(新)高中数学黄金100题系列第65题空间角的计算理

第65题 空间角的计算I ．题源探究·黄金母题【例1】如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是正方形,侧棱PD ⊥底面ABCD,PD=DC,点E 是PC 的中点,作EF ⊥PB 交PB 于点F.图3.2-7EADBCPF(1)求证:PA//平面EDB; (2)求证:PB ⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D 的大小.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）600.【解析】如图所示建立空间直角坐标系,点D 为坐标原点,设DC=1.yxz 图3.2-8GE A DBCPF（3）解:已知PB ⊥EF,由(2)可知PB ⊥DF,故∠EFD 是二面角C-PB-D 的平面角.设点F 的坐标为(x,y,z),则)1,,(-=z y x .因为k =,所以0=⋅, 所以(1,1,-1)·(k,k,1-k)=k+k-1+k=3k-1=0,所以31=k ，点F 的坐标为)32,31,31(。

又点E 的坐标为)21,21,0(，所以)61,61,31(--=，因为cos FE FD EFD FE FD⋅∠==，1111121(,,)(,,)1366333612663--⋅---==•即∠EFD=600，即二面角C-PB-D 的大小为600.【点睛】直线与平面平行与垂直的证明,二面角大小的求解是高热点中的热点,几乎每年必考,而此例题很好的展现了,用向量方法证明直线与平面平行与垂直,还给出了用向量方法求二面角的大小.II ．考场精彩·真题回放【例2】【2017课标II 理10】已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ ）A ．32B ．155C ．105D ．33【答案】C【解析】分析：如图所示，补成四棱柱1111ABCD A B C D - , 11,2,BC D BC ∠=则所求角为201121221cos603,5BD C D AB =+-⨯⨯⨯=== 因此1210cos 55BC D ∠== ，故选C 。

【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；③计算：求该角的值，常利用解三角形； ④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角。

求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。

【例3】【2016高考浙江】如图，已知平面四边形ABCD ，AB =BC =3，CD =1，AD =5，∠ADC =90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△CD 'A ，直线AC 与D 'B 所成角的余弦的最大值是______．【答案】69【解析】分析：设直线AC 与'BD 所成角为θ．设O 是AC 中点，由已知得6AC =，如图，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，由6(0,2A ，302B ，6(0,2C -，作DH AC ⊥于H ，翻折过程中，'D H 始终与AC 垂直， 266CD CH CA ===， 则63OH =，53066DH ==， 因此可设30630,,)636D αα-， 则3030630'()6236BD αα=--， 与CA 平行的单位向量为(0,1,0)n =，所以cos cos ',BD n θ=<>''BD n BD n⋅=＝6395cos α-，所以cos 1α=时， cos θ取最大值6． HD'DCB AzyxO【点睛】先建立空间直角坐标系，再计算与C A 平行的单位向量n 和D 'B ，进而可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值，最后利用三角函数的性质可得直线C A 与D 'B 所成角的余弦值的最大值．【例4】【2017浙江9】如图，已知正四面体D –ABC （所有棱长均相等的三棱锥），P ，Q ，R 分别为AB ，BC ，CA 上的点，AP=PB ，2BQ CRQC RA==，分别记二面角D –PR –Q ，D –PQ –R ，D –QR –P 的平面角为α，β，γ，则A ．γ<α<βB ．α<γ<βC ．α<β<γD ．β<γ<α【答案】B【解析】设O 为三角形ABC 中心，则O 到PQ 距离最小，O 到PR 距离最大，O 到RQ 距离居中，而高相等.【例5】【2017课标3理16】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】由题意，AB 是以AC 为轴,BC 为底面半径的圆锥的母线，由,AC a AC b ⊥⊥ ，又AC ⊥圆锥底面，在底面内可以过点B ，作BD a ，交底面圆C 于点D ，如图所示，连结DE ，则DE ⊥BD ，DE b ∴ ，连结AD ，等腰△ABD中，2AB AD ==当直线AB 与a 成60°角时，60ABD ∠= ，故2BD = ，又在BDE Rt △ 中，2,2BE DE =∴=，过点B作BF ∥DE ，交圆C 于点F ，连结AF ，由圆的对称性2BF DE ==ABF ∴△ 为等边三角形，60ABF ∴∠= ，即AB 与b 成60°角，②正确，①错误.由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线AB与a所成的最大角为90°，④错误.正确的说法为②③.【例6】【2017课标1理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且90BAP CDP∠=∠=.（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，90APD∠=，求二面角A-PB-C的余弦值.【解析】分析：（1）根据题设条件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD.而AB∥CD ，就可证明出AB⊥平面PAD.进而证明平面PAB⊥平面PAD.（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立以F为坐标原点，FA 的方向为x轴正方向，||AB为单位长，的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设(,,)x y z=n是平面PCB的法向量，(,,)x y z=m 是平面PAB的法向量，根据垂直关系，求出(0,1,2)=--n和(1,0,1)=m，利用数量积公式可求出二面角的平面角.解析：（1）由已知90BAP CDP∠=∠=︒，得AB⊥AP，CD⊥PD.由于AB∥CD ，故AB⊥PD ，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.（2）在平面PAD内作PF AD⊥，垂足为F，由（1）可知，AB⊥平面PAD，故AB PF⊥，可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，||AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F xyz-.由（1）及已知可得22A，2(0,0,2P，22B，2(,1,0)2C-.所以22(,1,)22PC=--，(2,0,0)CB=，22(PA=，(0,1,0)AB=.设(,,)x y z=n是平面PCB的法向量，则PCCB⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn，即222220x y zx⎧-+-=⎪⎨=，可取(0,1,2)=--n .设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则00PA AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ，即220220x z y ⎧-=⎪⎨⎪=⎩， 可取(1,0,1)=m .则3cos ,||||3⋅==-<>n m n m n m ， 所以二面角A PB C --的余弦值为3-. 【名师点睛】高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.【例7】【2017课标II 理19】如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，o 1,90,2AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点。

（1）证明：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45 ，求二面角M AB D --的余弦值。

【答案】(1)证明略；10【解析】分析：(1) 取PA 的中点F ，连结EF ，BF ，由题意证得CE ∥BF ，利用线面平行的判断定理即可证得结论；(2)建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：()0,6,2=-m ，()0,0,1=n ，然后利用空间向量的结论可求得二面角M -AB -D 10。

解析：（1）取PA 的中点F ，连结EF ，BF 。

因为E 是PD 的中点，所以EF ∥AD ,12EF AD =, 由90BAD ABC ∠=∠=得BC ∥AD ，又12BC AD =, 所以EF BC ∥。

四边形BCEF 为平行四边形，CE ∥BF 。

又BF ⊂平面PAB ，CE ⊄平面PAB ， 故CE ∥平面PAB 。

（2）由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，(3P ，(103)PC =，，,(100)AB =，，，设()(),,01M x y z x <<则()(1,,,,1,3BM x y z PM x y z =-=-，因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°， 而()0,0,1=n 是底面ABCD 的法向量， 所以cos ,sin 45BM =n ，()222221zx y z=-++， 即()22210x y z -+-=。

①又M 在棱PC 上，设PM PC λ=,则,1,33x y z λλ===。