3.2 一阶线性常系数差分方程及其应用

（1）前差公式
xk 1 xk xk
（2）中点公式
xk 1 xk 1 2 xk
（3）后差公式
xk xk 1
xk
其中精确度最高的是中点公式.
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
(3.2.1)式的解为等比数列
xk x0 1 r k , k 0,1, 2,
(3.2.3)
如果 r 0 ，则(3.2.1)式有且仅有平衡点 x=0. 根据
等比数列的性质知：
lim
k
xk
0 当且仅当 1 r
1 ，即
平衡点 x=0 是渐进稳定的当且仅当−2<r<0. 由于 x=0
是(3.2.1)式唯一的平衡点，所以它的渐进稳定性属于
全局渐进稳定性.
以下程序选取 r 和 x0 的值，按(3.2.1)式迭代计算，
第3章 差分方程模型
3.2节 一阶线性常系数 差分方程及其应用
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
一阶线性常系数齐次差分方程形如：
xk1 (1 r)xk , k 0,1, 2,
(3.2.1)
其中 r 是常数. 在建模的时候，(3.2.1)式中的 xk 是实
际对象在第 k 时段的状态值，参数 r 是相邻时段的用
沙丘鹤数量
280 260 240 220 200 180 160 140 120 100
0
人 工 孵 化 下 （ b=5） 沙 丘 鹤 数 量 的 演 变 r = 0.0194 r = - 0.0324 r = - 0.0382
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 第 k年
图3.3
3.2.3 濒危物种的自然演变 和人工孵化
解答（续） 结论 （1）在中等和较差的自然环境下，因为 1 r 0 ，经过验算得知 x0 100 b r ，所以 xk 单 调增趋于 b r ，即沙丘鹤数量将增加并趋于稳定值. （2）在较好的自然环境下，因为 r0 且 x0 0 b r ，所以 xk 单调增趋于正无穷大，即沙丘 鹤数量将无限增长.
subplot(4,2,k), plot(0:20,x(k ,:),'k.'), grid on axis([-1,21,-100,100]), xlabel(s{k}) end gtext('一阶差分方程 x_{k+1}=(1+r)x_k 的解的长期行为')
一 阶 差 分 方 程 xk+1=(1+r)xk的 解 的 长 期 行 为
的内容是长度各异的字符串.
3.2.2 一阶线性常系数 非齐次差分方程
一阶线性常系数非齐次差分方程形如
xk1 (1 r)xk b, k 0,1, 2,
(3.2.4)
其中 r 是常数，b 是非零常数.
如果 r=0，(3.2.4)式即公差为 b 的等差数列，解为
xk x0 kb, k 0,1, 2, 如果 r≠0，(3.2.4)式的解为
3.2.4 按揭贷款
1. 问题提出
购买商品房，首付至少两成，余款做按揭贷款， 如何设计合适的按揭计划.
2. 问题分析
个人住房按揭贷款通常有两种分期还本付息方 式，一种是等额本息还款法，每月还款计算公式为：
每月还款额=贷款本金×月利率× （1+月利率）还款月数/[（1+月利率）还款月数-1]
3.2.4 按揭贷款
2. 问题分析（续）
另一种是等额本金还款法，即每月等额偿还贷款 本金，贷款利息随本金逐月递减，每月还款额计算公 式为：
每月还款额=贷款本金/贷款期月数+ （本金-已归还本金累计额）×月利率
下面分别研究这两种还款法的数学模型和计算公式.
3.2.4 按揭贷款
3. 模型一（等额本息还款法）
记贷款年利率为 r，设 r 为已知并保持不变，则
3.2.3 濒危物种的自然演变 和人工孵化
解答（续） 命令窗口显示的计算结果为： 自然条件下（b=0）沙丘鹤数量的演变
年 较好 中等 较差 0 100 100 100 1 102 97 96 2 104 94 93 3 106 91 89 …… 19 144 53 48 20 147 52 46
沙丘鹤数量
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
单 调 增 趋 于 正 无 穷 大 ,r>0,x0>0
-100 0
5 10 15 20
单 调 减 趋 于 负 无 穷 大 ,r>0,x0<0
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
单 调 减 趋 于 0,-1<r<0,x0>0
-100 0
5 10 15 20
x(k+1,:)=x(k,:).*(1+r)+b; end disp([(0:n)',round(x)]) % 舍入为整数，列表 plot(0:n,x(:,1),'k^',0:n,x(:,2),'ko',0:n,x(:,3),'kv') axis([-1,n+1,90,280]) legend('r = 0.0194','r = - 0.0324','r = - 0.0382',2) title('人工孵化下（b=5）沙丘鹤数量的演变') xlabel('第 k 年'), ylabel('沙丘鹤数量')
绘制图形，直观的说明(3.2.1)式的解的长期行为：
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
r=[.09;.09;-.1;-.1;-1.9;-1.9;-2.09;-2.09]; % 增长率
x=[15;-15;85;-85;85;-85;15;-15];
% 初始值
for n=1:20
x(:,n+1)=(1+r).*x(:,n);
-100 0
5 10 15 20
振 荡 增 长 趋 于 无 穷 大 ,r<-2,x0<0
图3.1
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
说明 （1）x 的第 i 行对应第 i 种情况，第 j 列对应迭
代计算的第 j 步，数组运算使程序简短； （2）通过多次实验，挑选合适的 r 和初始值 x，
使得绘制的图形符合需要. （3）s 是 1×8 的元胞数组(cell array)，每个元胞
月利率为 r/12. 记贷款本金总额为 x0 元，做 n 年按揭， 月供 b 元，办理按揭之后第 k 月剩余本金为 xk 元，则
每月利息=本月剩余本金×贷款月利率
单 调 增 趋 于 0,-1<r<0,x0<0
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
振 荡 衰 减 趋 于 0,-2<r<-1,x0>0
-100 0
5 0,-2<r<-1,x0<0
100
100
0
0
-100 0
5 10 15 20
振 荡 增 长 趋 于 无 穷 大 ,r<-2,x0>0
% 迭代计算
end s{1}='单调增趋于正无穷大,r>0,x_0>0';
s{2}='单调减趋于负无穷大,r>0,x_0<0';
s{3}='单调减趋于 0,-1<r<0,x_0>0';
s{4}='单调增趋于 0,-1<r<0,x_0<0';
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
s{5}='振荡衰减趋于 0,-2<r<-1,x_0>0'; s{6}='振荡衰减趋于 0,-2<r<-1,x_0<0'; s{7}='振荡增长趋于无穷大,r<-2,x_0>0'; s{8}='振荡增长趋于无穷大,r<-2,x_0<0'; for k=1:8
前差公式计算的增长率：
xk1 xk r, k 0,1, 2, xk
(3.2.2)
由(3.2.2)式可见，(3.2.1)式的模型假设为“用前差公式
计算的增长率为常数”.
3.2.1 一阶线性常系数 齐次差分方程
对于离散动态过程的状态数列{xk }，有三种常用 算法计算第 k 时段的增长率：
人工孵化是挽救濒危物种的措施之一. 如果每年 人工孵化 5 只沙丘鹤放入该保护区，问在三种自然环 境下沙丘鹤的数量将如何变化？
3.2.3 濒危物种的自然演变 和人工孵化
解答 首先讨论自然环境下沙丘鹤数量的演变. 记第 k 年沙丘鹤的数量为 xk ，设自然环境下的年平均 增长率为 r（相当于假设年增长率 r 为常数），则列式 得： xk1 (1 r)xk , k 0,1, 2, ，其解为等比数列
xk


x0

b r

1

r
k

b, r
k

0,1, 2,
(3.2.5)
引入变量替换
yk

xk

b, r
k

0,1, 2,，可得(3.2.5)式.
3.2.2 一阶线性常系数 非齐次差分方程
如果 r≠0，(3.2.4)式有且仅有平衡点 x b r . 容 易证明：平衡点 x b r 是渐进稳定的当且仅当 −2<r<0. 平衡点 x b r 的渐进稳定性也属于全局渐 进稳定性.