2013年晶格振动光谱学习题(1)
3晶格振动复习
f nk
du dr
d2u dr 2
r0
xnk
1 2
d3u dr 3
r0
xn2k
f nk
du dr
d2u dr 2
r0
xnk
1 2
d3u dr 3
r0
xn2k
振动很微弱时，势能展开式中忽略掉（r）二次方及以上的高次项，
只保留到(r)项---简谐近似。
(忽略掉作用力中非线性项的近似---简谐近似。)
整理后，得 m 2 ( 2 eiaq eiaq ) (eix cos x i sin x)
m 2 [2 (cos aq i sinaq) (cos aq i sinaq)]
(2 2cos aq) 4 sin2 aq
2
振动角频率
2
sin aq
m
2
（3）.色散关系 2 sin aq
1.理解晶格振动的简谐近似
如果选取新的势能零点，使V(a0=0)，并令原子偏离平衡位置的位移为
x=a-a0，势能函数简化为
V (x) 1 x2
2
原子在平衡位置附近作微小振动的回复力为
F (x) dV x dx
简谐近似
显然，在简谐近似下，两个原子犹如倔强系数为β的弹簧相连接一样， 这一近似可以推广到一般三维晶体。
m
..
xn
nk
xn
xk
k
若只考虑最近邻原子的相互作用，则有：
..
M x 2n x2n x2n1 x 2n x2n1
x2n1 x2n1 2 x2n
..
x m 2n1 x2n1 x2n2 x 2n1 x2n
x2n2 x2n 2 x2n1
x2n+2
固体物理基础（邵起越）2012晶格振动作业答案
3. 下图为一晶体的晶格振动谱，此晶体为简单晶格还是复式晶格？并简单解释原因。
答：复式晶格；因为存在两支光学支，原胞应包含两个原子。
4. 根据你的理解，什么是声子？声子可以有多少种？你如
何理解声子的产生、消灭？
答：格波能量等价于一谐振子能量，是量子化的，即吸收或释放能量有一个最小单位ħ 。
声子即为格波能量的量子。
一种振动模式（或格波）对应一种声子。
N个原子组成的三维晶体对应3N种集体振动模式，即具有3N种声子。
固体内原子相互作用，从而形成不同的集体振动模式。
外界与晶格振动的相互作用，不是对某个原子的相互作用，实际上是对一种或多种振动模式的作用。
外界作用使某种振动模式的能量增加，对应声子数增加，产生声子；外界作用使某种振动模式的能量减少，对应声子数减少，声子消灭。
声子的产生和消灭就是对应振动模式能量的增加和减少。
晶格振动部分习题参考解答
晶格振动部分习题参考解答晶格振动部分习题参考解答9.设有一双子链最近邻原子间的力常数为和10，两种原子质量相等，且最近邻距离为a/2，求在q=0,q=aπ处的(q).并定性画出色散曲线。
m m 10 m m ____________________________________________________→←→←22aa 解：已知 21)cos 2(1212221212qa mmA ββββββω++-+=(1) 21)cos 2(12122212120a mmββββββω++-+= (2) 由题意 2＝101＝10代入（1）式得21)cos 20100(111222qa m m A ββββω++-= =21)cos 20101(11qa mm +-ββ=[]21)cos 20101(11qa m+-β当q=0时 0)1111(02=-==mq Aβω 当q=aπ时 mmaq A ββωπ2)911(2=-== 把2=101=10代入（2）式得 []21)cos 20101(1120qa m++βω＝当q=0时m q βω2202== 时aq π±= maq βωπ2020== 10.设三维晶格的光学格波在q=0的长波极限附近有i ω(q)=0－Aq 2（A0），求证光学波频率分布函数(格波密度函数)为：g()=∑-=)1(31s i 24πV2321)(0Ai ωω- i ω≤0g()=0 i ω>0证：由格波密度函数的定义已知，对一支格波在d i ω区间格波数为g (i ω)d i ω=q d d Viτπωωω+3)2(由题意可知在长波极限下等频率面为球面则g(i ω)d i ω=dq q V234)2(ππ 当i ω0ω≤时因为 q 2＝Aq i )(0ωω－ Aq q i )(0ωω-=dq=－[]2121)(2)(0q A q d i i ωωω-所以g(i ω)=2121)(214)2(003i i A A V ωωωωππ--?-??= －2321204)(AV i πωω- 由模式密度的物理意义，取其绝对值而当i ω>0ω时因为i ω＝0ω－Aq 2 所以Aq 2=0ω－i ω 又因为 A >0 q 2>0 (因为q 本身为实数)所以上式右边必满足0ω>i ω 即不存在i ω>0ω的格波则则 g(i ω)=0 又因为三维晶体中共要有3（S －1）支光学格波所以光学波频率分布函数为： g 21203314)()(AV i S i πωωω-=∑-= i ω≤0ωg(ω)=0 ω> 0ω 11．求一维单原子链的格波密度函数；若用德拜模型，计算系统的零点能。
第五章晶格振动习题和答案
第五章 晶格振动习题和答案1．什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？[解答] 为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线性项忽略掉的近似称为间谐近似。
在间谐近似下，由N 个原子构成的晶体的晶格振动，可等效成3N 个独立的谐振子的振动。
每个谐振子的振动模式称为间正振动模式，它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动，它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式。
原子的振动，或者说格波振动通常是这3N 个简正振动模式的线性迭加。
简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事，这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和，即等3N 。
2．长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别？[解答] 长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动，振动频略较高，它包含了晶格振动频率最高的振动模式。
长声学支格波的特征原胞内的不同原子没有相对位移，原胞做整体运动，振动频率较低，它包含了晶格振动频率最低的振动模式，波速是一常数。
任何晶体都存在声学支格波，但简单晶格（非复式格子）晶体不存在光学支格波。
3． 温度一定，一个光学波的声子数目多呢，还是声学波的声子数目多？ [解答] 频率为ω的格波的（平均）声子数为11)(/-=T k B e n ωω因为光学波的频率0ω比声学波的频率A ω高，（1/0-Tk B eω ）大于（1/-T k B A e ω ），所以在温度一定情况下，一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。
4． 对同一个振动模式，温度高时的声子数目多呢，还是温度低时的声子数目多呢？[解答] 设温度H T 〉L T ，由于（1/-HB T k eω ）大于（1/-L B T k e ω ），所以对同一个振动模式，温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目。
5． 高温时，频率为ω的格波的声子数目与温度有何关系？[解答] 温度很高时，T k eB Tk B /1/ωω +≈ ，频率为ω的格波的（平均）声子数为ωωω Tk e n B T k B ≈-=11)(/ 可见高温时，格波的声子数目与温度近似成正比。
现代分析测试技术_06振动光谱分析综合练习
第六章振动光谱分析（红色的为选做，有下划线的为重点名词或术语或概念）1．名词、术语、概念：波数，分子振动，伸缩振动，变形振动（或弯曲振动、变角振动），运动自由度，振动自由度，简并，分裂，倍频峰，组频峰，泛音峰，振动耦合，费米共振，特征振动频率与特征振动吸收带，内振动，外振动（晶格振动），红外活性与非活性，拉曼效应，拉曼散射，斯托克斯线，反斯托克斯线，拉曼位移，偏振度（或退偏度、退偏比）。
2．光谱工作者常常把红外区分成三个区域，即（）、（）和（）。
3．若一个分子是由N个原子组成，则线性分子的运动自由度为（），振动自由度为（），转动自由度为（），平移自由度为（）。
4．若一个分子是由N个原子组成，则非线性分子的运动自由度为（），振动自由度为（），转动自由度为（），平移自由度为（）。
5．水分子（H2O）的振动自由度为（），转动自由度为（），平移自由度为（）。
6．二氧化碳分子（CO2）的振动自由度为（），转动自由度为（），平移自由度为（）。
7．氯化氢分子（HCl）的振动自由度为（），转动自由度为（），平移自由度为（）。
8．红外辐射与物质相互作用产生红外吸收光谱，必须有分子偶极矩的变化。
只有发生偶极矩变化的分子振动，才能引起可观测到的红外吸收光谱带，称这种分子振动为（），反之则称为（）。
9．按分光原理，红外光谱仪可分为两大类：即（）和（）红外光谱仪。
10．色散型红外光谱仪，按分光元件不同，可分为（）和（）红外分光光度计；按光束可为分（）和（）红外分光光度计。
11．干涉型红外光谱仪又称为（）红外光谱仪，其英文缩写是（）。
12．红外光谱的实验方法有透射法和反射法，反射法主要有（）、（）和（）。
13．某一键或基团的振动频率有其特定值，它虽然受周围环境的影响，但不随分子构型作过大的改变，这一频率称为某一键或基团的（），而其吸收带称为（）。
14．中红外光谱不仅包括振动能级的跃迁，也包括转动能级的跃迁，故又称为振转光谱。
波谱分析习题1峰的裂分数反应的是相邻碳原子上的质子数因此
波谱分析习题1峰的裂分数反应的是相邻碳原子上的质子数因此波谱分析习题1. 峰的裂分数反应的是相邻碳原子上的质子数，因此化合物ClCH-CH-COO-CH 中223-CH-基团应该表现为( C ) 2A. 四重峰; B单峰; C. 两重峰; D. 三重峰。
3. 炔烃化合物如用红外光谱判断它主要依据的谱带范围为 ( C )-1-1-1A.3300—3000cm( B.3000—2700cm C.2400—2100cm -1-l D.1900—1650cm E.1500一1300cm4(紫外光谱中观察到200-400nm范围几乎没有明显的吸收，可能是含有以下哪种基团( D )A. 羰基;B. 苯环;C. 双烯;D. 烷基。
6.计算化合物CHNO的不饱和度是( D ) 772A. 7;B. 8;C. 6;D. 5。
7. 一般来说，下列有机化合物的分子离子峰的丰度最高的是:( A ) A. 芳香化合物; B. 酮; C. 胺; D. 支链烷烃++++++8. 下列碳正离子CHCH; CH=CHCH;RC;RCH;RCH;CH 稳定性最652223223高的是 B++++A. CH=CHCH; B. CHCH;C. RC;D. CH 22652339. 确定碳的相对数目时，应测定( B )A、全去偶谱B、偏共振去偶谱C、门控去偶谱D、反门控去偶谱二、填空题1. 苯胺的氨基属于团，在碱性条件下紫外光谱的最大吸收波长会发生 ;苯胺存在以下跃迁类型:,,,*、、、。
2. 单色器中和是最常见的分光元件，用于获得单色光。
3. 紫外可见吸收光谱起源于能级跃迁，红外光谱起源于能级跃迁，只有化学键或基团的发生变化，才会产生红外吸收。
4. 酮、醇、醚等的分子离子，有多个α健，在裂解时，失去的烷基游离，反应愈有利。
5. 由于氢核的化学环境不同而产生的谱线位移称为，用符号表示;相邻两个氢核之间的相互干扰称为自旋偶合，用 (J)来衡量干扰作用的大小6. 含有π键的不饱和基团称为 ;本身没有生色功能，但当它们与含有π键的不饱和基团相连时，就会发生n—π共轭作用，增强其生色能力，这样的基团称为。
(整理)第三章晶格振动与晶体热学性质习题解答
第三章晶格振动与晶体热学性质习题解答1. 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 其最大振幅是否相同?[解答]以同种原子构成的一维双原子分子链为例, 相距为不是晶格常数倍数的两个同种原子, 设一个原子的振幅A, 另一个原子振幅B, 由本教科书的(3.16)可得两原子振幅之比(1)其中m原子的质量. 由本教科书的(3.20)和(3.21)两式可得声学波和光学波的频率分别为, (2). (3)将(2)(3)两式分别代入(1)式, 得声学波和光学波的振幅之比分别为, (4). (5)由于=，则由(4)(5)两式可得, . 即对于同种原子构成的一维双原子分子链, 相距为不是晶格常数倍数的两个原子, 不论是声学波还是光学波, 其最大振幅是相同的.2. 引入玻恩卡门条件的理由是什么?[解答](1)(1)方便于求解原子运动方程.由本教科书的(3.4)式可知, 除了原子链两端的两个原子外, 其它任一个原子的运动都与相邻的两个原子的运动相关. 即除了原子链两端的两个原子外, 其它原子的运动方程构成了个联立方程组. 但原子链两端的两个原子只有一个相邻原子, 其运动方程仅与一个相邻原子的运动相关, 运动方程与其它原子的运动方程迥然不同. 与其它原子的运动方程不同的这两个方程, 给整个联立方程组的求解带来了很大的困难.(2)(2)与实验结果吻合得较好.对于原子的自由运动, 边界上的原子与其它原子一样, 无时无刻不在运动. 对于有N个原子构成的的原子链, 硬性假定的边界条件是不符合事实的. 其实不论什么边界条件都与事实不符. 但为了求解近似解, 必须选取一个边界条件. 晶格振动谱的实验测定是对晶格振动理论的最有力验证(参见本教科书§3.2与§3.4). 玻恩卡门条件是晶格振动理论的前提条件. 实验测得的振动谱与理论相符的事实说明, 玻恩卡门周期性边界条件是目前较好的一个边界条件.3.什么叫简正振动模式？简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是否是一回事？[解答]为了使问题既简化又能抓住主要矛盾，在分析讨论晶格振动时，将原子间互作用力的泰勒级数中的非线形项忽略掉的近似称为简谐近似. 在简谐近似下, 由N 个原子构成的晶体的晶格振动, 可等效成3N个独立的谐振子的振动. 每个谐振子的振动模式称为简正振动模式, 它对应着所有的原子都以该模式的频率做振动, 它是晶格振动模式中最简单最基本的振动方式. 原子的振动, 或者说格波振动通常是这3N个简正振动模式的线形迭加.简正振动数目、格波数目或格波振动模式数目是一回事, 这个数目等于晶体中所有原子的自由度数之和, 即等于3N.4.长光学支格波与长声学支格波本质上有何差别?[解答]长光学支格波的特征是每个原胞内的不同原子做相对振动, 振动频率较高, 它包含了晶格振动频率最高的振动模式. 长声学支格波的特征是原胞内的不同原子没有相对位移, 原胞做整体运动, 振动频率较低, 它包含了晶格振动频率最低的振动模式, 波速是一常数. 任何晶体都存在声学支格波, 但简单晶格(非复式格子)晶体不存在光学支格波.5. 晶体中声子数目是否守恒?[解答]频率为的格波的(平均) 声子数为,即每一个格波的声子数都与温度有关, 因此, 晶体中声子数目不守恒, 它是温度的变量.按照德拜模型, 晶体中的声子数目N’为.作变量代换，.其中是德拜温度. 高温时,,即高温时, 晶体中的声子数目与温度成正比.低温时, ,,即低温时, 晶体中的声子数目与T 3成正比.6.温度一定，一个光学波的声子数目多呢, 还是声学波的声子数目多?[解答]频率为的格波的(平均) 声子数为.因为光学波的频率比声学波的频率高, ()大于(), 所以在温度一定情况下, 一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目.7.对同一个振动模式, 温度高时的声子数目多呢, 还是温度低时的声子数目多?[解答]设温度T H>T L, 由于()小于(), 所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.8.高温时, 频率为的格波的声子数目与温度有何关系?[解答]温度很高时, , 频率为的格波的(平均) 声子数为.可见高温时, 格波的声子数目与温度近似成正比.9. 从图3.6所示实验曲线, 你能否判断哪一支格波的模式密度大? 是光学纵波呢, 还是声学纵波?[解答]从图3.6所示实验曲线可以看出, 在波矢空间内, 光学纵波振动谱线平缓, 声学纵波振动谱线较陡. 单位频率区间内光学纵波对应的波矢空间大, 声学纵波对应的波矢空间小. 格波数目与波矢空间成正比, 所以单位频率区间内光学纵波的格波数目大. 而模式密度是单位频率区间内的格波数目, 因此光学纵波的模式密度大于声学纵波的模式密度.10.喇曼散射方法中，光子会不会产生倒逆散射？[解答]晶格振动谱的测定中, 光波的波长与格波的波长越接近, 光波与声波的相互作用才越显著. 喇曼散射中所用的红外光，对晶格振动谱来说, 该波长属于长波长范围. 因此, 喇曼散射是光子与长光学波声子的相互作用. 长光学波声子的波矢很小, 相应的动量不大. 而能产生倒逆散射的条件是光的入射波矢与散射波矢要大, 散射角也要大. 与大要求波长小, 散射角大要求大(参见下图), . 但对喇曼散射来说, 这两点都不满足. 即喇曼散射中，光子不会产生倒逆散射.11.长声学格波能否导致离子晶体的宏观极化?[解答]长光学格波所以能导致离子晶体的宏观极化, 其根源是长光学格波使得原胞内不同的原子(正负离子)产生了相对位移. 长声学格波的特点是, 原胞内所有的原子没有相对位移. 因此, 长声学格波不能导致离子晶体的宏观极化.12.金刚石中的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率是否相等? 对KCl晶体, 结论又是什么?[解答]长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 电场的方向是阻滞离子的位移, 使得有效恢复力系数变大, 对应的格波的频率变高. 长光学格横波不引起离子的位移, 不产生极化电场, 格波的频率不变. 金刚石不是离子晶体, 其长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率相等. 而KCl晶体是离子晶体, 它的长光学纵波频率与同波矢的长光学格横波频率不相等, 长光学纵波频率大于同波矢的长光学格横波频率.13.何谓极化声子? 何谓电磁声子?[解答]长光学纵波引起离子晶体中正负离子的相对位移, 离子的相对位移产生出宏观极化电场, 称长光学纵波声子为极化声子.由本教科书的(3.103)式可知, 长光学横波与电磁场相耦合, 使得它具有电磁性质, 人们称长光学横波声子为电磁声子.14.你认为简单晶格存在强烈的红外吸收吗？[解答]实验已经证实, 离子晶体能强烈吸收远红外光波. 这种现象产生的根源是离子晶体中的长光学横波能与远红外电磁场发生强烈耦合. 简单晶格中不存在光学波, 所以简单晶格不会吸收远红外光波.15.对于光学横波, 对应什么物理图象?[解答]格波的频率与成正比. 说明该光学横波对应的恢复力系数.时, 恢复力消失, 发生了位移的离子再也回不到原来的平衡位置, 而到达另一平衡位置, 即离子晶体结构发生了改变(称为相变). 在这一新的结构中, 正负离子存在固定的位移偶极矩, 即产生了自发极化, 产生了一个稳定的极化电场.16. 爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源是什么?[解答]按照爱因斯坦温度的定义, 爱因斯坦模型的格波的频率大约为, 属于光学支频率. 但光学格波在低温时对热容的贡献非常小, 低温下对热容贡献大的主要是长声学格波. 也就是说爱因斯坦没考虑声学波对热容的贡献是爱因斯坦模型在低温下与实验存在偏差的根源.17.在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献合理吗?[解答]参考本教科书（3.119）式, 可得到光学波对热容贡献的表达式.在甚低温下, 对于光学波, , 上式简化为.以上两式中是光学波的模式密度, 在简谐近似下, 它与温度无关. 在甚低温下, , 即光学波对热容的贡献可以忽略. 也就是说, 在甚低温下, 不考虑光学波对热容的贡献是合理的.从声子能量来说, 光学波声子的能量很大(大于短声学波声子的能量), 它对应振幅很大的格波的振动, 这种振动只有温度很高时才能得到激发. 因此, 在甚低温下, 晶体中不存在光学波.18.在甚低温下, 德拜模型为什么与实验相符?[解答]在甚低温下, 不仅光学波得不到激发, 而且声子能量较大的短声学格波也未被激发, 得到激发的只是声子能量较小的长声学格波. 长声学格波即弹性波. 德拜模型只考虑弹性波对热容的贡献. 因此, 在甚低温下, 德拜模型与事实相符, 自然与实验相符.19.在绝对零度时还有格波存在吗? 若存在, 格波间还有能量交换吗?[解答]频率为的格波的振动能为,其中是由个声子携带的热振动能, ()是零点振动能, 声子数.绝对零度时, =0. 频率为的格波的振动能只剩下零点振动能.格波间交换能量是靠声子的碰撞实现的. 绝对零度时, 声子消失, 格波间不再交换能量.20.温度很低时, 声子的自由程很大, 当时, , 问时, 对于无限长的晶体, 是否成为热超导材料?[解答]对于电绝缘体, 热传导的载流子是声子. 当时, 声子数n. 因此,时, 不论晶体是长还是短, 都自动成为热绝缘材料.21.石英晶体的热膨胀系数很小, 问它的格林爱森常数有何特点?[解答]由本教科书(3.158)式可知, 热膨胀系数与格林爱森常数成正比. 石英晶体的热膨胀系数很小, 它的格林爱森常数也很小. 格林爱森常数大小可作为晶格非简谐效应大小的尺度. 石英晶体的格林爱森常数很小, 说明它的非简谐效应很小.。
《谱学导论》各章习题+参考答案
第一章习题1. 127 I35Cl 的转动常数是0.1142 cm -1，计算ICl 的键长。
2. 12C16O2 的转动常数是0.39021 cm -1。
计算分子的键长。
3. 已知14N16O 的键长是115 pm 。
计算该分子J 3 2跃迁的纯转动光谱的频率。
4. 计算12C16O 分子J 2 1纯转动跃迁的频率。
已知分子的键长是112.81 pm 。
5. 已知35Cl19 F 转动常数是 1.033 cm -1，计算分子的转动惯量和键长。
6. 下列那些分子有纯转动光谱？H2、HCl、CH4、CH3Cl。
7. 下列那些分子有红外吸收光谱？O2、CCl3-CCl3、HF、CO2。
8. 35Cl2 的振动基频是564.9 cm -1，计算分子化学键的力常数。
9. 79Br81Br 振动基频是323.2 cm -1。
计算分子化学键的力常数。
10. 拉曼光谱的入射频率是20487 cm -1，计算O2 分子J 2 0的Stokes 线的波数。
11. 拉曼光谱的入射频率是20623 cm -1，计算N2 分子J 4 2 的Stokes 线的波数。
12. 实验测定得到H2 和D2 在入射波长为488.0 nm 的激光照射下的大拉曼位移分别是612.1 nm 和571.4 nm 。
计算他们的力常数并说明力常数变化不大的原因。
13. 对下列点群，写出给定直积表示的特征标，并约化成不可约表示的直和：（1）C2h 点群：A u B g（2）C4v 点群：A2 B2 Ei ? 不等于零时，F?应该属于那些不可约表示？14. 求积分 F dj（1）D3 点群：i A2 ，j E（2）C2v 点群：i A2 ，j B215. 画出乙炔分子所有可能的简正振动方式，并指出哪些是有红外活性的，哪些没有？16. 写出下列分子的基态和第一激发态的电子谱项，并根据选律判断，哪些跃迁是允许的，哪些是禁阻的？（1）H2；（2）LiH；（3）N217. HCl 分子的光谱学解离能D e=5.33eV ，~ 2989.7cm ，~-1 -1e =52.05 cm 。