15-等比数列前n项和3ppt
1 2500元 / 米 ，买房者首付总房价的 , 其余款 3 进行公积金贷款，每月 a万元0 a 1， 都还
2
实际计算时都采用月利 率计算、按复利计算
7
10年付清，问买房者每月 应还款多少？
说明:
解应用题先要认真阅读题目,一般分为粗读,细读,精读, 准确理解题意,尤其是一些关键词: “月利率”, “增加 (减少)多少”, “增加(降低)百分率”等; 理解题意后,引导学生将文字语言向数字语言转化, 建立数学模型,再用数学知识解决问题,并使原问题 得到尽可能圆满的解答.
Sn a1 a2 an
例2 ．某制糖厂今年制糖5万吨，如果每年的 产量都比上一年增长10%，那么从今年 起几年内可以使总产量超过30万吨? 解： 设n年内可以使总产量超过30万吨
每年的产量an构成一个以11为公比的等比数列 ． 首项a1 5，公比q 11 ．
a1 (1 q ) 5(1 1.1 ) 总产量S n 30 1 q 1 1.1 n 1.1 1.6 n 4.93 n 5
15
3 2 2 n 1 2 n an ( ) ( ) (n N *) 3 3 3 2 2 n [1 ( ) ] 3 3 2[1 ( 2 ) n ] (3) S n 2 3 1 2 n3 2 n 2 n 4 n an S n ( ) 2[1 ( ) ] 2 ( ) 2 ( ) 3 3 3 9 4 2 n 8 4 n [1 ( ) ] [1 ( ) ] 3 3 9 9 12 4 ( 2 ) n 8 ( 4 ) n Wn 2 4 5 3 5 9 1 1 3 9 16
8
四、小结
1、等比数列与等差数列的类比思想． 2、等比数列计算中的整 体思想．
3、当公比q未知时，必须考察q是否可能为 ． 1 4、利用等比数列的求和公式、通项公式求解 “知三求二”问题．S n、an、a1、n、q 5、等比数列的依次n项和成等比数列，
a 6、 n 为非常数列的等比数列 S n b bq n b为常数，q 1
则a p aq al ak．
4、当q≠1 等比数列通项公式化为
是一个关于 3、等比数列 an 中的Sm , S2m Sm , S3m n的常数不 S2 m , 为零的指数 仍组成等比数列. 型函数
是指数型函数； a1 a1 等比数列前n项和公式化为S n qn b b qn 12 1 q 1 q
2
3 2
(1.04 1.04 1) 1.04 (1.04 1.04 1.04)万元 ……………………
2
到2001年元旦本利和为：
到2008年元旦本利和为：
1.04(1 1.04 ) 1.04 1.04 1.04 1.04 1 1.04 即到2008年元旦有本利和124864．51元 124863.51元
10 2 9 10
5
(1.04 1.04 1.04 1.04)万元
10 9 2
ex1、某厂一月份产值为万元，以后每月比 a
上月产值多 万元， b 求该厂这一年的总产值 。 ex2、某厂一月份产值为万元，以后每月比 a 上月产值增 ％， b 求该厂这一年的总产值 。
例4、 某 煤 矿从 开 始 到出 煤 7 年 ， 每 年 从 需 银 行 贷款 1000万 元 ， 年 利 率为 . 5%
13
例6．设an 是一个以q为公比的等比数列，
解：(1)当q 1时，Sn na1
S n为an 的前n项和，求S1 S 2 S n．
n(a1 na1 ) n(n 1) a1 2 2 a1 (1 q n ) (2)当q 1时，S n S1 S2 Sn 1 q a1 (1 q) a1 (1 q 2 ) a1 (1 q n ) 1 q 1 q 1 q na n a1q(1 q ) a1 a1 2 n 1 n (q q q ) 2 1 q (1 q) 1 q 1 q 14
an a1 q
n 1
(三)等比数列中有关题型
1、求解等比数列有关问题的通法：化为基本量a1、q；
2、判别或证明等比数列：
an q(q为常数，n 2) a n 1
G b a G
说明： 三数成等比数列，一般设为 a , a, aq q
3、思想与方法：归纳探索、类比推广以及方程思想.
3、等比数列的通项公式： a n a1 q
n 1比数列的重要性质：
an am q
n m
若p q l k 、q、l、k N *)， (p 则a p a q a l a k ．
10
G b 5、a, G, b成等比数列 a G
S1 S2 Sn a1 2a1 na1
例7．S n为an 的前n项和，且S n 2 2an． (1)求证：数列an 为等比数列； (2)求数列an 的通项公式； (3)求数列an S n 的前n项和Wn． (1 证： ) Sn 2 2an an1 Sn1 Sn 2 2an1 2 2an an 1 2 3an1 2an 即 an 3 2 数列an 是公比为 的等比数列 # 3
1
三、例题举隅
例1 ．设{an }是一个以d为公差的等差数列， an a1 a2 求3a 3 3 ． 解： 3a 3a a 3d 是不为0的常数
n n n1
{3 }是一个以3 为公比的等比数列
an d
3
n1
( )当q 3 1时 即d 0时 Ⅰ a1 nd 3 (1 3 ) an a1 a2 3 3 3 d 1 3 d (Ⅱ )当q 3 1时 即d 0时
b ．
n
ex3．已知数列an 的前n项和Sn满足 lg(S n 1) n，n N． a 为等比数列． 求证： n
ex4．首项为a，公比为q的等比数列共有2n项， 求所有偶数项之和与所 有奇数项之和的比．
17
ex5．已知a1，a2， ，a2 n1为等差数列，设 P a1 a3 a5 a2 n 1， Q a2 a4 a6 a2 n， P 求(1) 的值； Q (2)当P 60，Q 45时，求上述数列 的项数及中间一项的值 ． 2 ex6．已知an 的前n项和S n 2 15n 2n ， (1)求数列an 的通项公式； (2)求数列an 的前n项和Tn．
n
n
今年起5年起内总产量超过30万吨．
4
例3 ．某人从1998年开始，每年元旦向银行存款1万 元，年利率4%，求到2008年元旦已有本利和． (按复利计) 到1999年元旦本利和为：1.04 1.04万元 解： 1 到2000年元旦本利和为：
(1.04 1) 1.04 (1.04 1.04)万元
解： ) a1 S1 2 2a1 a1 2 (2
三、作业
ex1．求S a a b a b ab
n n 1 n2 2 n 1
(ab 0) ex2．一个等差数列的前四项和为26，最后 四项和为 ，全部项的和为 ， 110 187 求这个数列的首项及公 差．
d
3 3 3 n 3
a1 a2 an
a1
2
例2 ．某制糖厂今年制糖5万吨，如果每年的 产量都比上一年增长10%，那么从今年 起几年内可以使总产量超过30万吨? 分析：今年(1 年内) 5 2 年内 5(1+10%)
记作a1 记作a2
记作a3 记作an
3
5(1+10%)2 3 年内 …………………… n年内 5(1+10%)n-1
1若5％ 作 为 单利 计 算 ， 到 出 时 煤
煤 矿 还贷 款 总 额是 多 少 元 ？ 万 2若5％作为复利计算，到出 煤时
煤矿还贷款总额是多少 万元？
6
例5、上海市从 2000年1月起，调整购房公积金 贷款，贷 年的年利率是 .59%，月利率是 10 4 0.3825% ,一套房子建筑面积为 米 ， 60 房价为
18
6、等比数列前n项和公式
na1 n S n a1 1 q 1 q
q1 a1 qa n 或 Sn q1 1 q
q 1
11
(二)等比数列中有关定理 1、等比数列an 中间隔相同的项仍组成等比数列．
2、等比数列an 中， 若p q l k 、q、l、k N *)， (p
即S n，S 2 n S n，S 3 n S 2 n 成等比数列．
7、运用等比数列前n项和公式解决实际问题
9
五、等比数列中有关知识点
an q(q为常数，n 2) 1、等比数列的定义式： a n 1 a n a n 1 q( n 2) 2、等比数列的递推公式： a 1 a
等比数列的前n项和PPT课件
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 等比数列的前n项和公式推导 • 等比数列的前n项和的应用 • 特殊等比数列的前n项和 • 等比数列的前n项和求解方法 • 习题解答与练习
01
引言
课程背景
教学内容的重要性
等比数列是数学中的一个重要概念，其前n项和在数学、物理 、工程等领域有着广泛的应用。
特殊情况
当公比q不等于1时，等比数列的前n项和公式为 Sn=a1(1-q^n)/(1-q)。
05
等比数列的前n项和求解方法
利用公式求解等比数列的前n项和
公式法
利用等比数列的前n项和公式求解，当已知等比数列的首项a1和公比q时，可以直 接套用公式求出前n项和。
记忆口诀
为了方便记忆，可以总结一个简单的记忆口诀：“首项乘1减公比除以1减公比的 n次方”，这个口诀可以快速帮助我们记忆公式。
02
等比数列的前n项和公式推导
公比为r的等比数列求和公式推导
公式推导
$S_n = \frac{a_1}{1-r} * (1 - r^n)$
VS
推导步骤
将等比数列的每一项分别代入求和公式中 ，得到$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，再将$a_1 = ar, a_2 = ar^2, \cdots, a_n = ar^n$代入$S_n$中，经过 化简得到最终的求和公式。
04
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和公式
公式总结
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，其中n为项数， a1为首项，an为末项。
公式证明
通过采用倒序相加法，将前n项和与后n项和相加，得到 2Sn=n(a1+an)，从而得到前n项和公式。
等比数列的前n项和ppt
(2)bn＝nan＝2nn，Sn＝2－(n＋2)
1 2
n
.
若 cn＝ann，求数列{cn}的前 n 项和 Sn′.
若 dn＝(2n－1)an，求数列{dn}的前 n 项和 Tn.
小结
1、求和公式
当q≠1时， Sn
a1(1 qn ) 1q
当q=1时， Sn na1
强调：①注意分类讨论的思想！
⑴－⑵，得 1 q Sn a1 a1qn ,
由此得q≠1时，
Sn
a1
1 qn 1 q
说明：这种求和方法称为错位相减法
显然，当q=1时， Sn na1
等比数列前n 项和公式
公式１： Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
(q 1)
注 意 对
q
注:以上 m, n, p, q 均为自然数
探求等比数列求和的方法
问题：已知等比数列an , 公比为q, 求：Sn a1 a2 a3 an
a1 a1q a1q2 a1qn1 思考：如 何 用a1 , q, n, an这 些 基 本 量
来 表 示Sn呢 ？
0.20 0.041
5
(年)
答：约5年内可以使总销售量达到30000台。
已知等比数列{an}满足：a1＝12，a1，a2，a3－18成等差
数列，公比 q∈(0,1)，
(1)求数列{an}的通项公式．
(2)设 bn＝nan，求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
(1)an＝12·12 n－1＝21n.
所以从第1年起，每年的销售量组成一个等比数列 { an }
等比数列的前n项和_优质PPT课件
条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
高中数学 必修5 15.等比数列前n项和
15.等比数列前n 项和教学目标 班级：_____ 姓名：____________1.理解并掌握等比数列前n 项和公式.2.掌握等比数列前n 项和的性质，并能应用性质解决相关问题.教学过程一、等比数列前n 项和公式.1.等比数列前n 项和公式:________________________________注意事项：（1）n S 的求解，分1=q 和1≠q 两种情况，注意讨论.（2）等比数列共有5个量，知三求二.2.等比数列前n 项和的性质.（1）等比数列前n 项和公式)1(1)1(1≠--=q q q a S n n 可化为)1(1111≠⋅---=q q qa q a S n n ， 可知，若A Aq S nn -=（0≠A ），则{}n a 为等比数列. （2）{}n a 为等比数列，则n S ，n n S S -2，n n S S 23-成等比数列（其中n S ，n n S S -2，n n S S 23-各项均不为0）.（3）若等比数列{}n a 共有2n 项，则q S S =奇偶.（4）{}n a 是公比为q 的等比数列，对任意的*∈N n m ,有p m m p m S q S S +=+.（5）{}n a 是公比为q 的等比数列，n T 为数列的前n 项之积，则,...,,232n n n n n T T T T T 成等比数列. 二、等比数列前n 项和的应用.例1：设)(2...222)(1374*+∈++++=N n n f n ，则)(n f =__________.练1：在正项等比数列{}n a 中，811=a ，165=a ，求它的前5项和.例2：已知等差数列}{n a 的通项公式为n a n =，等比数列}{n b 的通项公式为n n b 2=，求数列}{n n b a ⋅的前n 项和n S .例3：在等比数列{}n a 中，公比2=q ，前2012项的和902012=S ，则__________...2012642=++++a a a a练3：已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10=m S ，302=m S ，求m S 3.作业：等比数列{}n a 的前6项和216=S ，且14a ，22a ，3a 成等差数列，求通项公式n a .。
等比数列的前n项和PPT课件
讲授新课
1 2 22 23 24 263
这一格放 的麦粒可 以堆成一 座山!!!
263
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
湖南省长沙市一中卫星远程学校
讲授新课
分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
共有64格每格所放的麦粒数依次为：
1, 2, 22 , 23 , , 263.
它是以1为首项，公比是2的等比数列，
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分析： 由于每格的麦粒数都是前一格的2倍，
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, 它的前n项和是
a2,
a3,
…,
an这…种求和
的方法,就
是错位相
减法!
湖南省长沙市一中卫星远程学校
等比数列的前n项和公式的推导1
一般地，设等比数列a1, a2, a3, …, an… 它的前n项和是
∴当q≠1时，
①
湖南省长沙市一中卫星远程学校
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请同学们考虑如何求出这个和？
S64 1 2 22 23 263 ① 2S64 2(1 2 22 23 263 )
即 2S64 2 22 23 263 264 ②
由②－①可得：
2S64 S64 (2 22 23 263 264) (1 2 22 23 263 )
等比数列前n项和公式课件PPT
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和课件.ppt
a 1(1 q 1 q
n
)
q
1
n a1 q 1
判断下列各式是否正确
× 51445442…444453 n
1(11n 11
)
0
( 2) n
124816…(2)n1 1(12n ) 1(2)
×
× 1222 23 …2n 1(12n ) n+1 12
1.841019 1000多年才能生产这么多小麦， 国王无论如何是不能实现发明
者的要求的。
运用：
练习1：
已知a n 是a1 3,q 2的等比数列，求Ｓ４及Ｓ６
解：由S n
a 1(1 q 1q
n
)
有：
S
4
3(124 12
)
45;
S
6
3(126 12
)
189
升华：
对于公式S n
a 1(1 q 1 q
n
)
变 形
S
n
a1 1 q
a1 1 q
q
n
可看成是以正整数n
为自变量的函数S
。
n
我们可以把a1,q称为等比数列a n 的关键量。
运用：
例2：求和 1 x x 2 x 3 x n1.
解:由已知条件得 a1 =1,q =x
Sn na1.
反思：
等比数列前n项和的推导利用了 错位相减法。如何理解这一方法？
用错位相减法求数列的前n项和的实 质是把等式两边同乘以一个数q，得一新 等式，错位相减求出 S n q S n ，这样可 以消去大量的“中间项”（或是让中间 项容易求和），从而求S n出 。
《等比数列的前n项和》课件
2、等比数列 {an} 中，a3 = 7 ，前3项和 S3 = 21 ，公比 、 项和 1 C、1或 − 1 D、−1或 − 1 q的值为 q的值为（） A、1 的值为（） A、 B、 B、− C、1或 D、 2 2 2 3、数列 1，x, x2 ,..., xn−1,... 的前 项和是（ ） 的前n项和是 项和是（ 、 4、等比数列的公比为2，且前四项之和 S4 = 1 ，则前 、等比数列的公比为 ， 8项之和 S = 项之和 。 答案： 、 答案：1、B
等比数列
q ≠1
a1(1− q n ) a1(q n −1) Sn = = 应 q −1 1− q
a1− an q S n = 1−q
错 位 相 减 法
等 比 数列 前n项 和
用 数 列 求 和
q=1
Sn = na 1
作业： 作业：
P129 1、2、3、4 、 、 、
设等比数列{an }的前n项和为Sn， 补充： 补充：
19
导学引思
若把 1+ 2+ 22 + 23 +...+ 263 中的 63改为 结果如何？ 改为n结果如何？ 改为 结果如何 若等比数列首项为a1，公比为 ， 若等比数列首项为 ，公比为q，前n项的和如 项的和如 何？
问题解决
Sn + 1 = 2n + 1 −1 若把63改成 改成n， 若把 改成 ，可以通过同样的方法得到
例2：求和 ：
1+ a + a +⋯+ a
2
n −1
评注：使用等比数列的前 项和公式要注意公 评注：使用等比数列的前n项和公式要注意公 情况的区别， 比q=1和 q≠1 情况的区别，而在解方程的过程 和 一般采用两式相除的方法。 中，一般采用两式相除的方法。
15-等比数列前n项和(1)
2.5 等比数列的前n 项和（1）教材分析本节内容是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．与等差数列前n 项公式一样，等比数列前n 项和公式也是数列求和的化简式，用这个公式可以方便地求出等比数列的前n 项和．教学中可从公式的形成、特点等方面与等差数列进行类比．当然，本节公式的推导与等差数列前n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破．本节课重点是公式的推导、公式的特点和公式的运用．难点是由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式．课时分配本节内容用1课时的时间完成，主要讲解等比数列前n 项和公式的推导、公式的特点和公式的运用．教学目标重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题．难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式．知识点：等比数列前n 项和公式的推导过程、公式的特点．能力点：通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．教育点：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．自主探究点：如何利用相应方法推导出等比数列前n 项和公式以及在此基础上应用公式解决与之有关的问题．考试点：等比数列前n 项和公式以及在此基础上应用公式解决与之有关的问题．易错易混点：对于1 q 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错．拓展点：公式推导所使用的“错位相减法”蕴含的数学思想．教具准备：多媒体课件课堂模式：学案导学一、引入新课话说灰太狼想在森林里开一个公司，但苦于资金有限，于是准备去找喜羊羊投资，喜羊羊一口答应：“行，从今天开始我连续30天往你的公司注入资金，第一天投资10000元，第二天投资20000元，第三天投资30000元，总之以后每天都比上一天多投资10000元，但作为回报，在投资的第一天起你必须返还我1元钱，第二天返还我2元钱……即后一天返还的钱数为前一天的两倍,30天后我们两清．”问：灰太狼会吃亏么？【师生活动】教师引导学生分析喜羊羊与灰太狼提出的两种方案：这在30天内喜羊羊投资与灰太狼向喜羊羊返还的钱数分别记为30'30,S S ，则每天投资的钱数构成等差数列且一月的投资总额为465000021000029301000030'30=⨯⨯+⨯=S 而每天返还的钱数则构成了一个等比数列且一月的返还总额为?22221293230=+++++= S那么如何求这个和呢？从而引出课题《等比数列的前n 项和》.【设计意图】】设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣，调动学习的积极性．故事内容紧扣本节课的主题与重点，也和实际生活有一定联系．【设计说明】此处应结合思路板书上述两个求和的式子，方便学生下一步思考．二、探究新知师：同学们，你们知道30天后是喜羊羊还是灰太狼亏本吗？带着这样的问题，学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的这种思路给予肯定．【设计意图】：在实际教学中，由于受课堂时间限制，教师舍不得花时间让学生去做所谓的“无用功”，急急忙忙地抛出“错位相减法”，这样做有悖学生的认知规律：求和就想到相加，这是合乎逻辑顺理成章的事，教师为什么不相加而马上相减呢？在整个教学关键处学生难以转过弯来，因而在教学中应舍得花时间营造知识形成过程的氛围，突破学生学习的障碍．同时，形成繁难的情境激起了学生的求知欲，迫使学生急于寻求解决问题的新方法，为后面的教学埋下伏笔．在肯定他们的思路后，教师提问学生：29322,,2,2,2,1 是什么数列？有何特征？ 应归结为什么数学问题呢？探究一：把29323022221+++++= S 记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）探究二： 如果把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则有 30323022222++++= S 记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？生：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了． 师：这就是错位相减法．【设计意图】：留出时间让学生充分地比较，等比数列前n 项和的公式推导关键是变“加”为“减”，在教师看来这是“天经地义”的，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应着力在这儿做文章，从而抓住培养学生的辩证思维能力的良好契机．学生在经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法的简洁，更让学生感到数学方法的魅力．师：同学们请反思，为什么（1）式两边要同乘以2呢？此时顺势引导学生将结论一般化，公比为q ，如何求前n 项和n S ？ 这里，让学生自主完成，学生得到公式qq a a S nn --=111，教师在巡视过程中对个别学生进行指导，然后投影学生习作，加以点评．【设计意图】：在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感．在学生推导完成后，教师继续提问师：由nn q a a S q 11)1(-=-对不对？这里对q 有没有什么要求？生：1≠q 此时.师：那等比数列中的公比能不能为1？1=q 时是什么数列？此时?=n S （这里引导学生对q 进行分类讨论，得出公式，同时为后面的例题教学打下基础．）生：1=q 时为常数列，此时1na S n =师：结合等比数列的通项公式11-=n n qa a ,如何把n S 用q a a n ,,1表示出来？（引导学生得出公式的另一形式） 生：qq a a S n n --=11 【设计意图】：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，另一方面使学生由简单地模仿和接受，变为对知识的主动认识，从而进一步提高分析、类比和综合的能力．三、理解新知 学生总结，教师板书⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=)1(;)1(;11)1(111q na q q q a a q q a S n n n 【设计意图】：为准确地运用新知，做必要铺垫．四、运用新知例1 求等比数列,161,81,41,21前8项和； 解：由已知可得，此数列是首项为,21公比为21的等比数列，其前8项和为888211211)211(21-=--=S 变式一：此数列的前多少项和是6463？ 变式二：求此数列第5项到第10项的和．师生活动：首先，学生独立思考，自主解题，再投影他们的解答，其它同学进行评价，然后师生共同进行总结．【设计意图】：采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生的参与意识和竞争意识．例2 求和1321-+++++n aa a a 解：当1=a 时，n aa a a n =+++++-1321 当1≠a 时，aa a a a a nn --=+++++-111132 【设计意图】解题时，以学生分析为主，教师适时给予点拨，该题有意培养学生对含有参数的问题进行分类讨论的数学思想．师：最后回到初始的引入问题，可以计算出303021+-=S ，显然灰太狼比较吃亏．师：再来思考， 多少天以内灰太狼才不吃亏？【设计意图】把引入课题时的悬念给予释疑，并对此引例加以变式，有助于学生克服疲倦、继续积极思维．五、课堂小结以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答.本节课我们学习了哪些公式？涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1、 知识点：⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=--=)1(;)1(;11)1(111q na q q q a a q q a S n n n 2、 思想：分类讨论的思想3、 方法：错位相减法教师总结：公式的证明用到了一个新的方法——错位相减法，而错位相减法也是数列求和的一种重要方法．提醒学生，“知新”时，也要“温故”，在应用中加强对公式的理解，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用．教师用多媒体展示：数学就像人类的一部特制的精密的大型望远镜或显微镜一样，它大大延伸了人们洞察自然地能力，看到了不掌握数学的人无法看到的那个世界，能使人看到那些不懂数学的人无法看到的东西．－－－张楚廷《数学文化》【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力．同时加强对学生学法指导与数学文化修养的指导．六、布置作业必做：人教A 版课本61页 A 组 1、4（1）选作：1、“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？2、求和：12321-++++n nx x x【设计意图】出选作题的目的是注意分层教学和因材施教，让学有余力的学生有思考的空间．七、教后反思1.本教案的亮点是引例问题与课堂设计．引例来源于生活，能吸引学生在解决问题的过程中掌握知识点与方法；而本堂课的设计采用“问题――探究”的教学模式，自然流畅，符合学生认知规律，而且利用多媒体及学案辅助教学，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．2.本节课弱项是课堂时间有限，没有充分进行训练，这就要求学生在课下多多训练，以完成对知识和方法的巩固提高．3.由于学情不同，建议教师使用本案是灵活掌握．八、板书设计。
等比数列的前n项的和ppt
千万别忘q=1的情况,养成讨论的思维习惯.
1 1 1 例1.求等比数列 , , ,的前8项的和 . 2 4 8
例2.求和: 1 1 1 2 n (x ) (x 2 ) (x n ) y y y (其中x 0, x 1, y 1)
例3.某商场第一年销售的计算机5000台, 如果平均每年的 销售量比上一年增加10%, 那么从第1年起, 约几年内可使 总销售量达到30000台(保留到个位)?
S n na1
S n a1 a1q a1q a1q
2
n1
qS n a1 1 q
n
错位相减法
等比数列前n项和公式
若q 1,
若q 1,
S n na1
a1 (1 q ) Sn 1 q
等比数列的前n项的和
1 2 2 2 2 2
2 3 4 63
我们现在再来算一下国王到底要赏给国际象棋发明者 多少粮食
s64 1 2 2 2 2 2
2 3 4 2 3 4 63
63 64
① ②
2s64 2 2 2 2 2 2
64 19
②-①得: S64 2 1 1.84 10 (粒)
7000亿吨!
假如我跟你来个约定,我们来签一个月的合约(30天), 我每天给你100万,你呢!第一天给我1元,第二天你给 我2元,第3天给我4元,依次类推!你跟不跟我签这个 合约.
S 30 1 2 22 229
若q 1,
S n na1
S n a1 a1q a1q a1q
2
n1
qS n a1q a1q2 a1qn1 a1qn