引力场中的高斯定理
高斯定理在万有引力场中的应用
与静电场相似 , 任何物体的周围空间都存在引力场 , 万有引力是通过引力场来传递的 。在静电场中 , 我
们用电场强度来描述电场中某点性质 , 同样 , 在引力场中 , 我们可以把场中每点的 F / m 定义为该点的引力
※
场强度 , 用Eg 表示 , 即
※
Eg
=
F m
(1)
※
其中 m 为试探质点质量 , F 为试探质点在某点受到的引力 , Eg 即为该点的引力场强度 , 简称引力场强 。
16
(湖南人文科技学院 物理与信息工程系 , 湖南 娄底 417000)
摘 要 :通过类比万有引力场和静电场 , 给出了引力场强度的概念 , 在此基础上 , 将静电 场中的高斯 定理推广 到万有引 力场中 , 并利用它分析了两个具体问题 , 说明了利用高斯定理可以简化具有对称性的引力场的相关 计算 。
场中任一闭合面的引力场通量等于该曲面内所有物体的质量和乘以 4πG 的负值 , 即 :
可以看出 ,(6)式同静电场的高斯定理
∑ ※
※
Eg·d S =-4πG mi
S
i =1
(6)
∑ S
※
E·dቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
※
S
=
1 ε0
qi
i
(7)
非常相似 ,(6)式中的常数 4πG 相当于(7)式中的常数 ε10 ,(6)式中的 mi 相当于(7)式中的 qi 。 下面举例说明 :当质量分布具有某些特殊的对称性 , 从而使相应的引力场分布也具有一定的对称性
过 P 点作一半径为 r , 高为 l 的同轴闭合圆柱面 , 则通过此闭合面的引力场通量
= 侧 + 上底 + 下底 =-Eg2πrl +0 +0 =-Eg2πrl 上式不论 P 点在柱面外(r > R)或在柱面内(r < R)都适用 。
引力场中的高斯定理在计算煤矸石重量方面的应用
｛ 。 ＝￣ ｐＶ ｇｄ ４ Ｇｌｄ ． ｓ ｒ
其中， ｇ为 引力场 强 度 ， Ｇ为， 为地球的体积元． ｄ 上式的意义是 ： 通过任一闭合曲面的引力场强
１ 引力场 中的高斯定理
收稿 日期 ： ０ ９ １— ０ ２０ — ２ １
，
则
就表 示 单位 质 量 的质 点在 该 点所 受 到 的
力定律只适用于质点． 星体虽然很大 ，但满足上述
条件 ， 能 直接 应用 ． 球 表 面和矿 井 里 的石 块 不 故 地
引 力Ⅲ 它是 一个 与 物体 质量 无关 的物理 量 ， ， 叫做 该
点的引力场强度 ， ｇ 用 来表示 ， 即
度通量 ，等于该曲面所包 围的所有质元质量 的代数
作者简介： 李颢 （９ ３ ） 女 ， １６一 ， 山东临沂 人 ， 助理实 验师 ， 究方 向：物理实验 研
山西大 同大学学报（ 自然科学 版）
和乘以 ４ Ｇ 这就是引力场中的高斯定理． ￣ ， ｒ
关系 不成立 ，而是 与质点 离地心 的距 离成 正 比，即
文章 编 号 ： ６ ４ ０７ （０ ０ ０ ～ ０ ９ ０ １７ — ８４ ２ １ ） １０ ７— ２
引力场 中的高斯定理在计 算煤矸石重量 方面的应 用
李 颢
（ 山西 大 同大 学工 学 院 ， 山西 大 同 ０ ７０ ） ３０３
摘 要： 文章根 据引力场与静 电场的相似性 ， 出了计 算地球 内质点所受引力的新方法 ，即引力场中的高斯定 提
即地心处的质点所受地球 的万有引力 的合力为零 （ 不受 力 ） 或 ．
（ ） 地球表 面 附近 ，ｒＲ 时 ， ２在 ＝ 有
Ｇ ，
等． 以地心为球心 ， 为半径作一球面， 故 ｒ 即高斯面． 根 据高斯 定理 有
万有引力场中高斯定理应用举例
g ∙ ds =
上底
g ∙ ds +
下底
g ∙ ds +
侧面
g ∙ ds（19）
圆柱面的上下底面由于 g 的方向与 dS 方向处处垂直,故通量为 0。在圆柱的侧面,g 的 方向与 dS 方向处处夹 180 度角,且侧面上各点的 g 大小相等。因此 Φg =
s
g ∙ ds =
侧面
g ∙ ds = −g ∙
cos θ dy r2 sin θ dy r2
=
Gm 0 ρ a
(cos θ1 − cos θ2 )
(16)
=
Gm 0 ρ a
(sin θ2 − sin θ1 )
(17)
方向沿 y 轴负向;当a ≪ L L 为细杆的长度 时,细杆可视为无限长,这时有θ1 = 0，θ2 = π。于 是有： Fy = 0，Fx =
侧面
ds = −g ∙ 2πrl
(20)
高斯面内包围的质量 mi = ρl,由引力场的高斯定理得到：
图2
−g ∙ 2πrl = −4πGρl g=
2G ρ l
(21)
方向垂直于细竿沿着径向指向细杆。于是高斯面上质量为m0 的质点受到的引力大小为： Fx =
2Gm 0 ρ a
(22)
方向垂直细杆沿着径向指向细杆。 这和方法(1)得到的结果相同。比较两种方法可知:应用引力场中的高斯定理大大简化了 繁琐的运算。
`赤峰学院本科学年论文
利用牛顿万有引力定律和微积分求解问题
1.如图 1,有一质量分布均匀的无限长细杆,其单位长度上的质量为ρ,细杆外距离细杆 为 a 处有一质量为m0 的质点。求质点受到的细杆的万有引力。 解： 建立如图所示的坐标系,在 y 轴上选取长度为 dy 的质量微元 dm,则 dm=ρdy,质点m0 受到该质量微元 dm 的引力大小为 dF = G
高斯定理在空间对称引力场中的应用重点讲义资料
本科毕业论文题目：高斯定理在空间对称引力场的应用姓名：石宇学号：20120341006 院别：工程技术学学院专业：物理学年级：2012级1班指导教师：黄永超目录1引言 (1)2引力场建立的背景及初步认识 (2)2.1引力场建立的背景 (2)2.2引力场的初步认识 (2)3静电场中高斯定理的理解与应用 (3)3.1静电场中高斯定理的理解 (3)3.1静电场中高斯定理的应用 (4)4静电场与万有引力场的分析与类比 (5)4.1静电场与万有引力场的分析 (5)4.2静电场与万有引力场的类比 (6)5高斯定理在空间对称引力场中的应用 (8)5.1质量分布具有球对称性 (8)5.2质量分布具有轴对称性 (9)5.3质量分布具有面对称性 (10)6结束语 (11)参考文献 (12)致谢 (13)摘要在静电场中，当电荷具有某种对称性时，场强的计算可以通过应用高斯定理而简化计算。
所以，本文将通过比较静电场和引力场，从而用类比的方法把静电场中高斯定理的形式推广到万有引力场中。
在此基础上，通过万有引力场中的“高斯定理”，从而解决在空间对称引力场中的相关问题。
关键词：高斯定理；万有引力；空间对称引力场；应用AbstractIn the electrostatic field, when the charge has a certain symmetry, the field strength calculation can be calculated by applying the simplified Gauss theorem. Therefore, this article will compare the electrostatic field and the gravitational field, which by analogy method to form an electrostatic field Gauss theorem to the gravitational field. On this basis, through the gravitational field of the "Gauss theorem" to solve symmetric gravitational field in space related issues. Learn gravitational field Gauss theorem space symmetry.Key words: Gauss theorem; gravitation; space symmetric gravitational field; application1引言高斯定理也叫作高斯公式，或叫作散度定理、高斯散度定理、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式、奥氏定理或高－奥公式（通常情况下高斯定理都是指该定理，也有其它同名定理）。
引力场中的高斯定理
引力场中的高斯定理引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏微分）方程——拉普拉斯方程.用ψ代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂z2）ψ(x,y,z)=0.由于相应的静电力和引力等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即ψ（r）∝1/r,F(r)=- dψ/dr∝1/r2由于万有引力定律与Coulomb,s law本质是一样的，因此引力场中也存在高斯定理，并且与万有引力定律等价.Ⅰ、预备知识引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致.引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线.引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元ΔS与该点的场强方向垂直，设穿过ΔS 的引力线有ΔN根，则比值ΔN/ΔS叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的引力线根数，规定引力场场强E∝ΔN/ΔS.引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在.一个质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线.引力通量：通过一面元ΔS的引力通量为该点场强的大小E与ΔS在垂直于场强方向的投影面积ΔS′=ΔScosθ的乘积.Ⅱ、通过一个任意闭合曲面S的引力通量φ=4πG∑m，与闭合曲面外的引力质量无关.证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4πGm.以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面.根据万有引力定律,在球面上各点场强大小一样E=G m /r2,场强的方向沿半径向外呈辐射状.在球面上任意取一面元dS，其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角θ=0，所以通过dS的引力通量为dφ=EcosθdS=EdS= G m /r2dS,通过整个闭合球面的引力通量为φ=dS= G m /r2×4πr2=4πGm.（2）通过包围质点的任意闭合曲面S的引力通量都等于4πGm在闭合面S内以质点m所在处O为中心作一任意半径的球面S′，根据（1）通过此球面的事情感兴趣,要勤奋地工作!”。
高斯定理在万有引力场中的应用
高斯定理在万有引力场中的应用
高斯定理是物理学界以及数学界较为重要的定理之一，它可以被广泛地用于万有引力场的研究中。
首先，我们需要了解高斯定理的核心部分——高斯梯度定理：它指出了引力场的数学表示和图像的梯度的空间表示之间的联系，即：万有引力场的空间表示有一个正定的悬赏函数，和任意点的梯度之间存在明确的联系，此外，这个悬赏函数的倒数是一个完全定义的单值函数，接下来，我们就可以用这个悬赏函数来求出万有引力场的强度以及各种有关物理量。
另一方面，万有引力场对空间上某点上发生的结构变化也有着重要的影响，它可以通过高斯梯度定理来计算这种变化。
高斯梯度定理中，梯度是一个十分重要的概念，它是三维空间中某点处的万有引力场变化速率。
对此，高斯定理可以让我们通过知道梯度 at 点 P 的方向和大小来推断出空间上某个点处的引力场的强度和变化情况，也就是我们可以根据某点的梯度来计算出空间上的点的引力场的强度以及计算出不同空间上的点之间的引力场是否在变化。
至此，我们可以看出，高斯定理在万有引力场的有效应用中发挥了重要作用，它提供了万有引力场变化情况的推断，可以让我们很快的分析出物体之间的引力场变化情况，这样使我们可以进一步研究万有引力场，更好的理解它。
此外，高斯定理也有许多其它的应用，例如他可以用于空气动力学，静电学以及地学等领域。
引力场中高斯定理的应用
引力场中高斯定理的应用王宁;孙彩霞;齐玉红【摘要】本文用类比的方法将静电场中的高斯定理的形式推广到万有引力场中,从而引出万有引力场中的"高斯定理".通过万有引力场中的"高斯定理",将某些质量分布具有对称性的物体引起的引力场强的计算得到简化.【期刊名称】《山东轻工业学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2010(024)004【总页数】3页(P78-80)【关键词】万有引力定律;万有引力场强;类比;高斯定理【作者】王宁;孙彩霞;齐玉红【作者单位】黄河科技学院实验中心,河南,郑州,450006;黄河科技学院数理部,河南,郑州,450006;郑州大学,河南,郑州,450006【正文语种】中文【中图分类】O314万有引力是自然界普遍存在的作用力,宇宙之中,小到微观粒子,任何有质量的物体与物体之间都存在着相互吸引的力,这种力就称为万有引力[1]。
假设有两个质点,质量分别为m1和m2,相隔距离为 r.那么它们之间相互作用的万有引力用矢量形式表示根据实验测定G=6.67×10-11m3·kg-1·s-2,负号表示和方向相反。
在万有引力的周围存在着引力场,那么我们可以利用万有引力定律以及微积分的知识能解决引力场场强的求解问题,但是计算却是一个相当繁琐的过程。
那么能不能够用简单的方法求解出质量分布具有对称性的物体的引力场强呢?在此我们引入万有引力场中的高斯定理求解问题。
我们知道万有引力定律和库仑定律都是平方反比定律,两者的形式非常相似,而静电场中的高斯定理是库仑定律和叠加原理的必然结论[2]。
那么利用万有引力定律和叠加原理也可以得到引力场中的高斯定理。
通过引力场中的高斯定理,来解决一些具有对称性物体的引力场强问题时,可以大大简化复杂的积分计算,非常方便。
通过对万有引力场和静电场来做类比,得到任意闭合曲面内的万有引力场的高斯定理,万有引力场强通量是否具有静电场中高斯定理的形式呢?我们来加以推导。
万有引力与高斯定理--类比在物理学中的应用
万有引力与高斯定理--类比在物理学中的应用
万有引力定律和高斯定理是两个非常重要的物理概念，它们分别描述了物体间的引力和电场的分布。
虽然它们描述的是不同的物理现象，但它们之间有着深刻的类比关系。
在物理学中，高斯定理经常用来计算电场或者磁场的分布，而万有引力定律则用来描述天体之间的引力作用。
然而，这两个定理的数学形式却非常相似，因此它们在物理学中经常被类比使用。
例如，在研究地球上的引力问题时，可以使用与高斯定理类似的方法来计算引力的分布。
具体而言，可以将地球看作是一个非常大的球体，对球心外的任意一点上的引力进行积分，从而得到该点的引力大小和方向。
这个积分过程与高斯定理类似，只不过换成了引力场的积分。
同样的方法也可以用来描述其他天体之间的引力作用。
例如，在计算行星之间的引力时，我们可以将每个行星看作是一个点电荷，然后利用高斯定理类似的方法来计算电场强度的分布。
除了在计算引力场和电场分布时，万有引力定律和高斯定理还可以在其他物理学问题中相互类比使用。
例如，在研究气体分子运动时，我们可以将分子间的相互作用看作是引力作用，然后用类似于高斯定理的方法来计算分子间的引力和方向。
这种方法被称为分子动力学模拟，在化学、材料科学、生物学等领域均有重要应
用。
总之，万有引力定律和高斯定理虽然描述的是不同的物理现象，但它们之间的数学类比关系使得它们在物理学的各个领域中都具有广泛的应用。
引力场中的高斯定理
大学物理课程作业-高斯定理
白晓宇
5130369070
类比电场中的电场强度E 的定义，
定义引力场强度E g ，引力场中一场点的引力场强度等于该点处的单位质量质点所受的引力。
类比电场中的电通量Φ的定义，定义引力通量Φg 为通过电场中任意曲面的引力场线的条数。
那么，就有引力场中的高斯定理如下：
若质量分布是连续分布，则：
Φg =∯ ∙ 4 ∭
若是一系列质点的集合，则：
Φg =∯ ∙ 4 ∑
类比高斯定理在电场中的推导过程，推导引力场中的高斯定理。
（1） 在封闭曲面内单个质点的引力场：
以该质点所在位置为球心，以R 为半径做一个球面S 0,该球面处于封闭曲面S 内。
又质点的引力场强度，根据其定义，为E g=
,关于球心对称，所以通过球面与封闭面的
引力场线相同，又球面上各处的引力场强度大小处处相同，所以：
Φg =∯ ∙ ∯
=4πGm
（2） 在封闭曲线外单个质点的引力场：
因为有一条引力线自外穿进封闭面的同时，必定有一条引力场线穿出封闭面，所以对封闭曲面外的单个质点，其引力通量
Φg =0
（3） 对于任意体系的引力场：
设有n 个质点组成的质点系，部分质点在封闭面内，部分质点在封闭线外按照场强叠加原理，可知：
Φg =∯ ∙ 4 ∑
对于质量任意连续分布的物体，可以将其看成是无限个质点的集合，此时有：
Φg =∯ ∙ 4 ∭
引力场中的高斯定理成立。
高斯定理在万有引力场的推广
。垂 一
ｒ ＞ Ｒ Ｕ ￣， ｇ ｇ＝
ｌ
一
（ １ ） 单个质点： ｇ
。
（ ２）均匀质量球壳 ：当ｒ ＜ Ｒ 时， ｇ ｏ；当 Ｒ 时， ｇ （ ３ ）均匀质量的实心球体 ：当ｒ ＜ Ｒ 时，ｇ
。
（ 相 当于 质 量集 中在 球壳 中心 ）。
ｒ ；当
（ ４ ） 无 限 长 的 棒 ： ｇ 去 （ 表 示 质 量 的 线 密 度 ） 。
（ ４） 无限 长的棒 ： ， ＝ ～Ｉ ｎ （ 表示质 量的线 密度 ） 。 ｒ
（ ５） 无 限大 的平 面 ： （ ｒ ｔ 一， ： ） 。
但正方向为从内到外，与季实际方向相
对于 球状 质 点 系 ，通过 单位 表 面 积的 引 力通 量是
：
Ｓ业技 术 学 院 赵 三平
法 、定 义 、推 导 、延伸 、推广 ，在 万有 引力
场 中取 得 一 系列 重 要 的 发 现 和 应 用 。
１ 问题 的 提 出
３ 对 万 有 引 力 场 中 的 高 斯 定 理 的 应 用
应 用一 ：求 万 有 引力场 场 强 。
４７ Ｅ ｒ
…
（ ６） 两个无限大的平行平面 ：两板之间
＝
ｒ ；两板
（ １ ） 万 有 引力通 量 ，
＝一 ｆ 』 ｇ ｃ 。 ｓ ０ Ａ ｓ （ 注 意 负 号） ．
ｓ
两（ 外） 边 ． ： ＝÷一 （ ｒ 一 ， ： ） （ 表示质量的面密度 ） 。
现 这种 反物 质 ， 为公 式 中的质 量和 是 代数 和 。
Ｇ
‘
ｄ Ｓ ＝Ｇ
‘ Ｓ
４ 结 语
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四. 引力场中的高斯定理
引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏微分）方程——拉普拉斯方程。
用ψ代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（¶2/¶x2+¶2/¶y2+¶2/¶z2）ψ(x,y,z)=0.由于相应的静电力和引力等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即ψ（r）∝1/r,F(r)=- dψ/dr∝1/r2由于万有引力定律与Coulomb,s law 本质是一样的，因此引力场中也存在Gauss， theorem，并且与万有引力定律等价。
1、预备知识
引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致。
引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线。
引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元ΔS与该点的场强方向垂直，设穿过ΔS的引力线有ΔN 根，则比值ΔN/ΔS叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的引力线根数，规定引力场场强E∝ΔN/ΔS。
引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在。
一个质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线。
引力通量：通过一面元ΔS的引力通量为该点场强的大小E与ΔS在垂直于场强方向的投影面积
ΔS`=ΔScosθ的乘积。
2、引力场中的Gauss， theorem
通过一个任意闭合曲面S的引力通量φ=4πG∑m，与闭合曲面外的引力质量无关。
证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4πGm。
以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面.根据万有引力定律,在球面上各点场强大小一样E=G m /r2,场强的方向沿半径向外呈辐射状。
在球面上任意取一面元dS，其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角θ=0，所以通过dS的引力通量为dφ=EcosθdS=EdS= G m /r2dS,通过整个闭合球面的引力通量为φ=dS= G m /r2×4πr2=4πGm。
（2）通过包围质点的任意闭合曲面S的引力通量都等于4πGm
在闭合面S内以质点m所在处O为中心作一任意半径的球面S``，根据（1）通过此球面的引力通量等于4πGm。
由于引力场分布的球对称性，这引力通量均匀地分布在4π球面度的立体角内，因此在每个元立体角dΩ内的引力通量是GmdΩ。
如果把这个立体角的锥面延长，使它在闭合面S上截出一个面元dS。
设dS到质点m的距离为r，dS的法线n与场强E的夹角为θ，则通过dS的引力通量
dφ=EcosθdS=Gm/r2cosθdS, cosθdS= dS`是dS在垂直于场强方向的投影面积，所以dφ=EdS`= G m /r2dS`= GmdΩ。
所以通过面元dS的引力通量和通过球面S``上与dS对应的面元dS``的引力通量相等，所以通过整个闭合面S的引力通量都必定和通过球面S``的引力通量一样，等于4πGm。
（3）通过不包括质点的任意闭合面S的引力通量恒为0。
因为单个质点产生的引力线是辐向的直线，它们在空间连续不断。
当质点在闭合面S之外时，从某个面元dS上进入闭合面的引力线必然从另外一个面元dS`上穿出，而这一对面元dS和dS`对质点所张的立体角相等，通过dS的引力通量和通出dS`的引力通量的代数和为0，通过整个闭合面S的引力通量是通过这样一对对面元的引力通量之和，当然也是等于0的。
（4）多个质点的引力通量等于它们单独存在时的引力通量的代数和。
设物体有m1.m2.m3…mk个质点，其中第1到第n个被高斯面S所包围，第n+1到第k个在高斯面之外，则k个质点同时存在时通过S的引力通量为
φ=φ1+φ2+φ3+…+φn+φn+1+…+φk=φ1+φ2+φ3+…+φn=4πG(m1+ m2+…+ mn)= 4πG∑m.。