仰角、俯角问题综述
九年级下册数学仰角和俯角知识点
九年级下册数学仰角和俯角知识点九年级下册数学知识点: 仰角和俯角在九年级的数学学习中，仰角和俯角是两个重要的概念。
仰角和俯角是与水平线之间的夹角，用于描述物体在垂直方向上的视角。
在日常生活中，我们经常会用到仰角和俯角的概念，比如测量高楼的高度、确定飞机的飞行高度等等。
接下来，让我们深入了解仰角和俯角吧。
一、仰角和俯角的定义仰角和俯角是与水平线之间的夹角，用来描述物体在垂直方向上的视角。
仰角是指从水平线向上看时，视线与水平线之间的夹角；俯角则相反，是指从水平线向下看时，视线与水平线之间的夹角。
例如，当我们仰望一棵树时，我们所看到的视线与水平线之间的夹角就是仰角；而当我们低头俯视地面时，视线与水平线之间的夹角就是俯角。
二、仰角和俯角的计算方法我们可以通过三角函数来计算仰角和俯角的数值。
一般来说，我们会用正切函数来求取夹角的数值。
例如，假设一架飞机在空中低飞，飞机和地面之间的夹角为35度。
我们可以通过计算正切函数来求得仰角（从地面向上看时的夹角）和俯角（从飞机向下看时的夹角）的数值。
正切函数的公式为：tanθ = 对边 ÷邻边在这个例子中，飞机和地面之间的夹角为35度，我们可以假设对边（飞机在地面上的高度）为x，邻边（飞机离开地面的水平距离）为1。
代入公式，我们就可以求得正切值。
通过反函数，我们可以得到对应夹角的数值，也就是仰角和俯角。
三、仰角和俯角的应用仰角和俯角的应用非常广泛。
比如在航空领域，飞行员需要准确测量飞机与地面之间的仰角或俯角来确保飞行的安全。
而在建筑领域，工程师需要计算仰角和俯角来确定大楼的高度和斜坡的陡峭程度。
此外，仰角和俯角也在数学的几何和三角学中有着重要的应用。
它们是理解和计算立体图形、三角形、锥体等形状的关键概念之一。
四、总结仰角和俯角是九年级下册数学中的重要知识点。
通过了解仰角和俯角的定义、计算方法和应用，我们可以更好地理解和运用这一概念。
无论是在生活中还是学习中，仰角和俯角都有着广泛的应用价值。
知识卡片-解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-仰角俯角问题能量储备仰角、俯角：如图2446(1)所示，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
通关宝典★ 基础方法点方法点：解直角三角形在实际问题中的应用中正确选取直角三角形的边角关系是求解的关键。
例1：如图24410所示，某电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°。
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC ；(2)求大楼的高度CD (精确到1米)。
解：(1)在△ABC 中，∵ ∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，∴ AC ＝AB ＝610米。
答：大楼与电视塔之间的距离AC 为610米。
(2)由矩形的性质可知DE ＝AC ＝610米。
在Rt △BDE 中，由tan ∠BDE ＝BE DE，得BE ＝DE·tan 39°。
又∵CD ＝AE ，∴CD ＝AB －DE·tan 39°＝610－610×tan 39°≈116(米)。
答：大楼的高度CD 约为116米。
例2：如图24428所示，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1.2米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔顶端A 的仰角为61°.求这个电视塔的高度AB .(精确到1米)解：如图24429所示，设AE 为x 米，则塔的高度为(x ＋1.2)米．∵ tan 61°＝AE EF ＝x EF ，∴ EF ＝x tan 61°. 又∵ tan 42°＝AE CE ，∴ CE ＝x tan 42°. ∵ CE ＝120＋x tan 61°， ∴ x tan 42°＝120＋x tan 61°， 解得x ≈215.7，∴ x ＋1.2≈217(米)．∴ 这个电视塔的高度AB 约为217米。
仰角、俯角问题
为45°,求旗杆的高度(tan50°≈1.19精确到
0.1m)
A
B
45°50°
C
D
40米
例2：如图，要测量小山上电视塔BC的高度，在山 脚下点A测得：塔顶B的仰角为∠BAD=40°，塔 底C的仰角为∠CAD=29°，AC=200米，求电视塔
BC的高。（精确到1米）（参考数据： sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84， sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55）
求树高AB.（精确到0.01米）． A
C 30°
D
B E
随堂练习
1、如图，为了测量电线杆的高度AB，在离 电线杆30米的C处，用高1.20米的测角仪CD 测得电线杆顶端B的仰角a＝30°，求电线 杆AB的高．
1.20
=300 30
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问 题如下：沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
聪明在于学习，天才在于积累，所 谓天才，实际上是依靠学习。
华罗庚
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
Ｂ
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
a
(3)边角之间的关系:
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线 的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
解直角三角形(仰角和俯角)讲义
解直角三角形（仰角和俯角）一、知识点讲解1、仰角和俯角的定义：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
二、典例分析利用解直角三角形解决仰角、俯角问题例1 一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）变式练习：1、如图，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1米的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100米达到F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB（单位：米）为A、50B、51C、50+1D、101第1题第2题第3题2、如图，从坡顶C处测得地面A、B两点的俯角分别为30°、45°，如果此时C处的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，则AB两点间距离是米。
3、如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度．站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°．若旗杆与教学楼的距离为9m，则旗杆AB的高度是m（结果保留根号）4、如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，则楼房CD 的高度m（结果保留根号）反馈练习 基础夯实1、如图，某飞机在空中A 处探测到它的正下方地平面上目标C ，此时飞行高度AC =1200m ，从飞机上看地平面 A 、 1200m B 、 1200m C ．、 1200m D 、 2400m第1题 第2题 第3题 第4题2、如图，为测量一棵与地面垂直的树OA 的高度，在距离树的底端30米的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，、 米B D 的仰角为α，从点A 测得点D 的仰角为β，已知甲、乙两建筑物之间的距离为a ，则甲建筑物的高AB 为 。
23.2.2仰角与俯角问题
D C
39° 45°
A
(2) 求大楼的高度CD（精确到1米）. 解：DE＝AC＝610（米）， BE 在Rt△BDE中，tan∠BDE＝ . DE 故BE＝DEtan39°． ∵CD＝AE， ∴CD＝AB－DE· tan39° ＝610－610×tan39°≈116（米）.
D C
39° 45°
B
E A
的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯 角为60°，热气
球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果
精确到0.1m）.
仰角 B A
水平线
α D β
俯角 C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
BD CD tan a , tan . AD AD
BD AD tan a 120 tan 30 3 120 40 3(m). 3 A CD AD tan 120 tan 60
P
B
当堂练习
1. 如图①，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平 面上一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观 100 测者之间的水平距离BC=_________ 米. 2. 如图②，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点 测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则 建筑物CD的高为_____ 20 3 米. A A 30° 60° D
仰角、俯角问题的常见基本模型： 模型一
A
模型二
β
A
C D
α
E B
C
α
D
B
A
A
模型三
D C
α β
模型四
C D
α？（精确到1m）
A
D1
解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
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01.
02.
仰角、俯角 方位角概要
A 30˚ 60˚ D X
N1
N
60˚ 30˚
24海里
C
B
答：货轮无触礁危险。
1 某海防哨所(O)发现在它的北偏西30°,距离500m的 Ａ处有一艘船．该船向正东方向航行，经过３分钟到达 哨所东北方向的Ｂ处．求这船的航速是每时多少km?
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
A
B
D
40
C
例２ 河对岸有水塔ＡＢ．在Ｃ处测得塔顶的仰角为 ３０°，向塔前进１２m到达Ｄ，在Ｄ处测得Ａ的仰 角为４５°，求塔高．
3、在山顶上处D有一铁塔，在塔顶B处测得地面上一 点A的俯角α =60o，在塔底D测得点A的俯角β =45o， 已知塔高BD=30米，求山高CD。 B α
D
β
C
A
2、在山脚C处测得山顶A的仰角为45°。问题 如下：(1）沿着水平地面向前300米到达D点， 在D点测得山顶A的仰角为600 , 求山高AB。
A
3x
45° 60°
C
D
x B
旗用的绳子（绳子足够长），王同学拿了 一把卷尺，并且向数学老师借了一把含300 的三角板去度量旗杆的高度。 （ （ 3）此时他的数学老师来了一看，建 2 ）若王同学分别在点C、点D处将 （ 1 ）若王同学将旗杆上绳子拉成仰角 0、 议王同学只准用卷尺去量，你能给王 旗杆上绳子分别拉成仰角为 60 为 600，如图用卷尺量得BC=4 米，则 同学设计方案完成任务吗？ 300，如图量出 CD=8米，你能求出 旗杆 AB的高多少？ 旗杆AB的长吗？
解直角三角形(仰角和俯角)知识讲解
=3 4
直角三角形斜边 上的中线等于斜
边的一半
C
D B
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的 夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线
铅 仰角 直 线 俯角
水平线
视线
例:热气球的探测器显 示,从热气球看一栋高 楼顶部的仰角为30°, 看这栋高楼底部的俯 角为60°,热气球与高 楼的水平距离为 120m,这栋高楼有多 高?
2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
1.如图，某飞机于空中 A处探测到目标C，此时 飞行高度AC=1200米， 从飞机上看地平面控制 点B的俯角α=16031`， 求飞机A到控制点B的距 离.(精确到1米）
A
B
D 40 C
（2007年昆明）如图，AB和CD是同一地面 上的两座相距36米的楼房,在楼AB的楼顶A点 测得楼CD的楼顶C的仰角为450，楼底D的俯 角为300，求楼CD的高？(结果保留根号)
C
A 450
300
B 36
D
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联 的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
例2、学校操场上有一根旗杆，上面有一
根开旗用的绳子（绳子足够长），王同学
A
拿了一把卷尺，并且向数学老师借了一把
A
含300的三角板去度量旗杆的高度。
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( 3≈1.73，结果保留整数)
解：如图，过点 P 作 PE⊥CD 于点 E，则四边形 BCEP 是矩形，
∴PE＝BC＝30 m. 在 Rt△PDE 中，∵∠DPE＝30°，PE＝30 m，
∴DE＝PE·tan 30°＝30× 33＝10 3≈17.3(m)． 在 Rt△PEC 中，∵∠EPC＝45°，PE＝30 m， ∴CE＝PE＝30(m)． ∴CD＝CE＋DE≈30＋17.3≈47(m). 答：建筑物 CD 的高约为 47 m.
仰角、俯角问题
青台中学 李爱山
学习目标：
1、掌握仰角、俯角概念； 2、能将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素 之间关系进行解题；
3、感受数学与生活的紧密联系，增强学数学、用数学的 意识和能力。
一 考情分析
2011年——2015年河南中考考情一览表
年份 题号 分值 题型 考点
考查内容
2011 19 9 2012 20 9 2013 19 9 2014 19 9 2015 20 9
分别为 30°，45°，如果此时热气球 C 处的高度 CD 为
100 米，点 A，D，B 在同一直线上，则 AB 两点间的
距离是(
)
A．200 米 C．220 3米
B．200 3米 D．100( 3＋1)米
解 析 ： ∵∠ACD ＝ 60°， CD ＝ 100( 米 ) ， ∴AD ＝ CD·tan∠ACD＝100 3(米)．∵∠BCD＝45°，CD＝ 100( 米 ) ， ∴BD ＝ CD ＝ 100( 米 ) ． ∴AB＝ AD ＋ BD ＝ 100( 3＋1)米．故选 D.
方法总结
仰角、俯角问题是应用解直角三角形解决问题常见 的类型。仰角、俯角问题中，若出现两个不同的仰 角（俯角）或一个仰角、一个俯角，解决此类问题 时，一般是设出未知数，用同一个未知数表示出问 题中的未知量，然后根据问题中的数量关系列出方 程求解。
练一练
如图，从热气球 C 处测得地面 A，B 两点的俯角
应用
特殊角的仰角问题
二 考情总结
分析近5年河南中考真题可看出， 锐角三角函数在河南中招考试中每年 必考，且常设置1道题，分值为9分， 均以解答题的形式考查。
解直角三角形的实际应用是中招 考试的重点考查内容，多以生活实际 问题为背景，结合特殊角和非特殊角 来考查测量问题或仰角、俯角问题或 坡度问题等。
解答题 解答题
解直角三角形的实际 应用
解直角三角形的实际 应用
两个特殊角的仰角、 俯角问题
一个特殊角、一个非 特殊角的仰角问题
解答题 解直角三角形的实际 一个特殊角、一个非
应用
特殊角的坡度问题
解答题 解直角三角形的实际 一个特殊角、一个非
应用
特殊角的俯角问题
解答题 解直角三角形的实际 一个特殊角、一个非
（1）试求旗杆AB的高度（精确到0.1米， 3 1.732 ）；
（2）请你设计出一种更简便的估测方法。
A
C
30°
E
D
B
祝同学们学习进步！ 再见！
答案： D
中考链接
2012年（河南）第20题.（9分） 某宾馆为庆祝开业，在楼前悬挂了许多宣传条幅，如图所 示，一条幅从楼顶A处放下，在楼前点C处拉直固定，小明 为了测量此条幅的长度，他先在楼前D处测得楼顶A点的仰 角为31°，再沿DB方向前进16米到达E处，测得点A的仰角 为45 °，已知点C到大厦的距离BC=7米， ,请根据以上数 据求条幅的长度（结果保留整数.参考数 据：tan31 0.6,sin31 0.52,cos31 0.86 ）
【解析】设 AB x 米，
∴ AEB 45, ABE 90. BE AB x
在 Rt ABD 中， tan D AB , BD
即 tan 31 x . x 16
∴
x
16 tan 31 1 tan 31
16 0.6 1 0.6
24.
即 AB 24 (米)
在 Rt ABC 中 AC BC2 AB2 72 242 25
预计2016年河南中招考试中，解 直角三角形的实际应用仍为重点考查 内容。
仰角、俯角 如图①，在测量时，视线与水平线所பைடு நூலகம்的角中， 视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角 叫做俯角．
如图，两个建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 30 m， 张明同学住在建筑物 AB 内 10 楼 P 室，他观测建筑
即条幅的长度约为 25 米
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题。
2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决,同时在解决过程中可用方程的 思想解题。
作业：
如图，有一位同学用一个有30°角的直角三角板估测他们学 校的旗杆AB的高度，他将30°角的直角边水平放在1.3米高 的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上， 他又量得D、B的距离为15米。