布莱克-舒尔斯期权定价模型(PPT 60页)
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BS期权定价模型课件
第5页，共32页。
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为 1.0。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期
望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运
动： dx adt bdz
（6.4）
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗
运动。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
令 代表该投资组S合的价值，则：
f f S S
(6.15)
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
第15页，共32页。
在t
时间后：
f
f
S
S
（6.16）
将式（6.12）和（6.14）代入式
随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未 来价格的概率分布只取决于该证券现在的 价格。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨 期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 （Asset-or-noting call option）多头和现金 或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看 涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或 无价值看涨期权空头的价值。
（二）普通布朗运动
我们先引入两个概念：漂移率和方差率。
标准布朗运动的漂移率为0，方差率为 1.0。
我们令漂移率的期望值为a,方差率的期
望值为b2，就可得到变量x 的普通布朗运
动： dx adt bdz
（6.4）
其中，a和b均为常数，dz遵循标准布朗
运动。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
令 代表该投资组S合的价值，则：
f f S S
(6.15)
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
第15页，共32页。
在t
时间后：
f
f
S
S
（6.16）
将式（6.12）和（6.14）代入式
随机过程是指某变量的值以某种不确定的 方式随时间变化的过程。可分为离散型的 和连续型的。马尔可夫过程是一种特殊类 型的随机过程。
如果证券价格遵循马尔可夫过程，则其未 来价格的概率分布只取决于该证券现在的 价格。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University
最后，从金融工程的角度来看，欧式看涨 期权可以分拆成资产或无价值看涨期权 （Asset-or-noting call option）多头和现金 或无价值看涨期权（cash-or-nothing option）空头，SN(d1)是资产或无价值看 涨期权的价值，-e-r(T-t)XN(d2)是X份现金或 无价值看涨期权空头的价值。
期权定价模型：Black-Scholes期权定价模型 期货理论与实务 (金融期货) 教学课件
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
四、证券价格的变化过程
证券价格的变化过程可以用漂移率为μS、
方差率为 2S2的伊藤过程来表示：
dSSdtSdz
两边同除以S得：
dSdtdz （6.6）
S
则： SS tS z （6.12）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
假设f是依赖于S的衍生证券的价格，则：
d f( S fS ft1 2 S 2f22S2)d t S fS（d 6.z 13） f ( S fS ft 1 2 S 2f22 S 2 ) t S fS票遵循几何布朗运动， 其波动率为每年18%，预期收益率以连 续复利计为每年20%，其目前的市价为 100元，求一周后该股票价格变化值的概 率分布。
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
五、伊藤引理
若变量x遵循伊藤过程，则变量x和t的函 数G将遵循如下过程： dG ( G xa G t1 2 2 xG 2b2)d t G xb（d6z.8）
由于 dSSdtSdz （6.9）
根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循 如下过程：
d G ( G SS G t1 2 S 2 G 22S2)d t G SSd (6.1z0)
i1
当0时，我们就可以得到极限的标准布
朗运动： dz dt
（6.3）
Copyright©Zhenlong Zheng 2003, Department of Finance, Xiamen University*
第6章 布莱克-斯科尔斯期权定价模型 PPT课件
由（6.10）可得
x2 b2 2t
(6.10)
E(x2 ) E(b2 2t) b2tE( 2 ) （6.11）
由于 : N(0,1),则 D( ) E[( 0)2] E( 2) 1
由（6.11）得到
E(x2 ) b2t
（6.12）
19 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
▪ 半强式效率市场假说认为， ➢ 证券价格会迅速、准确地根据可获得的所有公开信息 调整，因此以往的价格和成交量等技术面信息以及已 公布的基本面信息都无助于挑选价格被高估或低估的 证券。
▪ 强式效率市场假说认为， ➢ 不仅是已公布的信息，而且是可能获得的有关信息都 已反映在股价中，因此任何信息（包括“内幕信息”） 对挑选证券都没有用处。
▪ 因此要为期权定价首先必须研究证券价格 的变化过程。目前，学术界普遍用随机过 程来描述证券价格的变化过程。
2 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
一、弱式效率市场假说与马尔可夫过程
E(wT ) 0, wT wT w0 D(wT ) T
8 2020/6/16 Copyright©Zhao Shuran 2009, Department of Finance, Ocean University of China
▪ 证明： N wT wT w0 wi , wi wi wi1 i t i 1
wt t t
（6.1）
这里，wt wt wt1,t : iid N (0,1)
{定价策略}布莱克-舒尔斯期权定价模型
特征1： 和 的关系满足：
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0 的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔 ， 的值 相互独立。
当 0时，得到极限的标准布朗运动：
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解：
本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 ， 标准差为 。
dz是一个标准布朗运动 a、b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a，方差率为b2。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个 合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价 格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率为 、方差率为 的伊藤过程来表示：
a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 漂移率a：单位时间内变量z均值的变化值。 方差率b2：单位时间的方差
普通布朗运动的离差形式
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对普通布朗运动的理解：
遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过 程
第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位 时间为a
续：为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？ 投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格
的收益率 。
百分比收益率的缺陷：乘积问题和时间不可加性
几何布朗运动最终隐含的是：
股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为 正态分布
股票价格服从对数正态分布。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程 伊藤引理 ( Ito Lemma )
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为1.0 的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔 ， 的值 相互独立。
当 0时，得到极限的标准布朗运动：
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解：
本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 ， 标准差为 。
dz是一个标准布朗运动 a、b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a，方差率为b2。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个 合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价 格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率为 、方差率为 的伊藤过程来表示：
a和b均为常数，dz遵循标准布朗运动。 漂移率a：单位时间内变量z均值的变化值。 方差率b2：单位时间的方差
普通布朗运动的离差形式
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对普通布朗运动的理解：
遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过 程
第一项adt为确定项，它意味着x的期望漂移率是每单位 时间为a
续：为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？ 投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格
的收益率 。
百分比收益率的缺陷：乘积问题和时间不可加性
几何布朗运动最终隐含的是：
股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为 正态分布
股票价格服从对数正态分布。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程 伊藤引理 ( Ito Lemma )
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
布莱克—舒尔斯定价PPT课件
简化的模拟式: t 1 S0 1
S1 exp( z) exp(0.15 0.3z)
区间 [0，0.15]
股价个数 0
区间 [1.20,1.35]
股价个数 139
[0.15,0.30]
0
[1.35,1.50] 113
[0.30,0.45]
0
[1.50,1.65] 74
[0.45,[t
z
t ] 2t
13
E[ln(Stt / St )]
t
2 var[ln(Stt / St )]
t
通过计算对数收益序列
ln(Stt / St ),t 1, 2, , m
的均值和方差，再除以时间区间的长度 t ， 就可得资产收益对数的均值和方差。
下界:
38.56 40exp(0.15 0.004 0.31.96 0.004) S2
对于给定的置信水平 ,由标准正态分布表可
确定随机变量z的取值范围(z , z )，把所得取 值的上下界分别代入模拟式中, 即可得出该置 信水平下股票价格的变动范围。
12
估计资产收益对数的均值及其波动性( , )
票价格 )，如果采用正态分布的假定进行模拟
有可能产生负的价格.
8
实际的模拟过程
把整个时段分成若干个小的时间区间，对每 个时间区间递推使用模拟式, 得出资产在整个 时段内价格的一个走势，由此得出资产在期 末的一个价格。
假设需要模拟某股票一年以后的价格及其分布， 按一年有250个工作日算，把一年分成250个 时段, 在每一个时段使用模拟式
利用资产价格的历史数据来估计
Stt St exp(t z t )
布莱克—舒尔斯期权定价
显然，S0＝1OO，X＝105，r＝0.20，T-t＝0.50，σ＝0.05 用公式计算：d1=1.47 ； d2=1.43 查正态分布数值表（标准正态曲线下的面积—累积概率）：
N(d1)=N(1.47)=0.9292； N(d2)=N(1.43)=0.9236
用公式计算：
C = $5.17
5）标的物股票的价格波动率 越大，看涨期权
的价值越高
关于波动率:在这个公式中，最难理解的莫过于
波动率（），其实这是期权定价法中最重要的 变量。这个变量体现的是：金融市场上，吸收了 全部当前“信息”之后，对未来该股票价格走势 的“不确定性”的判断。
也就是说，越小，说明市场对该股票价格的判断就越明 确，市场上投资人相信其价格在未来不会出现大的波动， 投资人根据当前市场上掌握的信息，可以比较容易地判断 该股票未来价格走势，因而该股票未来价格的不确定性也 就越低。
~
S363
~
S364
~
~
1
Rt 365
St
~
St 1
每天的收益率
1
~
R
~
S365
~
S0
~
S1
S0
~
S2
~
S1
~
S365
~
S364
1
~
R1
365
1
~
R2
365
1
~
R365
365
年利率
利用连续计息方式计息的连续复利
rt 365
log
1
二叉树各个阶段股票价格的变化是互相独立的， 而且变化的概率分布是同分布的，因此满足条件1
二叉树定价中所分阶数越来越多，适当的选择二 叉树中的u和d，使他们都足够快的趋于1，当所 分阶数趋于无穷大时，股票的价格变化就趋向于 对数正态分布（收益率变化趋于正态分布）
布莱克斯科尔斯期权定价模型PPT课件
2、Put Option: Gives owner the right to sell an asset for a given price on or before the expiration date.
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
4、American Option：Gives owner the right to exercise the option on or before the expiration date.
Sichuan University
一、期权
思考： 期权与期货的主要区别？
Sichuan University
一、期权
(五）期权价格的合理界限 1.假设： 没有交易费用； 所有交易利润（减去交易损失后）具有相同的税率 可以按无风险利率借入和贷出资金 一旦有套利机会出现，市场参与者随时准备利用这些套利 机会。
Sichuan University
一、期权
2、符号 S：股票现价； X：期权执行价； T：期权的到期时间； ST：在T时刻股票价格； r: T时期到期的投资的无风险利率（连续复利）；
Sichuan University
一、期权
（二）期权合约的特点： 期权合约交易的是一种买卖证券的权力，而不是交易 证券本身； 期权的买方有权力买进或卖出，但没有义务买进或者 卖出； 期权的卖方有义务履行合约，却没有权利要求执行合 约； 期权买方要向期权卖方支付一定的费用，这就是期权 费（Premiun）或期权价格（Option Price）； 期权交易具有风险与收益形式上不对称的性质; 交易所中交易的大部分期权合约是标准化合约
3、 European Option：Gives owner the right to exercise the option only on the expiration date.
4、American Option：Gives owner the right to exercise the option on or before the expiration date.
Sichuan University
一、期权
思考： 期权与期货的主要区别？
Sichuan University
一、期权
(五）期权价格的合理界限 1.假设： 没有交易费用； 所有交易利润（减去交易损失后）具有相同的税率 可以按无风险利率借入和贷出资金 一旦有套利机会出现，市场参与者随时准备利用这些套利 机会。
Sichuan University
一、期权
2、符号 S：股票现价； X：期权执行价； T：期权的到期时间； ST：在T时刻股票价格； r: T时期到期的投资的无风险利率（连续复利）；
Sichuan University
一、期权
（二）期权合约的特点： 期权合约交易的是一种买卖证券的权力，而不是交易 证券本身； 期权的买方有权力买进或卖出，但没有义务买进或者 卖出； 期权的卖方有义务履行合约，却没有权利要求执行合 约； 期权买方要向期权卖方支付一定的费用，这就是期权 费（Premiun）或期权价格（Option Price）； 期权交易具有风险与收益形式上不对称的性质; 交易所中交易的大部分期权合约是标准化合约
布莱克—舒尔斯期权定价模型
布莱克—舒尔斯期权定价模型期权定价是现代金融学中一项非常重要的内容，同时也是一个比较复杂、难度较大的问题。
目前关于期权定价主要有两种方法：（1）二项式模式；（2）布莱克—舒尔斯期权定价模型（B-S 模型）。
较为适用的是布莱克—舒尔斯期权定价模型。
布莱克—舒尔斯期权定价模型是美国经济学家布莱克—舒尔斯于1973年提出来的。
这是现代金融学金融衍生工具研究领域的一个重大突破，布莱克—舒尔斯因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
1、 基本原理：（模型建立的基础）期权的完全套期保值功能，即期权具备完全消除股票投资组合中市场风险的套期保值功能。
2、 假设条件：（1） 市场是无摩擦的：即不计佣金费用，无交易成本，没有卖空限制，可以根据市场情况经常地调整套期保值的比率，调整期权与股票的比率。
（2） 在期权到期前，股票不支付股利。
（3） 在期权到期前，无风险利率r 和股票收益的方差2σ保持不变。
（4） 股票价格变化是连续的，不会发生突然及大的波动。
3、 基本公式：在上述原理及假设条件的基础上，布莱克—舒尔斯提出了这样一个公式：TTr X S T d d TTr X S d d N Xe d N S C rT σσσσσ)5.0()/ln()5.0()/ln()()(20122012100-+=-=++=-=-其中：其中：0C 为期权价格；0S 为股票当前的价格；)(d N 为服从于标准正态分布的随机变量小于d 的概率；即：}{)1,0(,N Y d y P -<X 为协定价格；e 为2.71828;r 为无风险利率（以连续复利计算） t 为距离到期日所剩的时间，单位为年 σ为股票收益率的标准差。
在这个公式中，)(1d N 、)(2d N 代表期权到期是处于实值的概率，也就是能够执行给投资者带来实质性收益的概率。
如果假定1)()(21==d N d N ，也就是看涨期权极其有可能被执行。
公式的解释：期权价值=内在价值+时间价值期权到期前处于三种状态，虚值—平价—实值时间价值虚值 协定 实值 价格（平价） 从这个图形可以看出，随着股价的进一步升高，期权到期被执行的可能性越来越大，相应地，期权的内在价值越来越大，其价格波动的可能性即时间价值越来越小。
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d f ( S f S f t 1 2 S 2 f 2 2 S 2 ) d t S f S d z
在一个小的时间间隔中，f的变化值 f 为
f ( S f S f t 1 2 S 2 f 2 2 S 2 ) t S f S z
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 允许卖空标的证券 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
股票价格服从对数正态分布。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
伊藤引理 ( Ito Lemma )
证券价格S遵循伊藤过程：d S S d tS d z
衍生证券的价格G是证券价格S和时间t的函数， G(x,t)将遵循如下过程：
d G ( G SS G t 1 2 S 2 G 2 2 S 2 ) d t G SS d z
l n S T[ ( 2 2 ) ( T t ) l n S ,T t ]
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
其中，dz是一个标准布朗运动 G遵循伊藤过程：
漂移率： G SSG t 1 2 S 2G 22S2
方差率： G S
S
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
令G=lnS，
G 12 G 1 G SS,S2S2,t 0
根据伊藤引理：
思考：
一 个 投 资 者 以 100 元 的 价 格 买 入 股 票 ， 首先获得10%的收益然后再损失10%，看上 去不赔不赚
但是，具体情况如何呢？
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz
S
St t
S
为什么股票价格可Байду номын сангаас用几何布朗运动表示？
即：l n S T l n S ~ [ ( 2 2 ) ( T t ) , T t ]
l n S T[ ( 2 2 ) ( T t ) l n S ,T t ]
证券价格服从对数正态分布，即证券价格的对数服从正态分 布
可知： E(ST)Se(T-t)
布，均值为
( 2 )(T t)
2
，方差为
2(T t)
，标准差为
T t ，和
时间长度平方根成正比。
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
从以上分析，可得知：
几何布朗运动意味着证券价格服从对数正态分布。
令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻的 证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t 期间G的变化为：G ( T ) G ( t) ln S T ln S
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型 第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
Black-Scholes期权定价模型的基本思路：
相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是 标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影 响。
特征1： z 和 t 的关系满足：z t
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为
1.0的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值 相互独立。
当 t 0时，得到极限的标准布朗运动： dz dt
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解：
z 本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 t ， 标准差为 t 。
标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。
遵循布朗运动的变量z在时间T中的变化：
以 z(T)z(0) 表示变量z在T中的变化量，可以看作N个
长度为 t 的小时间间隔中z的变化总量，其中 NT/t ，
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：
d S S d tS d z
其在一个小的时间间隔 t 中，S的变化值 S 为:
S S t S z
设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函 数，根据伊藤引理可得：
d x a ( x , t ) d t b ( x ,t ) d z
dz是一个标准布朗运动 a、b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a，方差率为b2。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个 合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价 格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
风险中性定价原理： 根据BS微分方程f(S,t,r,σ)，影响衍生证券的价值的是客观
因素：标的资产当前市价(S)、时间(t)、证券价格的波动率 (σ)和无风险利率(r)。
反映风险收益偏好的主观因素：标的证券预期收益率μ，对 衍生产品的价值不会产生影响。
普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。
期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合 约执行价格之间的预期差异变化
在现实中，资产价格总是随机变化的。
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动(Brownian Motion) ——维纳过程
标准布朗运动
设 t 代表一个小的时间间隔长度， z 代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特 征：
V a r ( S T ) S 2 e 2 ( T - t) [ e 2 ( T - t) 1 ]
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
例：
设A股票的现价50元，预期收益率为每年18%，波 动率为每年20%，该股票价格遵循几何布朗运动， 且该股在6个月内不付红利，请问该股6个月后的 价格ST的概率分布如何？
d G ( G SS G t 1 2 S 2 G 2 2 S 2 ) d t G SS d z dG(2)dtdz
2
•这个随机过程属于普通布朗运动，具有恒定的漂移率 恒定的方差率 2 。
2
和
2
• 在任意时间长度T之后，G的变化G(T)-G(t) 仍然服从正态分
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权 价格变化也是一个相应的随机过程。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机 过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种 不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生 证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确 定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一 个重要的方程：Black-Scholes微分方程。
基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率 S 为 、方 2差S 2率为 的伊藤过程来表示：
d S S d t S d z
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动
dS dt dz
S
：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 2 ：证券收益率单位时间的方差 ：证券价格的波动率（Volatility） d z ：遵循标准布朗运动
S
S
( ft1 2 S 2f22S2)t
r t
ftrS S f1 2 S 2f22S2rf
布莱克-舒尔斯偏微分方程
ftrS S f1 2 S 2f22S2rf0
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
从以上分析可得：
S S t S z
f ( S f S f t 1 2 S 2 f 2 2 S 2 ) t S f S z
z t
构建组合 :包含一单位衍生证券空头和 f 单位
标的证券多头
S
f f S t f f S
在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b 2 T ，标准差b T 。
标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函
数 d x a d t b d z
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz
S
St t
S
续：为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？
投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格 的收益率 S 。
S
百分比收益率的缺陷：乘积问题和时间不可加性
几何布朗运动最终隐含的是：
股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为 正态分布
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
第一节 证券价格的变化过程
一、随机过程
随机过程（Stochastic Process）：
用来描述一个随机变量随时间变化的过程。
根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可 以做如下的划分：
时间的连续性
离散时间随机过程 连续时间随机过程
在一个小的时间间隔中，f的变化值 f 为
f ( S f S f t 1 2 S 2 f 2 2 S 2 ) t S f S z
一、布莱克-舒尔斯微分方程
假设： 证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数 允许卖空标的证券 没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 在衍生证券有效期内，无风险利率r为常数
股票价格服从对数正态分布。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
伊藤引理 ( Ito Lemma )
证券价格S遵循伊藤过程：d S S d tS d z
衍生证券的价格G是证券价格S和时间t的函数， G(x,t)将遵循如下过程：
d G ( G SS G t 1 2 S 2 G 2 2 S 2 ) d t G SS d z
l n S T[ ( 2 2 ) ( T t ) l n S ,T t ]
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
其中，dz是一个标准布朗运动 G遵循伊藤过程：
漂移率： G SSG t 1 2 S 2G 22S2
方差率： G S
S
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
令G=lnS，
G 12 G 1 G SS,S2S2,t 0
根据伊藤引理：
思考：
一 个 投 资 者 以 100 元 的 价 格 买 入 股 票 ， 首先获得10%的收益然后再损失10%，看上 去不赔不赚
但是，具体情况如何呢？
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz
S
St t
S
为什么股票价格可Байду номын сангаас用几何布朗运动表示？
即：l n S T l n S ~ [ ( 2 2 ) ( T t ) , T t ]
l n S T[ ( 2 2 ) ( T t ) l n S ,T t ]
证券价格服从对数正态分布，即证券价格的对数服从正态分 布
可知： E(ST)Se(T-t)
布，均值为
( 2 )(T t)
2
，方差为
2(T t)
，标准差为
T t ，和
时间长度平方根成正比。
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
从以上分析，可得知：
几何布朗运动意味着证券价格服从对数正态分布。
令t时刻G的值为lnS，T时刻G的值为lnST，其中S表示t时刻的 证券价格，ST表示T时刻（将来时刻）的证券价格，则在T－t 期间G的变化为：G ( T ) G ( t) ln S T ln S
第六章 布莱克-舒尔斯期权定价模型
第一节 证券价格的变化过程
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型 第三节 期权定价中的希腊字母 第四节 B-S公式的实证研究和应用
Black-Scholes期权定价模型的基本思路：
相对定价法：期权是衍生工具，其价格波动的来源就是 标的资产价格的变化，期权价格受到标的资产价格的影 响。
特征1： z 和 t 的关系满足：z t
其中， 代表从标准正态分布（即均值为0、标准差为
1.0的正态分布）中取的一个随机值。
特征2：对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值 相互独立。
当 t 0时，得到极限的标准布朗运动： dz dt
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动
对标准布朗运动的理解：
z 本身具有正态分布特征，均值为0，方差为 t ， 标准差为 t 。
标准布朗运动是马尔可夫过程的特殊形式。
遵循布朗运动的变量z在时间T中的变化：
以 z(T)z(0) 表示变量z在T中的变化量，可以看作N个
长度为 t 的小时间间隔中z的变化总量，其中 NT/t ，
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：
d S S d tS d z
其在一个小的时间间隔 t 中，S的变化值 S 为:
S S t S z
设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函 数，根据伊藤引理可得：
d x a ( x , t ) d t b ( x ,t ) d z
dz是一个标准布朗运动 a、b是变量x和t的函数 变量x的漂移率为a，方差率为b2。
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
目的：在研究证券价格变化过程的时候，找到一个 合适的随机过程表达式，来尽量准确地描述证券价 格的变动过程，同时尽量实现数学处理上的简单性。
风险中性定价原理： 根据BS微分方程f(S,t,r,σ)，影响衍生证券的价值的是客观
因素：标的资产当前市价(S)、时间(t)、证券价格的波动率 (σ)和无风险利率(r)。
反映风险收益偏好的主观因素：标的证券预期收益率μ，对 衍生产品的价值不会产生影响。
普遍以随机过程来描述证券价格的变化过程。
期权的价值是来源于签订合约时，未来标的资产价格与合 约执行价格之间的预期差异变化
在现实中，资产价格总是随机变化的。
第一节 证券价格的变化过程
二、布朗运动(Brownian Motion) ——维纳过程
标准布朗运动
设 t 代表一个小的时间间隔长度， z 代表变量z在 t 时间内的变化，遵循标准布朗运动的 z 具有两种特 征：
V a r ( S T ) S 2 e 2 ( T - t) [ e 2 ( T - t) 1 ]
第一节 证券价格的变化过程
五、证券价格自然对数变化过程
例：
设A股票的现价50元，预期收益率为每年18%，波 动率为每年20%，该股票价格遵循几何布朗运动， 且该股在6个月内不付红利，请问该股6个月后的 价格ST的概率分布如何？
d G ( G SS G t 1 2 S 2 G 2 2 S 2 ) d t G SS d z dG(2)dtdz
2
•这个随机过程属于普通布朗运动，具有恒定的漂移率 恒定的方差率 2 。
2
和
2
• 在任意时间长度T之后，G的变化G(T)-G(t) 仍然服从正态分
标的资产价格的变化过程是一个随机过程。因此，期权 价格变化也是一个相应的随机过程。
在股票价格遵循的随机过程和衍生证券价格遵循的随机 过程中，Black-Scholes发现，由于它们都只受到同一种 不确定性的影响，如果通过买入和卖空一定数量的衍生 证券和标的证券，建立一定的组合，可以消除这个不确 定性，从而使整个组合只获得无风险利率。从而得到一 个重要的方程：Black-Scholes微分方程。
基本假设：证券价格的变化过程可以用漂移率 S 为 、方 2差S 2率为 的伊藤过程来表示：
d S S d t S d z
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
几何布朗运动
dS dt dz
S
：证券在单位时间内的连续复利的期望收益率 2 ：证券收益率单位时间的方差 ：证券价格的波动率（Volatility） d z ：遵循标准布朗运动
S
S
( ft1 2 S 2f22S2)t
r t
ftrS S f1 2 S 2f22S2rf
布莱克-舒尔斯偏微分方程
ftrS S f1 2 S 2f22S2rf0
第二节 布莱克-舒尔斯期权定价模型
一、布莱克-舒尔斯微分方程
从以上分析可得：
S S t S z
f ( S f S f t 1 2 S 2 f 2 2 S 2 ) t S f S z
z t
构建组合 :包含一单位衍生证券空头和 f 单位
标的证券多头
S
f f S t f f S
在任意时间长度T后，x值的变化也具有正态分布特 征，其均值为aT，方差为 b 2 T ，标准差b T 。
标准布朗运动的漂移率a为0，方差率为1。
第一节 证券价格的变化过程
三、伊藤过程 伊藤过程 ( Ito Process )
假设变量x的漂移率和方差率是变量x和时间t的函
数 d x a d t b d z
第一节 证券价格的变化过程
四、证券价格的变化过程
dS dt dz
S
St t
S
续：为什么股票价格可以用几何布朗运动表示？
投资者感兴趣的不是股票价格S，而是独立于价格 的收益率 S 。
S
百分比收益率的缺陷：乘积问题和时间不可加性
几何布朗运动最终隐含的是：
股票价格的连续复利收益率（而不是百分比收益率）为 正态分布
求解这一方程，就得到了期权价格的解析解。
第一节 证券价格的变化过程
一、随机过程
随机过程（Stochastic Process）：
用来描述一个随机变量随时间变化的过程。
根据时间是否连续和变量取值范围是否连续，随机过程可 以做如下的划分：
时间的连续性
离散时间随机过程 连续时间随机过程