对数函数单调性练习及答案

对数函数单调性练习
一、填空题
1.已知函数y=loga（3-ax）在[0，2）上是关于x的减函数，则实数a的取值范围为
2.函数f（x）=log2（x2-ax-4）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的范围是
3.已知函数y=log2（x2-ax-a）定义域为R，则实数a的取值范围是
4.已知函数f（x）=loga（ax2-x+3）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是
5.已知函数f（a）=loga（x2-ax+3（a＞0，a≠1））满足：对实数α，β，当α＜β≤a/2 时，总有f（α）-f（β）＞0，则实数a的取值范围是
二、选择题
6.已知函数f（x）=log（2a-1）（x2-1）在区间（2，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）
7.若函数f(x)=log3(x2-2ax+5)在区间（-∞，1]内单调递减，则a的取值范围是（）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．[1，3） D．[1，3]
8.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）
9.函数f（x）=log3（x2-ax-1）在区间（1，2）上是增函数，则实数a的范围是（）
三、解答题
10.已知函数f（x）=log3x（1）若函数f（x2-2ax+3）在区间[2，+∞）上单调递增，求正实数a的取值范围；（2）若关于x的方程f（ax）•f（ax2）=f（3）的解都在区间（0，1）内，求实数a的范围．
11.已知a＞1，函数f（x）=loga（x2-ax+2）在x∈[2，+∞）时的值恒为正．
（1）a的取值范围；
（2）记（1）中a的取值范围为集合A，函数g（x）=log2（tx2+2x-2）的定义域为集合B．若A∩B≠∅，求实数t的取值范围．
对数函数单调性练习答案
一填空题
1.已知函数y=loga（3-ax）在[0，2）上是关于x的减函数，则实数a的取值范围为
解：∵a＞0且a≠1，∴t=3-ax为减函数．依题意a＞1，又t=3-ax在[0，2）上应有t＞0，
∴3-2a＞0．∴a＜3/2 ．故1＜a＜3/2 ．
2. 函数f（x）=log2（x2-ax-4）在区间[2，4]上是增函数，则实数a的范围是
解：∵函数f（x）=log2（x2-ax-4）在区间[2，4]上是增函数∴y=x2-ax-4在区间[2，4]上是增函数，且y＞0恒成立∴ a /2 ≤2 22-2a-4＞0 解得：a＜0
3.已知函数y=log2（x2-ax-a）定义域为R，则实数a的取值范围是（-4，0）
解：∵函数y=log2（x2-ax-a）的定义域为R，∴x2-ax-a＞0对于任意的实数都成立；则有△＜0，a2+4a ＜0解得a∈（-4，0）；
4.已知函数f（x）=loga（ax2-x+3）在[2，4]上是增函数，则实数a的取值范围是(1/16 ，1/8 ]∪(1，+∞)
解：设μ=ax2-x+3．则原函数f（x）=loga（ax2-x+3）是函数：y=logaμ，μ=ax2-x+3的复合函数，
①当a＞1时，因μ=logax在（0，+∞）上是增函数，根据复合函数的单调性，得函数μ=ax2-x+3在[2，
4]上是增函数，∴a×22-2+3＞0 1/2a ≤2 ∴a＞1．
②当0＜a＜1时，因μ=logax在（0，+∞）上是减函数，根据复合函数的单调性，得函数μ=ax2-x+3在[2，4]上是减函数，∴a×42-4+3＞0 1/2a ≥4 ∴1/16＜a≤1/8 ．
综上所述：a∈(1/16 ，1/8 ]∪(1，+∞)
5.已知函数f（a）=loga（x2-ax+3（a＞0，a≠1））满足：对实数α，β，当α＜β≤a/2 时，总有f（α）-f（β）＞0，则实数a的取值范围是（1，23）
解：若对实数α，β，当α＜β≤a/2 时，总有f（α）-f（β）＞0，则函数f（x）在区间（-∞，a/2 ]单调递减，若函数的解析式有意义则x2-ax+3＞0令u= x2-ax+3
若0＜a＜1时，则f（u）为减函数，u=x2-ax+3在区间（-∞，a/2 ]单调递减，则复合函数为增函数，不满足条件,若a＞1时，则f（u）为增函数，u=x2-ax+3，在区间（-∞，a/2 ]单调递减，则复合函数在其定义域上为减函数且满足f（a/2 ）=12-a2/4 ＞0，解得-23＜a＜23∴满足条件的实数a的取值范围（1，23）
二、选择题
6.已知函数f（x）=log（2a-1）（x2-1）在区间（2，+∞）上是减函数，则a的取值范围是（）
A．0＜a＜1/2 B．1/2＜a＜1 C．0＜a＜1 D．a＞1
解：x2-1在区间（2，+∞）上是增函数，所以2a-1∈（0，1）时，函数f（x）=log（2a-1）（x2-1）在区间（2，+∞）上是减函数，所以1/2 ＜a＜1故选B．
7.若函数f(x)=log3(x2-2ax+5)在区间（-∞，1]内单调递减，则a的取值范围是（）
A．[1，+∞） B．（1，+∞） C．[1，3） D．[1，3]
解：令g（x）=x2-2ax+5，则函数在区间（-∞，1]内单调递减，且恒大于0∴a≥1且g（1）＞0∴a≥1且6-2a＞0∴1≤a＜3 ∴a的取值范围是[1，3）故选C．
8.已知函数f（x）=log2（x2-ax+3a）在区间[2，+∞）上递增，则实数a的取值范围是（）
A．（-∞，4） B．（-4，4] C．（-∞，-4）∪[2，+∞） D．[-4，2）
解：令t（x）=x2-2ax+3，x2-ax+3a由题意知：t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且f（x）＞0
a/2 ≤2 t(2)=4-2a+3a＞0 又a∈R+解得：-4＜a≤4则实数a的取值范围是（-4，4]故选B．
9.函数f（x）=log3（x2-ax-1）在区间（1，2）上是增函数，则实数a的范围是（）
A．（-∞，0] B．（-∞，0） C．（-∞，2] D．（-∞，2）
解：令t（x）=x2-ax-1，由题意知：t（x）在区间（1，2）上单调递增且t（x）＞0∴ a /2 ≤1 -a≥0 ∴a≤0故选A
三、解答题
10.已知函数f（x）=log3x（1）若函数f（x2-2ax+3）在区间[2，+∞）上单调递增，求正实数a的取值范围；（2）若关于x的方程f（ax）•f（ax2）=f（3）的解都在区间（0，1）内，求实数a的范围．
解：（1）令t（x）=x2-2ax+3，由题意知：t（x）在区间[2，+∞）上单调递增且f（x）＞0
a≤2 t(2)=4-4a+3＞0 又a∈R+解得：0＜a＜7/4
（2）易知a＞0 f（ax）•f（ax2）=f（3）令t=log3x可化为关于t的一元二次方程
2t2+（3log3a）t+（log3a）2-1=0只有负根△=9(log3a)2-8((log3a)2-1)≥0 -3log3a /2 ＜0
2
1 )
3
(log2
a
＞0 解得：loga3＞1，∴a＞3
11.已知a＞1，函数f（x）=loga（x2-ax+2）在x∈[2，+∞）时的值恒为正．
（1）a的取值范围；
（2）记（1）中a的取值范围为集合A，函数g（x）=log2（tx2+2x-2）的定义域为集合B．若A∩B≠∅，求实数t的取值范围．
解：（1）x2-ax+2＞1在x∈[2，+∞）时恒成立．即a＜x+1 x 在x∈[2，+∞）时恒成立．
又函数x+1/x 在[2，+∞）上是增函数，所以(x+1/x )min=5/2 ，从而1＜a＜5/2 ．
（2）A=(1，5/2 )，B={x|tx2+2x-2＞0}．由于A∩B≠∅，所以不等式tx2+2x-2＞0有属于A的解，
即t＞2 x2 -2 x 有属于A的解．又1＜x＜5/2 时，2/5 ＜1/x ＜1，
所以2 x2 -2 x =2(1/x -1/2)2-1/2∈[-1 2 ，0)．故t＞-1/2 ．。