论勾股四态、以及正交球心间同构的场方程 ——四维体积勾股定理的应用(公式一)
勾股定理的知识点
勾股定理的知识点勾股定理是一条数学定理，也是几何中最为重要的一条定理之一。
它是由古希腊的毕达哥拉斯提出的，被他称为“直角三角形定律”。
它的表述是：在直角三角形中，直角边的平方等于两腰的平方和。
勾股定理的数学表达式为a²+b²=c²，其中a和b是直角三角形的两条直角边，c是斜边。
这个公式的证明有多种方法，其中最著名的是毕达哥拉斯的证明方法。
毕达哥拉斯证明勾股定理的方法可分为数学证明和几何证明两种，其中几何证明是最为直观的一种证明方法。
在几何证明中，我们可以通过一个正方形来证明勾股定理。
假设直角边的长度为a和b，那么我们可以构造一个边长为a+b的正方形。
在这个正方形中，我们可以看到四个直角三角形，其中两个直角三角形的斜边分别是a和b，另外两个直角三角形的斜边则是c。
根据正方形每条边相等的性质，我们可以得出a²+b²=c²。
在数学证明中，我们可以运用代数方法。
假设直角边的长度为a和b，斜边的长度为c。
根据勾股定理，我们可以得到a²+b²=c²。
然后我们可以进行代换，将其中一个直角边的长度用斜边和另一个直角边表示，例如可以将a²用c²和b表示。
通过代换后我们可以得到一个方程，进一步求解可以证明勾股定理成立。
除了几何证明和数学证明外，还有许多有趣的关于勾股定理的附加知识点。
例如，勾股定理适用于任何直角三角形，而不仅仅是数学上的特殊情况。
勾股定理还可以推广到更多维度的空间中，例如三维空间中的勾股定理和多维空间中的勾股定理。
这些推广可以帮助人们在几何学和物理学中解决更广泛的问题。
勾股定理还有许多应用领域。
在建筑设计中，建筑师需要测量斜边的长度，来确保房屋的结构稳定。
在导航和测量领域，我们可以使用勾股定理来测量地理位置之间的距离。
在工程学和物理学等领域中，勾股定理也被广泛应用于计算和解决各种问题。
总之，勾股定理是数学和几何中一条重要的定理。
勾股定理简介与证明(3篇)
第1篇一、勾股定理简介勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是数学中一个重要的几何定理。
它指出，在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
这个定理不仅在我国古代数学著作《周髀算经》中有记载，而且在古希腊、印度、埃及等地的数学文献中也有所体现。
勾股定理是解决直角三角形问题的基础，也是许多数学领域的重要工具。
二、勾股定理的证明1. 证明方法一：几何证明如图所示，设直角三角形ABC中，∠C为直角，AC、BC分别为直角边，AB为斜边。
作辅助线CD，使得CD⊥AB于点D。
（1）证明AC²+BC²=AB²由于CD⊥AB，∠ACD和∠BCD都是直角。
因此，三角形ACD和三角形BCD都是直角三角形。
根据直角三角形的性质，有：AC² = AD² + CD²BC² = BD² + CD²将上述两个等式相加，得到：AC² + BC² = (AD² + CD²) + (BD² + CD²)AC² + BC² = AD² + BD² + 2CD²由于AD+BD=AB，将AD+BD替换为AB，得到：AC² + BC² = AB² + 2CD²由于CD是AB的一半，即CD=AB/2，代入上式，得到：AC²+ BC² = AB² + 2(AB/2)²AC² + BC² = AB² + AB²AC² + BC² = 2AB²由于2AB²=AB²，因此：AC² + BC² = AB²（2）证明结论根据上述证明，得出勾股定理：在直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的应用ppt
勾股定理的公式是 a² + b² = c²，其中a和b是直角三角形的两个直角边长度，c 是斜边长度。
勾股定理的历史背景
毕达哥拉斯学派
欧几里得
勾股定理最早可以追溯到公元前6世 纪，古希腊数学家毕达哥拉斯学派通 过观察和实验发现了这一关系。
古希腊数学家欧几里得在《几何原本》 中详细证明了勾股定理，并给出了多 种证明方法。
勾股定理在社会科学领域的应用
城市规划
在城市规划领域，勾股定理可以用于城市布 局和道路交通规划，例如在城市道路网规划 中，通过勾股定理计算道路之间的距离和角 度，优化城市交通网络布局。
建筑学
在建筑学领域，勾股定理可以用于建筑设计、 结构和美学等方面，例如在建筑设计时，通 过勾股定理计算建筑物的比例和角度，实现 建筑的美学和功能性统一。
游戏开发
在游戏开发中，勾股定理可用于实现物理引擎，如计算物体的碰撞、重力加速度等参数。
05
勾股定理的扩展应用
勾股定理在金融领域的应用
金融投资
勾股定理可以用于金融投资领域，通过分析股票、债券等金融产品的价格波动和相关性，预测市场走势，制定投 资策略。
风险管理
在金融风险管理方面，勾股定理可以用于评估投资组合的风险，通过计算不同资产之间的相关性，合理配置资产， 降低投资风险。
勾股定理在信息科学领域的应用
数据处理
在信息科学领域，勾股定理可以用于数据处理和分析，例如在图像处理中，通过勾股定理计算像素之 间的距离和角度，实现图像的缩放、旋转和平移等操作。
通信技术
在通信技术领域，勾股定理可以用于信号传输和数据处理，例如在无线通信中，通过勾股定理计算信 号的传播距离和衰减程度，优化信号传输质量和覆盖范围。
勾股定理的验证方法笔记
勾股定理的验证方法笔记嘿，咱今儿来聊聊勾股定理的验证方法。
这勾股定理啊，那可是数学里的大宝贝呀！你想想看，直角三角形里那三条边，它们之间有着神奇的关系呢。
就好像是一个小秘密，等着我们去揭开。
先说一种简单的验证方法吧，拼图法。
就跟咱小时候玩拼图似的。
把几个图形拼来拼去，嘿，就能发现勾股定理的奥秘啦。
比如用四个完全相同的直角三角形，把它们拼成一个边长为(a+b)的正方形，然后通过计算不同部分的面积，就能得出 a²+b²=c²啦。
这不是很奇妙吗？你说这数学咋就这么有意思呢。
还有一种方法叫测量法。
咱拿个尺子去量量直角三角形的三条边，然后算一算它们之间的关系。
虽然这种方法可能没那么精确，但也能让咱直观地感受一下勾股定理呢。
这就好比你要知道一个东西好不好吃，总得先尝一口不是？再来说说赵爽弦图法。
这个名字是不是听着就挺有意思？就通过那么一个图，就能清楚地看到直角三角形三边的关系。
就好像是打开了一扇通往数学奇妙世界的大门，让你能在里面尽情探索。
那为啥要研究勾股定理的验证方法呢？这可不是闲得没事干呀。
这就像你要去一个地方，你得知道走哪条路最方便，最快捷。
研究这些方法，能让我们更好地理解数学，更好地运用数学呀。
你想想，如果没有勾股定理，那我们盖房子的时候怎么保证墙角是直角呢？工程师们设计大桥的时候又该怎么计算呢？这可都是实实在在的用处啊。
勾股定理的验证方法还有很多很多呢，每一种都有它独特的魅力。
就像是一颗颗闪亮的星星，照亮了我们数学学习的道路。
咱学习勾股定理，不能只是死记硬背那些公式，得去真正理解它，感受它的神奇之处。
这就好比交朋友，你得了解他的性格、爱好，才能成为真正的好朋友呀。
所以啊，大家可别小瞧了勾股定理的验证方法，它们可是数学世界里的宝贝呢。
咱可得好好琢磨琢磨，说不定哪天就能派上大用场呢！这可不是我瞎说，你自己好好想想是不是这么个理儿！。
勾股定理的课件
毕达哥拉斯证明法具有直观易懂 、易于操作的特点，因此在数学
教学中也经常被采用。
赵爽证明法
赵爽证明法是中国古代数学家赵 爽提出的一种勾股定理证明方法
。
这种方法利用了面积和几何图形 的性质，通过构造两个三角形， 并利用面积和几何图形的性质来
证明勾股定理。
赵爽证明法具有独特性和创新性 ，展示了中国古代数学的智慧和
勾股定理在三角函数作图中的应用
利用勾股定理可以确定三角函数曲线的形状和大小，例如绘制正弦、余弦、正切 曲线等。
勾股定理在物理学中的应用
勾股定理与重力加速度的关系
在物理学中，重力加速度是一个重要的物理量，而勾股定理可以用于求解重力加速度的 值。
勾股定理在物理学作图中的应用
利用勾股定理可以确定物理量之间的关系，例如绘制速度、加速度、位移之间的关系曲 线等。
这种方法利用了相似三角形的性质，通过构造两个相似三角形，并利用相似三角形 的边长比例关系来证明勾股定理。
欧几里得证明法具有逻辑严谨、易于理解的特点，因此在数学教材中经常被采用。
毕达哥拉斯证明法
毕达哥拉斯证明法是另一种常见 的勾股定理证明方法。
这种方法利用了平方差公式和等 差数列的性质，通过构造两个等 差数列，并利用等差数列的性质
三角形。
勾股定理的变形
当直角三角形的两条直角边长分别 为a和b时，斜边长为c，则有 a^2+b^2=c^2。
勾股定理的证明
勾股定理可以通过构造法、反证法 、面积法等不同的方法进行证明。
勾股定理的拓展形式
勾股数
满足a^2+b^2=c^2的自然数a 、b、c称为勾股数，其中a、b、
c必须是正整数。
勾股定理的推广
勾股定理的证明及应用
勾股定理的证明及应用勾股定理（Pythagorean theorem）是数学中最著名和重要的定理之一，它阐述了直角三角形的边长之间的关系。
勾股定理的证明有多种方法，其中几何证明和代数证明是最常见的。
几何证明：勾股定理的几何证明最为传统，最早见于古希腊数学家毕达哥拉斯（Pythagoras）所著的《论数》一书。
这种证明方法基于利用面积关系。
首先，我们可以将一个直角三角形分割为两个直角三角形，由此可以形成一个正方形和四个直角三角形。
将这五个图形重新组合，构成一个大正方形，其边长等于两个直角边的长度之和。
然后，我们可以利用几何定理证明大正方形的面积等于小正方形和四个三角形面积之和。
由于小正方形的面积等于斜边的平方，我们最终可以得到勾股定理：直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
代数证明：除了几何证明，勾股定理还可以通过代数方法来证明。
代数证明常常使用平方和的展开公式，即(a+b)²=a²+2ab+b²。
给定一个直角三角形，假设两个直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。
根据定义，我们可以得到两个方程：a²+b ²=c²和a²=c²-b²。
通过将第一个方程代入第二个方程，我们可以得到a²=c²-b²的形式。
再将c²-b²代入第一个方程，就得到0=c²-2c²+b²，即0=b²-c²。
然后将等式两边同时除以c²，得到0=(b/c)²-1。
再将等式两边开根号，我们得到(b/c)²=1。
由于b和c都为正数，所以b/c=1，即b=c。
因此，我们可以得出结论，直角边的平方和等于斜边的平方。
应用：勾股定理在几何学和物理学中有广泛的应用。
在几何学中，它可以用来计算三角形的面积、判断三角形的形状等。
勾股定理的原理及其应用
勾股定理的原理及其应用勾股定理的原理勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪提出的数学定理。
它是描述直角三角形边长之间关系的定理，表述为：在直角三角形中，斜边的平方等于两直角边各自平方之和。
勾股定理的数学表达式为： $ c^2 = a^2 + b^2$其中，c代表直角三角形的斜边，a和b分别代表直角三角形的两直角边。
勾股定理的证明方法有多种，最常用的是几何证明和代数证明。
几何证明通常是通过将直角三角形进行旋转、重叠等操作，从而将问题转化为几何图形的构造过程。
代数证明则是通过代数运算和方程的推导，将勾股定理与数学公式联系起来进行证明。
勾股定理的应用勾股定理在几何学和物理学等领域有广泛的应用，下面列举了一些常见的应用方式：1. 测量直角三角形的边长勾股定理可以用于测量直角三角形的边长。
通过已知直角三角形的一个直角边和斜边的长度，可以通过勾股定理计算出另外一个直角边的长度。
这在测量房屋、地图绘制、建筑设计等领域都有应用。
2. 判定三角形的形状利用勾股定理，可以判断一个三角形是否为直角三角形。
如果一个三角形的三条边满足勾股定理的条件，那么这个三角形就是直角三角形。
这在几何学中很常见，也有助于解决一些实际问题，如建筑物的结构设计中。
3. 计算物体的斜向位移勾股定理可以用于计算物体的斜向位移。
当物体在斜面上滑动时，斜边可以代表物体的斜向位移，而直角边则可以代表物体在水平和垂直方向上的位移。
通过勾股定理可以计算出物体的总位移和速度等相关信息。
4. 解决几何问题勾股定理在解决几何问题中起到重要的作用。
例如，在解决两点间最短路径问题时，可以通过勾股定理计算两点间的距离并找到最短路径。
此外，在测量角度、判断平面图形是否相似等问题中，勾股定理也有广泛的应用。
5. 测量不规则物体的对角线勾股定理还可用于测量不规则物体的对角线长度。
当无法直接测量物体的对角线时，可以通过测量物体的两条边长，并利用勾股定理计算出对角线的长度。
勾股定理的运用
勾股定理的运用勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是数学中的经典定理之一。
它的表述方式是：在直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
即a+b=c，其中c为斜边，a、b为直角边。
勾股定理的运用非常广泛，本文将从几个方面介绍其应用。
一、勾股定理的基本应用勾股定理最基本的应用就是求解直角三角形的边长。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边长。
根据勾股定理，c=3+4=9+16=25，因此c=5。
同样的，如果已知斜边长和一条直角边长，也可以用勾股定理求解另一条直角边长。
二、勾股定理在三角函数中的应用三角函数中的正弦、余弦、正切等函数，都是基于勾股定理的定义而来的。
例如，正弦函数sinθ定义为直角三角形中斜边与正弦对边的比值，即sinθ=对边/斜边。
那么根据勾股定理，对边就是斜边×sinθ。
同样的，余弦函数cosθ定义为斜边与余弦邻边的比值，即cosθ=邻边/斜边，邻边就是斜边×cosθ。
正切函数tanθ定义为对边与邻边的比值，即tanθ=对边/邻边，对边就是邻边×tanθ。
三、勾股定理在三维空间中的应用勾股定理不仅适用于平面几何，也适用于三维空间中的几何。
例如，已知三维空间中一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求其对角线长度d。
可以将长方体剖成六个直角三角形，每个三角形的斜边长都是d，而直角边长分别是a、b、c。
因此，根据勾股定理，d=a+b+c，即d=√(a+b+c)。
四、勾股定理在图形设计中的应用勾股定理在图形设计中的应用也非常广泛。
例如，设计一个直角三角形的标志，可以用勾股定理来确定三角形的比例和角度。
又例如，设计一个等腰三角形的标志，可以用勾股定理来确定其底边和高的比例。
总之，勾股定理是数学中的一个重要定理，其应用范围非常广泛，不仅适用于平面几何，也适用于三维空间和图形设计等领域。
在实际应用中，只要掌握了勾股定理的基本原理和应用方法，就可以轻松解决许多与三角形相关的问题。
勾股定理知识点及应用
勾股定理知识点及应用稿子一：嘿，亲爱的小伙伴们！今天咱们来聊聊勾股定理，这可是数学里超酷的一部分哦！啥是勾股定理呢？其实很简单啦，就是说在一个直角三角形里，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
比如说，有个直角三角形，两条直角边分别是 3 和 4，那斜边就得是 5 哦，因为 3 的平方加上 4 的平方，就等于 5 的平方，是不是还挺有趣的？那勾股定理能用来干啥呢？用处可多啦！比如咱要盖房子，工人师傅就得用它来算算房梁的长度合不合适。
要是去野外玩耍，迷路了想知道两点之间的距离，也能靠它来帮忙。
还有哦，勾股定理在数学考试里也是经常出现的大明星！做题的时候，只要看到直角三角形，就得马上想到勾股定理，说不定就能轻松拿下难题，得个高分呢！而且啊，勾股定理不只是在数学里有用，在生活里也到处都有它的影子。
像装修房子算尺寸，做个架子要确定长度，都离不开它。
所以说，勾股定理就像是我们的小，能帮我们解决好多好多的问题。
小伙伴们，你们记住它了吗？稿子二：哈喽呀！今天来和大家讲讲勾股定理，准备好一起探索啦！你知道吗？勾股定理就像是数学世界里的一把神奇钥匙。
它说的是，只要有个直角三角形，那两条直角边长度的平方加起来，就和斜边长度的平方一样。
举个例子哈，一个直角三角形，直角边是 6 和 8，那斜边肯定就是 10 啦。
这是不是很神奇？那它能怎么用呢？比如说你想在院子里搭个秋千，就得先算算绳子要多长，这时候勾股定理就能派上用场。
还有哦，工程师叔叔建大桥的时候，也得靠它来保证桥的结构稳固。
咱们平时做数学作业，遇到那种求三角形边长的题目，只要发现是直角三角形，马上用勾股定理，答案一下子就出来啦。
而且呀，勾股定理还能让我们变得更聪明呢！通过它，我们学会了思考和解决问题，脑子转得越来越快。
不管是在学校还是生活中，勾股定理都在默默地帮助我们。
怎么样，是不是觉得它特别厉害？。
《勾股定理的应用》勾股定理
2023-11-09
contents
目录
• 勾股定理的概述 • 勾股定理的基础应用 • 勾股定理的高级应用 • 勾股定理的证明方法 • 勾股定理的扩展
01
勾股定理的概述
定义与性质
勾股定理的定义
勾股定理是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方之和。
勾股定理的性质
常见的勾股数有3、4、5，5、 12、13，6、8、10等。
勾股数的寻找和证明是勾股定 理研究的重要内容之一。
勾股定理的推广
勾股定理的推广是将勾股定理应 用于更广泛的数学问题中的一种
方法。
例如，可以将勾股定理应用于解 决立体几何中的问题，以及在解 析几何中用来研究曲线和直线的
位置关系等。
勾股定理的推广对于扩展数学的 应用范围和深化数学的理解具有
勾股定理的推广
在涉及到三角形的问题中 ，可以使用勾股定理来求 解边长、角度等几何量。
勾股定理的证明
通过构造法、反证法等不 同的方法证明勾股定理， 深入理解几何学中的公理 和定理。
勾股定理在物理学中的应用
要点一
勾股定理与力学
在物理学中，勾股定理常被用于求解力的合成与分解 、加速度等物理量。
要点二
勾股定理与光学
利用勾股定理解决实际问题
总结词
掌握利用勾股定理解决实际问题的技巧和方法。
详细描述
勾股定理在实际生活中有着广泛的应用，如测量不可直接测量的距离、确定物体的位置等。利用勾股 定理解决实际问题需要构造直角三角形，并利用勾股定理建立数学方程进行求解。
勾股定理在几何学中的应用
总结词
了解勾股定理在几何学中的重要性和应 用价值。
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1 0 d221
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1 a2 + b2 =a2 + b2
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或
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1)!
2.1.1. 例：4 球正交球心间场为垂心四面体的体积的平方
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( ) 4 1234
2
=
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d
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d324
1
d
2 41
d422
d
2 43
1 a2 + d 2 =a2 + d 2
0
或
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或
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On Pythagorean Four-State and Isomorphism Field Equations between Orthogonal Spherical Centers
—Application of Pythagorean Theorem of Four Dimensional Volume (Formula 1)
摘要
1球至4球正交构成点、线、面、体的勾股4态，对其4态15种正交球心间场，建立了基于各球半径的正 交球心间场同构方程行列式，且以此可推广至任意有限高维。
文章引用: 蔡国伟. 论勾股四态、以及正交球心间同构的场方程[J]. 理论数学, 2019, 9(7): 763-770. DOI: 10.12677/pm.2019.97100
(1
1
−1)!
2
0 1
1 = −1 0 1 = 1 0 10
DOI: 10.12677/pm.2019.97100
766
理论数学
蔡国伟
2.2. (简式)正交球心场方程行列式
直接使用各正交球半径的行列式为：
01 1 1 11
1 0 r22 r32 r42 rn2
( )n
2
=
( −1)n
1 2
(n −1)!
1 1 1
r12 r12 r12
0 r22 r22
r32 0 r32
r42 r42
0
rn2 rn2 rn2
(2)
1 r12 r22 r32 r42 0
下标： n ∈1, 2,3, 4 表示参与正交球的数量， rn 为各正交球半径。 2.2.1. 例：4 球正交球心间场为垂心四面体的体积的平方
d2
1 a2 b2 c2 0
( ) = 1 a2b2c2 + a2b2d 2 + a2c2d 2 + b2c2d 2 36
各球半径∈ a,b, c, d 。
2.2.2. 例：4 个 3 球正交球心间场为三角形的面积的平方
01 1 1
01 1 1
( ) ( ) 1323
2
= ( −1)3
(
10
d324
=1 1 2
01
1 0 d2 + c2
1 c2 + d 2 =c2 + d 2
0
2.1.4. 例：4 个球正交球心为点的平方
( )1
1
2
= (−1)1
1 2
1−1
(1
1
−1)!
2
0 1
1 = −1 0 1 = 1 0 10
或
( )1
2
2
= (−1)1
2 42
d423
0
01
1
1
=11 16 1
0 c2 + b2
b2 + c2 0
b2 + d 2 c2 + d 2
1 d 2 + b2 d 2 + c2
0
( ) = 1 b2c2 + b2d 2 + c2d 2 4
DOI: 10.12677/pm.2019.97100
765
蔡国伟 理论数学
蔡国伟
2.1.3. 例：6 个 2 球正交球心间场为 2 点间直线的平方
2
1 1 1
d
2 21
d321
d
2 41
0 d322 d422
d223 0 d423
d224 d324
0
d22n d32n d42n
(1)
1
d
2 n1
dn22
dn23
dn24
0
n ∈1, 2,3, 4 表示参与正交球的数量，下标：ij ∈1, 2,3, 4 表示各球心点，dij 是连接两个球心连线的长度。
( )3
124
2
=
(
−1)3
1 2
3−1
(3
1
−1)!
2
1 1
0 d221
d122 0
d124 d224
1 d421 d422 0
0 = 11
16 1 1
1
0 b2 + a2 d2 + a2
1 a2 + b2
0 d 2 + b2
1 a2 + d2 b2 + d 2=
蔡国伟
关键词
体积勾股定理，应用，场方程，行列式
Copyright © 2019 by author(s) and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
d122 0
d123
d
2 23
1 d321 d322 0
01
1
1
( ) = 1 1 16 1
0 b2 + a2
a2 + b2 0
a2 + c2 b2 + c2=
1 a2b2 + a2c2 + b2c2 4
1 c2 + a2 c2 + b2
0
下标 ij ∈1, 2,3, 4 表示各球心点。
或
01 1 1
1 2
2−1
(
2
1 −
1)!
2
0 1 1
1 0 d422
10
d224
=1 1 2
01
1 0 d 2 + b2
1 b2 + d 2 =b2 + d 2
0
或
( )2
34
2
=( −1)2
1 2
2−1
(
2
1 −
1)!
2
0 1 1
1
0
d
2 43
01 1 1 1
( ) 4 1234
2
=
( −1)4
1 2
(4 −1)!
1 1 1
0 r12 r12
r22 0 r22
r32 r32
0
r42 r42 r42
1 r12 r22 r32 0
01 1 1 1
1 0 b2 c2 d 2
= 1 1 a2 0 c2 d2
36 1
a2
b2
0
a2 + d2 c2 + d 2
1 d2 + a2 d2 + c2
0
( ) = 1 a2c2 + a2d 2 + c2d 2 4
或
01 1 1
( )3
234
2
=
( −1)3
1 3−1 1 2
2 (3 −1)!
1 1
0 d322
d223 0
d
2 24
d324
1
d
3
1
−1)!
2
1 1
0 r12
r22 0
r32 r32
= − 1 1 41
0 a2
b2 0
c2 c2
= 1 a2b2 + a2c2 + b2c2 4
1 r12 r22 0
1 a2 b2 0
下标∈1, 2,3, 4 表示各球心点。 或
01 1 1
01 1 1
( ) ( ) 1324Biblioteka 2= ( −1)3
0
( ) 1 a2b2 + a2d 2 + b2d 2