高一数学充分条件与必要条件
高一上数学必修一第一章《充分条件、必要条件》知识点梳理
高一上必修一第一章《集合与常用逻辑用语》知识点梳理1.2.3 充分条件、必要条件学习目标1．理解充要条件的概念，并会判断和证明p 是q 的充要条件.2．培养逻辑推理能力．重难点重点：掌握充要条件的概念和判断方法.难点：能利用命题之间的关系判定充要条件或进行充要性的证明．一、充分条件、必要条件我们已经接触过很多形如“如果p ，那么q”①的命题，例如：（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么这个锐角所对的直角边等于斜边的一半；（3）如果x>2，那么x>3；（4）如果a>b 且c>0，那么ac>bc.在“如果p ，那么q”形式的命题中，p 称为命题的条件，q 称为命题的结论.若“如果p ，那么q”是一个真命题，则称由p 可以推出q ，记作p q读作“p 推出q”；否则，称由p 推不出q ，记作p q ，读作“p 推不出q”.例如，上述例子中，（1）是一个真命题，即“两条直线都与第三条直线平行”可以推出“这两条直线也互相平行”，这也可记作两条直线都与第三条直线平行这两条直线也互相平行；而（3）是一个假命题，即x>2推不出x>3，这也可记作x>2⇏x>3.①“如果p ，那么q”也常常记为“如果p ，则q”或“若p ，则q”，【尝试与发现】当p q 时，我们称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；当p q 时，我们称p 不是q 的充分条件，q 不是p 的必要条件.事实上，前述课前导读中的“充分”“必要”与这里的充分条件、必要条件表示的是类似的意思.因此， “如果p ，那么q”是真命题，⇒⇒⇒p q ，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，这四种形式的表达，讲的是同一个逻辑关系，只是说法不同而已.例如，因为“如果x=-y ，则x 2=y 2”是真命题，所以x=-y x 2=y 2，x=-y 是x 2=y 2的充分条件，x 2=y 2是x=-y 的必要条件.再例如，因为命题“若A∩B≠∅，则A≠∅”是真命题，所以A∩B≠∅ A≠∅A∩B≠∅是A≠∅的 条件A≠∅是A∩B≠∅的 条件【思考与辨析】【典型例题】例1 判断下列各题中，p 是否是q 的充分条件，q 是否是p 的必要条件：（1）p:x ∈Z ，q:x ∈R ；（2）p:x 是矩形，q:x 是正方形。
充分条件、必要条件、充要条件题型解析
ʏ朱珠充分条件与必要条件是高中数学的重要概念,因其抽象性而成为同学们难以理解的内容㊂下面就这方面的题型进行举例分析㊂一㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的判断充分条件与必要条件:若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;若p⇒/q,则p不是q的充分条件,q不是p的必要条件㊂一般地,如果p⇒q,且q⇒p,就记作p⇔q,则p是q的充分必要条件,简称充要条件㊂概括地说,如果p⇔q,那么p与q互为充要条件㊂判断p是q的什么条件,主要判断p⇒q,及q⇒p这两个命题的正确性,若p⇒q真,则p是q成立的充分条件;若q⇒p 真,则p是q成立的必要条件㊂要否定p与q不能相互推出时,举出一个反例即可㊂例1(1)已知实系数一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0),则下列结论正确的是()㊂①Δ=b2-4a cȡ0是这个方程有实根的充要条件;②Δ=b2-4a c=0是这个方程有实根的充分条件;③Δ=b2-4a c>0是这个方程有实根的必要条件;④Δ=b2-4a c<0是这个方程没有实根的充要条件㊂A.③④B.②③C.①②③D.①②④(2)若p:AɘB=A,q:∁U B⊆∁U A,则p 是q的()㊂A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件分析:对于(1),利用Δ=b2-4a c判断方程根的情况,当Δ=0时,一元二次方程有两个等根;当Δ>0时,一元二次方程有两个不相等的根;当Δ<0时,一元二次方程没有实数根㊂对于(2),画出V e n n图(如图1),结合图形,可帮助求解㊂图1解:(1)Δȡ0⇔一元二次方程a x2+b x+ c=0(aʂ0)有实根,①正确㊂Δ=0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根,②正确㊂Δ>0⇒一元二次方程a x2+b x+c=0 (aʂ0)有实根,但a x2+b x+c=0(aʂ0)有实根⇒/Δ>0,③错误㊂Δ<0⇔一元二次方程a x2+b x+c=0(aʂ0)无实根,④正确㊂应选D㊂(2)结合图1可得AɘB=A⇔A⊆B⇔∁U A⊇∁U B,即p是q的充要条件㊂应选C㊂充分条件与必要条件的两种判断方法:直接利用定义判断;集合法,将命题p,q分别看作集合A, B,当A⊆B时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当A=B时,p,q互为充要条件㊂二㊁充分条件㊁必要条件㊁充要条件的应用利用充分条件㊁必要条件求参数的取值范围问题,常利用集合法求解,先化简集合A={x|p(x)}和B={x|q(x)},然后根据p 与q的关系(充分㊁必要㊁充要条件),得出集合A与B的包含关系,进而得到相关不等式组,最后求出参数的取值范围㊂例2已知集合A={x|a<x<a+2}, B={x|x<-1或x>3},且A是B的充分不必要条件,求实数a的取值范围㊂分析:由A是B的充分不必要条件,说0 1知识结构与拓展高一数学2023年9月Copyright©博看网. All Rights Reserved.明集合A 是B 的真子集,即A ⫋B ,由此可得实数a 满足的条件,从而得到实数a 的取值范围㊂解:因为A 是B 的充分不必要条件,所以A ⫋B ㊂又因为A ={x |a <x <a +2},B ={x |x <-1或x >3},所以a +2ɤ-1或a ȡ3,解得a ȡ3或a ɤ-3,所以实数a 的取值范围是{a |a ȡ3或a ɤ-3}㊂充分条件㊁必要条件中的含参数问题,往往是通过集合的包含关系来解答的㊂三㊁充要条件的证明充要条件的证明,可分为充分性和必要性的证明,证明时要注意两种叙述方式的区别:①p 是q 的充要条件,由p ⇒q 是充分性,由q ⇒p 是必要性;②p 的充要条件是q ,由p ⇒q 是必要性,由q ⇒p 是充分性㊂例3 求证:方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等实根的充要条件是0<m <13㊂分析:先找出条件和结论,然后证明充分性和必要性都成立㊂证明:先证充分性(由条件推结论)㊂因为0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0的判别式Δ=4-12m >0,所以方程有两个不相等的实根㊂设方程的两根为x 1,x 2,当0<m <13时,x 1+x 2=2m >0且x 1x 2=3m>0,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,所以0<m <13⇒方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根㊂再证必要性(由结论推条件)㊂若方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根,则Δ=4-12m >0,x 1x 2=3m>0,所以0<m <13,所以方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根⇒0<m <13㊂综上可得,方程m x 2-2x +3=0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0<m <13㊂ 证明p 是q 的充要条件,既要证明命题 p ⇒q为真,又要证明 q ⇒p 为真,前者证明的是充分性,后者证明的是必要性㊂证明充要条件,即证明原命题和逆命题都成立㊂要注意 p 是q 的充要条件 与 p 的充要条件是q 这两种说法的差异,要分清哪个是条件,哪个是结论㊂1.求证:关于x 的方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂提示:先证明p ⇒q ,即证明必要性,再证明q ⇒p ,即证明充分性㊂设命题p :方程a x 2+b x +c =0有一个根是1,命题q :a +b +c =0㊂先证明p ⇒q ,即证明必要性,由x =1是方程a x 2+b x +c =0的根,可得a ㊃12+b ㊃1+c =0,即a +b +c =0㊂再证明q ⇒p ,即证明充分性,由a +b +c =0,可得c =-a -b ,因为a x 2+b x +c =0,所以a x 2+b x -a -b =0,即a (x 2-1)+b (x -1)=0,也即(x -1)(a x +a +b )=0,所以x =1是方程的一个根㊂综上可知,方程a x 2+b x +c =0有一个根是1的充要条件是a +b +c =0㊂2.已知三个不等式:a b >0,b c -a d >0,c a -db>0(其中a ,b ,c ,d 均为实数)㊂用其中两个不等式作为条件,余下的一个不等式作为结论组成一个命题,则可组成的正确命题的个数是( )㊂A.0 B .1 C .2 D .3提示:a b >0为①,b c -a d >0为②,ca-d b >0为③㊂若①②成立,则1a b (b c -a d )>,可得c a -d b >0,即③成立㊂若①③成立,则a bc a -d b>0,可得b c -a d >0,即②成立㊂若②③成立,则由③得b c -a da b>0,由②b c -a d >0得a b >0,即①成立㊂应选D ㊂作者单位:江苏省阜宁县东沟中学(责任编辑 郭正华)11知识结构与拓展高一数学 2023年9月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
高一数学人必修件第一章充分条件与必要条件
等价法
通过证明两个命题等价来 判断它们之间的充要关系 。
充要条件的转化及应用
转化方法
通过逻辑推理或数学变换将原命题转化为与其等价的命题，从而更容易判断其充分性、 必要性和充要性。
应用领域
在数学证明、逻辑推理和实际问题分析中广泛应用。例如，在证明定理或解决数学问题 时，可以通过寻找充要条件来简化问题或找到问题的本质；在逻辑推理中，可以通过分 析充分条件和必要条件来推断结论或反驳观点；在实际问题中，可以通过分析问题的充
必要条件在几何中的应用
必要条件可以用来判断一个图形是否满足某种性质，例如对于平行四边形，对角线互相平分是平行四边形为矩形的必 要条件。
充分条件和必要条件在三角学中的应用
通过充分条件和必要条件可以判断三角形的各种性质以及三角函数的大小关系等，例如对于三角形中的 角，若已知两边及夹角则可用余弦定理求出第三边长度；同时若已知三角形三边长度则可用正弦定理求 出三角形面积。
方程，判别式大于零是方程有两个不相等实根的充分条件。
02
必要条件在方程中的应用
必要条件可以用来检验一个数是否为方程的解，例如对于一元二次方程
，将某个数代入方程后使得方程成立，则该数是方程的解的必要条件。
03
充分条件在不等式中的应用
充分条件可以用来判断不等式的解集，例如对于一元一次不等式，系数
化为1后，不等号方向不变是解集正确的充分条件。
不等式的证明
通过充分条件和必要条件证明 不等式成立。
逻辑推理问题
在逻辑推理问题中，利用充分 条件和必要条件进行推理和判
断。
充分条件的定义
01
充分条件是指，如果某个条件成 立，那么就可以保证某个结论一 定成立。
02
高一数学 充分条件与必要条件
高一数学充分条件与必要条件一、充分条件1.概述充分条件一定能保证结果的出现。
2.定义如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A而未必没有事物情况B，A就是B的充分而不必要的条件，简称充分条件。
简单地说，满足A，必然B；不满足A，不必然B，则A是B的充分条件。
例如：1.A烧柴；B会产生二氧化碳。
例子中A都是B的充分条件，确切地说，A是B的充分而不必要的条件：A必然导致B；A不是B发生必需的二、必要条件1.概述如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B；如果有事物情况A而未必有事物情况B，A就是B的必要而不充分的条件，简称必要条件。
2.定义简单地说，不满足A，必然不B；满足A，不必然B，则A是B的必要条件。
例如：1.A不断呼吸；B人能活着。
例子中A是B的必要条件，确切地说，A是B的必要而不充分的条件：其一，A是B发生必需的；其二，A不必然导致B。
三、表达推理1.充分条件与必要条件：一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可推出q，记作p=>q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件；2.充要条件：一般地，如果既有p=>q，又有q=>p，就记作p<=>p，此时我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件。
概括的说，如果，那么p与q互为充要条件。
四、常用判断方法1.定义法：判断B是A的什么条件，实际上就是判断B=>A或A=>B是否成立，只要把题目中所给条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义即可判断。
2.转化法：当所给命题的充要条件不易判定时，可对命题进行等价转化，例如改用其逆否命题进行判断。
3.集合法：在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，有时可以从集合的角度来考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊂B，则p是q的充分非必要条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A⊃B，则p是q的必要非充分条件；若A=B，则p是q的充要条件。
高一数学充分条件与必要条件笔记
高一数学充分条件与必要条件笔记充分条件与必要条件是数学中重要的概念，它们描述了命题成立的条件和结论之间的关系。
1. 充分条件：如果由条件A可以推出结论B，那么就说A是B的充分条件。
简单来说，就是有了A，就可以得到B。
2. 必要条件：如果由结论B可以推出条件A，那么就说A是B的必要条件。
简单来说，就是没有A，就没有B。
充分必要条件：如果由A可以推出B，由B也可以推出A，那么就说A是B的充分必要条件，简称充要条件。
既不充分也不必要条件：如果由A不能推出B，由B也不能推出A，那么就说A 是B的既不充分也不必要条件。
可以根据这些定义来判断某一条件是否为另一条件的充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件。
同时，这些判断也可以基于逻辑推理关系来进行。
1. 充分条件：如果由条件A可以推出结论B，那么就说A是B的充分条件。
简单来说，就是有了A，就可以得到B。
比如，如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数。
在这里，“能被2整除”就是“偶数”的充分条件。
2. 必要条件：如果由结论B可以推出条件A，那么就说A是B的必要条件。
简单来说，就是没有A，就没有B。
比如，如果一个数能被2整除，那么这个数一定是偶数。
在这里，“能被2整除”就是“偶数”的必要条件。
3. 充分必要条件：如果由A可以推出B，由B也可以推出A，那么就说A是B 的充分必要条件，简称充要条件。
比如，在三角形中，如果一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形。
在这里，“是直角”就是“直角三角形”的充分必要条件。
4. 既不充分也不必要条件：如果由A不能推出B，由B也不能推出A，那么就说A是B的既不充分也不必要条件。
比如，在三角形中，“是等腰三角形”不能推出“有一个角是直角”，也不能推出“是直角三角形”，因此，“是等腰三角形”就是“是直角三角形”的既不充分也不必要条件。
这些判断可以根据逻辑推理关系来进行。
在判断某一条件是否为另一条件的充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件时，可以通过逻辑推理的方法来验证。
高一数学充分条件与必要条件
1.8.1充分条件与必要条件
3、充分性与必要性分类： （1）充分不必要条件：即 （2）必要不充分条件：即
p q，q p p q，q p p q，q p p q，q p
（3）既充分又必要要条件：即 （4）即不充分又不必要条件：即 4、充分性与必要性的判断步骤：
（1）认清已知命题的条件和结论； （2）考察
； 假 真 假
（3）全等三角形的面积相等； （5）若 ab
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形； 假
0 ，则 a 0 ；
2 ax bx c 0(a 0) 有两个不等 （6）若方程 的实数解，则 b 2 4ac 0 ． 真
二、新知识： 1、推断符号： 的含义 若p 则q 为真，q则p
2、四种命题之间的真假关系 （1）原命题为真， （2）逆命题不一定为真， （3）否命题也不一定为真，（4）逆否命题一定为真。
1.8.1充分条件与必要条件
例1、判断下列命题是真命题还是假命题： （1）若 x 1 ，则 x 2 1 ； 真 （2）若
x 2 y 2，则 x y
pq pq
1.8.1充分条件与必要条件
（1）若 可记为：x 1 （2）若 可记为：
x 1 ，则 x 2 1 ；
真
x2 1
； 假 真 两三角形面积相等
x 2 y 2，则 x y
x2 y2 x y
（3）全等三角形的面积相等；
可记为： 两三角形全等
（4）对角线互相垂直的四边形是菱形； 假 可记为：四边形的对角线相互垂直 （5）若 ab
p : x y; q : x 2 y 2
p：三角形的三条边相等； q：三角形的三个角相等． 2 2 解：（1）由于 x y x y x y是x 2 y 2 的充分条件
高一数学复习考点知识与题型专题讲解4---充分条件与必要条件
高一数学复习考点知识与题型专题讲解1.4充分条件与必要条件【考点梳理】考点一：充分条件与必要条件“若p，则q”为真命题“若p，则q”为假命题推出关系p⇒q p⇏q条件关系p是q的充分条件q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件定理关系判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件考点二：充要条件一般地，如果p⇒q，且q⇒p，那么称p是q的充分必要条件，简称充要条件，记作p⇔q.【题型归纳】题型一：充要条件和必要条件的判断1．已知A是B的充分不必要条件，B是C的充要条件，则C是A的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．必修一课本有一段话：当命题“若p，则q”为真命题，则“由p可以推出q”，即一旦p成立，q就成立，p是q成立的充分条件.也可以这样说，若q不成立，那么p一定不成立，q 对p成立也是很必要的.王安石在《游褒禅山记》中也说过一段话：“世之奇伟、瑰怪，非常之观，常在于险远，而人之所罕至焉，故非有志者不能至也”.从数学逻辑角度分析，“有志”是“能至”的（ ） A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知,a b ÎR ，则“220a b +=”是“0ab =”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件题型二：根据充分不必要条件求参数问题4．若“x m >”是“1x >或3x <-”的充分不必要条件，则m 的取值范围（ ） A ．m 1≥B ．1m £C ．3m ≥-D ．3m ≤-5．设p ：112x ≤≤；q ：1a x a ≤≤+，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）A ．102a <<B ．102a ≤≤C ．102a ≤<D ．102a <≤6．已知命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，若非p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+，则实数m 的取值范围是（ ） A ．{|1}m m ≥B ．{|1}m m >C ．{|1}m m <D ．{|1}m m ≤题型三：根据必要条件不充分条件求参数问题7．已知:21p m x m -<<+，2:8120q x x -+<，且q 是p 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．45m <<B ．45m ≤≤C ．5m >或4m <D ．5m >或4m ≤8．“关于x 的不等式220x ax a -+>的解集为R ”的一个必要不充分条件为（ ） A ．01a <<B ．103a <<C ．01a <≤D ．0a <或13a >9．已知:40p x m -<，()():210q x x -+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则m 的取值范围为（ ）A ．8m ≥B ．8m >C ．4m >-D ．4m ≥-题型四：探究充要条件问题10．设,a b ∈R ，则“1ab a b +≠+”的充要条件是（ ） A ．a ，b 不都为1B ．a ，b 都不为0C ．a ，b 中至多有一个是1D ．a ，b 都不为1 11．设0m n <<，则“1mn >”是“11m n m n+<+”成立的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件12．如果,a b 为非零实数，则不等式11ab>成立的充要条件是（ ） A ．0a >且0ab <B ．0a <且0ab > C ．0a >或0ab >D ．220a b ab -<题型五：根据充要条件求参数问题13．已知:{|20p x x +≥且100}x -≤，,0:{|44}q x m x m m -≤≤>+，若p 是q 的充要条件，则实数m 的值是（ ） A ．4B ．5C ．6D ．714．“一元二次方程210x ax ++=有两个不相等的正实根”的充要条件是（ ）A ．2a ≤-B ．2a <-C ．2a >D ．2a <-或2a >15．“不等式20x x m -+>在R 上恒成立”的充要条件是 A ．14m >B ．14m <C ．1m <D ．1m >【双基达标】一、单选题16．设甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丁是丙的必要不充分条件，则甲是丁的 （ ） 条件 A ．充分不必要B ．必要不充分 C ．充要D ．既不充分也不必要 17．2m ≠是2m ≠的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件18．方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是（ ） A ．01a <≤B ．1a <C ．1a ≤D ．01a <≤或0a < 19．(3)(2)0x x -+>的一个充分不必要条件是（ ）A ．4x …B ．0x …C ．1x >D ．1x <- 20．若a ∈R ，则“1a =”是“||1a =”的（ ）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．无法判断21．集合,M N 的关系如Venn 图所示，那么“a N ∈”是“a M ∈”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件22．设x ∈R ，则“20x -≥”是“111x -≤-≤”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件23．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要不充分条件，q 是s 的必要条件，那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．既是充分条件又是必要条件D ．既不充分也不必要条件24．若不等式|1|x a -<成立的充分条件为04x <<，则实数a 的取值范围是（ ）A ．{3}aa ≥∣B ．{1}a a ≥∣C ．{3}a a ≤∣D ．{1}a a ≤∣ 25．已知:11p m x m -<<+，:26q x <<，且p 是q 的充分条件，则实数m 的取值范围为（ ）A ．(3,5)B ．[]3,5C ．(,3)(5,)-∞⋃+∞D ．][(,35,)-∞⋃+∞【高分突破】一：单选题26．若a R ∈，则“2a a >”是“1a >”的()A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 27．下列说法正确的是（ ）A ．3x …是5x >的充分不必要条件B ．1x ≠±是||1x ≠的充要条件 C ．若q p ⇒，则p 是q 的充分条件D ．一个四边形是矩形的充分条件是它是平行四边形 28．已知a ，b ，c 是实数，则下列命题是真命题的（ ） A ．“a b >”是“22a b >”的充分条件 B ．“a b >”是“22a b >”的必要条件 C ．“a b >”是“22ac bc >”的充分条件 D ．“a b >”是“22ac bc >”的必要条件29．设命题甲为“03x <<”，命题乙为“12x -<“，那么甲是乙的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件30．已知不等式1x m -<成立的一个充分非必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是( )A ．41,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．1423⎛⎫- ⎪⎝⎭,31．“04a <<”是“210ax ax ++>对x ∈R 恒成立”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 32．设,a b ∈R ，则“0a b >>”是“11ab<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件33．已知条件:1p x >或3x <-，条件:q x a >，且q 是p 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞B ．[)1,+∞C ．[)3,-+∞D ．(],3-∞-二、多选题34．在下列结论中，正确的有（ ） A ．29x =是327x =-的必要不充分条件 B ．在ABC 中，“222AB AC BC +=”是“ABC 为直角三角形”的充要条件C ．若,a b ∈R ，则“220a b +≠”是“a ，b 不全为0”的充要条件D ．一个四边形是正方形是它是菱形的必要条件 35．若2:60p xx +-=是:10q ax +=的必要不充分条件，且0a ≠，则满足上述条件的实数a 的值为（ ）A ．1-B ．12-C ．13D ．136．下列四个条件中可以作为方程2-10ax x +=有实根的充分不必要条件是（ ） A ．a =0B ．14a ≤C ．1a =-D ．0a ≠37．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=，则下列结论中正确的是（ ）A ．方程()230x m x m +-+=有一个正根一个负根的充要条件是{}0m m m ∈< B ．方程()230x m x m +-+=有两个正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤ C ．方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}1m m m ∈>D ．当m =3时，方程()230x m x m +-+=的两个实数根之和为038．若不等式2230x x --<的解集为A ，不等式260x x +-<的解集为B ，不等式220x x a a ++-<的解集为C ．命题p ：“x A ∈且x B ∈”，命题q ：“x C ∈”，若q 是p 的充分不必要条件，则实数a 的可能取值为（ ） A ．-1B ．0C ．2D ．339．（多选题）下列各结论：①“0xy >”是“0xy>”的充要条件；②“1x >”是“11x<”的充要条件；③“a b =”是“222a b ab +≥”的充分不必要条件；④“二次函数2y ax bx c =++图象过点()1,0”是“0a b c ++=”的充要条件.其中正确的结论有（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④三、填空题40．设:431;:(21)0p x q x a -<-+<，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_____.41．设命题甲为：05x <<，命题乙为：23x -<，则甲是乙的__________（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）42．若p ：1a x a -<<+是q ：23x -<<的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为______． 43．已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_____.44．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件； ③“4a <”是“3a <”的必要条件；④“a b >”是“22a b >”的充分条件， 其中真命题是_______.四、解答题45．已知集合{}2680A x x x =-+<，{}22430B x x ax a =-+<.（1）若a =1，求()A B R ð；（2）若a >0，设命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，已知命题p 是命题q 的充分不必要条件，求实数a 的取值围.46．已知2:7100p x x -+<，22430q :x mx m -+<，其中0m >． （1）若4m =，且p ，q 均为真，求x 的取值范围;（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围．47．命题p ：实数x 满足22430(0)x ax a a -+<<；命题q ：实数x 满足260x x --≤或2280x x +->.已知p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.48．设命题p ：实数x 满足()()30x a x a --<，其中0a >，命题q ：实数x 满足302x x -≤-. （1）若1a =，且p 和q 都是真命题，求实数x 的取值范围； （2）若q 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.【答案详解】1．B 【详解】因为A 是B 的充分不必要条件，所以A B ⇒且B 推不出A ， 而B 是C 的充要条件，所以B C ⇔，所以,A C C ⇒推不出A ， 所以C 是A 的必要不充分条件， 故选：B. 2．B 【详解】因为“非有志者不能至也”即“有志”不成立时“能至”一定不成立， 所以“能至”是“有志”的充分条件，“有志”是“能至”的必要条件， 故选：B. 3．A 【详解】若220a b +=，则0a b ==，则0ab =成立．而当0a =且1b =时，满足0ab =，但220a b +=不成立；∴“220a b +=”是“0ab =”的充分不必要条件．故选：A ． 4．A 【详解】设{}|A x x m =>，{|3B x x =<-或}1x >，因为“x m >”是“1x >或3x <-”的充分不必要条件，所以{}|A x x m =>是{|3B x x =<-或}1x >的真子集， 所以m 1≥， 故选：A. 5．B 【详解】∵p ：112x ≤≤；q ：1a x a ≤≤+，且p 是q 的充分不必要条件，∴[],11,12a a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+Ü， 则1211a a ⎧≤⎪⎨⎪+≥⎩，且两不等式中的等号不同时成立． 解得：102a ≤≤． 故选：B ． 6．B 【详解】解：命题p ：“关于x 的方程240x x a -+=有实根”，则1640a ∆=-≥，得4a ≤，所以非p ：4a >， 因为非p 为真命题的充分不必要条件为31a m >+， 所以314m +>，解得1m >，所以实数m 的取值范围是{|1}m m >， 故选：B 7．B 【详解】解：由28120x x -+<，得26x <<，∴:21,:26p m x m q x -<<+<<，又q 是p 的必要不充分所以由p 能推出q ，而由q 推不出p ，2216m m -≥⎧∴⎨+≤⎩，45m ∴≤≤，故选：B ． 8．C 【详解】220x ax a -+>解集为R ，则244001∆=-<⇒<<a a a ，设220x ax a -+>解集为R 的必要不充分条件为P ，则(0,1)P ，而(0,1)(0,1]，故选：C 9．B 【详解】 由40x m -<，得4m x <，所以:4mp x <， 由(2)(1)0x x -+≤，得12x -≤≤，所以:12q x -≤≤，若p 是q 的必要不充分条件，所以[]1,2-是,4m ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭的真子集，所以24m>，解得8m >. 故选：B 10．D 【详解】由1ab a b +≠+，可得1()(1)(1)0ab a b a b +-+=--≠，所以1a ≠且1b ≠， 所以“1ab a b +≠+”的充要条件是“,a b 都不为1”. 故选：D.【详解】1111m n m n m n m n m n n m mn-+<+⇔-<-⇔-<， 又0m n <<，∴0m n -<，∴111m n m n mn mn mn--<⇔>⇔>， ∴“1mn >”是“11m n m n+<+”成立的充要条件. 故选：C. 12．D 【详解】 由题意，11ab>⇔0b aab->⇔()0ab b a ->⇔0ab b a >⎧⎨>⎩或0ab b a <⎧⎨<⎩， 显然ABC 都不符合题意，对于选项D ，()220a b ab ab a b =--<⇔()0ab b a ->，即D 符合题意. 故选：D. 13．C 【详解】由已知，:{|210}p x x -≤≤，由p 是q 充要条件得{|210}{|44x x x m x m -≤≤=-≤≤+,0}m >，因此42,410,m m -=-⎧⎨+=⎩解得6m =，故选：C . 14．B解：一元二次方程210x ax ++=有两个不相等的正实根，设两根分别为：12,x x，故212124010ax x ax x⎧∆=->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得：2a<-，故“一元二次方程210x ax++=有两个不相等的正实根”的充要条件是2a<-. 故选：B.15．A∵“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”，∴△＝（﹣1）2﹣4m＜0，解得m14＞，又∵m14＞⇒△＝1﹣4m＜0，所以m14＞是“不等式x2﹣x+m＞0在R上恒成立”的充要条件，故选A．16．A【详解】记甲、乙、丙、丁各自对应的条件构成的集合分别为A，B，C，D，由甲是乙的充分不必要条件得，A B，由乙是丙的充要条件得，B C=，由丁是丙的必要不充分条件得，C D，所以A D，，故甲是丁的充分不必要条件.故选：A.17．A 【详解】由2m ≠可得2m ≠±，因为{}{22m m m m ≠±=<-或22m -<<或}2m >， 而{}{22m m m m ≠=<或}2m >，所以，{}2m m ≠±{}2m m ≠，因此，2m ≠是2m ≠的充分不必要条件， 故选：A. 18．C 【详解】当0a =时，方程为210x +=有一个负实根12x =-，反之，12x =-时，则0a =，于是得0a =； 当0a ≠时，44a ∆=-，若0a <，则0∆>，方程有两个不等实根12,x x ，1210x x a=<，即1x 与2x 一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积1a 小于0，0a <，于是得0a <，若0a >，由0∆≥，即01a <≤知，方程有两个实根12,x x ，必有12122010x x ax x a ⎧+=-<⎪⎪⎨⎪=>⎪⎩，此时1x 与2x 都是负数，反之，方程2210ax x ++=两根12,x x 都为负，则12124402010a x x a x x a ⎧⎪∆=-≥⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得01a <≤，于是得01a <≤，综上，当1a ≤时，方程2210ax x ++=至少有一个负实根，反之，方程2210ax x ++=至少有一个负实根，必有1a ≤.所以方程2210ax x ++=至少有一个负实根的充要条件是1a ≤. 故选：C 19．A 【详解】(3)(2)0x x -+>， {|2A x x ∴=<-或3}x >(3)(2)0x x -+>的一个充分不必要条件为集合A 的真子集，4x ≥是集合A 的真子集，故选：A ． 20．A 【详解】当1a =时，||1a =成立，因此“1a =”是“||1a =”的充分条件；但当||1a =时，1a =±，所以1a =不一定成立，因此“1a =”不是“||1a =”的必要条件． ∴．“1a =”是“||1a =”的充分条件， 故选：A ． 21．A 【详解】 由Venn 图可知NM ，所以“a N ∈”是“a M ∈”的充分非必要条件， 故选：A ．22．B 【详解】不等式20x -≥化为：2x ≤，于是得“20x -≥”所对集合为(,2]A =-∞，不等式111x -≤-≤化为：02x ≤≤，于是得“111x -≤-≤”所对集合为[0,2]B =，显然B A ，所以“20x -≥”是“111x -≤-≤”的必要不充分条件. 故选：B 23．A 【详解】根据充分条件的定义可知如果p 是r 的充分不必要条件p ⇒r , s 是r 的必要不充分条件，可知r s ⇒, , 同理q 是s 的必要条件,,s q ⇒所以p ⇒q , 且反之不成立，可知p 是q 成立的充分不必要条件， 故选：A. 24．A 【详解】解：不等式|1|x a -<成立的充分条件是04x <<， 设不等式的解集为A ，则{}04x x A <<⊆， 当0a ≤时，A =∅，不满足要求；当0a >时，{11}A xa x a =-<<+∣， 若{}04x x A <<⊆，则1014a a -⎧⎨+⎩……，解得3a ≥.故选：A. 25．B 【详解】由:11p m x m -<<+，:26q x <<，规定集合()1,1A m m =-+,()2,6B = 要使p 是q 的充分条件， 只需A ⊆B .所以1216m m -≥⎧⎨+≤⎩，解得：[]3,5m ∈.故选：B 26．B 【详解】 解：a R ∈，当2a a >时，即1a >或0a <，1a >不一定成立当1a >时，2a a >成立，∴由充分必要条件定义可判断：“2a a >”是“1a >”的必要不充分条件， 故选：B ． 27．B 【详解】 A. {}5x x >{}3x x ≥，所以3x …是5x >的必要不充分条件，故A 错误；B. 1x ≠±时，||1x ≠，反过来也成立，所以1x ≠±是||1x ≠的充要条件，故B 正确；C. q p ⇒，则p 是q 的必要条件，故C 错误；D. 矩形是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形，所以一个四边形是矩形的必要条件是它是平行四边形，故D 错误. 故选：B 28．D 【详解】对于A ，a b >¿a b >⇔22a b >，故“a b >”是“22a b >”的充分条件为假命题； 对于B ，22a b >a b ⇔>¿a b >，故“a b >”是“22a b >”的必要条件为假命题；对于C ，当2c =0时，a b >¿22ac bc >,故“a b >”是“22ac bc >”的充分条件为假命题；对于D ，()2220ac bc a b c >⇒>≠，故“a b >”是“22ac bc >”的必要条件为真命题.故选：D 29．A 【详解】解：因为12x -<，所以212x -<-<，解得13x -<<， 命题乙为“12x -<”，即命题乙：13x -<< 因为命题甲为“03x <<”∴甲⇒乙，乙推不出甲，故甲是乙的充分不必要条件． 故选：A ． 30．B 【详解】由1x m -<解得11-<<+m x m ；因为不等式1x m -<成立的充分非必要条件是1132x <<，所以11,32⎛⎫⎪⎝⎭是()1,1-+m m 的真子集，所以113112m m ⎧-≤⎪⎪⎨⎪+≥⎪⎩，解得1423m -≤≤.故选:B. 31．A 【详解】由04a <<，得240a a -<，则210ax ax ++>对x ∈R 恒成立；由210ax ax ++>恒成立，得0a =或20,?40,a a a >⎧⎨-<⎩则04a ≤<．故“04a <<”是“210ax ax ++>对x ∈R 恒成立”的充分不必要条件． 故选：A 32．A 【详解】 由0a b >>得110b aabab --=<，则11a b <； 若1a =-，1b =，则11ab<，但不能推出0a b >>；因此“0a b >>”是“11ab<”的充分不必要条件. 故选：A. 33．B 【详解】已知条件:1p x >或3x <-，条件:q x a >，且q 是p 的充分而不必要条件，所以，{}x x a >{3x x <-或}1x >，则1a ≥.因此，实数a 的取值范围是[)1,+∞.故选：B.34．AC【详解】对于A 中，由29x =，可得3x =±，可得327x =±，所以充分性不成立， 反之：由327x =-，可得3x =-，可得29x =，所以必要性成立，所以29x =是327x =-的必要不充分条件，所以A 正确；对于B 中，在ABC 中，由222AB AC BC +=，可得ABC 为直角三角形， 反之：由ABC 为直角三角形，不一定得到222AB AC BC +=，所以222AB AC BC +=是ABC 为直角三角形的充分不必要条件，所以B 不正确；对于C 中，若,a b ∈R ，由220a b +≠，可得,a b 不全为0，反之：当,a b 不全为0，可得220a b +≠，所以220a b +≠是,a b 不全为0”的充要条件， 所以C 正确；对于D 中，若一个四边形是正方形，可得它一定是菱形，所以充分性成立， 反之：菱形不一定是正方形，所以必要性不成立，所以一个四边形是正方形是它是菱形的充分不必要条件，所以D 不正确. 故答案为：AC35．BC【详解】解关于x 的方程260x x +-=得()()320x x +-=，所以2x =或3x =-，所以:p 2x =或3x =-. 因为0a ≠，所以:10q ax +=有解.因为若2:60p x x +-=是:10q ax +=的必要不充分条件，所以可得0210a a ≠⎧⎨+=⎩或0310a a ≠⎧⎨-+=⎩，解得12a =-或13a =. 故选:BC36．AC【详解】当0a =时，方程2-10ax x +=有实根1x =；当0a ≠时，方程2-10ax x +=有实根即1140,4a a ∆=-≥∴≤. 所以14a ≤且0a ≠. 综合得14a ≤.设选项对应的集合为A , 集合1(,]4B =-∞,由题得集合A 是集合B 的真子集，所以只能选AC.故答案为：AC37．AB【详解】解：对A ，当0x =时，函数2(3)y x m x m =+-+的值为m ，由二次函数的图象知，方程有一正一负根的充要条件是{}|0m m m ∈<，故A 正确；对B ，若方程()230x m x m +-+=有两个正实数根1x ，2x ，即()2121234030,0,m m x x m x x m ⎧∆=--≥⎪+=->⎨⎪=>⎩解得：01m <≤，故B 正确； 对C ，方程()230x m x m +-+=无实数根，即()2340m m ∆=--<，解得：19m <<，方程()230x m x m +-+=无实数根的充要条件是{}19m m m ∈<<，故C 错误； 对D ，当3m =时，方程为230x +=，无实数根，故D 错误.故答案为：AB.38．ABCD【详解】()()2230130x x x x --<⇔+-<，解得：13x -<<，即{}13A x x =-<<， ()()260230x x x x +-<⇔-+<，解得：32x -<<，即{}32B x x =-<<， 由题意可知若命题p 是真命题，则{}12A B D x x ⋂==-<<，若q 是p 的充分不必要条件，则C D ，当1a =-时，{}2|20C x x x =++<=∅，满足C D ；当0a =时，{}{}2|0|10C x x x x x =+<=-<<，满足C D ；当2a =时，{}2|20C x x x =++<=∅，满足C D ；当3a =时，{}2|60C x x x =++<=∅，满足C D ；故选：ABCD39．ACD【详解】 “00x xy y >⇔>”显然正确，即“0xy >”是“0x y>”的充要条件；①正确； 111x x >⇒<，当0x <时，满足11x <，但不能推出1x >；所以“1x >”是“11x <”的充分不必要条件；②错误；由222a b ab +≥，即2220a b ab +-≥，得()20a b -≥，不能推出a b =；由222a b a b ab =⇒+≥，所以“a b =”是“222a b ab +≥”的充分不必要条件；③正确；二次函数2y ax bx c =++的图象过点()1,0，即当1x =时，0y =，得0a b c ++=，反之也成立，所以“二次函数2y ax bx c =++图象过点()1,0”是“0a b c ++=”的充要条件；④正确， 故选：ACD.40．0a <【详解】解：由431x -<，解得1x <，即:1p x <，记{}|1A x x =<； 由(21)0x a -+<，解得21x a <+，即:q 21x a <+，记{}|21B x x a =<+， 因为p 是q 的必要不充分条件，所以B A Ü，即211a +<，解得0a < 故答案为：0a <41．充分不必要条件【详解】 解：命题乙为：23x -<，即15x -<<，则由05x <<，可推出15x -<<，但15x -<<不能推出05x <<，故甲是乙的充分不必要条件．故答案为：充分不必要条件．42．()2,+∞【详解】若p 是q 的必要不充分条件，则()2,3-是(),1a a -+的真子集， 则132a a +≥⎧⎨-≤-⎩，解得2a ≥； 当2a =时，()(),12,3a a -+=-不成立，故2a >，即实数a 的取值范围是()2,+∞，故答案为：()2,+∞.43．(],1-∞【详解】解：因为q 是p 的必要不充分条件，则p q ⇒，q p ⇒/ 条件:12p x +>，即3x <-或1x >，当0a <时，条件:q x R ∈，q 是p 的必要不充分条件， 当0a =时，条件:0q x ≠，q 是p 的必要不充分条件， 当0a >时，条件:q x a <-或x a >，则31a a -≥-⎧⎨≤⎩，且等号不能同时成绩成立，得01a <≤ 综合得1a ≤．故答案为：(],1-∞．44．②③【详解】对于①，由“a b =”可推出“ac bc =”；当0c =时，ac bc =成立，但a b =不一定成立，所以由“ac bc =”推不出“a b =”； 所以“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件，故①错误； 对于②，“5a +是无理数”可推出“a 是无理数”， “a 是无理数”也可推出“5a +是无理数”，所以“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件，故②正确； 对于③，由“3a <”可推出“4a <”，所以“4a <”是“3a <”的必要条件， 故③正确；对于④，当0,1a b ==-时，满足a b >，但22a b >不成立， 所以“a b >”推不出“22a b >”， “a b >”不是“22a b >”的充分条件，故④错误. 故答案为：②③.45．（1）[)3,4；（2）4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【详解】（1）当1a =时，{}2430(1,3)B x x x =-+<=，可得][(),13,=-∞⋃+∞R B ð， 又由{}2680(2,4)A x x x =-+<=，所以()[)3,4B A ⋂=R ð.（2）当0a >时，可得(),3B a a =.因为命题p 是命题q 的充分不必要条件，则A B ，可得243a a≤⎧⎨≤⎩，等号不能同时成立， 解得423a ≤≤，所以实数a 的取值范围为4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.46．（1）()45，；（2）523⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【详解】解：()1由27100x x -+<，得25x <<，所以:25p x <<． 由22430x mx m -+<，0m >，得3m x m <<，所以:3q m x m <<． 当4m =时，q :412x <<，因为p ，q 均为真，所以45x <<，即x 的取值范围为()45，． ()2由p 是q 的充分不必要条件，知p q ⇒，q p ¿， 由()1知，:25p x <<，:3q m x m <<，所以235(0m m m ≤⎧⎪≥⎨⎪>⎩，等号不同时成立)， 解得523m ≤≤，即m 的取值范围为523⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 47．{4a a ≤-或203a ⎫-≤<⎬⎭ 【详解】由22430(0)x ax a a -+<<可解得3a x a <<，故命题p 对应的集合为()3,a a ， 由260x x --≤解得23x -≤≤，由2280x x +->解得4x <-或2x >，故命题q 对应的集合为()[),42,-∞-⋃-+∞，因为p 是q 的充分不必要条件，()3,a a ()[),42,-∞-⋃-+∞，所以4a ≤-或230a -≤<，解得实数a 的取值范围为{4a a ≤-或203a ⎫-≤<⎬⎭.48．（1）()2,3；（2）12a <≤.【详解】由()()30x a x a --<，得3a x a <<，0a >，则p ：3a x a <<，0a >. 由302x x -≤-，解得23x <≤，即q ：23x <≤. （1）若1a =，则p ：13x <<，若p q ∧为真，则p ，q 同时为真，即2313x x <≤⎧⎨<<⎩，解得23x <<， ∴实数x 的取值范围()2,3.（2）若q 是p 的充分不必要条件， ∴332a a >⎧⎨≤⎩，即12a a >⎧⎨≤⎩，解得12a <≤.。
高一数学充分条件与必要条件知识点
高一数学充分条件与必要条件知识点充分条件和必要条件是数学的重要概念,同时因其抽象而成为学生难于理解的内容,下面是高一数学充分条件与必要条件知识点。
数学充分条件与必要条件知识点一、充分条件和必要条件当命题“若A则B”为真时，A称为B的充分条件，B称为A的必要条件。
二、充分条件、必要条件的常用判断法1.定义法：判断B是A的条件，实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立，只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图，再利用定义判断即可2.转换法：当所给命题的充要条件不易判断时，可对命题进行等价装换，例如改用其逆否命题进行判断。
3.集合法在命题的条件和结论间的关系判断有困难时，可从集合的角度考虑，记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若A⊆B，则p是q的充分条件。
若A⊇B，则p是q的必要条件。
若A=B，则p是q的充要条件。
若A⊈B，且B⊉A，则p是q的既不充分也不必要条件。
三、知识扩展1.四种命题反映出命题之间的内在联系，要注意结合实际问题，理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程，关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以叙述为：(1)交换命题的条件和结论，所得的新命题就是原来命题的逆命题;(2)同时否定命题的条件和结论，所得的新命题就是原来的否命题;(3)交换命题的条件和结论，并且同时否定，所得的新命题就是原命题的逆否命题。
2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化，他们之间存在这密切的联系，故在判断命题的条件的充要性时，可考虑“正难则反”的原则，即在正面判断较难时，可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。
一个结论成立的充分条件可以不止一个，必要条件也可以不止一个。
数学充分条件与必要条件内容练习及解析一、选择题(每小题3分,共18分)1.使x>1成立的一个必要条件是()A.x>0B.x>3C.x>2D.x<2【解析】选A.只有x>1⇒x>0,其他选项均不可由x>1推出,故选A.2.已知p:x2-x<0,那么命题p的一个充分条件是()A.0<x<2B.-1<x<1C. <x<D. <x<2【解析】选C.x2-x<0⇒0<x<1,运用集合的知识易知只有C中由 <x< 可以推出0<x<1,其余均不可,故选C.3.下列p是q的必要条件的是()A.p:a=1,q:|a|=1B.p:a<1,q:|a|<1C.p:a<b,q:a <b+1D.p:a>b,q:a>b+1【解析】选D.要满足p是q的必要条件,即q⇒p,只有q:a>b+1⇒q:a-b>1⇒p:a>b,故选D.4.下列所给的p,q中,p是q的充分条件的个数是()①p:x>1,q:-3x<-3;②p:x>1,q:2-2x<2;③p:x=3,q:sinx>cosx;④p:直线a,b不相交,q:a∥b.A.1B.2C.3D.4【解题指南】根据充分条件与必要条件的意义判断.【解析】选C.①由于p:x>1⇒q:-3x<-3,所以p是q的充分条件;②由于p:x>1⇒q:2-2x<2(即x>0),所以p是q的充分条件;③由于p:x=3⇒q:sinx>cosx,所以p是q的充分条件;④由于p:直线a,b不相交 q:a∥b,所以p不是q的充分条件.5.如果不等式|x-a|<1成立的充分但不必要条件是 <x< ,则实数a的取值范围是()A. <a<B. ≤a≤C.a> 或a<D.a≥ 或a≤【解析】选B.|x-a|<1⇔a-1<x<a+1,由题意知 (a-1,a+1),则有且等号不同时成立,解得≤a≤ ,故选B.【变式训练】集合A= ,B={x||x-b|<a},若“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件,则实数b的取值范围是_____________.【解析】“a=1”是“A∩B≠ ”的充分条件的意思是说当a=1时,A∩B≠ ,现在A=(-1,1),B=(b-1,b+1),由A∩B≠ 得-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,即0≤b<2或-2<b≤0,所以b的范围是-2<b<2.答案:(-2,2)6.已知等比数列{an}的公比为q,则下列不是{an}为递增数列的充分条件的是()①a1<a2;②a1>0,q>1;③a1>0,0<q<1;④a1<0,0<q<1.A.①②B.①③C.③④D.①③④【解析】选B.由等比数列{an}是递增数列⇔an<an+1⇔a1qn-1<a1qn⇔a1qn-1(1-q)<0,若a1>0,则qn-1(1-q)<0,得q>1;若a1<0,则qn-1(1-q)>0,得0<q<1.所以等比数列{an}是递增数列⇔a1>0,q>1或a1<0,0<q<1.所以a1>0,q>1⇒等比数列{an}是递增数列,或a1<0,0<q<1⇒等比数列{an}是递增数列;由a1<a2不能推出等比数列{an}是递增数列,如a1=-1,a2=2.【举一反三】若把本题中的“不是{an}为递增数列的充分条件”改为“是{an}为递增数列的必要条件”,其他不变,结论如何?【解析】由等比数列{an}是递增数列⇒a1<a2.由等比数列{an}是递增数列 a1>0,q>1,由等比数列{an}是递增数列 a1>0,0<q<1,由等比数列{an}是递增数列 a1<0,0<q<1.故a1<a2是{an}为递增数列的必要条件.二、填空题(每小题4分,共12分)7.“lgx>lgy”是“ > ”的条件.【解析】由lgx>lgy⇒x>y>0⇒ > .而 > 有可能出现x>0,y=0的情况,故 > lgx>lgy.答案:充分【变式训练】“x>y”是“lgx>lgy”的条件.【解析】因为x>y lgx>lgy,比如y<x<0,lgx与lgy无意义,而lgx>lgy⇒x>y.答案:必要8.函数f(x)=a- 为奇函数的必要条件是_________.【解析】由于f(x)=a- 定义域为R,且为奇函数,则必有f(0)=0,即a- =0,所以a=1.答案:a=19.(2014•广州高二检测)满足tanα=1的一个充分条件是α=(填一角即可)【解析】由于tanα=1,故α=kπ+ (k∈Z),取α= ,显然,α= 是tanα=1的一个充分条件.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)10.分别判断下列“若p,则q”命题中,p是否为q的充分条件或必要条件,并说明理由.(1)p:sinθ=0,q:θ=0.(2)p:θ=π,q:tanθ=0.(3)p:a是整数,q:a是自然数.(4)p:a是素数,q:a不是偶数.【解析】(1)由于p:sinθ=0⇐q:θ=0,p:sinθ=0 q:θ=0,所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.(2)由于p:θ=π⇒q:tanθ=0,p:θ=π q:tanθ=0,所以p是q的充分条件,p是q的不必要条件.(3)由于p:a是整数 q:a是自然数,p:a是整数⇐q:a是自然数,所以p是q的必要条件,p是q的不充分条件.(4)由于p:a是素数 q:a不是偶数,所以p是q的不充分条件,p是q的不必要条件.11.若p:-2<a<0,0<b<1;q:关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,则p 是q的什么条件?【解析】若a=-1,b= ,则Δ=a2-4b<0,关于x的方程x2+ax+b=0无实根,故p q.若关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,不妨设这两个根为x1,x2,且0<x1<x2<1,则x1+x2=-a,x1x2=b.于是0<-a<2,0<b<1,即-2<a<0,0<b<1,故q⇒p.所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.【一题多解】针对必要条件的判断给出下面另一种解法:设f(x)=x2+ax+b,因为关于x的方程x2+ax+b=0有两个小于1的不等正根,所以即⇒-2<a<0,0<b<1,即q⇒p.所以,p是q的必要条件,但不是充分条件.一、选择题(每小题4分,共16分)1.不等式1- >0成立的充分条件是()A.x>1B.x>-1C.x<-1或0<x<1D.x<0或x>1【解析】选A.不等式1- >0等价于 >0,解得不等式的解为x<0或x>1,比较选项得x>1为不等式成立的充分条件,故选A.2.(2014•青岛高二检测)函数y=x2+bx+c,x∈[0,+∞)是单调函数的必要条件是()A.b>1B.b<-1C.b<0D.b>-1【解析】选D.因为函数y=x2+bx+ c在[0,+∞)上单调,所以x=- ≤0,即b≥0,显然b≥0⇒b>-1,故选D.【举一反三】函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充分条件是()A.b>1B.b<-1C.b<0D.b>-1【解析】选A.当b>1时,y=x2+bx+c在[0,+∞)上显然是单调函数,故b>1是函数y=x2+bx+c在[0,+∞)上是单调函数的充分条件.3.(2014•兰州高二检测)设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R},A={(x,y) |2x-y+m>0},B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P(2,3)∈A∩( B)的既是充分条件,又是必要条件的是()A.m>-1,n<5B.m<-1,n<5C.m>-1,n>5D.m<-1,n>5【解析】选A.因为P∈A∩( B),所以P∈A且P∉B,所以所以故选A.4.(2014•天津高二检测)设a,b为向量,则“a•b=|a||b|”是“a∥b”的()A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件也是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【解析】选A.若a,b中有零向量,则a•b=|a||b|⇒a∥b,若a,b中无零向量,则设a,b 的夹角为θ,a•b=|a||b|⇒|a||b|cosθ=|a||b|⇒cosθ=1⇒θ=0⇒a∥b,故有a•b=|a||b|可以推出“a∥b”,但若a∥b,则有a•b=|a||b|或a•b=-|a||b|,故“a•b=|a||b|”是“a∥b”的充分条件.二、填空题(每小题5分,共10分)5.如果命题“若A ,则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的条件.【解析】因为逆否命题为假,那么原命题为假,即A B,又因否命题为真,所以逆命题为真,即B⇒A,所以A是B的必要条件.答案:必要6.若向量a=(x,3),x∈R,则|a|=5的一个充分条件是____________.【解析】因为|a|=5⇒x2+9=25⇒x=±4,所以|a|=5的一个充分条件是x=4(或x=-4).答案:x=4(或x=-4)三、解答题(每小题12分,共24分)7.已知p:x 2-2x-3<0,若- a<x-1<a是p的一个必要条件但不是充分条件,求使a>b 恒成立的实数b的取值范围.【解析】由于p:x2-2x-3<0⇔-1<x<3,-a<x-1<a⇔1-a<x<1+a(a>0).依题意,得{x|-1<x<3} {x|1-a<x<1+a}(a>0),所以解得a>2,则使a>b恒成立的实数b的取值范围是b≤2,即(-∞,2].8.已知命题p:m∈[-1,1],命题q:a2-5a-3- ≥0,若p是q的充分条件,求a的取值范围.【解析】因为p是q的充分条件,所以当-1≤m≤1时,a2-5a-3≥ 恒成立,又当-1≤m≤1时, ≤3,所以a2-5a-3≥3,所以a2-5a-6≥0,所以a≥6或a≤-1.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。