质点动力学基础
大学物理第一章-质点运动学和第二章-质点动力学基础
i
k
j
这样：A B ( Ax i Ay j Az k ) ( Bx i B y j Bz k )
矢量的数积（数乘）： mA mAx i mAy j mAz k
z
Δr r ( A)
o
A
B
r ( B) y
x rA x Ai y A j rB xB i yB j 位移 r rB rA ( x x )i ( y y ) j B A B A 三维空间
r ( xB x A )i ( yB y A ) j ( zB z A )k 2 2 2 r x y z 位移的大小为
瞬时加速度 与瞬时速度的定义相类似，瞬时加速速度是一个 极限值 2 v
a lim
t 0
d r d v dt dt2 t
瞬时加速度简称加速度，它是矢量，在直角坐 标系中用分量表示:
2 d vx d x ax 2 dt dt d vy d2 y ay dt dt2 d vz d 2 z az dt dt2
§1-1
参考系与坐标系
时间
要定量描述物体的位臵与运动情况，就要运用 数学手段，采用固定在参考系上的坐标系。
常用的坐标系有直角坐标系 (x,y,z) ，极坐标系 (,)，球坐标系(R,, )，柱坐标系(R, ,z )。 z z
z y x o x
o
R y R
参考方向
2. 空间和时间
切向单位矢量
法向单位矢量 n
et
显然，轨迹上各点处，自然坐标轴的方位不断变化。
基础物理学 第四章(2)
一、质点的动量定理 dv 牛顿第二定律表述为： ma m F
dt
式中F为质点所受合力，由于质量m为常量，所以有
d (mv ) F dt
d义质点的动量：
p mv
动量是矢量，方向与质点的速度同向。 定义Fdt为dt时间内力F对质点的元冲量，用dI表示，即
14
普 通 物理学
三、质点动量定理的积分形式
对动量定理表达式两边同乘 dt，积分： p2 t2 t2 p1 dp t1 Fdt t1 dI t2 p2 p1 Fdt I t1 t2 右边称合力的冲量，表示为： I Fdt t1 t 于是有： Fdt mv mv0
dI 1 dI 2 dI n
即合力对质点的元冲量等于各分力对质点元冲量的矢 量和。
13
普 通 物理学
二、质点的动量守恒定律
若在某一过程中，质点所受合力恒为零，即F=0,则在 该过程中质点的动量守恒，即P=C（常矢量）。
d pl Fl dt
ˆ 质点动量沿 el 方向的分量守恒
t0
质点动量定理：质点所受的外力冲量，等于 质点动量的增量。
15
普 通 物理学
动量定理的分量式：
I x Fx dt mvx mv0 x
t t0
I y Fy dt mvy mv0 y
t t0
t
I Z FZ dt mv Z mv 0 Z
t0
16
普 通 物理学
1
ˆ (5 N s ) ˆ (7 N s)i j
19
普 通 物理学
由动量定理
mv2 mv1 I
第2章质点和质点系动力学
☆
静止在车厢中的小球受到绳的拉力和重力的作用，
这两个力的合力不为零，小球与车厢一起以加速度运动，
符合牛顿第二定律。
在车厢参考系看来， 相对车厢小球静止，而受到的合力不为零， 这是由于车厢不是惯性系，因此牛顿第二定律不适用。
引入惯性力 (ma0 ) ，
T
拉力、重力、惯性力
这三个力的合力为零，
ma0
m
a0
引入惯性力后
牛顿第二定律
W
适用于车厢
这个非惯性系
等效原理 （阅读）
☆
《大学基础物理学》清华大学出版社（2003）－56页
N
m
N
mg
a
/
m
mg
2.参考系之间加速转动
☆
相对惯性系转动的参考系也不是惯性系。
要在转动参考系中应用牛顿第二定律也要引进惯性力，
但其中的惯性力与加速平动参考系中的惯性力不同。
fd kv
三 惯性力
☆
1.参考系之间加速平动
a K K 系为惯性系，K / 系相对 系作加速平动，加速度为 0
m 若质量为 的质点，在力 F
K a 相对于 系的加速度为 ，相对
的作用下，
K /系的加速度为
a
/
/
a a a0
对于 K 系F，由 于m设a 为惯m性(a系/，牛a顿0 )第二定律是成立
f
R —地球半径
—地球自转的角速度
—物体所在处的纬度
力学第2次课结束
例1
☆
在皮带运输机中， 设砖块与皮带之间的，
静摩擦系数为 s ，
砖块的质量为 m ，
理论力学第10章 质点动力学
y
ω O φ
A β
B
如滑块的质量为m，忽略摩擦及连 杆AB的质量，试求当 t 0 和 时，连杆AB所受的力。
π 2
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
运 动 演 示
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-1
y
解：
ω O φ
A
β B
以滑块B为研究对象，当φ=ωt 时，受力 如图。连杆应受平衡力系作用，由于不计连 杆质量，AB 为二力杆，它对滑块B的拉力F沿 AB方向。 写出滑块沿x轴的运动微分方程
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
解： 以弹簧未变形处为坐标原点O，物块
在任意坐标x处弹簧变形量为│x│ ，弹簧 力大小为 F k x ，并指向点O，如图所 示。 则此物块沿x轴的运动微分方程为
F O x
m
x
d2 x m 2 Fx kx dt
或 令
d2 x m 2 kx 0 dt
mg
绳的张力与拉力F的大小相等。
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
物块在光滑水平面上与弹簧相连，如图所示。物块
质量为 m ，弹簧刚度系数为 k 。在弹簧拉长变形量为 a 时， 释放物块。求物块的运动规律。
F
O x
m
x
§10.3 质点动力学的两类基本问题 例 题 10-3
运 动 演 示
应用质点运动微分方程，可以求解质点动力学的两类问题。
§10.3 质点动力学的两类基本问题
第一类基本问题：已知质点的运动，求作用于质点上的力。 也就是已知质点的运动方程，通过其对时间微分两次得到质 点的加速度，代入质点运动微分方程，就可得到作用在质点 上的力。
动力学基本定律（牛顿定律）
1.第⼀定律——惯性定律
任何质点如不受⼒的作⽤，则将保持静⽌或匀速直线运动状态。
这个定律表明了任何质点都有保持静⽌或匀速直线运动状态的属性。
这种属性称为该质点的惯性。
所以第⼀定律叫做惯性定律。
⽽质点作匀速直线运动称为惯性运动。
由惯性定律可知.如果质点的运动状态(静⽌或匀速直线状态)发⽣改变，即有了加速度，则质点上必受到⼒的作⽤。
因此，⼒是物体运动状态改变的原因。
2.第⼆定律——⼒与加速度的关系定律
质点受⼀⼒F作⽤时所获得的加速度a的⼤⼩与⼒F的⼤⼩成正⽐，⽽与质点的质量成反⽐;加速度的⽅向与作⽤⼒⽅向相同，即
ma=F (4-3-1)
如果质点同时受⼏个⼒的作⽤，则上式中的F应理解为这些⼒的合⼒,⽽a应理解为这些⼒共同作⽤下的质点的加速度，这样式(4—3—1)可写为
ma=ΣFi (4-3-2)
式(4—3—1)或式4—3—2)称为质点动⼒学基本⽅程。
3.第三定律——作⽤与反作⽤定律
两质点相互作⽤的⼒总是⼤⼩相等，⽅向相反，沿同⼀直线，并分别作⽤在两质点上。
这些定律是古典⼒学的基础，它们不仅只适⽤于惯性坐标系，且只适⽤于研究速度远少于光速的宏观物体。
由于⼀般⼯程问题中，⼤多问题都属于上述的适⽤范围，因此以基本定律为基础的古典⼒学在近代⼯程技术中仍占有很重要的地位。
质点动力学知识点总结
质点动力学知识点总结1. 引言质点动力学是物理学中研究质点运动规律的分支，它是经典力学的基础。
本文档旨在总结质点动力学的核心知识点，包括牛顿运动定律、动量、动能、势能、功以及守恒定律等。
2. 牛顿运动定律2.1 牛顿第一定律（惯性定律）一个质点若未受外力，将保持静止状态或匀速直线运动。
2.2 牛顿第二定律（动力定律）质点的加速度与作用在其上的合外力成正比，与质点的质量成反比，加速度的方向与合外力的方向相同。
2.3 牛顿第三定律（作用与反作用定律）两个相互作用的质点之间的作用力和反作用力大小相等、方向相反。
3. 动量3.1 定义动量是质点的质量与其速度的乘积，是矢量量，表示为\( \vec{p} = m\vec{v} \)。
3.2 动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力作用，系统内所有质点的动量之和保持不变。
4. 动能4.1 定义动能是质点由于运动而具有的能量，计算公式为\( K =\frac{1}{2}mv^2 \)。
4.2 动能定理合外力对质点所做的功等于质点动能的变化量。
5. 势能5.1 定义势能是质点由于位置或状态而具有的能量，与参考点的选择有关。
5.2 重力势能在重力场中，质点的重力势能计算公式为\( U = mgh \)，其中\( h \)是质点相对于参考点的高度。
6. 功6.1 定义功是力在物体上作用时，由于物体的位移而对物体所做的工作，计算公式为\( W = \vec{F} \cdot \vec{d} \)，其中\( \vec{F} \)是力，\( \vec{d} \)是在力的方向上的位移。
6.2 功的守恒在一个封闭系统中，若没有非保守力做功，系统内所有质点的机械能（动能与势能之和）保持不变。
7. 守恒定律7.1 机械能守恒定律在没有非保守力作用的封闭系统中，机械能守恒。
7.2 角动量守恒定律在一个封闭系统中，若没有外力矩作用，系统内所有质点的角动量之和保持不变。
8. 结论质点动力学是理解和描述宏观物体运动的基础。
理论力学总复习(3)
二、选择题
1、已知刚体质心 C 到相互平行的 、
z ′、z
轴的距离分别为
a、b
，刚体的质量为 m ② 的计算公式为__________________。 的计算公式为 。 ① ② ③
，对 z 轴的转动惯量为 J z ，则
Jz
′
′ J z = J z + m( a 2 − b 2 )
′ ② J z = J z − m (a 2 − b 2 )
& −ω2x = 0 & x
摆锤质量m，悬挂点O以加速度 2、已知摆长 OM = L ，摆锤质量 ，悬挂点 以加速度 a0 、 ' ' 向上运动， 向上运动，则相对于 Ox y 坐标系的相对运动动力学方程为 _________________________。 。
& & φ + (a0+g) sin φ / L = 0
p A > pB
p A < pB
p A = pB
3、 3、质量分别为 m1 = m2 = 2m 的两个小球 M 1 , M 2 用长为L而重量不计的刚杆相连 而重量不计的刚杆相连。 用长为 而重量不计的刚杆相连。现将 M 1 置于光滑水平面上， 置于光滑水平面上，且 M 1 M 2 与水平面成 则当无初速释放、 球落地时， 60° 角，则当无初速释放、M 2 球落地时， ② M 1 球移动的水平距离为 球移动的水平距离为___________。 。 ① L/3； ； ② L/4； ； ③ L/6； ； ④ 0。 。
① 30N； ； ② 20N； ； ③ 16N； ； ④ 24N。 。
三、填空题 1、光滑细管绕铅垂轴 以匀角速度 ω 转动。管内有一小球以相对于管 、光滑细管绕铅垂轴z以匀角速度 点运动， 的初速度 v r 0 朝O点运动，则小球相对细管的相对运动微分方程为 点运动 __________________。 。
力学知识点总结归纳
力学知识点总结归纳一、力学的基本概念1. 力学的定义力学是研究物体运动和静止状态下受力情况的科学，是物理学的一个重要分支。
2. 质点和刚体质点是没有大小只有质量的物体，刚体是形状和大小不变的物体。
3. 力的三要素力的三要素包括作用力、力的方向和大小，以及作用点。
4. 力的分类按照力的性质可以分为接触力和远程力；按照力的来源可以分为重力、弹力、摩擦力等。
5. 力的合成多个力作用在物体上时，可以通过合成力的方法求出合成力的大小和方向。
6. 力的分解一个力可以通过分解为两个力的合力和分力进行描述。
二、运动学基础1. 运动的基本概念运动包括位移、速度和加速度等。
2. 运动的描述运动可以通过坐标系来描述，常见的包括直角坐标系和极坐标系。
3. 加速度加速度是描述物体运动速度变化率的物理量，可以通过速度-时间图像来描述。
4. 牛顿三定律牛顿第一定律：物体将保持静止或匀速直线运动，直到受到一个外力。
牛顿第二定律：加速度与合外力成正比，与物体质量成反比。
牛顿第三定律：任何一物体受到的外力都有一个与之大小相等、方向相反的作用力。
5. 作图法作图法是解题时利用几何图像来分析解决问题的方法，在力学中具有重要作用。
三、动力学基础1. 动能和势能动能是物体由于运动而具有的能量，势能是物体由于位置而具有的能量。
2. 动能定理动能定理描述了物体的动能与其所受的合外力所做的功之间的关系。
3. 功和功率功是力对物体做的功，功率则是功对时间的变化率。
4. 动量和冲量动量是物体运动状态的描述，冲量是力作用在物体上的效果。
5. 守恒定律动量守恒定律和能量守恒定律是力学中两个重要的守恒定律。
6. 弹性碰撞在理想条件下，弹性碰撞中动能守恒，能量损失。
四、旋转运动基础1. 角位移、角速度和角加速度旋转运动的基本概念包括角位移、角速度和角加速度。
2. 转动惯量转动惯量是描述物体抵抗转动的性质，与物体的质量和转轴的位置相关。
3. 转动力转动力包括力矩和角加速度，描述了物体转动时所受的力的效果。
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例3： 已知：流体阻力
fd
1 C Av2
2
求： 物体在流体中下落的速率 和终极速率
解：令 k 1 C A
fd kv2
建立坐标系
2
mg
fd
m dv dt
mg kv2 m dv dt
fd
mdv mg kv2
dt
dv gdt 1 k v2 mg
mg
1 2
(
1
dv k
v 1
dv k
F外
d(mv) dt
m dv dt
质量与速度无关 F外 ma
三 、牛顿第三定律 对于每一个作用，总有一个相等的反作用与之相
反；或者说，两个物体对各自对方的相互作用总是相 等的，而且指向相反的方向
F12 F21 作用与反作用
注意： 1. 说明力是相互的
2. 作用力和反作用力同生同灭 3. 适用于惯性参考系 4. 作用力和反作用力同性质
Fn cos mg may (1)
设质元的质量为m ， 根据牛顿第二定律
有
N
mg
ma
a 2x
m 2x tg dz
mg
dx
dz 2x dx
g
Z
N
mg
N
x
mg
z dz x 2 xdx
0
0g
z 2 x2
2g
Z
N
d z 2 xd x
g
z
x 2
d z
xdx
z0
0g
z0
讨论
mg
x
解得：z
2
2g
x2
z0
若已知桶不旋转时水深为h，
由 k 1 C A v 2mg
2
C A
vt
2 kg t
mg 1 e m
k
2 kg t
1 e m
v mg k
mg
ห้องสมุดไป่ตู้
1 C Av2
2
fd
例4. 如图所示 , 质量为 m 的直杆可以在竖直 方向上运动
求质量为 m’ 的斜劈的加速度 和作用力（地面光滑）。
解: 首先将两物体受力画在图中 , 则有
桶半径为R ,
zω
R
有：水的总体积为 π R2h
R 2
( 0 2g
x2
z0 )2 π
xd
x
π
R2h
可以解得：
z0
h
2R2
4g
z0
z
x
Ox
dx
结果：
z
2
2g
x2
z0
2 x2 2 R2 h
2g 4g
查量纲： [ 2]=1/s2 ，[ x ]= m ，[ g ]=m/s2
2
[
x2 ]
2
[
R2]
2g
二、 牛顿第二定律
物体受到外力作用时，所获得的加速度a
F外 ma 大小与合外力F的大小成正比，与物体的质量 m成反比；加速度方向与合外力方向相同。
F外 F1 F2 力的叠加原理
分量式 Fx max Fy may Fz maz
平面曲线运动
F ma
Fn man
注意： 1. 反映了力的瞬时效应
明确问题中所求运动的物体. 考察该物体所作的运动形式并建立坐标系. 分别画出各质点所受的力.
（4） 列方程
写出动力学方程 , 找出有关的几何关系.
（5） 解方程
作必要的近似并求解.
一般解决两类问题:
1. 已知 f ，求
v 和 r
2. 已知
r、v ， 求
f
Z 例1 求圆柱形容器以 作匀速旋转，液体自由表面形状？
) gdt
v
y
mg
mg mg ln(1 k v) mg ln(1 k v) 2gt c
k
mg
k
mg
t=0 时 v 0
1 k v
c 0 ln(
mg ) 2 kg t
1 k v
m
mg
1 ln(
1
kv mg
) 2 kv mg
kg t m
1
kv
mg
2
e
kg t m
1 k v
mg
终极速率 t 时 v ?
4g
(1 /s2 ) m2 m/s 2
m [h] [z] ， 正确。
过渡到特殊情形： = 0，有 z = z0 = h， 正确。
看变化趋势：x 一定时，↑→( z-zo )↑, 合理。
滑例块2从在挡水板平的面一上端有以一初半速径度为v0R贴的着圆挡弧板形内挡侧板射入S。，质然量后为沿m挡的板小作
四、物理量单位和量纲
国际单位制
SI制
基本单位 米、千克、秒、安培 开尔文、摩尔、坎德拉
导出单位 通过物理定理等导出的单位
量纲
时间 秒 s
[T]
SI制力学基本单位
长度 米 m
[L]
质量 千克 kg
[M]
SI制力学导出单位 例： 力
F ma m d 2r at 2
1牛顿 = 1千克 米/秒2 F MLT 2
1N 1kg m s2
2.2 力学中常见的几种力
1.万有引力 2. 弹性力
F
G
mE m r2
正压力
g
GmE R2
支持力
重力
P mg
拉力 张力
弹簧的弹力 f kx（虎克定律）
3. 摩擦力
滑动摩擦力 静摩擦力
fk k N
大小可变 最大静摩擦力 fs max s N
4. 黏滞阻力
相对速率较小时 fd kv
s
t
等式两边积分： ds
v0R dt
0
0 R v0t
s
得 s(t) R ln(1 v0 t)
R
s
fr
t t
最后由摩擦力公式 fr N mv2 / R,
将 v 代入，得 写成矢量式：
fr
mR(
R
v0 )2 ,
v0t
沿切线方向。
r fr
mR( v0 )2r , R v0t
2. 指出质量是物体惯性大小的量度
3. 只适用于惯性系。
牛顿第二定律的更为一般的表述
运动的变化与所加的动力成正比；并且发生在这 个力所沿的直线的方向上。
运动
物体动量 动量定义式 p mv
变化
对时间的变化率
F外
dp dt
d(mv) dt
-------- 物体受到的合外力等于物体动量对时间的变化率
牛顿认为：
挡板给与小滑块的切向摩擦 力 fr , 它使小滑块作减速运动。
选用自然坐标系列出动力学方程 :
法向：N m v2 R
切向：fr
N
m dv dt
v
两式联立，分离变量，得：
dv
t
dt
解得
v(t)
v0 R
v0
,
R v0t
v2 0 R 沿切线方向
.
v0
v
vv0
m
N
小滑块运动路程：由 ds vdt,
相对速率较大时
fd
1 C Av2
2
在没有空气阻力时，
鸡毛和苹果有同样的加速度。
基本的自然力
粒子间的相互作用（四大作用）
对象
作用距离 （m）
传递
引力 所有粒子
∞
引力子
电磁 带电粒子
∞
光子
强
强子
＜10 -15
胶子 g
弱
大多数粒子
＜10 -18
中间玻色子W± ，Z0
2.3 牛顿运动定律应用示例
（1） 认物体 （2） 看运动 （3） 分析力
圆周运动。小滑块与水平面之间是光滑接触，而与挡板侧面间的
滑动摩擦系数为 μ。试求小滑块的运动速度，路程，并证明摩擦
力是个变力，其计算公式
fr
mR( v0 )2 R v0t
解 ： 小滑块在水平方向上受力分析：
挡板对小滑块侧向压力N ,
s 指向圆心，该力是迫使小滑块
N
作圆周运动的向心力；
vv0
m
fr