凝固过程温度场

热传导（ thermal conduction ）
导热的基本定律：
1822年，法国数学家Fourier： 上式称为傅立叶定律（导热基本定律）， 是一个一维稳态导热。其中： -： 热量传递的方向与温度梯度方向相反。 Q：热流量，单位时间传递的热量。[W] q：热流密度，单位时间通过单位面积传递的热量[W/ m2]
射能。热辐射的主体与受体是相对的，辐射能的传递是相互往
复发生的，一定时间后双方的辐射速度趋于等同，便出现暂时 的热平衡。 热辐射是物体因自身的温度而具有向外发射能量的本领。热辐射虽然也是热传递
的一种方式，但它和热传导、对流不同。它能不依靠媒质把热量直接从一个系统
传给另一系统。热辐射以电磁辐射的形式发出能量，温度越高，辐射越强。辐射 的波长分布情况也随温度而变，如温度较低时，主要以不可见的红外光进行辐射， 在500℃以至更高的温度时，则顺次发射可见光以至紫外辐射。热辐射是远距离传 热的主要方式，如太阳的热量就是以热辐射的形式，经过宇宙空间再传给地球的。
导热系数（Heat Conductivity） 一、导热系数 • • 定义式：
导热系数在数值上等于单位温度降度(即lK/m)下，在垂直于热流密度的单位 面积上所传导的热流量。导热系数是表征物质导热能力强弱的一个物性参数 。 二、影响因素 • 包括：物质的种类及性质、温度、压力、密度以及湿度 • 各种物质的导热系数相差很大，其根本原因在于不同的物质其导热机理存在 着差异。一般而言，金属的导热系数最大，非金属和液体次之，气体的导热 系数最小。导热系数越大，说明其导热性能越好。由图中可以看出，各类物 质导热系数的一般大小顺序。
差分法: 差分法是把原来求解物体内随空间、时间连续分布的温度问题， 转化为求在时间领域和空间领域内有限个离散点的温度值问题，再用这些离
散点上的温度值去逼近连续的温度分布。差分法的解题基础是用差商来代替
微商，这样就将热传导微分方程转换为以节点温度为未知量的线性代数方程 组，得到各节点的数值解。
（二）数值方法
传热学基础
热量传递的三个基本方式
热传导 热对流 热辐射 conduction convection radiation
热传导（ thermal conduction ）
定义：指温度不同的物体各部分或温度不同的两物体间直接接触时，
依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而进行的热量传递现象。 When molecules collide, energy is transferred from the more
第二类边界条件：给出通过物体表面的比热流随时间变化的关系：
第三类边界条件：给出物体周围介质温度以及物体表面与周围介质的换热系数：
稳态中单层平壁的导热
一、通过单层平壁的导热 • 无限大平壁的长度和宽度都远大于其厚度，因而平壁两侧保持均匀边界条件 的稳态导热就可以归纳为一维稳态导热问题。从无限大平壁的结构可分为单 层壁，多层壁和复合壁等类型，如图所示。
直角坐标系：
圆柱坐标系：
球坐标系：
热传导（ thermal conduction ） 一、导热微分方程式的表达式
导热微分方程式一般由导热项、内热源生成项及非稳态项组成。 如图所示。
内能的热增加率 （非稳态项）
导热的净热量 （导热项）
内热源 （内热源生成项）
qv－内热源；－物体的密度； －导热系数；t－温度；τ －时间
温度场
2、等温面与等温线
三维物体内同一时刻所有温度相同的点的集合称为等 温面（isothermal surface）； 一个平面与三维物体等温面相交所得的的曲线线条即 为平面温度场中的等温线（isotherms）。
3、温度梯度
在具有连续温度场的物体内，过任意一点P温度变化 率最大的方向位于等温线的法线方向上。称过点P的
凝固过程温度场相关
报告人：陆
皓
温度场
1、基本概念 指某一瞬时物体内各点的温度分布状态。温度是标量，温度场是时间和空间 的函数，也是标量场。 在直角坐标系中： 在柱坐标系中： 在球坐标系中：
根据温度场表达式，可分析出导热过程是几维、稳态或非稳态的现象，温
度场是几维的、稳态的或非稳态的。 例如表示导热过程是二维、稳态的导热现象，温度仅在x、y方向发生变化， 但不随时间变化； 表示导热过程是一维、非稳态的导热现象，温度仅在x方向随时间发生变化。
Tw1 Tw2 q
规律：温度分布为直线且斜率大小由导热系数决定；内部各处热流通量 及热流量处处相等；
有内热源，且导热系数λ 为常数 •
2 d 导热微分方程式： T qv dx2
•
(Tw1 Tw 2 ) qv 2 qv 2 C C2 Tw1 T x C1 x C2；其中 1 温度分布： 2 2
数值方法又叫数值分析法，是用计算机程序来求解数学模型的近似解（数值
解），又称为数值模拟或计算机模拟。
有种数值 计算方法。有限元法的解题步骤是先将连续求解域分割为有限个单元组成的
离散化模型，再用变分原理将各单元内的热传导方程转化为等价的线性方程
energetic(high temperature) molecules to the less energetic
(lower temperature) molecules. 物质的属性：可以在固体、液体、气体中发生 导热的特点： 1. 必须有温差
2. 物体直接接触
3. 依靠分子、原子及自由电子等微观粒子热运动而传递热量
组，最后求解全域内的总体合成矩阵。由于有限元法的单元形状可以比较随 意，因此更能适用于具有复杂形状的物体。
二、导热理论分析方法的基本思路 •导热理论的任务就是要找出任何时刻物体中各处的温度，进而确定热量传递 规律。
１简化分析导热现象，根据几何条件、物理条件简化导热微分方程式。
２确定初始条件及各物体各边界处的边界条件，每一维导热至少有两个边界条 件。从而得到导热现象的完整数学描述，包括：导热微分方程式和单值性条件 （见图）。
•
通过单层无限大平壁的稳态导热，可视为一维稳态导热，边界条件可以为第 一类、第三类边界条件。这里仅讨论第一类边界条件。
稳态中单层平壁的导热
1、物理模型及数学模型（第一类边界条件）： 其数学描述为：
•
•
d dT ( ) qv 0 导热微分方程式： dx dx
边界条件：
T x0 Tw1
导热系数（Heat Conductivity）
非金属材料的导热机理：非金属物质多属于多孔性材料，其内部 孔隙部分充满着空气。其导热机理一般是通过材料的实体和孔隙 空气两部分热量传递综合作用的结果，如果空隙大到一定程度， 也会存在对流换热换热和辐射换热方式。 273K时物质的导热系数
热传导（ thermal conduction ） 一、导热微分方程式的表达式
３分析求解，得出导热物体的温度场。
４利用傅立叶定律和已有的温度场最终确定热流量或热流密度。
对具体热场进行求解时，需要根据具体问题各出导热体的初始条件和边界条件。 初始条件：物体开始导热时（t=0时）的瞬时温度分布。 边界条件：导热体表面与周围介质间的热交换情况。 常见的边界条件有以下三类： 第一类边界条件：给定物体表面温度随时间的变化关系：
热对流（ Heat convection ）
定义：由流体各质点间的相对位移而引起的热量转移方式称为热对流。
对流包括自然对流和强迫对流。自然对流是由于质点间的温度差或者 密度差引起的浮力流，强迫对流是体系在外力（如机械力、电磁力等）
驱动下产生的质点的相对位移
热对流一般是发生在气体和液体中的，受热的气体或液体
最大温度变化率为温度梯度(temperature
gradient)．用grad t表示。
温度梯度
温度梯度（temperature gradient）是等温线面法线
方向上的温度变化率。 在温度场中，温度梯度表达了温度在空间上改变的大 小程度，是一个矢量。方向指向温度增大的方向
热流的方向与温度梯度方向相反。
基础：热力学第一定律和第二定律 热力学第一定律：热量可以从一个物体传递到另一个物体，也可以与机 械能或其他能量互相转换，但是在转换过程中，能量的总值保持不变。 热力学第二定律：不可能把热从低温物体传到高温物体而不产生其他影 响，或不可能从单一热源取热使之完全转换为有用的功而不产生其他影 响，或不可逆热力过程中熵的微增量总是大于零。又称“熵增定律”， 表明了在自然过程中，一个孤立系统的总混乱度（即“熵”）不会减小。 热量可以自发地从温度高的物体向温度低的物体进行传递，如果没有能 量转化的途径，热量始终是守恒的。
T x Tw2
2、求解方法
无内热源，且导热系数λ 为常数
d 2T 导热微分方程式： 0 dx2
温度分布： T
C1 x C2 其中 C1
(Tw1 Tw 2 )

C2 Tw1
热流通量及热流量： q
dT T T w1 w 2 dx
热阻及热阻分析图：R
•
缺点：通常需要采用多种简化假设，而这些假设往往并不适合实际情况，
这就使解的精确程度受到不同程度的影响。目前，只有简单的一维温度 场（“半无限大”平板、圆柱体、球体）才可能获得解析解。
（二）数值方法
数值方法又叫数值分析法，是用计算机程序来求解数学模型的近似解（数值
解），又称为数值模拟或计算机模拟。
内热源项——结晶潜热 结晶潜热（latent heat of crystallization）是指在温度保持不变的情 况下,单位质量的物质从液态转变到固态时所释放出的热量。
温度
温度
时间
时间
凝固温度场的求解方法
（一） 解析法 （二） 数值方法
（一） 解析法 • • 解析方法是直接应用现有的数学理论和定律去推导和演绎数学方程（或 模型），得到用函数形式表示的解，也就是解析解。 优点：是物理概念及逻辑推理清楚，解的函数表达式能够清楚地表达温 度场的各种影响因素，有利于直观分析各参数变化对温度高低的影响。