山东省日照青山学校人教版高中数学选修2-2课件：322复数的乘法(共21张PPT)
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人教版高中数学选修(2-2)-3.2《复数代数形式的乘除运算—乘法》参考教案
3.2.2复数代数形式的乘除运算——乘法教学目标：掌握复数的乘法的运算教学重点：掌握复数的乘法的运算教学过程一、复习：复数的加减法及其几何意义二、引入新课：１．乘法运算规则：规定复数的乘法按照以下的法则进行：设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.2.乘法运算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.∴z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3证明：设z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R).∵(z1z2)z3=［(a1+b1i)(a2+b2i)］(a3+b3i)=［(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i］(a3+b3i) =［(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3］+［(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3］i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可证：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，∴(z1z2)z3=z1(z2z3).(3)z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.证明：设z 1=a 1+b 1i ，z 2=a 2+b 2i ，z 3=a 3+b 3i (a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ). ∵z 1(z 2+z 3)=(a 1+b 1i )［(a 2+b 2i )+(a 3+b 3i )］=(a 1+b 1i )［(a 2+a 3)+(b 2+b 3)i ］=［a 1(a 2+a 3)-b 1(b 2+b 3)］+［b 1(a 2+a 3)+a 1(b 2+b 3)］i =(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i .z 1z 2+z 1z 3=(a 1+b 1i )(a 2+b 2i )+(a 1+b 1i )(a 3+b 3i )=(a 1a 2-b 1b 2)+(b 1a 2+a 1b 2)i +(a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 3+a 1b 3)i=(a 1a 2-b 1b 2+a 1a 3-b 1b 3)+(b 1a 2+a 1b 2+b 1a 3+a 1b 3)i=(a 1a 2+a 1a 3-b 1b 2-b 1b 3)+(b 1a 2+b 1a 3+a 1b 2+a 1b 3)i∴z 1(z 2+z 3)=z 1z 2+z 1z 3.（4）2||z z z。
0da10df0cd84b9d528ea81c758f5f61fb6362824
解析 z1＋z2＝(2＋12)－(12＋2)i＝52－52i.
1 2345
解析答案
2.若z＋3－2i＝4＋i，则z等于( B )
A.1＋i
B.1＋3i
C.－1－i
D.－1－3i
解析 z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
1 2345
解析答案
1 2345
3.在复平面内，O 是原点，O→A，O→C，A→B表示的复数分别为－2＋i，3＋ 2i,1＋5i，则B→C表示的复数为( C )
∴|z|＋z＝( x2＋y2＋x)＋yi＝1＋3i，
∴ x2＋y2＋x＝1， y＝3，
解得xy＝ ＝3－，4， ∴z＝－4＋3i.
解析答案
类型二 复数加、减法的几何意义
例2 (1)已知复数z1＝3＋2i，z2＝1－3i，则复数z＝z1－z2在复平 面内对应的点Z位于复平面内的第___一_____象限. 解析 z＝z1－z2＝(3＋2i)－(1－3i)＝2＋5i，z对应的点为(2,5)，位于第 一象限.
答案
知识点二 复数加减法的几何意义
思考1 复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出
发讨论复数加法的几何意义吗？ 答 如图，设O→Z1，O→Z2分别与复数 a＋bi，c＋di 对应， 则有O→Z1＝(a，b)，O→Z2＝(c，d)， 由向量加法的几何意义O→Z1＋O→Z2＝(a＋c，b＋d)， 所以O→Z1＋O→Z2与复数(a＋c)＋(b＋d)i 对应，复数的加法可 以按照向量的加法来进行.
复数加法的 几何意义
复数z1＋z2是以 O→Z1，O→Z2 为邻边的
平行四边形的对角线O→Z 所对应的
复数
复数减法的 几何意义
复数z1－z2是从向量O→Z2 的终点指 向向量 O→Z1的终点的向量 Z→2Z1 所对
人教版高中数学选修2-2课件：3.2.2 复数代数形式的乘除运算
考点类析
考点类析
[小结] 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式 进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等.
考点类析
考点二 复数的除法运算及应用 [导入] 如何理解复数的除法运算法则?
解:复数的除法运算通常先写成分式的形式,再把分母实数化(方法是分母 与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以i).
备课素材
2．复数与方程 例2 设关于x的方程x2－(tan α ＋i)x－(2＋i)＝0(α∈R)，若方 程有实数根，求锐角α的值，并 求出方程的所有根．
解：(x2－xtan α－2)＋(－x－1)i＝0， ∴x2－xtan α－2＝0，－x－1＝0， ∴x＝－1，tan α＝1，∴α＝45°.
当堂自测
考点类析
考点一 复数的乘法运算 例1 计算:(1)(4-i)(6+2i)-(7-i)(4+3i); (2)(1-2i)(3+4i)(-2+i).
解:(1)原式=(24+8i-6i+2)-(28+21i-4i+3)=(26+2i)-(31+17i)=-5-15i. (2)原式=(11-2i)(-2+i)=-20+15i.
z1·z2=z2·z1
(z1·z2)·z3=
z1·(z2·z3) z1z2+z1z3
z1(z2+z3)=
预习探究
[讨论] 复数的乘法与多项式的乘法有何不同?
解:复数的乘法与多项式的乘法是类似的,有一点不同的是必须在所得结果 中把i2换成-1.
预习探究
知识点二 共轭复数
共轭复数 a-bi
预习探究
高二数学(人教B版)选修2-2课件：3.2.2复数的乘法(共15张PPT)优秀课件PPT
2020年12月9日星期三
三、概念形成
普 概念1.复数的乘法
通 高 中
例子1：计算下列各式： (1)(2-3i)(4+2i)
课 (2)(1+2i)(3+4i)(-2+i)
程 (3)(a+bi)(a-bi)
标
准
Liangxiangzhongxue
2020年12月9日星期三
三、概念形成
普 概念1.复数的乘法
课 围内仍然成立，即对复数z，z1，z2和自然数m，n有：
程
标
准 z m • z n z m n( z m ) n z m n( z 1 • z 2 ) n z 1 n • z 2 n
Liangxiangzhongxue
例子2：计算下列各式： (1)(1-2i)2 (2)(1+i)2 (3)(1-i)2010
通
高
中 概念：共轭复数：实部相等，虚部互为相反数的两
课 程
个复数。z 的共轭复数记作 z
标
准
(1)实数的共轭复数是实数本身。 (2)两个共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模 的平方。
Liangxiangzhongxue
2020年12月9日星期三
三、概念形成
普 概念2.复数的乘方
通 高 中
复数的乘方也就是相同复数的乘积。根据乘法的运 算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范
书少成天勤什怀 劳才功山么小才的就天=有艰孩是也不在苦子百下路不展分学于的勤之望问，劳习勤一为未动的，的来求径奋+老灵,正人，感确真学来努什但，的懒百海么知徒力方惰分无法也的之伤才，+孩崖九学少悲能子十苦学谈享不九成空作受的到做话现汗舟功!在水!！! 人!！!!
人教版高中数学 选修2-2 第三章 2复数代数形式的乘除运算 上课(共39张PPT)教育课件
+
di)
=
ac c2
+ +
bd d2
+
bc -ad c2 + d2
i
其中(c + di 0).
9.在实际中我们进行复数相除的方法是： 先把两个复数相除写成分数形式，然 后把分子与分母都乘以分母的共轭复 数，使分母“实数化”，最后在化简.
随堂练习
填空 1.若Z∈C且(3+ Z)i =1,则Z = ( -3-i ). 2.(1+ 2i)2 = ( -3+4. i ).
进入我们 今天学习 的内容.
3.2.2
教学目标
知识与能力
•理解并掌握复数代数形式的乘、除 的运算法则、运算律. •深刻理解复数除法是其乘法的逆运 算.
过程与方法
•理解并掌握复数的除法运算实质是 分母实数化的问题 . •通过丰富的例题，让学生理解并掌 握复数代数形式的乘除运算.
情感态度与价值观
= 21+ 4 + 3i - 28i = 25 - 25i = 1- i.
25
25
–
凡 事 都 是 多 棱 镜 ， 不 同 的 角 度 会 看到 不 同 的 结 果 。 若 能 把 一 些事 看 淡 了 ， 就 会 有 个 好 心 境， 若 把 很 多 事 看开 了 ， 就 会 有 个 好 心 情 。 让 聚 散 离 合 犹如 月 缺 月 圆 那 样 寻 常 ，
:
设Z1 = a1 + b1i，Z2 = a2 + b2i，Z3 = a3 + b3i. 因为
Z（1 Z2 + Z3）
= (a1 + b1i)[(a2 + b2i) + (a3 + b3i)] = (a1 + b1i)[(a2 + a3 ) + (b2 + b3 )i] = [a1(a2 + a3 ) - b1(b2 + b3 )] + [b1(a2 + a3 ) + a1(b2 + b3 )]i
高中数学人教A版选修2-2课件3-2-2复数代数形式的乘除运算2
＝－
23－12＋12－
3
2
i
＝－1＋2
3＋1－2
3 i.
(2)－12＋ 23i(2－i)(3＋i)
＝－12＋ 23i(7－i)＝
32－7＋7
3＋1 2 i.
(3)1＋i i＋(1＋ 3i)2＝i－＋1i2＋1＋2 3i＋3i2
＝1－i＋1＋2 3i－3＝－1＋(2 3－1)i
(4)33＋ －44ii＝33＋－44ii33＋＋44ii
• [问题2] 如何规定两复数相除？
[提示] 通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成ac＋＋dbii的形式，再把
分子与分母都乘分母的共轭复数 c－di，化简后可得结果，
即
a＋bi c＋di
＝
a＋bic－di c＋dic－di
＝
ac＋bd＋bc－adi c2＋d2
＝
ac＋bd c2＋d2
＋
bcc2－ ＋add2 i(c＋di≠0)．
• 【错因】 没有将a2＋9，x2＋4写成一次因式的积的形式，多 项式a2＋b2在实数集中不能因式分解，但在复数集中可进行分 解．可理解为：a2＋b2＝a2－(bi)2＝(a＋bi)(a－bi)．
• 【正解】 (1)a2＋9＝a2＋32＝(a＋3i)(a－3i)． • (2)x3－x2＋4x－4 • ＝x2(x－1)＋4(x－1) • ＝(x－1)(x2＋4) • ＝(x－1)(x＋2i)(x－2i)．
预习自测
1．i 是虚数单位，复数11－－3ii＝(
)
A．2＋i
B．2－i
C．－1＋2i
D．－1－2i
解析： 11－－3ii＝11－－3ii11＋＋ii＝4－2 2i＝2－i.
• 答案： B
高二数学复数的乘法
例 1 计算 (1-2i)(3+4i)(-2+i) 解：(1-2i)(3+4i)(-2+i) =（11-2i)(-2+i) =-20+15i . 对于任意复数z=a+bi ,有 （a+bi)(a-bi)=a2+b2
即 z ∙z=|z|2=|z|2 .
例 2 计算
(1)(3 4i)(3 4i) (2)(1 i)2
证明：设z1=a+bi , z2=c+di (a,b,c,d ∈Ｒ) ，则 | z1∙z2 |=|(ac-bd)+(bc+ad)i| = (ac-bd)2+(bc+ad)2 = a2c2+b2d2+b2c2+a2d2
= (a2+b2)(c2+d2) = a2+b2 ∙ c2+d2 = | z1 | ∙ | z2 |
新课标人教版课件系列
《高中数学》
选修2-2
3.2.2《复数代数形的乘法的运算 • 教学重点： • 掌握复数的乘法的运算
一 、复数的乘法法则：
(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i
显然任意两个复数的积仍是一个复数.
解 (1)(3 4i)(3 4i) 32 (4i)2 9 (16) 25
(2)(1 i)2 1 2i i2 1 2i 1 2i
共轭复数:
一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数 时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不为0的共 轭复数也叫共轭虚数. 思考:
若 z1, z2 是共轭复数,那么
高中数学人教B版选修2-2课件：3.2.2 复数的乘法
题型一
题型二
题型三
题型四
2 解:(1)由 z1z3= ������2 , 得(x+yi)2=y+xi, 根据复数相等的充要条件,
3 ������ = , ������ 2 -������ 2 = ������, 2 得 (������ > 0), 解得 2������������ = ������ 1 ������ = . 2
【做一做1】 计算(1-i)4得( ) A.4 B.-4 C.4i D.-4i 解析:(1-i)4=[(1-i)2]2=(-2i)2=-4. 答案:B 【做一做2】 (1-2i)(3+4i)(-2+i)的运算结果是 解析:(1-2i)(3+4i)(-2+i)=(11-2i)· (-2+i)=-20+15i. 答案:-20+15i
11
=
=
3 1 + i 2 2
66
1 3 = (−i)66 - + i 2 2
66
= −1.
题型一
题型二
题型三
题型四
1,������ = 4������,������∈Z, 反思 1.i =
n
i,������ = 4������ + 1,������∈Z, -1,������ = 4������ + 2,������∈Z, -i,������ = 4������ + 3,������∈Z.
题型一
题型二
题Байду номын сангаас三
题型四
解法二:
������-������0 4-������������0
2
������-������0 ������-������0 = · 4-������������0 4-������������0 |������|2 + |������0 |2 -������������0 -������������0 = 2 2 16 + |������| |������0 | -4������������0 -4������������0 2 4 + |������0 | -������������0 -������������0 1 = = , 2 4(4 + |������0 | -������������0 -������������0 ) 4 ������-������0 1
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例2
求证:
(1).
(2)z2 （z）2.
(3) z1 z2 z1 z2 .
证明：（1）设z a bi,则z a bi,于是
z z (a bi)(a bi)
a 2 abi bai b2i 2
a2 b2
z2
2
z.
例2表明1.两个共轭复数的乘积等于这个复 数（或其共轭复数）模的平方.即
(abi)(abi)a2b2
(2)设z a bi,则
z2 (a b i)2 a 2 b 2 2 a b i,
( z)2 (a bi)2 a2 b2 2abi,
于是 z 2 （z）2. (3)设z1 a bi, z2 c di,则
z1 z2 （ac bd） (ad bc)i
z n个
类似于实数的乘方，记为
n
(zm)n zm n zmznzmn
.
(z1•z2)mz1m•z2m
规定i： 0 1
【探究】 i 的指数变化规律
i1 i , i2 1 , i3 i , i4 1
i5 _i_ , i6 -_1_ , i7 _-_i , i8 _1_
你能发现规律吗？有怎样的规律？
(3)(1 i)2 000 [(1 i)2 ]1 000 (2i)1 000 21 000 i1 000 21 000 1 21 000.
例5计算: z 1 i i2 i3 i2006 解： i4 n i4 n 1 i4 n 2 i4 n 3
1ii2i31i1i 0 ,
i 4n 1 , i4n1 i ,
i 4n2 1 , i4n3 i.
例3 计算(1 2i)2. 解：(1 2i)2 12 2 1 2i ( 2i)2
1 2 2i ( 2)2 i2
1 2 2i 2 (1)
1 2 2i.
例4 计算：i37;i28;i19;i90. 解： i37 i 491 i;
二. 数学方法： 虚数单位i的周期性应用
3(2)若复数 z 满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则 z 的虚部为(D )
A.－4
B.－45
C.4
4 D.5
解析 设z＝a＋bi，
故(3－4i)(a＋bi)＝3a＋3bi－4ai＋4b＝|4＋3i|，
所以33ba－＋44ab＝＝05，， 解得 b＝45.
课堂小结
一. 数学知识：(1)复数乘法运算 (2)复数乘方运算
讲解新课
1.复数的乘法：
(abi)(cdi)acadibcibdi2
（ a cb d)(b ca d)i
说明:(1) 两个复数的积仍然是一个复数；
(2) 把 i 2 换成－1，然后实、虚部分别合并.
例 1 已知z1=2+i, z2=3-4i,计算z1·z2.
解： z1·z2=(2+i)(3-4i) =6-8i+3i-4i2 =10-5i.
i28 i47 1; i19 i443 i; i90 i4222 1.
例 4 计 算 (1)(1i)2. (2)(1i)2. (3)(1i)2000.
解：(1)(1 i)2 12 2 1i i2 1 2i 1 2i.
(2)(1 i)2 12 21i i2 1 2i 1 2i.
例题讲解
练习1：计算。
(1)2 (3i)4 (2i)
(2 )1 (2 i)3 ( 4 i) 2 ( i)
练 习 2 ： (1 （ )42 i)(23 i)
( 2 ) 1 ( 2 i ) ( 3 4 i ) 2 ( i )
新课讲授
复数乘法满足的运算律：交换律、结合律 及分配律.
即z1z2 z2z1 (z1z2)z3 z1(z2z3) z1(z2 z3)z1z2 z1z3
（ ac bd） (ad bc)i，
z1 z2 （a bi）(c di)
（ ac bd） (ad bc)i，
于 是 z1 z2 z1 z2 .
复数完全平方公式 (a bi)2 a2 2abi b2 (a bi)2 a2 2abi b2
新课讲授
复数的乘方
定义：把 z z z（n N*）称为复数z的n次幂
复数的乘法
知识回顾
1.复数加减法的运算：
z 1 z 2 (a c ) ( b d ) i
设a，b，c，d∈R，则(a＋b)(c＋d)怎样展开？ (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，其中a，b，c， d∈R，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)，按照上述运算法则将 其展开，z1z2等于什么？
z 5( 1 0 i 1 i2 i3 ) i20 i0 24 0 i0 25 00 i4 50 i1 4 5 0 1 1i4 5 0 21 1ii2 i .
例题讲解
例 5 :当 x ,y 为 何 值 时 ， 复 数 3 4 i与 复 数 x y i 的 积 是 1 2 i?
1.若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为
(A )
A．3＋5i
B．3－5i
C．－3＋5i
D．－3－5i
2．(2012·上海高考)若1＋ 2 i是关于x的实系数方程x2＋
bx＋c＝0的一个复数根，则
(B )
A．b＝2c＝3 B．b＝－2，c＝3
C．b＝－2c＝－1 D．b＝2，c＝－1