第9章 相似性原理与量纲分析
第九章 量纲分析与相似原理
m
mp mm
pVp mVm
3l
✓ 力的比尺：
F
Pp Pm
Fp Fm
Gp Gm
Ip Im
mpap mmam
ma
l22v
❖ 力学相似：所有的计算结果均列于（P199）表动如果力学相似，则必
然存在着许许多多的比例尺），判断流动动力相似时作用 力的比例尺满足的约束关系称为相似准则。
v
1
l
1 15
v
vp vm
vm
vp v
1015 150m / s
[例9.1] 已知溢流坝的过流量QP＝1000m3/s,若用长度比尺λl ＝60的模型（介质相同）进行实验研究，试求模型的流量Qm 。
如m、cm、mm等同属于长度类，用L表示；小时、分、秒 等同属于时间类，用T表示；公斤、克等同属于质量类，用 M表示。
§9.1 流体相似原理
解决 流体 力学 问题 的 方法
数学 分析
实验 研究
探索未知的流体流动规律 大型水工、机械模型实验
以相似原理为基础
一、力学相似
表征 流动 过程 的物 理量
描述几何形状的
v2 g l p 2v
式（9.2）
lv
设计模型时，所选择的三个基本比例尺如能满足以上三个制
约关系，则模型流动与实物流动是完全力学相似。但这是有困难
的，因为，如前所述单位质量力的比例尺 ，则g 1
1
v2 g l
v l2 模型可大可小，但流体运动黏
lv
3
l2
度的比例尺要保持一致很难。
l v
✓
加速度比尺： a
ap am
vp vm
tp tm
v t
第9章 相似性原理与量纲分析
E u n E u m 压力相似准则，或称为欧拉相似准则
4、马赫相似准则
在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出
n m
an am
式中 a为当地音速。
这个速度的比值就是马赫数M。
M v a
马M赫n数表M征m惯性
力与弹性力之比
2019年9月11日星期三
流体力学
设
二、模型律
Tianjin Institute of Urban Construction
h n h h m 2 .2 1 5 .0 5 2 .3m 6
2019年9月11日星期三
流体力学
设
第三节 量纲分析法 Tianjin Institute of Urban Construction
一、量纲一致性
1. 基本量纲：(独立量纲)
长度 (L) 时间 (T) 质量 (M)
Tianjin Institute of Urban Construction
水力学
第9章 相似理论与量纲分析
能源与机械工程系
2019年9月11日星期三
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的 方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。
Fn FPnFGnFIn Fm FPm FGm FIm
由于惯性力相似与运动相似直接相关，我们把以上的关 系式分别写为和惯性力相联系的下列等式
Fn FIn Fm FIm
；
FGn FGm
FIn FIm
；
FPn FPm
FIn FIm
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是物理学中常用的分析方法。
这两个方法都可以帮助我们简化和理解复杂的物理问题，并从中得到有用的结论。
相似原理是指在某些情况下，两个或多个物理系统在某些方面具有相似性。
通过找到这些相似性，我们可以将一个物理问题转化为另一个更简单的问题，并从中得到有关原问题的信息。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在量纲分析中，我们将物理量表示为其单位的乘积，例如长度（L）、质量（M）和时间（T）。
通过对物理方程中各项的量纲进行分析，我们可以得到物理问题的量纲关系。
现在让我们更详细地讨论这两种方法。
首先，我们来看看相似原理。
相似原理的核心思想是，如果两个物理系统具有相似的形状、相似的流动条件和相似的物理特性，那么它们在某些方面具有相似性。
这种相似性可以通过无量纲参数来描述。
无量纲参数是一个相对于单位的比率或比值，因此在不同的物理系统中具有相同的值。
通过选择适当的无量纲参数，我们可以把一个复杂的问题转化为一个简单的问题。
例如，假设我们想研究飞机的气动性能。
我们可以选择无量纲参数如升力系数（Cl）、阻力系数（Cd）和升阻比（Cl/Cd），来描述飞机的飞行特性。
通过比较不同飞机的这些无量纲参数，我们可以得出有关它们性能优劣的结论。
相似原理的应用非常广泛。
它常用于流体力学、热传导和振动等领域的问题研究。
通过利用相似原理，我们可以设计模型实验来研究某一问题，从而避免对真实系统进行复杂和昂贵的实验。
接下来，我们来谈谈量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理问题的方法。
在物理方程中，各个物理量的量纲必须相等。
这就是说，物理方程中各项的量纲必须保持平衡。
通过量纲分析，我们可以得到物理问题的一些量纲关系。
这些量纲关系可以帮助我们推导出物理方程中的无量纲参数，并进一步简化问题。
例如，假设我们要研究物体自由落体的运动规律。
我们可以通过对物理量的量纲进行分析，得到物体自由落体的无量纲形式。
传热学第九讲相似原理及量纲分析
de0 1ac f 0 e f 1 0 1e f 0
ba1
cea d e f 1e
2 a b 2c f 3d 0
2021/5/1
5
h k ua d a1 ea 1e ce e
k ud a d 1 c e
k Rea Pr e
d
Nu hd k Rea Pr e
f 8Re1000Pr f
1 12.7
f
8
Pr
2 f
31
1
d l
2
3
ct
f 1.82lg Re1.642
对液体
ct
Pr f Prw
0.11
(
Pr f Prw
0.05～20)
对气体
ct
Tf Tw
0.45
(
Tf Tw
0.5～1.5)
※适用范围 Pr f 0.6 ～ 105 Re f 2300～ 106
对气体
ct
Tf Tw
n
当气体被加热时 n 0.55
当气体被冷却时 n 0
2021/5/1
对液体
ct
f w
n
当液体被加热时 n 0.11
当液体被冷却时 n 0.25
10
（五）入口效应：
层流 紊流
l 0.05RePr
d l 60
cl
1
d l
0.7
d
2021/5/1
11
二、实验关联式
2021/5/1
6
三、应用
（一）威尔逊法
Nu f Re,Pr
Nu C Ren 或 Nu C Ren Pr m
1. 求 Nu C Ren
lg Nu lg C nlg Re
第9章 量纲分析
量纲的分类：基本量纲 导出量纲
基本量纲是一组具有独立性的量纲。在 水力学领域中有三个基本量纲：[ L ] ， [ T ]， [ M ]。
导出量纲由基本量纲组合或推导出来的 量纲。如加速度的量纲 [a]=LT-2 ；力的量 纲 [F]=[ma]=MLT-2
可知p / v2与其余三个无量纲数有关，那么
p/v2=F1(l/d, /d, 1/Re)= (l/d)F2( /d, 1/Re)
p/g= p/= (l/d)(v2/2g)F2( /d, 1/Re)
令= F2( /d, 1/Re) p/= (l/d)(v2/2g)
这就是达西公式， 为沿程阻力系数， 表示了等直圆管中流动流体的压降与 沿程阻力系数、管长、速度水头成
1=l1v1d1 2=2v2d2 3=3v3d3 4= p4v4d4
将上述表达式写成量纲形式 [1]=L(ML-3)1(LT-1)1L1=M0L0T （1） [2]=L(ML-3)2(LT-1)2L2=M0L0T0
（2） [3]=ML-1T-1(ML-3)3(LT-1)3L3=M0L0T0
（3） [4]=ML-1T-2 (ML-3)4(LT-1)4L4=M0L0T0
所以 3=/vd=1/Re 求解方程（4） M: 1+4=0 → 4= -1
T: -2-4=0 → 4= -2 L: -1-3 4+ 4+4=0 → 4= 0 所以 4= p / v2 因此，所解问题用无量纲数表示的方程为
F(l/d, /d, 1/Re, p / v2)=0
至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。 由上式
有量纲量和无量纲量
水力学中任何物理量C的量纲可写成 [C]=[ M ][ L ][ T ]
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理，而量纲分析则是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
本文将分别介绍相似原理和量纲分析的基本概念和应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两种方法。
首先，我们来介绍相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个或多个对象在某些方面具有相似性的原理。
在流体力学中，相似原理是研究流体流动时的一种重要方法。
根据相似原理，如果两个流体流动问题在某些方面具有相似性，那么它们的流动规律也应该是相似的。
通过建立相似模型，可以通过对模型进行实验来研究真实流体流动问题，这为工程设计和科学研究提供了重要的手段。
在工程设计中，相似原理也有着广泛的应用。
例如，在飞机设计中，通过建立风洞模型来研究飞机在空气中的飞行性能；在建筑设计中，通过建立模型来研究建筑物在风力作用下的受力情况。
相似原理的应用不仅可以帮助工程师更好地理解和预测真实系统的行为，还可以降低实验成本和风险。
接下来，我们来介绍量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析，来确定物理现象之间关系的方法。
在物理学和工程学中，很多物理现象可以通过物理量之间的关系来描述。
通过对这些物理量的量纲进行分析，可以得到物理现象之间的关系，从而简化问题的分析和求解。
在工程设计中，量纲分析也有着重要的应用。
例如，在流体力学中，通过对流体流动中的速度、密度、长度等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化流体流动问题的分析和求解。
在热力学中，通过对热量、温度、热容等物理量的量纲进行分析，可以得到无量纲参数，从而简化热力学问题的分析和求解。
总之，相似原理和量纲分析是科学研究和工程设计中常用的两种方法，它们在不同领域有着广泛的应用。
通过对相似原理和量纲分析的理解和应用，可以帮助工程师和科研人员更好地理解和解决实际问题，从而推动科学技术的发展和进步。
量纲分析和相似性
*
* V tV0 * r p t ψ * p = = , V = , t = , r = , ψ* = 2 V0 t0 L L gL ρV 0 V T L2Φ ρ , T* = , M 0 = 0 , a 0 = kRT0 , Φ * = 2 T0 a0 ρ0 V 0 υρ0 * ∂ρ * * * + ∇ ⋅ ( ρ V )=0 ∂t *
l
二、基本量纲 长度：L＝[l] 时间：t＝[t]
质量：M＝[m]
温度：T＝[T]
三、量纲的性质： 1. 任何物理量的量纲都可以由基本量纲的幂指数次方的乘积来表示。 Eg. 力〔F〕＝〔ma〕＝M.L/t2 2. 不独立的量纲都可以由独立量纲的指数幂乘积来表示。 3. 凡是正确的方程或关系式，方程各项的量纲必须相同。
4.3 不可压缩流动无量纲方程 引入：无量纲变量
tV0 * r p V t ψ * * * p = , V = , t = = , r = , ψ* = 2 V0 t0 L L gL ρV 0
连续方程： ∇ ⋅ V = 0
*
*
*2 * * ∂V * 1 *2 * 1 * * * * * * 运动方程： + ∇ ( V / 2 ) − V × ( ∇ × V ) = −∇ p + ∇ V − ∇ψ * Re Fr ∂t
dp / dx µ ε || , −2 −2 3 −1 ρDD / V ρD D V / D D dp / dx µ ε || , −1 2 ρDV D ρD V
2Байду номын сангаас
相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析在物理学和工程学领域中，相似原理和量纲分析是两个非常重要的概念。
它们可以帮助我们理解和解决各种复杂的问题，从流体力学到结构力学，从热传导到电磁场，都可以用相似原理和量纲分析来进行分析和研究。
首先，让我们来看看相似原理。
相似原理是指在某些条件下，两个物体或系统在某些方面具有相似性质。
这种相似性质可以是几何形状、运动状态、流动特性等。
通过相似原理，我们可以将一个复杂的问题简化为一个相似的简单问题，从而更容易地进行分析和解决。
例如，在流体力学中，我们可以利用相似原理将实际的飞机机翼模型缩小到实验室中进行风洞测试，从而得到与实际飞机飞行状态相似的流场特性。
接下来，让我们来了解一下量纲分析。
量纲分析是一种通过对物理量的量纲进行分析来研究物理现象的方法。
在自然界中，存在着很多不同的物理量，它们之间可能存在着某种关系。
通过量纲分析，我们可以找到这些物理量之间的关系，并且可以得到一些重要的结论。
例如，在热传导问题中，通过量纲分析可以得到热传导方程中的无量纲参数，从而可以简化和统一热传导问题的分析和解决方法。
相似原理和量纲分析在工程实践中有着广泛的应用。
例如，在设计新型飞机时，我们可以利用相似原理来进行风洞测试，从而验证飞机的飞行性能；在设计新型建筑结构时，我们可以利用量纲分析来研究结构的受力特性，从而优化结构设计。
这些方法不仅可以帮助我们更好地理解和解决实际工程中的问题，还可以节约时间和成本，提高工程设计的效率和质量。
总之，相似原理和量纲分析是物理学和工程学中非常重要的概念，它们可以帮助我们简化复杂问题，找到物理量之间的关系，从而更好地理解和解决各种实际问题。
在工程实践中，我们可以充分利用这些方法来提高工程设计的效率和质量，推动科学技术的发展。
希望大家能够深入学习和理解这些方法，将它们运用到实际工程中，为社会发展做出更大的贡献。
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E u n E u m 压力相似准则，或称为欧拉相似准则
4、马赫相似准则
在高速气流中，弹性力起主导作用。由弹性力相似，可导出
n m
an am
式中 a为当地音速。
这个速度的比值就是马赫数M。
M v a
马M赫n数表M征m惯性
力与弹性力之比
2019年9月11日星期三
流体力学
设
二、模型律
Tianjin Institute of Urban Construction
v L
在多数情况下，模型和原型采用同种类且温度相同 的流体，此时 ，1 故有
1
L
另一方面，根据弗诺德数相等，可导出
L 2
或
L
2019年9月11日星期三
流体力学
设
Tianjin Institute of
显然，对于同种、同温的流体，若要同时满U足rba雷n 诺Construction
怎样来达到流动的动力相似以保证运动相似呢？
设想在两相似水流中，取两个相应质点n和m，研究 两质点所受粘性力、压力、重力及惯性力。假设流体不可 压缩，则不需要考虑弹性力相似的问题。根据动力相似条 件，应有
2019年9月11日星期三
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
包括n个变量中所有的基本量纲。m一般等于这些变量所涉及
的基本量纲的个数。基本变量应选取最简单，最有代表性和
容易测量的物理量，如物体的长度，流体的密度和粘度，相
2019年对9月速11度日星等期。三
流体力学
设
Tianjin Institute of
在这7个量中，基本量纲数为3，因而可选择Ur三ba个n C基on本struction
2019年9月11日星期三
流体力学
设
常见流动的模型律
Tianjin Institute of Urban Construction
(1)管流
K K d n d m
(2) 管R 流 相 e 当 大 阻时 力平 阻 惯 方力 性 区 V2 力
【例2】证明有压管流中的压强损失⊿p可表示为：
pK/d,Rel
2
d2
解：1)找出影响某物理现象的n个独立物理变量。
根据实验，知道压强损失⊿p与管长，管径d，管壁粗糙度K，
流体运动粘性系数 ，密度ρ和流速 有关，于是有
pf(l,d ,K ,,,)
2)从n个变量中选择m个基本变量。基本变量的条件为其量纲中
2.导出量纲：
密度：dim =ML-3
表面张力：dim =MT-2
压强：dim p =ML-1T-2
体积模量：dim K =ML-1T-2
速度：dimv =LT-1
动力粘度：dim =ML-1T-1
加速度：dima =LT-2
比定压热容：dimcp
L T2 -2 -1
运动粘度：dim =L2T-1
比定容热容：dimcv L2T-2 -1
力：dim F =MLT-2
气体常数：dimR =
L T2 -2 -1
3.一致性原则：
2019年9月11日星期三
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
量纲分析法就是通过对现象中物理量的量纲以及量纲之 间相互联系的分析来研究现象相似性的方法。它是以方 程式的因次和谐性为基础的。
FI l2v2
v
2 n
v
2 m
gnln gmlm
2019年9月11日星期三
流体力学
设
无量纲数 F r
v2 gl
Tianjin Institute of
弗诺德数表U征rb惯an性Co力nstruction 与重力的相对比值。
Frn Frm 重力相似准则，也称为弗诺德相似准则。
（3）欧拉准则——压力是主要的力
改成
FIn FIm Fn Fm
2019年9月11日星期三Leabharlann 流体力学设F
Adulvlv
dy
F Im al2v2
vnln vmlm
n m
Tianjin Institute of Urban Construction
雷诺数表征惯性力 与黏性力之比.
无量纲数 Re vl
h n h h m 2 .2 1 5 .0 5 2 .3m 6
2019年9月11日星期三
流体力学
设
第三节 量纲分析法 Tianjin Institute of Urban Construction
一、量纲一致性
1. 基本量纲：(独立量纲)
长度 (L) 时间 (T) 质量 (M)
【教学重点】
力学相似的内涵； 各相似准则的定义与物理意义； 相似模型律的应用* π定理及其应用 *
2019年9月11日星期三
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
（a）原型
(b)模型
图1 满足几何相似、运动相似和动力相似的流动
2019年9月11日星期三
而工程原型有时尺寸巨大，在工程原型上进行实验，会耗费大量的人力 与物力，有时则完全是不可能的(例如：水坝，水工建筑物中抗特大洪水的 试验)。所以，通常利用缩小的模型进行实验。当然，如果原型尺寸很小， 也可利用放大的模型进行实验。 而进行模型实验，首先必须解决两类问题。
(1) 如何正确地设计和布置模型实验，例如，模型形状与尺寸的确定， 介质的选取。
流体力学
设
An Am
ln2 lm2
2l
Vn Vm
ln3 lm3
3l
几何相似是力学相似的前提
Tianjin Institute of Urban Construction
2019年9月11日星期三
流体力学
设
（2）运动相似（两流动的对应流线几何相似或流速大小成UTr同ibana一nji比nC例Ionn，sstti方rtuutcetioofn
l v
Ql2vl 0 0 ..0 0 1 4 0 531 3 .5
Qm
Qn
Q
1007.40L/s 13.5
⑵ 由压力相似的比尺关系
p 2 h
由于 ，故 h2vl 243.522.25
雷诺数和弗诺德数中都包含定性长度和定性速度。因 此，若使雷诺数和弗诺德数都相等，就要求原型和模型在 长度和速度比尺之间要保持一定关系。
由雷诺数模型律，有
Ren Rem
或
Lnn Lmm
vn
vm
或写成比尺关系的形式，即
2019年9月11日星期三
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
Fn Fm
F
λF——力的比尺
FvnFPnFGnFInFEn Fvm FPm FGm FIm FEm
动力相似是运动相似的保证
2019年9月11日星期三
流体力学
设
第二节 相似准则与模型律Tianjin Institute of Urban Construction
一、相似准则
在模型实验中，只要使其中起主导作用的外力满足相似条 件，就能够保证两流动现象有基本相同的运动状态。这种 只考虑某一种外力的动力相似条件称为相似准则。
无需满足雷诺模型律
(3)管中水流或气流,粘性力(主导作用),应满足雷诺准则。
(4) p : 管中的水击、空泡现象和空泡阻力——欧拉准则
(5)具有自由面的液体急变流动,重力(主导),应满足Fr模 型
律（孔口，管嘴的自由出流）
2019年9月11日星期三
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
二、π定理
某一物理过程，涉及n个变量，其中有m个基本变量，
则此n个变量间的关系F(x1，x2，…，xn）= 0，
可用（n-m）个无量纲的π项关系式来表示，即
ƒ（π1，π2，…，πn-m）=0
以上这个结论就是著名的π定理，也称布金汉定理。
2019年9月11日星期三
流体力学
设
二、使用π定理的具体步骤
Tianjin Institute of Urban Construction
Tianjin Institute of Urban Construction
水力学
第9章 相似理论与量纲分析
能源与机械工程系
2019年9月11日星期三
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
实际工程中，有时流动现象极为复杂，即使经过简化，也难以通过解析的 方法求解。在这种情况下，就必须通过实验的方法来解决。
(2) 若在模型中测得入口和喉部断面的测管水头差 hm1.05m
，推算原型中的测管水头差 h n 应为多少?
解：此流动的主要作用力为压力和阻力，决定性相似准 则为Re数，非决定性相似准则为Eu数。
⑴ 由阻力相似的比尺关系
2019年9月11日星期三
流体力学
设
Tianjin Institute of Urban Construction
FPn FIn FPm FIm
改成
FPn FPm FIn FIm
FP pl2 FI l2v2
2019年9月11日星期三
流体力学
设
pn nvn2
pm mvm2