第十节 位移分量与应变分量 几何方程
1.11-位移分量与应变分量-几何方程
1.11-位移分量与应变分量-几何方程第十节位移分量与应变分量几何方程由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。
第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。
第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体变形引起的位移，称为变形位移。
一般来说，上述两种位移是同时出现的，当然对于弹性力学的研究，主要是讨论后一种位移，因为变形位移与弹性体的应力有着直接的关系。
根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。
那么弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'），这一过程也将是连续的,如图11.1所示图10.1在数学上，x'，y'，z'必为x，y，z的单值连续函数。
设MM'=S为位移矢量，其三个分量u，v，w为位移分量。
则u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）显然，位移分量u，v，w也是x，y，z的单值连续函数。
以后的分析将进一步假定位移函数具有三阶连续导数。
为进一步研究弹性体的变形情况，假设从弹性体中分割出一个微分六面体单元，其六个面分别与三个坐标轴垂直。
对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化。
弹性力学分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
对于微分平行六面体单元，设其变形前与x，y，z座标轴平行的棱边分别为MA，MB，MC，变形后分别变为M'A'，M'B'，M'C'。
应变分析
应变增量强度（等效应变增量）
d i
2 3
d1 d 2 2 + d 2 d 3 2 + d 3 d1 2
2 3
d x d y
2+
d y d z
2+
d z d x
2+3 2
d
2 xy
+
d
2 yz
+
d
2 zx
六、对数应变
❖ 当应变较大时，考虑一截面积为A0、长为l0 的杆，受力后 长为l ，截面积为A，当杆伸长dl 时，应变增量为：
z
1 2
zx
zx ＝ xz
1 2
xy
y
1 2
zy
1 2 1 2
xz yz
z
ij yxx
xy y
xz yz
zx zy z
I1 1 + 2 + 3 I2 1 2 + 2 3 + 31
I3 1 2 3
➢ 一点的应变状态完全由应变张量确定
❖任一方向上的正应变： N (l, m, n)
v
B1 y + B2 xy +
1 2
B3
y
2
+
f2 ( x)
xy
v x
+ u y
B2 y +
A3 x
+
df1 ( y) dy
+
df2( x) dx
C1 + C2 x + C3 y
df2( x) dx
+
(
A3
C2 )x C1
df1 ( y) dy
( B2
几何方程应变分量与位移分量之间的关系
x yx
xy y
s
l m
f f
x y
l
1 (
)
x
s
fx
m
0 (
)
xy
s
f
y
(2).上下两面
l
0 (
)
y
s
fy
m
1 (
y x) s
f
x
o
x
上面：l=0，m=-1
叠加原理
• 叠加原理：两组外力同时作用在物体上 所产生的结果等于他们分别作用产生的 结果之和。
• 证明概要：只需注意方程都是线性的， 同时边界条件也是线性的即可。
• 推广：以上两组外力可以推广到n组外力。 • 分解原理：根据叠加原理，可以把原问
题分解成几个简单的问题单独求解。
§2-7.圣维南原理(局部性原理)
• 表述－2：在没有初始应力的情况下，弹性力学 边值问题的解在相差一组刚体位移的意义下是唯 一的。
• 证明概要：只要证明在体力和面力都为零的情况 下，边值问题只可能有零解(应力、应变和位移 全为零)。后者则需要用到应变能的概念。
• 据此，任何一组应力应变和位移，如果它们确能 满满足方程和边界条件，就肯定是该问题的解。
一.位移边界条件
在位移边界问题中，物体在全部边界上的位移
分量是已知的，即： 式中：
us
u , vs
v （２～１４）
us、vs —是位移的边界值；
u、v — 边界上坐标的已知函数或边界上
已知的位移分量。
第10章 应变理论
图10-2 变形体内无限接 近两点位移分量及位移增量
§10.1 位移及其分量
u u u du dx dy dz x y z v v v dv dx dy dz x y z w w w dw dx dy dz x y z
（1）
dx dy dz l ,m ,n r r r
r dx dy dz
2 2
2
将(1)式展开减去r2并略去dr、du、dv、dw的平方项整理变形得：
du dv dw r l m n r r r
因 ui
（2）
ui ( x, y, z) ， 则：
§10.4 应变分析
应变：应变(或称变形的大小描述)是指物体变形时
任意两质点的相对位置随时间发生变化。
图 10-3
任意方向上任取两质点，放在空间坐标系中，连接两点
构成一个向量 MN，当物件发生变形时，向量的长短及方 位发生变化，此时描述变形的大小可用线尺寸的变化与 方位上的改变来表示，即线应变(正应变)与切应变(剪应 变)。
rz
rX
x
r r
x
Δ rX
x
r r
y y
xy
ry
y
r r
z z
yx xy
z
1 1 1 （ ） 2 2 2
yx xy yx
xy yz zy yz zy yz
1 1 1 （ ） 2 2 2 1 1 1 （ ） 2 2 2
1 Vi V j 1 dt d ij (V j dt ) (Vi dt ) 2 x 2 x x x i j j i
应变分量与协调方程
C C u ( x, y dy ) u yx tan yx AC dy (v( x, y dy ) v) u y dy u 1 vy dy y v u xy xy yx tan xy tan yx x y
如通过积分，计算出
u u0 v v0 w w0
0 x P0 P
x dx ( xy z )dy ( xz y )dz
1 1 ( xy z )dx y dy ( yz x )dz 2 2 1 1 ( xz y )dx ( yz x )dy x dz 2 2 x x x dx dy dz x y z y x dx y y dy y z dz
应变
由于外部因素（载荷或温度），物体内部 各点空间位置发生变化。各点位置变化量称为 位移。 位移形式 • 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持 初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变 了物体内部各个点的相对位置。
M’(x’,y’,z’) M(x,y,z)
x ' x u u x, y , z z ' z w w x, y , z y ' y v v x, y , z
几何方程
位移分量和应变分量之间的关系
u x x v u xy x y v y y w z z
yz
w v y z
zx
u w z x
几何方程又称柯西方程
微分线段伸长——正应变大于零 微分线段夹角缩小——切应变分量大于零
•应变张量一旦确定，则任意坐标系下的应变
1.2 应变分量与协调方程
位移u，v，w是单值连续函数
进一步分析位移函数具有连续的三阶导数
一点的变形通过微分六面体单元描述
微分单元体的变形，分为两部分讨论
正应变——棱边的伸长和缩短 切应变——棱边之间夹角（直角）改变
u u x dx, y u x, y dx x u u x, y dy u x, y dy y u v x dx, y v x, y dx x v v x, y dy v x, y dy y
体变形的约束
• 例1 设 x 3x, y 2y, xy xy, z xz yz 0,求 其位移。 • 解： u 3 2
x x 3x
u
2
x f ( y)
y
v 2y y
v y 2 g ( x)
xy
v u f ' ( y ) g ' ( x) xy x y
2 2
2 xy
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
将几何方程的四，五，六式分别对z，x， y求一阶偏导数 前后两式相加并减去中间一式，则
xz xy 2u 2 x y z yz yz
1 u x 2 vx 2 1
正应变
u x
v x dx v tan 1 1 u x dx x
u tan 2 1 v y dy y u y dy
xy
v u 1 2 tan1 tan 2 x y
du u u u 1 1 dx dy dz x dx ( xy z )dy ( xz y )dz x y z 2 2
结构力学：第十章 矩阵位移法
§10-2 单元刚度矩阵
3. 其他单元的单元刚度矩阵
(1) 平面桁架单元
Fxei 0 Fxej 0
EA
l 0 EA l 0
0 0 0 0
EA l 0
EA
l 0
{δe} uie
vie
u
e j
v
e j
T
{Fe} Fxei
0
Fxej
Fxei
Hale Waihona Puke FyeiMe i
=
Fxej
Fyej
M
e j
EA l
0
0
EA
l
0
0
0
12EI
l3 6EI
l2
0
12EI l3
6EI
l2
0
6EI l2 4EI
l
0
6EI l2
2EI
l
EA l 0
0 EA l 0
0
00
u
e i
12 l
EI
3
6EI l2
6EI
l2
2EI
6EI l2
2
F62
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F23
6EI l2
3
F53
F33
4EI l
3
F63
2EI l
3
§10-2 单元刚度矩阵
单一位移时的单元杆端力
F14
EA l
4
F44
EA l
4
F35
6EI l2
5
F65
F55
12EI l3
5
F25
弹塑性力学与有限元：2 应变分量与协调方程
由于外部因素（载荷或温度），物体内部 各点空间位置发生变化。各点位置变化量称为 位移。 位移形式 • 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持
初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变
了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
B
'
x
dx
u
u x
dx,
y
v
v x
dx
AB dx
A'B'
dx
u x
dx
2
v x
dx
2
A' B ' AB
x
AB
dx
u x
2
dx
v x
2
dx
dx
dx
1
u x
2
v x
2
1
1
u x
2
1
x轴方向正应变
x
u x
根据小变形假设，u , v
是微量，故
x x
1
u x
v x
y ux 2 1 vx 2 1 1 vx 2 1
vx
v y
y轴方向正应变
y
v y
tan 1
vxdx
1 ux dx
v x
tan2
u y dy 1 vy dy
u y
xy
1
2
tan 1
tan 2
v x
u y
x-y面上切应变
xy
弹塑性力学与有限元：2 应变分量与协调方程
刚体位移：所有应变为零时的位移
x
u x
0
y
v y
0
z
w z
0
xy
v x
u y
0
yz
w y
v z
0
zx
u z
w x
0
x
u x
0
y
v y
0
z
w z
0
u f1y, z v f2 x, z w f3x, y
2
f1y,
y 2
z
0
对y求导
f2x, z f1y, z 0 对x求导
x
y
2
f 2 x,
x2
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
变形位移：位移不仅使 得位置改变，而且改变 了物体内部各个点的相 对位置。
位移u，v，w是单值连续函数，进一步分析 位移函数具有连续的3阶导数。
初始状态相对位置不变。 • 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变
了物体内部各个点的相对位置。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
刚体位移：物体内部 各点位置变化，但仍 保持初始状态相对位 置不变（无变形）。
M(x,y,z)
M’(x’,y’,z’)
x' x u u x, y, z y' y v v x, y, z z' z w w x, y, z
第三章力学位移和应变分析
x， y，z
称为转动分 量
p, q, r代表此微分体的刚性转角
故六个应变分量和三个转动分量可以使物体内某点变 形的几何形象表示完全。
二、物体内无限邻近两点位置的变化
设物体内无限邻近的两点A和B,它们的坐标分别为：
A （x,y,z） B(x+dx,y+dy,z+dz)
变形后，它们到A’和B’ 若A点的位移矢量用u(x,y,z),v (x,y,z), w(x,y,z)表示 则B点的位移矢量用u’,v’,w’表示
说明：
u
P
B
dx A
u u dx x v v dx x
v
dy y
A B
v v dy y
（1） 反映任一点的位移与该点应变间的
u u dy y
关系，是弹性力学的基本方程之一。
当 u、v 已知，则 x , y , xy 可完全确定；反之，已知 x , y , ， xy （ 2） 不能确定u、v。 （∵积分需要确定积分常数，由边界条件决定。）
tan yx
tan xy
v v dx v x v yx dx x
u u dy u y u dy y
xy
1 v u r ( ) 2 x y
r是对角线MQ绕z轴转动的角度。
yx xy , 则r为正号，表示沿逆时针转动；
1 1 1 1 u =u+ x dx xy dy xz dz z dy y dz 2 2 2 2 1 1 1 1 v= v xy dx + y dy yz dz x dz z dx 2 2 2 2 1 1 1 1 w =w zx dx yz dy + z dz y dx x dy 2 2 2 2
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第十节位移分量与应变分量几何方程由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响，物体内各点在空间的位置将发生变化，就是产生位移。
这个移动过程，弹性体将可能同时发生两种位移变化。
第一种位移是位置的改变，但是物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变，这种位移是物体在空间做刚体运动引起的，因此称为刚体位移。
第二种位移是弹性体形状的变化，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，而且改变了物体内部各个点的相对位置，这是物体变形引起的位移，称为变形位移。
一般来说，上述两种位移是同时出现的，当然对于弹性力学的研究，主要是讨论后一种位移，因为变形位移与弹性体的应力有着直接的关系。
根据连续性假设，弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。
那么弹性体中某点在变形过程中由M（x，y，z）移动至M'（x'，y'，z'），这一过程也将是连续的,如图11.1所示图10.1在数学上，x'，y'，z'必为x，y，z的单值连续函数。
设MM'=S为位移矢量，其三个分量u，v，w为位移分量。
则u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）显然，位移分量u，v，w也是x，y，z的单值连续函数。
以后的分析将进一步假定位移函数具有三阶连续导数。
为进一步研究弹性体的变形情况，假设从弹性体中分割出一个微分六面体单元，其六个面分别与三个坐标轴垂直。
对于微分单元体的变形，将分为两个部分讨论。
一是微分单元体棱边的伸长和缩短；二是棱边之间夹角的变化。
弹性力学分别使用正应变和切应变表示这两种变形的。
对于微分平行六面体单元，设其变形前与x，y，z座标轴平行的棱边分别为MA，MB，MC，变形后分别变为M'A'，M'B'，M'C'。
假设分别用εx, εy, εz表示x，y，z轴方向棱边的相对伸长度，即正应变；分别用γxy, γyz, γzx表示x和y，y和z，z和x轴之间的夹角变化，即切应变。
则对于小变形问题，为了简化分析，将微分单元体分别投影到Oxy，Oyz，Ozx平面来讨论。
显然，单元体变形前各棱边是与坐标面平行的，变形后棱边将有相应的转动，但我们讨论的是小变形问题，这种转动所带来的影响较小。
特别是物体位移中不影响变形的计算，假设各点的位移仅为自身的大小和形状的变化所确定，则这种微分线段的转动的误差是十分微小的，不会导致微分单元体的变形有明显的变化。
首先讨论Oxy面上投影的变形。
设ma，mb分别为MA，MB的投影，m'a'，m'b'分别为M'A'，M'B'，即变形后的MA，MB的投影。
微分单元体的棱边长为d x，d y，d z，M点的坐标为（x，y，z），u（x，y，z），v(x, y, z)分别表示M点x，y方向的位移分量。
则A点的位移为u(x+d x，y，z），v(x+d x，y，z）,B点的位移为u(x，y+d y，z），v(x，y+d y，z）。
按泰勒级数将A，B两点的位移展开，并且略去二阶以上的小量，则A，B点的位移分别为因为所以同理可得由此可以得到弹性体内任意一点微分线段的相对伸长度，即正应变。
显然微分线段伸长，则正应变εx, εy, εz大于零，反之则小于零。
以下讨论切应变表达关系。
假设βyx为与x轴平行的微分线段ma向y轴转过的角度，βxy为与y轴平行的mb向x轴转过的角度。
则切应变因为上式的推导中，利用了小变形条件下位移的导数是高阶小量的结论。
同理可得βyx和βxy可为正或为负，其正负号的几何意义为：βyx大于零，表示位移v随坐标x而增加，即x方向的微分线段正向向y轴旋转。
将上述两式代入切应变表达式，则同理可得切应变分量大于零，表示微分线段的夹角缩小，反之则增大。
综上所述，应变分量与位移分量之间的关系为上述公式称为几何方程，又称柯西方程。
柯西方程给出了位移分量和应变分量之间的关系。
如果已知位移，由位移函数的偏导数即可求得应变；但是如果已知应变，由于六个应变分量对应三个位移分量，则其求解将相对复杂。
这个问题以后作专门讨论。
几何方程给出的应变通常称为工程应变。
如果使用张量符号，则几何方程可以表达为则应变分量εij将满足二阶张量的座标变换关系，应变张量分量与工程应变分量的关系可表示为第十一节纯变形位移与刚性转动位移学习思路:应变分量通过位移的偏导数描述了一点的变形，对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。
但是这还不能完全描述弹性体的变形，原因是没有考虑微分单元体的刚体转动。
通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。
刚体转动通过转动分量描述。
刚性转动位移的物理意义：如果弹性体内某点没有变形，则无限邻近它的任意一点的位移由两部分组成，平动位移和转动位移。
如果发生变形，位移中还包括纯变形位移。
应变可以描述一点的变形，即对微分平行六面体单元棱边的伸长以及棱边之间夹角的改变做出定义。
但是这还不足以完全描述弹性体的变形，原因是应变分析仅仅讨论了棱边伸长和夹角变化，而没有考虑微分单元体位置的改变，即单元体的刚体转动。
通过分析弹性体内无限邻近两点的位置变化，则可得出刚体的转动位移与纯变形位移之间的关系。
设P点无限邻近O点，P点及其附近区域绕O作刚性转动，转过微小角度。
设转动矢量为ω，OP之间的距离矢量为ρ ，如图12.1所示图11.1则引入拉普拉斯算符矢量设P点的位移矢量为S，有S =u i +v j +w k由于位移矢量可以表示为S =ω×ρ ,所以即其中ωx, ωy, ωz为转动分量，是坐标的函数，表示了弹性体内微分单元体的刚性转动。
设M点的坐标为（x，y，z），位移（u，v，w）。
与M点邻近的N点，坐标为（x+d x，y+d y，z+d z），位移为（u+d u，v+d v，w+d w）。
则MN两点的相对位移为（d u，d v，d w）。
因为位移为坐标的函数，所以同理可得以上位移增量公式中，前三项为产生变形的纯变形位移，后两项是某点邻近区域的材料绕该点像刚体一样转动的刚性转动位移。
刚性转动位移的物理意义为，如果弹性体中某点及邻近区域没有变形，则无限邻近这一点的位移，根据刚体动力学可知，是由两部分组成。
分别是随这点的平动位移和绕这点的转动位移。
对于弹性体中某一点，一般还要发生变形，因此位移中还包括纯变形位移。
总的来讲，与M点无限邻近的N点的位移由三部分组成的：1．随同M点作平动位移。
2．绕M点作刚性转动在N点产生的位移。
3．由于M点及其邻近区域的变形在N点引起的位移。
转动分量ω x, ω y，ω z 对于微分单元体，描述的是刚性转动，但其对于整个弹性体来讲，仍属于变形的一部分。
三个转动分量和六个应变分量合在一起，不仅确定了微分单元体形状的变化，而且确定了方位的变化。
位移增量公式如果使用矩阵形式表示，可得显然，位移的增量是由两部分组成的，一部分是转动分量引起的刚体转动位移，另一部分是应变分量引起的变形位移增量。
第十二节应变的坐标变换与应变张量上一节我们引入了应变分量，本节将讨论不同坐标系下一点的应变分量的关系。
与坐标转轴时的应力分量的变换一样，我们将建立应变分量转轴的变换公式，即已知εij在旧坐标系中的分量，求其在新坐标系中的各分量εi'j'。
根据几何方程，坐标平动将不会影响应变分量。
因此只需坐标转动时的应变分量变换关系，设新坐标系Oxyz是旧坐标系Ox'y'z'经过转动得到的，如图13.1所示图12.1新旧坐标轴之间的夹角的方向余弦为如图所示，设变形前的M点，变形后移至M'点，设其位移矢量MM '=S，则所以,新坐标系的位移分量为，根据几何方程，根据复合函数的微分关系同理推导可得其余五个应变分量的变换公式，即如果以n ij（i，j=1，2，3）表示新旧坐标系之间的夹角的方向余弦，并注意到应变张量表达式，则上述应变分量变换公式可以写作εij=n ii' n jj' εij因此，如果将应变分量写作下列形式则应变分量满足张量变换关系。
与应力张量相同，应变张量也是二阶对称张量。
由公式可知，一点的六个独立的应变分量一旦确定，则任意坐标系下的应变分量均可确定，即一点的应变状态就完全确定了。
不难理解，坐标变换后各应变分量均发生改变，但它们作为一个整体，所描述的一点的应变状态是不会改变的。
第十三节体积应变本节介绍物体变形后的单位体积变化，即体积应变。
讨论微分平行六面体单元，如图14.1所示图13.1变形前，单元体的三条棱边分别为MA，MB，MC，长d x，d y，d z，其体积为：V=d x d y d z设M点坐标为（x，y，z），则A，B，C点坐标分别为（x+d x，y，z），（x，y+dy，z）和（x，y，z+d z）。
弹性体变形后，其三条棱边分别变为M'A'，M'B'，M'C'。
其中若用V'表示变形后的微分单元体体积，则将行列式展开并忽略二阶以上的高阶小量，则若用e 表示单位体积的变化即体积应变，则由上式可得x y z V V e Vεεε'-==++ 显然体积应变e 就是应变张量的第一不变量J 1。
因此e 常写作 u v w e x y z∂∂∂=++∂∂∂1J = 体积应变e 大于零表示微分单元体膨胀，小于零则表示单元体受压缩。
若弹性体内e 处处为零，则物体变形后的体积是不变的。
第十四节 主应变和应变不变量弹性体内任一点的六个应变分量，即应变张量随着坐标轴的旋转而改变。
因此是否可以像应力张量一样，对于某一个确定点，在某个坐标系下所有的切应变分量都为零，仅有正应变分量不等于。
即能否找到三个相互垂直的方向，在这三个方向上的微分线段在物体变形后只是各自改变长度，而其夹角仍为直角。
答案是肯定的。
在任何应变状态下，至少可以找到三个这样的垂直方向，在该方向仅有正应变而切应变为零。
具有该性质的方向，称为应变主轴或应变主方向，该方向的应变称为主应变。
设ε ij 为物体内某点在已知坐标系的应变张量，求其主应变ε 1，ε 2，ε 3 及应变主轴方向n 1, n 2, n 3。
设MN 为M 点的主轴之一，其变形前的方向余弦为l ，m ，n ，主应变为ε。
令d ρ 表示MN 的长度, 则MN 相对伸长为ε d ρ ，如图15.1所示图14.1设M 点的位移为（u ，v ，w ），则N 点的位移为（u +d u ，v +d v ，w +d w ）。