仰角、俯角问题
知识卡片-解直角三角形的应用-仰角俯角问题
解直角三角形的应用-仰角俯角问题能量储备仰角、俯角：如图2446(1)所示，在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。
通关宝典★ 基础方法点方法点：解直角三角形在实际问题中的应用中正确选取直角三角形的边角关系是求解的关键。
例1：如图24410所示，某电视塔高AB 为610米，远处有一栋大楼，某人在楼底C 处测得塔顶B 的仰角为45°，在楼顶D 处测得塔顶B 的仰角为39°。
(1)求大楼与电视塔之间的距离AC ；(2)求大楼的高度CD (精确到1米)。
解：(1)在△ABC 中，∵ ∠ACB ＝45°，∠A ＝90°，∴ AC ＝AB ＝610米。
答：大楼与电视塔之间的距离AC 为610米。
(2)由矩形的性质可知DE ＝AC ＝610米。
在Rt △BDE 中，由tan ∠BDE ＝BE DE，得BE ＝DE·tan 39°。
又∵CD ＝AE ，∴CD ＝AB －DE·tan 39°＝610－610×tan 39°≈116(米)。
答：大楼的高度CD 约为116米。
例2：如图24428所示，为了测得电视塔的高度AB ，在D 处用高为1.2米的测角仪CD ，测得电视塔顶端A 的仰角为42°，再向电视塔方向前进120米，又测得电视塔顶端A 的仰角为61°.求这个电视塔的高度AB .(精确到1米)解：如图24429所示，设AE 为x 米，则塔的高度为(x ＋1.2)米．∵ tan 61°＝AE EF ＝x EF ，∴ EF ＝x tan 61°. 又∵ tan 42°＝AE CE ，∴ CE ＝x tan 42°. ∵ CE ＝120＋x tan 61°， ∴ x tan 42°＝120＋x tan 61°， 解得x ≈215.7，∴ x ＋1.2≈217(米)．∴ 这个电视塔的高度AB 约为217米。
解直角三角形--仰角俯角.仰角俯角问题---解直角三角形
观察下图，判断哪些是仰视哪些是俯视； 哪个是俯角，哪个是仰角．
从A看B的仰角是:
∠BAC
从B看A的俯角是： ∠FBA 从B看D的俯角是： ∠FBD 从D看B的仰角是： ∠BDE 注意：从哪个点看就从哪个点作水平线，俯角就 是水平线与向下看视线的夹角，仰角就是水平线 与向上看视线的夹角。
例1： 如图一学生要测量校园内一棵水杉树高度， 他站在距水杉树8米的E处，测得树顶的仰角 ∠ACD=30°，已知测角仪的架高CE=1.6米， 求树高AB(精确到0.1米) A
问题探究
• 1、仰角、俯角 • 阅读教材：当我们进行测量时，在视线与水平 线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角， 在水平线下方的角叫做俯角． • 学生仰视日光灯或俯视桌面 • （以体会仰角与俯角的意义．）
归纳、总结
• 如图，在进行测量时，从下向上看，视线与水平 线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线 的夹角叫做俯角
把问题转化为解直角三角形的问题；
(3)根据直角三角形元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形．
A
D1 D
30 °
C1 50
C
45°
B1 B
2、（2011安徽中考）如图，某高速公路建设中 需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高 度C处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处 的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.
甲、乙两楼相距78米，从乙楼底 望甲楼顶的仰角为45º ，从甲楼顶 望乙楼顶的俯角为30º ，则甲楼和 A 乙楼高为？ 30º
D
甲 B
？
45º
？乙
78 C
7.（2006，哈尔滨市）如图，在电线杆上的C处 引位线CE、CF固定电线杆，拉线CE和地面成 60°角，在离电线杆6米的B处安置测角仪，在A 处测得电线杆C处的仰角为30°，已知测角仪AB 高为1.5米，求拉线CE的长．（结果保留根号）
《仰角、俯角问题》PPT课件 华师版
45°，求旗杆的高度（精确到0.1m）.
解：在等腰三角形BCD中∠ACD=90°
BC=DC=40m 在Rt△ACD中
tan ADC AC DC
AC tan ADC DC
tan 54 40 1.38 40 55.2
54°45°
D 40m
C
所以AB=AC－BC=55.2－40=15.2 答：旗杆的高度为15.2m.
当堂练习
1.如图1，在高出海平面100米的悬崖顶A处，观测海平面上 一艘小船B，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的 水平距离BC=____1_0_0___米. 2.如图2，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得 D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD 的高为_2_0__3_米.
在图中，α=30°,β=60° Rt△ABD中，α=30°，AD＝120，
αD Aβ
所以利用解直角三角形的知识求出
俯角
BD；类似地可以求出CD，进而求出BC．
C
解：如图，a = 30°,β= 60°， AD＝120．
tan BD ,tan CD
AD
AD
BD AD tan 120 tan30
120 3 40 3 3
CD AD tan 120 tan 60
B
αD Aβ
120 3 120 3
BC BD CD 40 3 120 3
160 3 277 .1
C
答：这栋楼高约为277.1m
练一练
A
建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC40m的D处观
B
察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为
B 图1 C
B 图2 C
3.为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测 得仰角∠ACD=52°，已知人的高度是1.72米，求树高(精确 到0.1米）.
九年级数学上册《仰角俯角问题》教案、教学设计
2.交流分享：各小组代表汇报讨论成果，其他同学认真倾听，互相学习，共同提高。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，及时解答学生的疑问，引导学生深入探讨问题。
（四）课堂练习
在课堂练习环节，我将设计以下练习：
-设想一：通过观看建筑物、桥梁等图片，引导学生观察并描述其中的仰角、俯角，激发学生的学习兴趣；
-设想二：组织学生走出教室，实地观察校园中的仰角、俯角，增强学生的实际体验。
2.利用多媒体、教具等教学资源，帮助学生形象地理解仰角、俯角与直线、平面图形之间的关系，突破难点。
-设想一：运用Flash动画演示仰角、俯角的形成过程，使学生直观地理解两种角的定义；
1.学生对角度的认识已较为成熟，但在区分仰角与俯角时可能存在一定的困惑，需要教师引导和巩固；
2.学生的空间想象力较强，但对于将实际问题转化为数学模型的能力尚需提高，需要教师在教学过程中予以关注和指导；
3.学生在解直角三角形的实际应用中，可能会遇到计算上的困难，需要教师耐心讲解和辅导；
4.部分学生对数学学习兴趣浓厚，具有较强的自主学习能力，但也有部分学生对数学存在恐惧心理，需要教师激发兴趣和自信心；
-设想二：借助三角板、量角器等工具，让学生动手操作，加深对角度的认识。
3.设计丰富的课堂练习，巩固所学知识，提高学生解决问题的能力。
-设想一：编制与仰角、俯角相关的习题，让学生独立完成，培养其解决问题的能力；
-设想二：设置小组讨论环节，让学生在合作交流中互相学习，共同进步。
4.个性化教学，关注学生个体差异，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
-设想一：针对不同学生的学习情况，制定个性化的学习计划，提高教学效果；
解直角三角形的应用(仰角和俯角问题)
计算角度证结果：检 查计算结果是 否满足三角形 内角和为180
度的条件
添加标题
确定已知条件：已知三角形的边长和角度
添加标题
利用正弦定理：sin/ = sinB/b = sinC/c
添加标题
利用余弦定理：cos = (b^2 + c^2 - ^2) / (2bc)
正弦定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正弦值乘以斜边的长度
余弦定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方和等于 斜边的平方
正切定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正切值乘以斜边的长度
余切定理：在直角三角形中 任意两边长度的平方差等于 斜边的平方
正割定理：在直角三角形中 任意一边的长度等于其对角 的正割值乘以斜边的长度
确保测量工具的 准确性和稳定性
避免在危险区域 进行测量如高空、
高压电等
遵守操作规程确 保人身安全
做好防护措施如 佩戴安全帽、手
套等
及时清理现场避 免杂物影响测量
结果
遇到突发情况及 时停止操作并寻
求帮助
仰角和俯角为0度：此时三角形退化为直线无法求解
仰角和俯角为90度：此时三角形退化为直角三角形可以直接求解
全站仪等
测量误差：注 意测量误差对 仰角和俯角测 量结果的影响
测量环境：注 意测量环境的 影响如温度、 湿度、风速等
测量方法：注 意测量方法的 选择如直接测 量、间接测量
等
测量误差：测量工具的精度、测量人员的操作水平等
计算误差：计算过程中的舍入误差、公式使用错误等
环境误差：温度、湿度、光照等环境因素对测量结果的影响
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01.
02.
解直角三角函数仰角俯角专题
11、如图，小明用一块有一个锐角为30 的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为4米，DE 为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米）1.1如图，在高为h 的山顶上，测得一建筑物顶端与底部的俯角分别为30°和60°，用h 表示这个建筑物的高为 ．1.2如图，塔AB 和楼CD 的水平距离为80m ，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为450和600，试求塔高和楼高。
2、如图，张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30 ，旗杆底部B 点的俯角45 ．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离9B E 米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度为 米（结果保留根号）．2．1如图，学校的保管室里，有一架5米长的梯子斜靠在墙上，此时梯子与地面所成的角为45，如果梯子的底端O 固定不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子与地面所成的角为60 ，求此保管室的宽度A B 的长．AB CD23、海中有一个小岛P ，它的周围18海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A 测得小岛P 在北偏东60°方向上，航行12海里到达B 点，这时测得小岛P 在北偏东45°方向上．如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．4、如图，某中学九年级一班数学课外活动小组利用周末开展课外实践活动，他们要在某公园人工湖旁的小山AB 上，测量湖中两个小岛C 、D 间的距离.从山顶A 处测得湖中小岛C 的俯角为60°，测得湖中小岛D 的俯角为45°.已知小山AB 的高为180米，求小岛C 、D 间的距离.（计算过程和结果均不取近似值）5、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（．如图7）．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据1.414 1.732==）6、如图8，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB 的长为5米，点D 、B 、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0．01）（2）若 滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (参考数据：2.449=== )Q B CP A45060︒30︒ AC B3。
俯角仰角练习题
俯角仰角练习题1. 某人站在一个高处俯视地面，他把抬头角度称为仰角。
某个点到此人的视线的角度称为俯角。
现假设此人距离地面10米，他的仰角为30度，则与此人眼睛的水平面相交的水平面上的物体A的俯角是多少度？解析：由题可知，此人的仰角为30度，即他的视线与水平面的夹角为30度。
物体A与此人眼睛的水平面相交，因此可以得知物体A的俯角也是30度。
2. 假设有一个物体B位于地面上，并且这个物体的高度为5米。
某人站在地面上，他抬头看着物体B，此时他的仰角为45度。
求此人与物体B视线的夹角，即俯角是多少度？解析：对于此题，我们需要找到与此人所站点与物体B确定的直线的垂直线。
由此可知，此垂直线与地面的夹角即为此人与物体B视线的夹角，即俯角。
根据三角形的性质可知，此垂直线与地面的夹角为45度。
因此，此人与物体B视线的夹角，即俯角为45度。
3. 在一个夜晚，某人站在一个高台上，观察附近的城市夜景。
此人站在一个高度为20米的位置，他的仰角为60度。
他发现城市中心的大楼C的俯角为30度。
请问大楼C的实际高度是多少？解析：根据此题可知，此人的仰角为60度。
由于大楼C的俯角为30度，即大楼C与此人视线的夹角为30度。
我们可以设大楼C的实际高度为H，根据三角形的性质可得：tan(30) = H/20解方程可得：H = 20 * tan(30) = 10√3 ≈ 17.32米因此，大楼C的实际高度约为17.32米。
4. 某人站在一座山上，他的高度为30米，他的仰角为45度。
他注意到山的脚下有一个湖泊D，他估计湖泊D的俯角为60度。
根据此情况，请计算湖泊D的实际宽度。
解析：根据此题可知，此人的仰角为45度。
湖泊D的俯角为60度，即湖泊D与此人视线的夹角为60度。
我们可以设湖泊D的实际宽度为W，根据三角形的性质可得：tan(45) = 30/W解方程可得：W = 30/tan(45) = 30 ≈ 30米因此，湖泊D的实际宽度约为30米。
华师大版数学九年级上册《仰角、俯角问题》说课稿
华师大版数学九年级上册《仰角、俯角问题》说课稿一. 教材分析华师大版数学九年级上册《仰角、俯角问题》这一节的内容，是在学生学习了平面几何、三角函数等基础知识后的进一步拓展。
本节内容主要介绍了仰角和俯角的概念，以及它们在实际问题中的应用。
教材通过生动的实例，使学生了解到仰角和俯角在现实生活中的重要性，从而激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对平面几何、三角函数等内容有一定的了解。
但是，对于仰角和俯角的概念及其应用，可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，我将会以引导为主，通过实例分析和练习，让学生逐步理解和掌握仰角、俯角的相关知识。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生了解仰角和俯角的概念，掌握计算方法，并能应用于实际问题中。
2.过程与方法：通过观察、分析、实践，培养学生解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的观察力和思维能力。
四. 说教学重难点1.重点：仰角和俯角的概念及其计算方法。
2.难点：如何将仰角和俯角应用于实际问题中。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例分析法、小组合作法等。
2.教学手段：多媒体课件、实物模型、黑板等。
六. 说教学过程1.导入：通过一个生活中的实例，如登山时观察山脚下的景物，引出仰角和俯角的概念。
2.新课导入：介绍仰角和俯角的定义，讲解计算方法。
3.实例分析：分析实际问题，让学生了解仰角和俯角在生活中的应用。
4.小组讨论：学生分组讨论，探讨如何将仰角和俯角应用于实际问题中。
5.练习巩固：布置一些相关的练习题，让学生加深对仰角和俯角的理解。
6.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调仰角和俯角的应用。
七. 说板书设计板书设计分为两部分：一部分是仰角和俯角的定义及计算方法；另一部分是仰角和俯角在实际问题中的应用。
通过板书，让学生一目了然地了解本节课的主要内容。
八. 说教学评价教学评价分为两个方面：一是学生的学习成绩，通过课堂练习和课后作业来评估；二是学生的学习过程，通过观察学生在课堂上的参与程度、思考能力和团队协作能力来评估。
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当堂检测：
一位同学测河宽,如图,在河岸上一点A观测河对岸边的一小 树C,测得AC与河岸边的夹角为45０,测得AB与河岸边的夹 角为30０，B点在C点前方200米处,,问这位同学能否计算出 河宽?若不能,请说明理由;若能,请你计算出河宽.(结果保留 根号)
作业：
课本117页习题第3题
只要愿意学习，就一定能够学会。 —— 列宁
DE
从B看D的俯角是 ∠FBD ；
A
从D看B的仰角是 ∠BDE ；
水平线
C
A
B 900 C
.
在天安门广场上，一位同学站在离 旗杆24米处，行注目礼，当国旗升 至旗杆顶端时，该同学视线的仰角 恰为30度，若两眼离地面1.5米，则 旗杆的高度是多少？（精确到 0.1米）
24米
300
E
1.5米 D
解：
0米，从飞机上看地平面控制点B的俯角
＝200，求飞机A到控制点B的距离.(参考数据：sin 200 ≈0.3,cos 200 ≈0.9，tan 200 ≈0.4精确到1米）
水平线
A
地面
B
C
拓 展 提 高
小玲家对面新造了一幢图书大厦，小玲在自家窗口A处 测得大厦顶部B的仰角为460，大厦底部D的俯角为290，
在练习本上画一画。 弄清这两个概念需强调什么?
仰角和俯角
在进行测量时， 从下向上看，视 线与水平线的夹 角叫做仰角；
从上往下看，视 线与水平线的夹 角叫做俯角.
铅
垂
线
视线
仰角 俯角
水平线
视线
如图，BCA=DEB=90，
FB//AC // DE，
F
B
从A看B的仰角是_∠__B_A_C_；
从B看A的俯角是 ∠FB。A
a
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系:
Ａ
bＣ
a sinA＝ c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
我能解决这个问题吗？
发散思维：你能利用 所学知识测量出图中 旗杆的高度吗？ 你的方案是什么？
自学导航：
自学课本113— 114页，并解决问题1：（时间2分钟）
1. 什么是仰角、俯角？
当代世界第七大奇迹之一----港珠澳大桥
当代世界第七大奇迹之一 ----港珠澳大桥
华东师大版九年级上册
24.4.2解直角三角形
我知道什么？ຫໍສະໝຸດ 1.解直角三角形在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (至少有一个元素是边)
可以求得这个三角形的其他三个元素.
Ｂ
2.解直角三角形的依据(如图)
c
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
在RtABE中,
tan AEB
AB
BE
A
AB BE tanAEB
B 90° 24 1.5
C
30° E D
BE tan 30 24 3
3 8 3
AC AB BC
8 3 1.5 15.4(米)
答：旗杆的高为15.4米。
典型例二
如图，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=120
量得两幢楼之间的距离为32m，请问大厦有多高？（
参考数据：tan460≈1.03，tan290≈0.56，结果精确到1m )
：
460 290
解：在Δ ABC中，∠ACB =900
∠CAB =460 AC=32m
tanCAB BC AC
BC AC tan 46
33.1
在Δ ADC中 ∠ACD=900
∵ ∠CAD=290 AC=32m
tanCAD DC AC
DC AC tan 29
17.7
∴BD=BC+CD≈33.1+17.7≈51（米）
答：大厦高BD约为51米.
460 290
解题方法小结：
1、首先要弄清题意，结合实际问题中的示 意图分清题目中的已知条件和所求结论。 2、找出与问题有关的直角三角形，或通过 作辅助线构造有关的直角三角形，把实际问 题转化为解直角三角形的问题。 3、合理选择直角三角形的元素之间的关系 求出答案。