD′=123ABC 与D'AB 满足条件， ∴D'90C P ∠=︒，∴CD′= PD′tan 60︒3PD′=3，当点D″是BC 的中点时，此时ABC 与D AB "也满足条件，∴3，∴满足条件的CD 的长为3或3．故答案为：3或3．【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是画出符合题意的图形，用分类讨论的思想思考问题．12．如图，一艘船由A 港沿北偏东65°方向航行302km 至B 港，然后再沿北偏西40°方向航行至C 港，C 港在A 港北偏东20°方向，则A ，C 两港之间的距离为______km ．【分析】BE ⊥AC 于点E 根据题意计算可得解直角三角形ABE 可得BE=AE=30根据平行线性质计算可得解直角三角形CEB 可得AE+CE 的值即是AC 两港之间的距离【详解】解：设过A 点正北方向直线为AD 过解析：30103+【分析】BE ⊥AC 于点E ，根据题意计算可得45EAB ∠=︒，解直角三角形ABE ，可得BE=AE=30，根据平行线性质计算可得60C ∠=°，解直角三角形CEB 可得，103CE =，AE+CE 的值即是AC 两港之间的距离．【详解】解：设过A 点正北方向直线为AD ，过B 点正北方向直线为BG ，过B 作BE ⊥AC 于E ，过C 作CF ∥AD ，如图:∵由题意得：∠CAB =65°﹣20°=45°，∠AEB =∠CEB =90°，AB 2km ．∴在Rt ABE △中，∠ABE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形．∵AB 2km ，∴AE=BE=22AB=30（km）．∵CF∥AD∥BG，∴∠ACF=∠CAD=20°，∠BCF=∠CBG=40°，∴∠ACB=20°+40°=60°，∵在Rt CBE中，∠ACB=60°，tan∠ACB=BECE，∴CE=30tan603BE︒==103（km），∴AC=AE+CE=30+103（km），∴A、C两港之间的距离为（30+103）km．故答案为：（30+103）．【点睛】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，添加辅助线构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的方法是解题关键．13．如图，正方形ABCD绕点B逆时针旋转30°后得到正方形BEFG，EF与AD相交于点H，延长DA交GF于点K．若正方形ABCD边长为3，则AH=__．1【分析】连接BH证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL）得出∠ABH=30°在Rt△ABH中解直角三角形即可【详解】解：连接BH如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形∴∠BAH=∠AB解析：1【分析】连接BH，证明Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL），得出∠ABH =30°，在Rt△ABH中解直角三角形即可．【详解】解：连接BH，如图所示：∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形，∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°，由旋转的性质得：AB=EB ，∠CBE=30°，∴∠ABE=60°，在Rt △ABH 和Rt △EBH 中，∵BH=BH ，AB=EB ，∴Rt △ABH ≌△Rt △EBH （HL ），∴∠ABH=∠EBH=12∠ABE=30°， ∴AH=AB•tan ∠ABH=333⨯=1，故答案为：1．【点睛】本题考查了旋转的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形．能正确作出辅助线得出Rt △ABH ≌△Rt △EBH ，从而求得∠ABH =30°是解题关键．14．如图，已知在Rt ABC 中，C 90,AC BC 2∠=︒==，点D 在边BC 上，将ABC 沿直线AD 翻折，使点C 落在点C '处，联结AC '，直线AC '与边CB 的廷长线相交于点F ，如果DAB BAF ∠∠=，那么BF =_________．【分析】首先根据题意画出图形再根据折叠的性质和可求出各角的度数再利用解直角三角形的知识分别求出CDDFBD 的长度最后根据线段之间的和差关系即可求出结果【详解】解：如图所示：∵△ADC 是由△ACD 翻折解析：32【分析】首先根据题意画出图形，再根据折叠的性质和DAB BAF ∠∠=，可求出各角的度数，再利用解直角三角形的知识分别求出CD ，DF ，BD 的长度，最后根据线段之间的和差关系即可求出结果．【详解】解：如图所示：∵△ADC’是由△ACD 翻折得到，∴DAC 'DAC ∠∠=， ∵DAB BAF ∠∠=， ∴DAC 2DAB ∠∠=． ∵AC 45B ∠=︒， ∴DAB BAF=15∠∠=︒．∴30CAD ∠=︒．在Rt △ACD 中，AC=2 ∴23tan 30CD AC =⋅︒= ，43cos30AC AD ==︒ ． ∵'ADC F DAC ∠=∠+∠∴'30F DAC ∠=∠=︒ ． ∴433DF AD ==． 23432232BF CD DF BC∴=+-=-= 故答案为32．【点睛】本题考查了翻折的性质和解直角三角形的知识，根据题意画出图形是解题的关键． 15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 在格点上，则∠AED 的正切值为_____．【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC所以tan∠AED=tan∠ABC=故答案为：【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数解析：1 2【详解】解：根据圆周角定理可得∠AED=∠ABC，所以tan∠AED=tan∠ABC=12 ACAB．故答案为：12．【点睛】本题考查圆周角定理；锐角三角函数．16．如图，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠D=60°，∠A＝105°，∠B＝120°，则ADBC的值为__________．【分析】沿AB作垂线与C的延长线相交于M点可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形根据三角函数求解即可【详解】解：如图连接AC并过B点作BM⊥CM设BM=k∵AD＝CD∠D=60°∴△ACD是解析：6 2【分析】沿AB作垂线与C的延长线相交于M点，可得到等边直角三角形和锐角为30°的直角三角形，根据三角函数求解即可.【详解】解：如图连接AC 并过B 点作BM ⊥CM ，设BM=k ，∵AD ＝CD ，∠D=60°,∴△ACD 是等边三角形，AD=AC ，∵∠A ＝105°，∠B ＝120°，∠DAC=60°,∴∠MBC=60°，∠BCM=30°，∠BAC=45°，∵BM=k ，∴BC=2k ，MC=BM tan 30=3k ， ∵∠BAC=45°，∠MCA=45°， ∴AD=AC=MC 3k sin 4522==6k ，∴6k 62k 2==AD BC . 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值和公式的应用，正确应用公式和作出辅助线是解题的关键.3tan 303=，sin45=22. 17．如图，在2×2的网格中，以顶点O 为圆心，以2个单位长度为半径作圆弧，交图中格线于点A ，则tan ∠ABO 的值为_____．2+【分析】连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点C 由题意知AC=1OA=OB=2从而得出OC==BC=OB ﹣OC=2﹣在Rt △ABC 中根据tan ∠ABO=可得答案【详解】如图连接OA 过点A 作AC ⊥OB 于点解析：3．【分析】连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，由题意知AC=1、OA=OB=2，从而得出OC=22OA AC -=3、BC=OB ﹣OC=2﹣3，在Rt △ABC 中，根据tan ∠ABO=AC BC 可得答案．【详解】如图，连接OA ，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，则AC=1，OA=OB=2，∵在Rt △AOC 中，OC=222221OA AC -=-=3，∴BC=OB ﹣OC=2﹣3，∴在Rt △ABC 中，tan ∠ABO=123AC BC =-=2+3．故答案是：2+3．【点睛】本题考查了解直角三角形，根据题意构建一个以∠ABO 为内角的直角三角形是解题的关键． 18．如图，已知直线l ：33y x =，过点()0,1A 作y 轴的垂线交直线l 于点B ，过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点1A ；过点1A 作y 轴的垂线交直线l 于点1B ，过点1B 作直线l 的垂线交y 轴于点2A ；…；按此作法继续下去，则点2020A 的坐标为__________．【分析】先求出点B 的坐标为（1）得到OA=1OB=求出∠AOB=60°再求出∠得到求出(04)；同理得到（0）；由此得到规律求出答案【详解】将y=1代入中得x=∴B （1）∴OA=1OB=∴tan ∠A解析：()20200,4【分析】先求出点B 31），得到OA=1，3∠AOB=60°，再求出∠130OA B =得到133AA =，求出1A (0，4)；同理得到1143A B =1211312A A A B ==，2A （0，24）；由此得到规律求出答案.【详解】将y=1代入33y x =中得x=3， ∴B （3，1），∴OA=1，OB=3，∴tan ∠AOB=3AB OA=， ∴∠AOB=60°，∵∠A 1BO=90°， ∴∠130OA B =,∴133AA AB ==,∴14OA =,∴1A (0，4)；同理：1143A B =，1211312A A AB ==， ∴2OA =1624=，∴2A （0，24）；，∴点2020A 的坐标为()20200,4，故答案为：()20200,4. 【点睛】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐标得到点坐标的表示规律是解题的关键.19．如图，△ABC 是等边三角形，AB =3，点E 在AC 上，AE 23=AC ，D 是BC 延长线上一点，将线段DE 绕点E 逆时针旋转90°得到线段FE ，当AF ∥BD 时，线段AF 的长为____．1【分析】过点E 作EM ⊥AF 于M 交BD 于N 根据30°直角三角形的性质求出AM=1再根据∠60°的三角函数值求出EN 的长再依据△EMF ≌△DNE （AAS ）得出MF=EN 据此可得当AF ∥BD 时线段AF 的解析：13+．【分析】过点E作EM⊥AF于M，交BD于N，根据30°直角三角形的性质求出AM =1，再根据∠60°的三角函数值求出EN的长，再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN32=，据此可得，当AF∥BD时，线段AF的长为132 +.【详解】如图过点E作EM⊥AF于M，交BD于N．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．∵AE23=AC，∴AE=2，EC=1．∵AF∥BD，∴∠EAM=∠ACB=60°．∵EM⊥AF，∴∠AME=90°，∴∠AEM=30°，∴AM12=AE=1．∵AF∥BD，EM⊥AF，∴EN⊥BC，∴EN=EC•sin60°3=∵∠EMF=∠END=∠FED=90°，∴∠MEF+∠MFE=90°，∠MEF+∠DEN=90°，∴∠EFM=∠DEN．∵ED=EF，∴△EMF≌△DNE（AAS），∴MF=EN3=∴AF=AM+MF=132+．故答案为：132+．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值. 20．如图：在矩形ABCD 中，4AB =，8BC =，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE AC ⊥交AD 于点E ．求OE 的长是．【分析】利用矩形的性质求解再证明利用锐角三角函数可得答案【详解】矩形矩形故答案为：【点睛】本题考查的是矩形的性质解直角三角形知识掌握以上知识点是解题关键 5【分析】利用矩形的性质求解AC ，再证明OAE ACB ∠=∠，利用锐角三角函数可得答案．【详解】矩形ABCD ，4AB =，8BC =，222290,4845,ABC AC AB BC ∴∠=︒=++= 4125,,82OA OC tan ACB ==∠== 矩形ABCD ，//,AD BC ∴,OAE ACB ∴∠=∠,OE OA ⊥ 1tan tan ,2OAE ACB ∴∠=∠= 1,225= 5,OE ∴=5.【点睛】本题考查的是矩形的性质，解直角三角形知识，掌握以上知识点是解题关键．三、解答题21．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，O 是BEF 的外接圆．（1）求证：AC 是O 的切线．（2）过点E 作EH AB ⊥，垂足为H ，求证：CD HF =．（3）若1CD =，3EH =，求BF 及AF 长．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）10BF =，54AF =．【分析】（1）连接OE ，由于BE 是角平分线，则有∠CBE=∠OBE ；而OB=OE ，就有∠OBE=∠OEB ，等量代换有∠OEB=∠CBE ，那么利用内错角相等，两直线平行，可得OE ∥BC ；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC 是⊙O 的切线；（2）连结DE ，先根据AAS 证明△CDE ≌△HFE ，再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF ．（3）先证得△EHF ∽△BEF ，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH ，然后解直角三角形即可求得OA ，得出AF ．【详解】解：（1）证明：如图，连接OE ．∵BE EF ⊥，∴90BEF ∠=︒，∴BF 是圆O 的直径．∵BE 平分ABC ∠，∴CBE OBE ∠=∠，∵OB OE =，∴OBE OEB ∠=∠，∴OEB CBE ∠=∠，∴//OE BC ，∴90AEO C ∠=∠=︒，∴AC 是O 的切线．（2）如图，连结DE ．∵CBE OBE ∠=∠，EC BC ⊥于C ，EH AB ⊥于H ，∴EC EH =．∵180CDE BDE ∠+∠=︒，180HFE BDE ∠+∠=︒，∴CDE HFE ∠=∠．在CDE △与HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴CDE HFE ≅△△，∴CD HF =．（3）由（2）得CD HF =，又1CD =，∴1HF =，在Rt HFE中，EF ==，∵EF BE ⊥，∴90BEF ∠=︒，∴90EHF BEF ∠=∠=︒，∵EFH BFE ∠=∠，∴EHF BEF △△， ∴EF HF BF EF == ∴10BF =， ∴152OE BF ==，514OH =-=， ∴Rt OHE △中，4cos 5EOA ∠=， ∴Rt EOA △中，4cos 5OE EOA OA ∠==， ∴545OA =， ∴254OA =， ∴255544AF =-=．【点睛】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．22．材料：如图①，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），,BC AB >点M 是弧ABC 的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD AB BD =+（1）如图②，已知等边ABC ∆内接于,12,O AB D =为弧AC 上--点，45,ABD AE BD ︒∠=⊥于点E ，求BDC ∆的周长（2）求证：CD AB BD =+．解析：（1）△BDC 的周长为12212；（2）证明见解析【分析】（1）由题意，A 为弧BDC 的中点，所以AE 把折弦CDB 平分，所以△BDC 的周长等于BC+2BE ，由已知算出BE 即可得到解答；（2）在CB 上截取CG=AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ，首先证明△MBA ≌△MGC （SAS ），进而得出MB=MG ，再利用等腰三角形的性质得出BD=GD ，即可得出答案．【详解】（1）解：∵AE ⊥BD ，∠ABD=45°，∴△AEB 是等腰直角三角形，∴126222AB BE ===，又∵△ABC 是等边三角形，∴AB=AC ，∴A 为弧BDC 的中点，∴AE 平分折弦CDB ，即BE=ED+DC ，∴BD+DC=2BE=122；∴△BDC 的周长=BD+CD+BC=12212+；（2）证明：如图，在CB 上截取CG=AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ，∵M 是弧ABC 的中点，∴MA=MC ．在△MBA 和△MGC 中，BA GC A C MA MC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MBA ≌△MGC （SAS ），∴MB=MG ，又∵MD ⊥BC ，∴BD=GD ，∴DC=GC+GD=AB+BD ．【点睛】本题考查圆的综合运用，综合并灵活运用圆弧和弦的关系、三角形全等的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识是解题关键．23．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转得ADE ，点C 的对应点E 恰好落在AB 上，（1）求DBC ∠的度数；（2）求tan ∠BDE 的值．解析：（1）135°；（2）23【分析】（1）根据旋转的性质得到ABD △是等腰三角形和顶角BAD ∠的度数，再算出ABD ∠的度数，就可以算出DBC ∠的度数；（2）设2AD AB x ==，根据特殊角的三角函数值用x 表示出BE 和DE ，就可以求出tan ∠BDE 的值．【详解】解：（1）∵90C ∠=︒，60ABC ∠=︒，∴30BAC DAB ∠=∠=︒，∵AD AB =， ∴()118030752ABD ADB ∠=∠=︒-︒=︒， ∴7560135DBC ABD ABC ∠=∠+∠=︒+︒=︒；（2）设2AD AB x ==，则12DE AD x ==，3AE x =， ∴23BE x x =-， ∴()23tan 23x BE BDE DE x-∠===-．【点睛】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数，解题的关键是掌握这些性质定理进行求解．24．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DC ，DF ．（1）求∠CDE 的度数；（2）求证：DF 是⊙O 的切线；（3）若AC =25DE ，求tan ∠ABD 的值．参考答案解析：（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．【分析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE 的度数；（2）连接DO ，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF 是⊙O 的切线；（3）根据已知条件易证△CDE ∽△ADC ，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD ，DC 的长，再利用圆周角定理得出tan ∠ABD 的值即可．【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴DC DEAD DC=，∴DC2=AD•DE∵AC=25DE，∴设DE=x，则AC=25x，则AC2﹣AD2=AD•DE，期（25x）2﹣AD2=AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则DC=22(25)(4)2x x x-=，故tan∠ABD=tan∠ACD=422AD xDC x==．25．（1）sin6045260 cos30tan tan︒-︒+︒︒．（2）tan45cos6030sin60tan︒-︒⨯︒︒．解析：（1）2）13．【分析】（1）首先求出特殊角的三角函数值，然后根据实数加减混合运算法则计算即可；（2）首先求出特殊角的三角函数值，然后化简，然后根据实数加减混合运算法则计算即可．【详解】（1）sin6045260 cos30tan tan︒-︒+︒︒=1-+（2）tan45cos6030sin60tan︒-︒⨯︒︒=11-=3=13．【点睛】本题考查了特殊锐角三角函数值的混合运算，关键是记忆30 º、45 º和60º的三角函数值．26．（1）计算：(﹣2)﹣32sin30°+(2020﹣π)0﹣4|；（2）解不等式组3(1)(5)01223x xx x---≥⎧⎪+⎨>⎪⎩，并求出正整数解．解析：（1）638；（2）-1≤x＜3；1，2【分析】（1）根据实数的性质进行化简即可求解；（2）分别求出各不等式的解集，再找到其公共解集即可求解．【详解】解：（1）原式＝﹣18+4﹣2×12+1+4﹣3 ＝﹣18+4﹣1+1+4﹣3 ＝638﹣3；（2）3(1)(5)01223x x x x ---≥⎧⎪⎨+>⎪⎩①②，由①，得x ≥﹣1；由②，得x ＜3．所以不等式组的解集是﹣1≤x ＜3．则该不等式组的正整数解为：1，2．【点睛】此题主要考查实数与不等式组的求解，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值． 27．已知：直线3y kx k =+，交x 轴于B ，交y 轴于A ，且3OA OB =．（1）如图1，求直线AB 的解析式；（2）如图2，点D 在AO 上且AD t =连接BD ，过BD 作DE BD ⊥于D ，过A 作AE y ⊥轴于A ，E 点的横坐标为m ，求m 与t 的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，点P 在BD 的延长线上，P 的横坐标为t ，点F 在EA 的延长线上，点N 在AD 上，连接FN ，连接PF 并延长交直线AB 于点M ，若E BPM ∠=，2ANF ADE ∠=∠，2AN DN =，求点M 的坐标．解析：（1）y=3x+9；（2）m=2133t t -；（3）M(1，10)．【分析】（1）先设OB b =，表示出A 、B 的坐标，代入求解即可；（2）根据lBD lDE k k ⋅= -1，得出93t -·t m=-1，变形求解即可；（3）首先得出直线BD 的解析式，再得出直线NF 为：y=222mt m t -，设F(n ，9)，得出直线FD ，再根据直线AB 求解即可．【详解】解：（1）设OB b =，∴B(-b,0)，∵OA=3OB ，∴A(0,3b)，∵A 、B 在直线y=kx+k 上，代入得3033bk k k b -+=⎧⎨=-⎩，解得：33k b =⎧⎨=⎩，∴y=3x+9；（2）由（1）知A(0，9)，B(-3，0)，∵AE ⊥y 轴，∴E(m ，9)，∵AD=t ，∴D(0，9-t)，∵BD ⊥DE ，∴lBD lDE k k ⋅= -1，而lBD k =93t -，lDE k =t m， ∴93t -·t m=-1， ∴-t²+9t+3m=0， ∴m=2133t t -；（3）由（2）和（1）知：直线BD 为：y=993t x t -+- ， ∵P 在直线BD 上且横坐标为t ， ∴P(t ，26273t t -++)， ∵AN=2DN ，∴N(0，9-t)，∵∠ANF=2∠ADE 且lDE k =t m，则直线NF 为：y=222mt m t - ，设F(n ，9)，则22223t mt n m t =-，解得n=223m t m-， ∴F(223m t m-，9)，由F 、P 得FP l ：y=222222()933m t m t x m t mt m---+--①，由（1）得：AB l :y=3x+9②，∵∠E=∠BPM ，∴tan ∠E=tan ∠BPM③，由M 为AB 和PF 的交点，联立①②③得：M(1，10)．【点睛】本题考查了一次函数的性质、待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数、构建方程解决问题．28．如图，在△ABC 中，5AB AC ==，6BC =，将ABC ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到△A′BC′，连接A C '，求A C '的长．解析：433A C '=+【分析】利用旋转的性质得BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，再判断出△BCC'是等边三角形，即可得到BC=C'C ，进而判断出A'C 是线段BC'的垂直平分线，最后用勾股定理和三角函数求解即可．【详解】解：如图，连接CC'，∵△ABC 绕点B 逆时针旋转60°得到△A′BC′，∴BC=BC′=6，∠CBC′=60°，A′B=AB=AC=A′C′=5，∴△BCC'是等边三角形，∴BC=C'C ，∵A'B=A'C'，∴A'C 是BC'的垂直平分线，垂足为D ，∴BD=12BC'=3，在Rt△A'BD中，A'B=5，BD=3，根据勾股定理得，A'D=4，在Rt△BCD中，∠CBD=60°，BC=6，∴CD=BC•cos∠CBD=6×sin60°∴【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，解本题的关键是判断出A'C是线段BC'的垂直平分线．。

人教版九年级下《第二十八章锐角三角函数》单元测试题含答案

第二十八章锐角三角函数一、选择题(每小题3分，共30分) 1．sin60°的值等于( ) A.12 B.22 C.32 D.332．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，sin A ＝23，则AB 的长为( )A.83B ．6C ．12D ．8 3．已知α为锐角，且cos(90°－α)＝12，则cos α的值为( )A.33 B.22 C.12 D.324．如图1，点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，则t 的值是( )图1A ．1B ．1.5C ．2D ．35．如图2，∠AOB 在正方形网格中，则cos ∠AOB 的值为( )图2A.12B.22C.32D.336．如图3，将△ABC 放在每个小正方形的边长都为1的网格中，点A ，B ，C 均在格点上，则tan A 的值是( )图3A.55 B.105 C ．2 D.127．如图4，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD 的值为( )图4A.53B.2 55C.52 D.238．如图5，某酒店大门的旋转门内部由三块宽为2米，高为3米的玻璃隔板组成，三块玻璃摆放时夹角相同．若入口处两根立柱之间的距离为2米，则两立柱底端中点到转轴底端的距离为( )图5A.3米 B ．2米 C ．2 2米 D ．3米9．如图6，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M 处观测到灯塔P 在南偏西22°方向上．航行2小时后到达N 处，观测灯塔P 在南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(参考数据：sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)( )图6A ．22.48海里B ．41.68海里C ．43.16海里D ．55.63海里10．如图7，四边形BDCE 内接于以BC 为直径的⊙A ，已知BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∠BCE ＝30°，则线段DE 的长是( )图7A.89 B ．7 3 C ．4＋3 3 D ．3＋4 3 请将选择题答案填入下表：题号 12345678910总分答案第Ⅱ卷 (非选择题共70分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．如图8，在△ABC 中，∠B ＝45°，cos C ＝35，AC ＝5a ，则△ABC 的面积用含a 的式子表示是________．图812．为解决停车难的问题，在一段长56米的路段上开辟停车位，如图9，每个车位是长为5米、宽为2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出________个这样的停车位．(参考数据：2≈1.4)图913．如图10，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，点E ，F 在线段AD 上，tan ∠ABC ＝3，则阴影部分的面积是________．图1014．已知△ABC ，若⎪⎪⎪⎪sin A －12与(tan B －3)2互为相反数，则∠C 的度数是________． 15．如图11，已知四边形ABCD 是正方形，以CD 为一边向CD 两旁分别作等边三角形PCD 和等边三角形QCD ，那么tan ∠PQB 的值为________．图1116.如图12，已知点A(5 3，0)，直线y ＝x ＋b(b ＞0)与y 轴交于点B ，连接AB.若∠α＝75°，则b ＝________．图12三、解答题(共52分)17．(5分)计算：cos30°tan60°－cos45°sin45°－sin260°.18．(5分)如图13，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠ABC＝45°，求BC的长及tan C 的值．图1319.(5分)如图14，在半径为1的⊙O中，∠AOB＝45°，求sin C的值．图1420．(5分)如图15，AB是长为10 m，倾斜角为37°的自动扶梯，平台BD与大楼CE垂直，且与扶梯AB的长度相等，在B处测得大楼顶部C的仰角为65°，求大楼CE的高度(结果保留整数)．(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin65°≈910，tan65°≈157)图1521．(7分)如图16，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.(1)求tan∠DBC的值；(2)求证：四边形OBEC是矩形．图1622．(7分)如图17，市防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，设计师提供的方案是：水坝加高1米(EF＝1米)，背水坡AF的坡度i＝1∶1，已知AB＝3米，∠ABE＝120°，求水坝原来的高度．图1723．(9分)阅读下面的材料：小凯遇到这样一个问题：如图18①，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC＝4，BD＝6，∠AOB＝30°，求四边形ABCD的面积．小凯发现，分别过点A，C作直线BD的垂线，垂足分别为E，F，设AO为m，通过计算△ABD与△BCD的面积和可以使问题得到解决(如图②)．请回答：(1)△ABD 的面积为________(用含m 的式子表示)； (2)求四边形ABCD 的面积．参考小凯思考问题的方法，解决问题：如图③，在四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝a ，BD ＝b ，∠AOB ＝α(0°＜α＜90°)，则四边形ABCD 的面积为________(用含a ，b ，α的式子表示)．图1824．(9分)观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题．在锐角三角形ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c ，过点A 作AD ⊥BC 于点D(如图19①)，则sin B ＝AD c ，sin C ＝ADb ，即AD ＝c sin B ，AD ＝b sin C ，于是c sin B ＝b sin C ，即b sin B ＝csin C ，同理有c sin C ＝a sin A ，a sin A ＝b sin B ，所以a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．在锐角三角形中，若已知三个元素(至少有一条边)，运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．根据上述材料，完成下列各题：(1)如图②，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝75°，BC ＝60，则∠A ＝________°，AC ＝________；(2)如图③，在某次巡逻中，渔政船在C 处测得海岛A 在其北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B 处，此时又测得海岛A 在其北偏西75°的方向上，求此时渔政船距海岛A 的距离AB.(结果精确到0.01海里，6≈2.449)图19详解详析1．C2．B [解析] 由题意可得sin A ＝23＝BCAB.因为BC ＝4，所以AB ＝6.3．D [解析] 因为cos(90°－α)＝12，α为锐角，所以90°－α＝60°，所以α＝30°，所以cos α＝32. 4．C [解析] ∵点A (t ，3)在第一象限，OA 与x 轴所夹的锐角为α，tan α＝32，∴tan α＝3t ＝32，∴t ＝2. 5．B [解析] 如图，连接AC .由网格图的特点，易得△ACO 是等腰直角三角形，所以∠AOB ＝45°，所以cos ∠AOB 的值为22.6．D [解析] 如图，连接BD .由网格图的特点可知AD ⊥BD ，由AD ＝2 2，BD ＝2，可得tan A 的值为12.7．A [解析] 在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得AB 2＝AC 2＋BC 2＝(5)2＋22＝9，∴AB ＝3.∵∠B ＋∠BCD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°，∴∠B ＝∠ACD ，∴sin ∠ACD ＝sin B ＝AC AB ＝53.故选A. 8．A [解析] 如图，设转轴底端为A ，两立柱底端的点为B ，C ，BC 的中点为D ，则有AB ＝AC ＝2米，所以AD ⊥BC ，且CD ＝1米，所以AD ＝3米．9．B [解析] 如图，过点P 作P A ⊥MN 于点A ，MN ＝30×2＝60(海里)．∵∠PMN ＝22°，∠PNA ＝44°， ∴∠MPN ＝∠PNA －∠PMN ＝22°， ∴∠PMN ＝∠MPN ， ∴MN ＝PN ＝60海里． ∵∠PNA ＝44°，∴在Rt △NAP 中，P A ＝PN ·sin ∠PNA ≈60×0.6947≈41.68(海里)．故选B.10．D [解析] 如图，过点B 作BF ⊥DE 于点F .在Rt △CBD 中，∵BC ＝10，cos ∠BCD ＝35，∴DC ＝6，∴BD ＝8.在Rt △BCE 中，BC ＝10，∠BCE ＝30°， ∴BE ＝5.在Rt △BDF 中，∠BDF ＝∠BCE ＝30°，BD ＝8， ∴DF ＝BD ·cos30°＝4 3.在Rt △BEF 中，∠BEF ＝∠BCD ，即cos ∠BEF ＝cos ∠BCD ＝35，∴EF ＝BE ·cos ∠BEF ＝3，∴DE ＝EF ＋DF ＝3＋4 3. 11．14a 2 12.1713．6 [解析] 由等腰三角形的轴对称性可知阴影部分的面积等于△ABC 的面积的一半．因为BD ＝12BC ＝2，AD ⊥BC ，tan ∠ABC ＝3，所以AD ＝6，所以△ABC 的面积为12，所以阴影部分的面积为6.14．90° [解析] 由题意得sin A ＝12，tan B ＝3，所以∠A ＝30°，∠B ＝60°，所以∠C的度数是90°.15．2－3 [解析] 延长QP 交AB 于点F .∵四边形ABCD 是正方形，△PCD 和△QCD 是以CD 为边的等边三角形， ∴四边形PCQD 是菱形．设正方形ABCD 的边长为a ，则可得PE ＝QE ＝32a ，DE ＝EC ＝12a ，FB ＝12a ， ∴tan ∠PQB ＝FBFQ＝12a a ＋32a＝2－ 3. 16．5 [解析] 设直线y ＝x ＋b (b ＞0)与x 轴交于点C ，易得C (－b ，0)，B (0，b )，所以OC ＝OB ，所以∠BCO ＝45°.又因为α＝75°，所以∠BAO ＝30°. 因为OA ＝5 3，所以OB ＝5，所以b ＝5. 17.1418．解：如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D .在Rt △ABD 中，∠B ＝45°， ∵sin B ＝ADAB，∴AD ＝AB ·sin B ＝4×sin45°＝4×22＝2 2， ∴BD ＝AD ＝2 2.在Rt △ADC 中，AC ＝6，由勾股定理，得DC ＝AC 2－AD 2＝62－（2 2）2＝2 7， ∴BC ＝BD ＋DC ＝2 2＋2 7，tan C ＝AD DC ＝2 22 7＝147. 19．解：如图，过点A 作AD ⊥OB 于点D . ∵在Rt △AOD 中，∠AOB ＝45°， ∴OD ＝AD ＝OA ·cos45°＝1×22＝22， ∴BD ＝OB －OD ＝1－22， ∴AB ＝AD 2＋BD 2＝（22）2＋（1－22）2＝2－ 2. ∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，AC ＝2，∴sin C ＝ABAC ＝2－22.20．解：如图，过点B 作BF ⊥AE 于点F ，则BF ＝DE .在Rt △ABF 中，sin ∠BAF ＝BF AB，则BF ＝AB ·sin ∠BAF ≈10×35＝6(m)．在Rt △CDB 中，tan ∠CBD ＝CD BD ，则CD ＝BD ·tan65°≈10×157≈21(m)．则CE ＝DE ＋CD ＝BF ＋CD ≈6＋21＝27(m)．答：大楼CE 的高度约是27 m.21．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠ABC ＋∠BAD ＝180°. 又∵∠ABC ∶∠BAD ＝1∶2， ∴∠ABC ＝60°.∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠DBC ＝12∠ABC ＝30°，∴tan ∠DBC ＝tan30°＝33. (2)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BOC ＝90°.∵BE ∥AC ，CE ∥BD ，∴∠OBE ＝∠BOC ＝∠OCE ＝90°， ∴四边形OBEC 是矩形．22．解：如图所示，过点E 作EC ⊥BD 于点C ，设BC ＝x 米．∵∠ABE ＝120°， ∴∠CBE ＝60°. 在Rt △BCE 中， ∵∠CBE ＝60°，∴tan60°＝CE BC ＝3，即CE ＝3x 米． ∵背水坡AF 的坡度i ＝1∶1，∴CF AC＝1. ∵AC ＝(3＋x )米，CF ＝(1＋3x )米， ∴1＋3x 3＋x＝1，解得x ＝3＋1， ∴EC ＝3x ＝(3＋3)米．答：水坝原来的高度为(3＋3)米．23．解：(1)∵AO ＝m ，∠AOB ＝30°，∴AE ＝12m ， ∴△ABD 的面积为12×12m ×6＝32m . 故答案为32m. (2)由(1)得S △ABD ＝32m . 同理，CF ＝12(4－m )， ∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝6－32m . ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝6.解决问题：分别过点A ，C 作直线BD 的垂线，垂足分别为E ，F ，设AO 为x .∵∠AOB ＝α，∴AE ＝x ·sin α，∴S △ABD ＝12BD ·AE ＝12b ·x ·sin α. 同理，CF ＝(a －x )·sin α，∴S △BCD ＝12BD ·CF ＝12b ·(a －x )·sin α. ∴S 四边形ABCD ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12b ·x ·sin α＋12b ·(a －x )·sin α＝12ab ·sin α. 故答案为12ab ·sin α. 24．解：(1)60 20 6(2)依题意，得BC ＝40×0.5＝20(海里)．∵CD∥BE，∴∠DCB＋∠CBE＝180°.∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°.∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°，∴∠A＝45°.在△ABC中，ABsin∠ACB＝BC sin A，即ABsin60°＝20sin45°，解得AB＝10 6≈24.49(海里)．答：渔政船距海岛A的距离AB约为24.49海里．。

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数学人教九年级下第二十八章锐角三角函数单元检测
(时间：45分钟，满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分) 1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝3
4，则sin A 等于( )． A.
43 B.3
4
C.53
D.35
2．若3tan(10)1α+︒=，则锐角α的度数是( )．
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
3．如图所示，为了加快开凿隧道的施工进度，要在小山的两端同时施工．在AC 上找一点B ，取∠ABD ＝145°，BD ＝500 m ，∠D ＝55°，要使A ，C ，E 成一直线，那么开挖点E 离点D 的距离是( )．
A ．500sin 55° m
B ．500cos 55° m
C ．500tan 55° m
D.
500
cos55︒
4．小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1 000 m ，则他升高了( )． A ．2005m
B ．500 m
C ．5003m
D ．1 000 m 5．已知在△ABC 中，∠C ＝90°，设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( )．
A ．0＜n ＜
22 B ．0＜n ＜
12 C ．0＜n ＜3
3
D ．0＜n ＜3
2
6．某个水库大坝的横断面为梯形，迎水坡的坡度是1∶3，背水坡为1∶1，那么两个坡的坡角和为( )．
A ．90°
B ．75°
C ．60°
D ．105°
7．如图，为测量一幢大楼的高度，在地面上距离楼底O 点20 m 的点A 处，测得楼顶B 点的仰角∠OAB ＝65°，则这幢大楼的高度为(结果保留3个有效数字)( )．
A ．42.8 m
B ．42.80 m
C ．42.9 m
D ．42.90 m 8．野外生存训练中，第一小组从营地出发向北偏东60°方向前进了3 km ，第二小组向南偏东30°方向前进了 3 km ，第一小组准备向第二小组靠拢，则行走方向和距离分别为( )．
A ．南偏西15°，32km
B ．北偏东15°，32km
C ．南偏西15°，3 km
D ．南偏西45°，32km
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．长为4 m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了__________ m.
10．课外活动小组测量学校旗杆的高度．如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB在地面上的投影BC的长为24米，则旗杆AB的高度约是__________米．(结果保留3个有效数字，3≈1.732)
11．如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC对称，若DM＝1，则tan∠ADN＝__________.
12．如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3 m，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是__________ m(精确到0.1 m)．
13．如果方程x2－4x＋3＝0的两个根分别是Rt△ABC的两条边，△ABC最小的角为A，那么tan A的值为__________．
14．如图，在正方形ABCD中，O是CD边上一点，以O为圆心，OD为半径的半圆恰好与以B为圆心，BC为半径的扇形的弧外切，则∠OBC的正弦值为__________．
三、解答题(共44分)
15．(8分)计算：
(1)sin245°＋tan 60°cos 30°－tan 45°；
(2)|2
|＋(cos 60°－tan 30°)08
16．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，∠A的平分线AD＝163 3
.
(1)求∠B的度数；
(2)求边AB与BC的长．
17．(12分)如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20 m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°.求该古塔BD的高度(3≈1.732，结果保留一位小数)．
18．(12分)我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB＝40 m，坡角∠BAD＝60°，为防夏季因暴雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米(结果保留根号)?
参考答案
1. 答案：D
2. 答案：A
3. 答案：B
4. 答案：A 利用坡度为1∶2，可以设高度为x m ，则水平距离为2x m ，然后利用勾股定理得x 2＋(2x )2＝1 0002，解得x ＝200
5.
5. 答案：A
6. 答案：B 如图所示，由题意，知tan α＝
13
33
=，tan β＝1，
∴∠α＝30°，∠β＝45°.∴∠α＋∠β＝75°.
7. 答案：C
8. 答案：A 如图，△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠ABC ＝45°，∠DBC ＝75°，BC ＝32.
∴行走方向为南偏西15°，距离为32km.
9. 答案：2(32)- 4 m 的梯子、地面和墙构成了直角三角形，当梯子搭在墙上与地面成45°角时，梯子的顶端到地面的距离是4×sin 45°＝22(m)，当梯子搭在墙上与地面成60°角时，梯子的顶端到地面的距离是4×sin 60°＝23(m)．则梯子的顶端沿墙面升高了2(32)m -. 10. 答案：13.9
11. 答案：
4
3
作NG ⊥AD 于点G .
∵正方形边长为4，M ，N 关于AC 对称，DM ＝1， ∴MC ＝NC ＝3， ∴GD ＝3. 而GN ＝AB ＝4，
∴tan ∠ADN ＝
4
3
GN GD =. 12. 答案：11.2 13. 答案：
13
或24 解方程得方程的两个根分别为1和3，
即Rt △ABC 的两条边长分别为1和3.
当1和3分别为两条直角边时，tan A 的值为1
3
；当1和3分别为直角边和斜边时，tan A 的值为2
4
.
14. 答案：3
5
因为∠OBC 在Rt △OBC 中，
求∠OBC 的正弦值就是求OC
OB
的值，
可设OD ＝x ，BC ＝y ，则OC ＝y －x ，OB ＝x ＋y ，
根据勾股定理可得方程y 2＋(y －x )2＝(x ＋y )2，化简可得y ＝4x ，从而得OB ＝5x ，OC ＝3x ，所以
3
5
OC OB =. 15. 解：(1)原式＝2
23
3122⎛⎫+⨯- ⎪ ⎪⎝⎭
＝13
22
+－1＝1. (2)|2-|＋(cos 60°－tan 30°)0＋8
＝2＋1＋22＝1＋32. 16. 解：(1)在Rt △ACD 中， ∵cos ∠CAD ＝
83
2
1633
AC AD ==
，∠CAD 为锐角， ∴∠CAD ＝30°，∠BAD ＝∠CAD ＝30°，即∠CAB ＝60°.∴∠B ＝90°－∠CAB ＝30°. (2)在Rt △ABC 中，∵sin B ＝AC
AB
， ∴AB ＝
8sin sin 30AC B =︒＝16.又cos B ＝BC
AB
， ∴BC ＝AB ·cos B ＝16×3
832
=. 17. 解：根据题意可知：∠BAD ＝45°，∠BCD ＝30°，AC ＝20 m ．在Rt △ABD 中，由∠BAD ＝∠BDA ＝45°，得AB ＝BD .在Rt △BDC 中，由tan ∠BCD ＝
BD
BC
，得BC ＝3BD .
又BC－AB＝AC，BD－BD＝20，
≈27.3.
∴BD
18.解：作BG⊥AD于点G，作EF⊥AD于点F.
在Rt△ABG中，∠BAD＝60°，AB＝40，
∴BG＝AB·sin 60°＝
AG＝AB·cos 60°＝20.
同理，在Rt△AEF中，∠EAD＝45°，
∴AF＝EF＝BG＝
∴BE＝FG＝AF－AG＝1)．
因此BE至少是1) m.。