土力学第3章- 土的本构关系
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第3章 土的动本构关系
• 其中非弹性部分：
ε
• p ij
=γ
∂f Φ( F ) ∂σ ij
2012-2-21
广东工业大学岩土工程研究所
35
3.6 计入应变率效应的本构理论
2012-2-21 广东工业大学岩土工程研究所 21
3.3.3 Iwan模型
弹塑性元件中的应力始终等于屈服应力。根据模型的构成 特性，在全部受荷过程中，所有弹塑性元件的应变始终相 等，其应力视各弹簧的刚度和摩阻片的屈服水平的不同而 不同。 • 2.串联模型 这类模型受荷时，每个弹塑性元件所受的力是相同的， 但它们的变形不同。弹簧只有在对应的摩阻片屈服时才能 产生变形，并继续承担新的荷载。
30
3.6 计入应变率效应的动本构理论
• 2.粘塑性模型 • • • （1） Bingham模型 （2） Hohenemser-Prager方程 （3） Perzna方程
2012-2-21
广东工业大学岩土工程研究所
31
3.6 计入应变率效应的本构理论
• 1、 粘弹性模型：
• （1）Maxwell模型（弹、粘性原件串联）： • （2）Kelvin模型（弹、粘性原件并联）： • 一般的组合形式：
• 三个基本力学元件：弹性元件，粘性元件和塑性元件。 • 弹性元件：动应力应变关系曲线为过坐标原点的一条斜 直线，直线的斜率取决于弹性元件的弹性模量E，应力应 变关系曲线内的面积等于零。 • 塑性元件：动应力应变曲线为一个矩形，应力应变曲线 内的面积等于矩形的面积。
2012-2-21
广东工业大学岩土工程研究所
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3.2 土的动本构关系特点
• 关系曲线将是一个滞回圈。如将不同周期动应力作用 的最大周期剪应力±τm和最大周期剪应变±γm绘出， 即得到各应力应变滞回圈顶点的轨迹，称为土的应力 应变骨干曲线。骨干曲线反映了动应变的非线性，滞 回曲线反映了应变对应力的滞后性。 • 骨干曲线表示最大剪应力与最大剪应变之间的关系。 滞回曲线表示某一个应力循环内各时刻剪应力与剪应 变的关系，二者共同反映了应力应变关系的全过程。
《土体本构模型》课件
06
土体本构模型的未来发展
考虑土体的非线性特性
非线性弹性模型
随着应力的增加，土体的弹性模量逐 渐减小，表现出非线性特性。未来本 构模型应考虑这种非线性行为，以更 准确地描述土体的力学性能。
非线性塑性模型
塑性变形是土体的一个重要特性，未 来本构模型应考虑塑性变形的非线性 行为，包括剪胀性、剪缩性和各向异 性等。
湿度影响
湿度变化会影响土体的力学性能，如湿胀干缩。未来本构模型应考虑湿度对土体 变形和强度的影响。
THANKS
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02 砂土
由中、小颗粒的砂粒组成，具有较好的透水性和 稳定性。
03 粘性土
由细小的粘粒和粉粒组成，具有较高的粘聚力和 可塑性。
土的工程性质
压缩性
土在压力作用下体积缩小 的性质，与土的含水率和 孔隙比有关。
抗剪强度
土抵抗剪切破坏的能力， 与土的内摩擦角和粘聚力 有关。
渗透性
土中水分通过孔隙流动的 性质，与土的颗粒大小和 排列有关。
02
土体的基本性质
土的组成
01 矿物质颗粒
土由固体矿物质颗粒组成，其大小、形状和矿物 成分对土的性质有重要影响。
02 水
土中含有的水分对土的力学性质和工程稳定性具 有重要影响。
03 气体
土中存在的气体对土的压缩性和渗透性有一定影 响。
土的分类
01 砾石土
由大颗粒的砾石、卵石等组成，具有较高的承载 力和稳定性。
根据土的工程性质选择合适的本构模型
弹性模型
适用于土的应力-应变关系近似呈线性关系的情况 。
塑性模型
适用于土的应力-应变关系呈非线性关系的情况。
根据实际应用情况选择合适的本构模型
土的本构结构
土的本构关系土体是天然地质材料的历史产物。
土是一种复杂的多孔材料,在受到外界荷载作用后,其变形具有以下特性：①土体的变形具有明显的非线性,如:土体的压缩试验e～p 曲线、三轴剪切试验的应力—应变关系曲线、现场承载板试验所得的p～s曲线等; ②土体在剪切应力作用下会产生塑性应变,同时球应力也引起塑性应变; ③土体尤其是软粘土,具有十分明显的流变特性;④由于土体的构造或沉积等原因,使土具有各向异性; ⑤紧砂、超固结粘土等在受剪后都表现出应变软化的特性; ⑥土体的变形与应力路径有关,证明不同的加载路径会出现较大的差别; ⑦剪胀性等。
为了更好地描述土体的真实力学—变形特性,建立其应力、应变和时间的关系,在各种试验和工程实践经验的基础上提出一种数学模型,即: 土体的本构关系。
自从Roscoe等人首次建立了剑桥模型以来, 土的本构关系的研究经历了一个蓬勃发展的阶段, 出现了一些具有实用价值的本构模型。
虽然很多的理论为建立土的本构关系提供了有力的工具, 但是由于土是一种三相体材料, 在性质上既不同于固体也不同于液体, 是介于两者之间的特殊材料, 所以人们常借助于固体力学或流体力学理论, 同时结合工程实践经验来解决土工问题, 从而研究土的本构关系形成了自己一套独特的方法—半理论半经验的方法。
建立一个成功的本构关系关键有两点：第一要建立一个函数能较好地反映土在受力下的响应特征；第二要充分利用试验结果提供的数据比较容易地确定模型参数。
模型都需要满足以下基本条件：（1）不违背更高一级的基本物理原理（如热力学第一、第二定律）。
（2）建立在一定的力学理论基础之上（如弹性理论、塑性理论等）。
（3）模型参数能够通过常规试验求取。
从工程应用的角度出发，研究问题的精度就需要进行合理的控制，从而在计算精度与计算设备、计算难度、计算时间以及计算成本之间获得平衡。
另外，任何理论、方法都应以实践应用为目的，这样才具有价值。
综合上述两点，从工程应用的角度去分析各种土的本构关系是非常有必要的。
土的本构
• （2）Hohenemser-Prager方程：
ij
e ij
p ij
F 2 2 F ij
p ij
2015/10/16
广东工业大学岩土工程研究所
34
3.6 计入应变率效应的本构理论
• (3)Perzyna方程：
1 1 2 ij S ij ij 2G E
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3.6 计入应变率效应的动本构理论
• 2.粘塑性模型
• • • （1） Bingham模型 （2） Hohenemser-Prager方程 （3） Perzna方程
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3.6 计入应变率效应的本构理论
• 1、 粘弹性模型：
• （1）Maxwell模型（弹、粘性原件串联）：
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3.4 土的动力屈服、破坏条件及本构理论
• 1、土的动力屈服：砂土与粘土的区别 • • 屈服条件 强化现象
•
强化条件、加载条件
• 2、破坏条件 • 3、屈服条件与破坏条件的关系
•
•
特例：理想塑性状态
（1）应变率效应：⑴不计～；⑵计入～
• 4、土的动本构理论分类
2015/10/16 广东工业大学岩土工程研究所 29
3.6 计入应变率效应的本构理论
2
据此可建立土的动本构关系，
包括粘弹性和粘塑性两类：
• 1.粘弹性模型 • • （1）加载速度单调增加的粘弹性模型 （2）Maxwell和Kelvin模型
2015/10/16
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ij
e ij
p ij
F 2 2 F ij
p ij
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3.6 计入应变率效应的本构理论
• (3)Perzyna方程：
1 1 2 ij S ij ij 2G E
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3.6 计入应变率效应的动本构理论
• 2.粘塑性模型
• • • （1） Bingham模型 （2） Hohenemser-Prager方程 （3） Perzna方程
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3.6 计入应变率效应的本构理论
• 1、 粘弹性模型：
• （1）Maxwell模型（弹、粘性原件串联）：
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3.4 土的动力屈服、破坏条件及本构理论
• 1、土的动力屈服：砂土与粘土的区别 • • 屈服条件 强化现象
•
强化条件、加载条件
• 2、破坏条件 • 3、屈服条件与破坏条件的关系
•
•
特例：理想塑性状态
（1）应变率效应：⑴不计～；⑵计入～
• 4、土的动本构理论分类
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3.6 计入应变率效应的本构理论
2
据此可建立土的动本构关系，
包括粘弹性和粘塑性两类：
• 1.粘弹性模型 • • （1）加载速度单调增加的粘弹性模型 （2）Maxwell和Kelvin模型
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土的本构关系
本 构 关 系“本构关系”是英文Constitutive Relation 的意译。
在力学中，本构关系泛指普遍的应力—应变关系。
因为在变形固体力学中，应力不只与应变有关．而且还与物体的加载历时(应力历史)、加载方式(或应力路径)以及温度和时间有关。
因此材科的本构关系或普遍的应力—应变关系可以表示为；应力路径等）,,,(T t f ij ij εσ= 式中t 为加载历时，T 为温度。
例如，弹性力学中的广义定律就是最简单的材料本构关系，它不计时间、温度和应力路径及应力历史的影响。
因此应力和应变之间存在着唯一对应的关系。
当材料应力超出弹性范围而进入塑性阶段时，应力和应变之间就没有唯一的对应关系，而是要受应力历史或应力路径的影响，这时材料的应力—应变关系就称为塑性本构关系。
塑性本构关系要比弹性本构关系复杂得多。
如果再考虑材科应力—应变关系随时间和温度的变化，本构关系持更加复杂。
本书所要讲的岩土本构关系主要是指与时间和温度无关的塑性本构关系。
各种本构关系的特点1.弹性本构关系类型和分类弹性本构关系可分为线弹性本构关系和非线性弹性本构关系如图1所示，线弹性本构关系即一般的弹性力学，其应力—应变关系服从广义Hooke 定律。
非线性本构关系的应力—应变曲线是非线性的，但是加卸载仍然沿着一条曲线。
弹性本构关系的基本特征是：1) 应力和变形的弹性性质或可逆性；2) 应力与应变的单值对应关系或与应力路径相应力历史的无关性。
即无论材料单元在历史上受过怎样的加卸载过程或不同的应力施加路径，只要应力不超过弹性限度，应力与应变都是一一对应的；3) 应力与应变符合叠加原理；4) 正应力与剪应变、剪应力和正应变之间没有耦合关系。
因此，根据广义Hooke 定律有γτεσG K m m ==3 （1）式中，σm和τ分别为正应力和剪应力，εm和γ分别为平均应变和剪应变，K、G为体积弹性模量和剪切弹性模量。
(1)式说明：正应力只产生正应变或体应变，而对剪应变没有贡献。
土石坝的静力分析-本构关系
线弹性模型 – 广义胡克定律（2）
x y z
1 [ x t ( y z )] Et 1 [ y t (z x )] Et 1 [z t ( x y )] Et
xy yz zx
应力不变量：
I1 x y z
I 2 x y yz z x xy yz zx
2 2
I3 x yz xy yz zx x yz y zx z xy
2 2
2
2
3 P 八面体应力： o Q 1 平面 2
p
剪胀 模型 压硬性 剪缩 模型
v -压硬性： 随围压的增加，土体变密实而引起土体的强度 和刚度提高的性质。
-剪胀性： 由土体剪应力可引起土颗粒位置和排列的变化， 这些变化可使土体变松（或变密）从而发生体 积的变化 。这种由剪应力引起的土的体积变化 ，被广义的称为土剪胀性。它包括剪缩和剪胀 两种情况。
颗粒的滑移 粗粒土的 变形机理 颗粒间咬合
颗粒的破碎
粗粒土 结构
单粒结构 （绝大多数）
蜂窝结构 （少数细沙）
主要变 形机理
压缩过程
颗粒的滑移重新排列+破碎+咬合+颗粒的弹性变形 变形大小主要取决于原来孔隙的大小及粒间的摩擦力 瞬间下沉 + 小速率的长期变形（克服摩擦力、调整位置）
回弹过程
弹性变形恢复（极小）
应力循环下的变形特性 – 滞回圈与卸载体缩
各向异性： 所谓各向异性是指材料在不同方向上表 现出不同的物理力学性质。土的各向异 性可分为初始各向异性和应力引起的各 向异性。 初始各向异性： 常表现为横向各向同性 - 天然沉积：土体颗粒的结构性排列 - 不等向固结：水平应力垂直应力 - 室内实验室的制样 检验初始各向异性的最简单的 试验是等向压缩试验是否满足：
土的本构关系
（1）Tresca（屈雷斯卡）准则 （2）Mises （米塞斯）准则 （3）Mohr-Coulomb （摩尔－库仑）准则 （4）Lade-Duncan （拉德－邓肯）准则
2.屈服准则 屈服准则为判别屈服与否的标准。 屈服函数－屈服面－屈服准则－硬化规律 ①帽子类模型－反映土的体积变形特性。 ②开口的锥形屈服面模型－反映塑性剪切 变形 ③双屈服面模型
N 为 当 p ' 1 .0时 值 ；
为 ln p ' 平 面 上 临 界 状 态 线 斜 率 ；
k为 回 弹 曲 线 斜 率 。 在主应力空间，屈服面形状为弹头形（见下图）， 屈服面象一顶帽子，故又称为帽子模型。
1
L
2
3
剑桥模型示意图
E i kP a (
3
Pa
)
n
（6）
(4)、 (5) 、 (6)代入(3)得：
E t [1 R f (1 sin )( 1 3 ) 2 c co s 2 3 sin ] kP a (
2
3
Pa
)
n
（7）
式 中 P a 为 单 位 应 力 值 （ 或 与 3 相 同 单 位 的 大 气 压 力 ） ； k、 n为 试 验 常 数 。 对 正 常 固 结 粘 性 土 ， n 1 0， 一 般 情 况 下 在 0 .2 ～ 1 .0 之 间 ； k 值 随 土 类 变 化 大 ， 可 能 小 于 100， 也 可 能 大 于 数 千 。
为 双 曲 线 渐 近 线 ， 即 ( 1 3 )u l t
（3）地基中任一点切线模量 E t 表达式
Et ( 1 3 ) 1 E i [1 b ( 1 3 )]
2.屈服准则 屈服准则为判别屈服与否的标准。 屈服函数－屈服面－屈服准则－硬化规律 ①帽子类模型－反映土的体积变形特性。 ②开口的锥形屈服面模型－反映塑性剪切 变形 ③双屈服面模型
N 为 当 p ' 1 .0时 值 ；
为 ln p ' 平 面 上 临 界 状 态 线 斜 率 ；
k为 回 弹 曲 线 斜 率 。 在主应力空间，屈服面形状为弹头形（见下图）， 屈服面象一顶帽子，故又称为帽子模型。
1
L
2
3
剑桥模型示意图
E i kP a (
3
Pa
)
n
（6）
(4)、 (5) 、 (6)代入(3)得：
E t [1 R f (1 sin )( 1 3 ) 2 c co s 2 3 sin ] kP a (
2
3
Pa
)
n
（7）
式 中 P a 为 单 位 应 力 值 （ 或 与 3 相 同 单 位 的 大 气 压 力 ） ； k、 n为 试 验 常 数 。 对 正 常 固 结 粘 性 土 ， n 1 0， 一 般 情 况 下 在 0 .2 ～ 1 .0 之 间 ； k 值 随 土 类 变 化 大 ， 可 能 小 于 100， 也 可 能 大 于 数 千 。
为 双 曲 线 渐 近 线 ， 即 ( 1 3 )u l t
（3）地基中任一点切线模量 E t 表达式
Et ( 1 3 ) 1 E i [1 b ( 1 3 )]
土的本构关系
式中，g为塑性势面的数学表达式塑性势函数， g ( ij , H a ) 0，式中H a为硬化参数；d 是一个确定塑性应变增量 大小的函数，由加工硬化规律确定。 如果材料的塑性势面通屈服面不同，则称为相关联流动规则， 上式可改写为：
ijp d
ij
式中，为屈服函数。如果材料的塑性势面通屈服面不同，则称为 非相关联流动规则。
（3）
①试验曲线 f 点为破坏点，则定义破坏 比 R f 为：
( 1 3 ) Rf b( 1 3 ) f ( 1 3 )ult
粘性土1＝15% ~ 20%对应的( 1 3 )值。
（4）
式中( 1 3 ) f 为破坏时的偏应力，砂性土试验曲线 1峰值；
（二） 非线性弹性地基模型
具有代表性的邓肯－张模型 （Duncan-Chang model，1970） （1）特点
如图a所示，实际上加荷路径不等于 卸荷路径，为非弹性。现假定卸荷路径与 加荷路径相同，即与路径无关，只考虑 OA，认为AB与OA重合，即为非线性。
图a 非线性弹性地基模型
（2）D-C模型的假设和表达式
1.弹性模型-----Winkler、弹性半空间、分层地基 2.非线性弹性模型-----D-C 3.弹塑性模型------剑桥 4.粘弹性模型 5.边界面模型 6.内蕴时间模型
（一） 土体的变形特性
1.非线性和非弹性 2.塑性体积应变和剪胀性 3.塑性剪应变 4.硬化和软化 5.应力路径和应力历史对变形的影响 6.中主应力对变形的影响 7.高固结压力的影响 8.各向异性
1
a b1
式中，1为轴向应变； ( 1 3 )为主应力差； a, b为双曲线函数参数； 1 1 为双曲线初始切线斜率,即Ei ； a a 1 1 为双曲线渐近线，即( 1 3 )ult 。 b b
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（5） （6）
求a: 将公式（1）式 1 3
a b a
a
求导，切线模量Et为：
Et
1 3 a a a b a 2
（7）
令εa＝0，则原点的切线模量，即初始切线模量为：
Ei
R
1 a
1
（8） 代入（1）、（7）式（消去a、b)，
( 1 3 ) ult
1 b
（4）
若土样破坏时的偏应力（即强度）为（σ1－σ3）f，令Rf等于破坏时的偏应 力与极限值之比，称为破坏比：
Rf
Rf （4）式代入（5）式得（消去偏应力极限值）：b 1 3 f
1 3 f 1 3 ult
2.八面体应力与应变的计算公式
可导出：
八面体法向应力
八面体剪应力
0 ( 1 2 3 ) ( x y z )
0
1 3 1 3
1 3
1 3
1 3 2 2 3 2 3 1 2
2 2 2 x
1 3
a
a b a
（ 2）
3.非线形弹性模型
1 3 a
a b a
应力－应变双曲线函数 公式（1）还可以改成：
双曲线函数坐标变换
1 3
1 a
（3）
a
b
1 3
1 a
a
通过求a、b得到弹性模量E. 求b:
b
当轴向应变εa→∞时，偏应力趋向一极限值（σ1-σ3）ult
对于加工硬化材料，屈服应力是随着荷载的提高与变形的增大而提高的。 屈服面不同于破坏面，它不是一个固定的面,图中由A点提高到B点。
Rf a 1 Ei 1 3 f
a
代入（10）
Et
1 Ei 1 Rf a Ei 1 3 f
2
式：
（消去轴向应变 a ）
Et 1 R f S Ei
2
（11）
其中
S
1 3 1 3 f
（2－8） （2－9）
M 0 3K
剪切模量
G
0 E （2－10） 0 2(1 )
3.强度理论
达到强度条件时的应力轨迹线称为强度包线。主要强度理论有三种。
3.1 最大八面体剪应力强度理论，也叫V.Mises条件
当八面体剪应力τ0达到极限值c0时，就是破坏条件。
0 c0
1 3
2
2
1 3
2
sin
2
1
2 1 2 sin 2 2 3 2 3 sin 2 （2－18）
2 2 2 2
2 3 1 3 1 sin
正常固结粘土和松砂、中密砂：加工硬化型曲线
正常固结土的q－ε曲线
双曲线型：
q
a b a
a
3.非线形弹性模型
（1）E－μ模型（Duncan－Chang）模型
采用双曲线公式代表正常固结粘性土试验曲线：
1 3 a
a、b－试验常数 （1）式改为：
a b a
（ 1）
为3组常规三轴压缩试验.
Duncan－Chang模型试验常数 上海粉 质粘土 c 0 φ 39.0 Rf 0.68 k 125 n 0.52 d 8.48 F -0.127 G -0.16
（2）K－G模型
用体积模量k与剪切模量G代替E、μ。
八面体应力的基本公式： 应力与应变关系为：
1 0 1 2 3 3 1 1 2 2 2 3 2 3 1 2 0 3 v 1 2 3
i
f 将（6）式 b 、（8）式 a 1 3 f 得到
E
1 3
Rf a 1 Ei 1 3 f
a
（9）
Et
1 Ei 1 Rf a Ei 1 3 f
2
（10）
（9）式
1 3
f
i
3 pa
（18） G、F－试验常数。
代入（17）式
t
3 f 1 1 1d 2
3 G F lg p a t 1 1d 2
利用（1）式最后可得到：
(19)
3 G F lg p a t 1 A2
强度包络面为不通过原点 的不等顶角的六边形锥面。
3.强度理论
三种破坏条件的比较
§2. 土的应力－应变关系
1．材料的应力－应变关系
材料的应力－应变关系
2．土的三轴压缩试验应力－应变曲线 基本形态
常用土工试验仪
直剪仪 单向固结仪 常规三轴压缩（σ2＝σ3）试验 仪
非常规试验仪
2 2 2 2
（2－15）
3.2 最大剪应力强度理论，也叫Tresca条件
强度包络面是一个垂直 于八面体平面的正六角 柱体面，而屈服面在π
平面上的轨迹是一个正
六边形。
Tresca扩展情况：
max 0tgt
max [ct 0tgt ]
（2－16）
相应的强度包络面为通过原点和不通过原点的正六角形锥面。
（2－3）
0
1 2 0 E
或
0
E 0 1 2
（2－4）
八面体弹性模量
M0
E 1 2
（2－5） （2－6）
31 2 v 1 2 3 0 E
0 E V 3 1 2
体积弹性模量
K
（2－7）
E 31 2
0
3.3 散体极限平衡理论，也叫Mohr－ Coulomb条件
强度包络面为通过 原点的不等顶角的 六边形锥面。
扩展了的Mohr－Coulomb条件
max KP min 2 KP c
或
1 1 sin 3 1 sin 2c cos
第三章 土的本构关系
§1. 八面体应力的基本知识
1.八面体及八面体应力的意义
边长为2的立方体，主应力σ1、σ2、σ3分别与x、y、z轴平行， a,b,c,d,e,f点为六个面的中心点。
把立方体六个面的中心点连接起来，就成为八面体单元。
1.八面体及八面体应力的意义
八面体应力和八面体应变：指八面体任意面上的法向应力σ0及剪应力 τ0；相应的法向应变ε0及剪应变γ0。他们分别是三个主应力σ1、σ2、 σ3和三个主应变的函数，能够综合反映空间应力状态。
μt推导
ε1与ε3的关系为双曲线：
1
f d 3
3
（16）
f、d为两个待定常数。
3 f d 3 1
3 f 1 1 1d
3 f t 1 1 1d 2
（17）
过原点的初始切线泊桑比为
i f
初始切线泊桑比与σ3有如下关系
i G F lg
八面体弹性模量：
1
2
3
1 1 2 3 E
1 2 1 3 E
1 3 1 2 E
1 2 1 2 3 E
（2－2）
1 2 3
1 1 2 3 1 2 1 1 2 3 1 2 0 3 E 3 E
（2－13）
3 1 2ct
2 3 2ct
（2－14）
1 3 2ct
如果有一个式子为等号时，则材料进入塑性状态。 或
2c .
2 2 1 2 t
3 1 2ct 0 2 3 2ct .
或
1 3
1 2 2 2 3 2 3 1 2 9c02
（2－11）
(
0 Leabharlann 1 3 2 2 3 2 3 1 2
)
3.强度理论
强度包络面为一垂直于等倾斜面的圆柱面。
3.强度理论
如土的强度与八面体法向应力有关（扩展了的V.Mises条件）
0 [c0 0tg ]
0 0tg
（2－12）
强度包络面为通过原点和不通过原点的圆锥面。
3.2 最大剪应力强度理论，也叫Tresca条件
当最大剪应力τmax达到极限值ct时就是破坏条件，与中主应力无关。
max
或
1 3
2
ct
1 2 3
2
消去S后
R f 1 sin 1 3 Et 1 Ei 2c cos 2 3 sin
2
（13）
试验常数：Rf、c、φ、Ei
3 Ei kP a P a
n
（14）
Lg Ei～lg σ3为一直线，截距k，斜率n
3.3 散体极限平衡理论，也叫Mohr－ Coulomb条件
破坏时的最大与最小主应力之间的关系有
max K P min
（ 1 K P 3）（2－17）
K P tg 2 45 2
KP－按朗肯理论的被动土压力系数，
1 1 sin 3 1 sin
n
（20）
式中
A
3 kpa p a
1 2c cos 2 sin 3
1 3 d 2 R f 1 sin 1 3