15-等比数列前n项和3ppt

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1 2500元 / 米 ，买房者首付总房价的 , 其余款 3 进行公积金贷款，每月 a万元0 a 1， 都还
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实际计算时都采用月利 率计算、按复利计算
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10年付清，问买房者每月 应还款多少？
说明:
解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读, 准确理解题意,尤其是一些关键词: “月利率”, “增加 (减少)多少”, “增加(降低)百分率”等; 理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化, 建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题 得到尽可能圆满的解答.
Sn a1 a2 an
例2 ．某制糖厂今年制糖5万吨，如果每年的 产量都比上一年增长10%，那么从今年 起几年内可以使总产量超过30万吨? 解： 设n年内可以使总产量超过30万吨
每年的产量an构成一个以11为公比的等比数列 ． 首项a1 5，公比q 11 ．
a1 (1 q ) 5(1 1.1 ) 总产量S n 30 1 q 1 1.1 n 1.1 1.6 n 4.93 n 5
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3 2 2 n 1 2 n an ( ) ( ) (n N *) 3 3 3 2 2 n [1 ( ) ] 3 3 2[1 ( 2 ) n ] (3) S n 2 3 1 2 n3 2 n 2 n 4 n an S n ( ) 2[1 ( ) ] 2 ( ) 2 ( ) 3 3 3 9 4 2 n 8 4 n [1 ( ) ] [1 ( ) ] 3 3 9 9 12 4 ( 2 ) n 8 ( 4 ) n Wn 2 4 5 3 5 9 1 1 3 9 16
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四、小结
1、等比数列与等差数列的类比思想． 2、等比数列计算中的整 体思想．
3、当公比q未知时，必须考察q是否可能为 ． 1 4、利用等比数列的求和公式、通项公式求解 “知三求二”问题．S n、an、a1、n、q 5、等比数列的依次n项和成等比数列，
a 6、 n 为非常数列的等比数列 S n b bq n b为常数，q 1
则a p aq al ak．
4、当q≠1 等比数列通项公式化为
是一个关于 3、等比数列 an 中的Sm , S2m Sm , S3m n的常数不 S2 m , 为零的指数 仍组成等比数列. 型函数

是指数型函数； a1 a1 等比数列前n项和公式化为S n qn b b qn 12 1 q 1 q
2
3 2
(1.04 1.04 1) 1.04 (1.04 1.04 1.04)万元 ……………………
2
到2001年元旦本利和为：
到2008年元旦本利和为：
1.04(1 1.04 ) 1.04 1.04 1.04 1.04 1 1.04 即到2008年元旦有本利和124864．51元 124863.51元
10 2 9 10
5
(1.04 1.04 1.04 1.04)万元
10 9 2
ex1、某厂一月份产值为万元，以后每月比 a
上月产值多 万元， b 求该厂这一年的总产值 。 ex2、某厂一月份产值为万元，以后每月比 a 上月产值增 ％， b 求该厂这一年的总产值 。
例4、 某 煤 矿从 开 始 到出 煤 7 年 ， 每 年 从 需 银 行 贷款 1000万 元 ， 年 利 率为 . 5%
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例6．设an 是一个以q为公比的等比数列，
解：(1)当q 1时，Sn na1
S n为an 的前n项和，求S1 S 2 S n．
n(a1 na1 ) n(n 1) a1 2 2 a1 (1 q n ) (2)当q 1时，S n S1 S2 Sn 1 q a1 (1 q) a1 (1 q 2 ) a1 (1 q n ) 1 q 1 q 1 q na n a1q(1 q ) a1 a1 2 n 1 n (q q q ) 2 1 q (1 q) 1 q 1 q 14
an a1 q
n 1
(三)等比数列中有关题型
1、求解等比数列有关问题的通法：化为基本量a1、q；
2、判别或证明等比数列：
an q(q为常数，n 2) a n 1
G b a G
说明： 三数成等比数列，一般设为 a , a, aq q
3、思想与方法：归纳探索、类比推广以及方程思想.
3、等比数列的通项公式： a n a1 q
n 1比数列的重要性质：
an am q
n m
若p q l k 、q、l、k N *)， (p 则a p a q a l a k ．
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G b 5、a, G, b成等比数列 a G
S1 S2 Sn a1 2a1 na1
例7．S n为an 的前n项和，且S n 2 2an． (1)求证：数列an 为等比数列； (2)求数列an 的通项公式； (3)求数列an S n 的前n项和Wn． (1 证： ) Sn 2 2an an1 Sn1 Sn 2 2an1 2 2an an 1 2 3an1 2an 即 an 3 2 数列an 是公比为 的等比数列 # 3
1
三、例题举隅
例1 ．设{an }是一个以d为公差的等差数列， an a1 a2 求3a 3 3 ． 解： 3a 3a a 3d 是不为0的常数
n n n1
{3 }是一个以3 为公比的等比数列
an d
3
n1
( )当q 3 1时 即d 0时 Ⅰ a1 nd 3 (1 3 ) an a1 a2 3 3 3 d 1 3 d (Ⅱ )当q 3 1时 即d 0时
b ．
n
ex3．已知数列an 的前n项和Sn满足 lg(S n 1) n，n N． a 为等比数列． 求证： n
ex4．首项为a，公比为q的等比数列共有2n项， 求所有偶数项之和与所 有奇数项之和的比．
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ex5．已知a1，a2， ，a2 n1为等差数列，设 P a1 a3 a5 a2 n 1， Q a2 a4 a6 a2 n， P 求(1) 的值； Q (2)当P 60，Q 45时，求上述数列 的项数及中间一项的值 ． 2 ex6．已知an 的前n项和S n 2 15n 2n ， (1)求数列an 的通项公式； (2)求数列an 的前n项和Tn．
n
n
今年起5年起内总产量超过30万吨．
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例3 ．某人从1998年开始，每年元旦向银行存款1万 元，年利率4%，求到2008年元旦已有本利和． (按复利计) 到1999年元旦本利和为：1.04 1.04万元 解： 1 到2000年元旦本利和为：
(1.04 1) 1.04 (1.04 1.04)万元
解： ) a1 S1 2 2a1 a1 2 (2
三、作业
ex1．求S a a b a b ab
n n 1 n2 2 n 1
(ab 0) ex2．一个等差数列的前四项和为26，最后 四项和为 ，全部项的和为 ， 110 187 求这个数列的首项及公 差．
d
3 3 3 n 3
a1 a2 an
a1
2
例2 ．某制糖厂今年制糖5万吨，如果每年的 产量都比上一年增长10%，那么从今年 起几年内可以使总产量超过30万吨? 分析：今年(1 年内) 5 2 年内 5(1+10%)
记作a1 记作a2
记作a3 记作an
3
5(1+10%)2 3 年内 …………………… n年内 5(1+10%)n-1
1若5％ 作 为 单利 计 算 ， 到 出 时 煤
煤 矿 还贷 款 总 额是 多 少 元 ？ 万 2若5％作为复利计算，到出 煤时
煤矿还贷款总额是多少 万元？
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例5、上海市从 2000年1月起，调整购房公积金 贷款，贷 年的年利率是 .59%，月利率是 10 4 0.3825% ,一套房子建筑面积为 米 ， 60 房价为
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6、等比数列前n项和公式
na1 n S n a1 1 q 1 q


q1 a1 qa n 或 Sn q1 1 q
q 1
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(二)等比数列中有关定理 1、等比数列an 中间隔相同的项仍组成等比数列．
2、等比数列an 中， 若p q l k 、q、l、k N *)， (p
即S n，S 2 n S n，S 3 n S 2 n 成等比数列．
7、运用等比数列前n项和公式解决实际问题
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五、等比数列中有关知识点
an q(q为常数，n 2) 1、等比数列的定义式： a n 1 a n a n 1 q( n 2) 2、等比数列的递推公式： a 1 a