高二数学必修二推理与证明知识点导学案
高中数学《数学归纳法》导学案
第二章 推理与证明2.3数学归纳法一、学习目标1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题.【重点、难点】重点是数学归纳法证明简单的与自然数有关的数学命题，难点是数学归纳法的第二步.二、学习过程【导入新课】多米诺骨牌实验:要使所有的多米诺骨牌一一倒下？需要几个步骤才能做到？（ 1）第一张牌被推倒 （奠基作用）（2）任意一张牌倒下必须保证它的下一张牌倒下 （递推作用）于是可以获得结论：多米诺骨牌会全部倒下。
数学归纳法步骤：（1）证明当n 取第一个值0n （例如10=n 或2等）时结论正确；（2）假设当k n =（*N k ∈，且0n k ≥）时结论正确，证明当1+=k n 时结论也正确。
根据（1）和（2），可知命题对从0n 开始的所有正整数n 都正确例1、用数学归纳法证明：2462(1)n n n +++=+ ()n N +∈例2：用数学归纳法证明：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=【变式拓展】在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n(n ∈N *)． (1)试求：a 2，a 3，a 4的值；(2)由此猜想数列{a n }的通项公式a n ；(3)用数学归纳法加以证明．三、总结反思①两个步骤，缺一不可，其中第一步是递推的基础，第二步是递推的依据；②两个步骤中关键是第二步，即当n ＝k ＋1时命题为什么成立．在证n ＝k ＋1命题时成立时，必须利用归纳假设当n ＝k 时成立这一条件，再根据有关定理、定义、公式、性质等推证出当n ＝k ＋1时成立．切忌直接代入，否则当n ＝k ＋1时成立也是假设了，命题并没有得到证明.四、随堂检测1.用数学归纳法证明1＋q ＋q 2＋…＋q n ＋1＝q n ＋2－q q －1(n ∈N *，q ≠1)，在验证n ＝1等式成立时，等式左边式子是( ) A ．1 B ．1＋q C ．1＋q ＋q 2 D ．1＋q ＋q 2＋q 32．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n ＋1)＝(n ＋1)(2n ＋1)时，从“n ＝k ”到“n ＝k ＋1”，左边需增添的代数式是( )A ．(2k ＋1)＋(2k ＋2)B ．(2k －1)＋(2k ＋1)C ．(2k ＋2)＋(2k ＋3)D ．(2k ＋2)＋(2k ＋4)3.已知数列{}n a 的前n 项和2 (2)n n S n a n =≥，而11a =，通过计算234,,a a a ，猜想n a =( ) A.22(1)n + B. 2(1)n n + C. 221n - D. 221n -4.用数学归纳法证明：1122334(1)(1)(2)3n n n n n ⨯+⨯+⨯+++=++。
高二数学下册必修二重要知识点(最新)
1.高二数学下册必修二重要知识点一、导数的应用1.用导数研究函数的最值确定函数在其确定的定义域内可导(通常为开区间)，求出导函数在定义域内的零点，研究在零点左、右的函数的单调性，若左增，右减，则在该零点处，函数去极大值;若左边减少，右边增加，则该零点处函数取极小值。
学习了如何用导数研究函数的最值之后，可以做一个有关导数和函数的综合题来检验下学习成果。
2.生活中常见的函数优化问题1)费用、成本最省问题2)利润、收益问题3)面积、体积最(大)问题二、推理与证明1.归纳推理：归纳推理是高二数学的一个重点内容，其难点就是有部分结论得到一般结论，破解的方法是充分考虑部分结论提供的信息，从中发现一般规律;类比推理的难点是发现两类对象的相似特征，由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征，破解的方法是利用已经掌握的数学知识，分析两类对象之间的关系，通过两类对象已知的相似特征得出所需要的相似特征。
2.类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理，简而言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。
三、不等式对于含有参数的一元二次不等式解的讨论1)二次项系数：如果二次项系数含有字母，要分二次项系数是正数、零和负数三种情况进行讨论。
2)不等式对应方程的根：如果一元二次不等式对应的方程的根能够通过因式分解的方法求出来，则根据这两个根的大小进行分类讨论，这时，两个根的大小关系就是分类标准，如果一元二次不等式对应的方程根不能通过因式分解的方法求出来，则根据方程的判别式进行分类讨论。
通过不等式练习题能够帮助你更加熟练的运用不等式的知识点，例如用放缩法证明不等式这种技巧以及利用均值不等式求最值的九种技巧这样的解题思路需要再做题的过程中总结出来。
2.高二数学下册必修二重要知识点一、曲线与方程1.椭圆椭圆的定义是椭圆章节的基础内容，高考对本节内容的考查可能仍然将以求椭圆的方程和研究椭圆的性质为主，两种题型均有可能出现.椭圆方面的知识与向量等知识的综合考查命题趋势较强。
高二数学 第二章推理与证明导学案
§2.1.1 合情推理（1）1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.2830在日常生活中我们常常遇到这样的现象：（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨； （2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.以上例子可以得出推理是 的思维过程. 二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：归纳推理问题1:哥德巴赫猜想：观察 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：.问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出 . 新知：归纳推理就是由某些事物的 ,推出该类事物的 的推理，或者由的推理.简言之，归纳推理是由的推理. ※ 典型例题 例1 观察下列等式：1+3=4=22，1+3+5=9=23，1+3+5+7=16=24， 1+3+5+7+9=25=25， …… 你能猜想到一个怎样的结论？变式：观察下列等式：1=11+8=9，1+8+27=36，1+8+27+64=100， ……你能猜想到一个怎样的结论？例2已知数列{}n a 的第一项11a =，且n nn a a a +=+11(1,2,3...)n =，试归纳出这个数列的通项公式.变式：在数列{na }中，11()2n n na a a =+（2n ≥），试猜想这个数列的通项公式.※ 动手试试练1. .练2. 在数列{n a }中，11a =，122nn na a a +=+（*n N ∈）,试猜想这个数列的通项公式.三、总结提升 ※ 学习小结1．归纳推理的定义.2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；①从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）. ※ 知识拓展1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对020213F =+=，121215F =+=，2222117F =+=，32321257F =+=，4242165537F =+=的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数n ，任何形如221n n F =+的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现5252142949672976416700417F =+==⨯不是素数，推翻费马猜想.2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了. ※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分： 1.下列关于归纳推理的说法错误的是（ ）. A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程 B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程 C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确 D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能2.若2()41,f n n n n N =++∈，下列说法中正确的是（ ）.A.()f n 可以为偶数B. ()f n 一定为奇数C. ()f n 一定为质数D. ()f n 必为合数3.已知2()(1),(1)1()2f x f x f f x +==+ *x N ∈（），猜想(f x ）的表达式为（ ）. A.4()22x f x =+ B.2()1f x x =+C.1()1f x x =+D.2()21f x x =+4.111()1()23f n n N n +=+++⋅⋅⋅+∈，经计算得357(2),(4)2,(8),(16)3,(32)222f f f f f =>>>>猜测当2n ≥时，有__________________________. 5. 从22211,2343,345675=++=++++=中得出_____________ .1. 对于任意正整数n ，猜想(21)n -与2(1)n +的大小关系.2. 已知数列{n a }的前n 项和n S ，123a =-，满足12(2)nn n S a n S ++=≥，计算1234,,,,S S S S 并猜想n S 的表达式.§2.1.1 合情推理（2）1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.30381.已知 0(1,2,,)i a i n >=，考察下列式子：111()1i a a ⋅≥；121211()()()4ii a a a a ++≥；123123111()()()9iii a a a a a a ++++≥ . 我们可以归纳出，对12,,,n a a a 也成立的类似不等式为 . 2. 猜想数列1111,,,,13355779--⨯⨯⨯⨯的通项公式是 .二、新课导学 ※ 学习探究鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理.新知：类比推理就是由两类对象具有 和其中 ，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由 到 的推理. ※ 典型例题例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.变式：用三角形的下列性质类比出四面体的有关性新知： 和 都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行 ，然后提出 的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.※ 动手试试练1. 如图，若射线OM ，ON 上分别存在点12,M M 与点12,N N ，则三角形面积之比11221122OM N OM N S OM ON S OM ON ∆∆=• .若不在同一平面内的射线OP ，OQ 上分别存在点12,P P ，点12,Q Q 和点12,R R ，则类似的结论是什么？练2. 在ABC ∆中，不等式1119A B C π++≥成立；在四边形ABCD 中，不等式1111162A B C D π+++≥成立；在五边形ABCDE 中，不等式11111253A B C D E π++++≥成立.猜想，在n 边形12n A A A 中，有怎样的不等式成立？三、总结提升 ※ 学习小结1．类比推理是由特殊到特殊的推理.2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；①用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.※ 知识拓展试一试下列题目： 1. 南京∶江苏A. 石家庄∶河北B. 渤海∶中国C. 泰州∶江苏D. 秦岭∶淮河 2. 成功∶失败A. 勤奋∶成功B. 懒惰∶失败C. 艰苦∶简陋D. 简单∶复杂 3.面条∶食物A. 苹果∶水果B. 手指∶身体C. 菜肴∶萝卜D. 食品∶巧克力学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1.下列说法中正确的是（ ）. A.合情推理是正确的推理 B.合情推理就是归纳推理C.归纳推理是从一般到特殊的推理D.类比推理是从特殊到特殊的推理2. 下面使用类比推理正确的是（ ）. A.“若33a b ⋅=⋅ ,则a b = ”类推出“若00a b ⋅=⋅ ,则a b =”B.“若()a b c ac bc +=+”类推出 “()a b c ac bc ⋅=⋅”C.“若()a b c ac bc +=+ ” 类推出“a b a bc c c+=+（c≠0）”D.“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n（b ） 3. 设)()(,sin )('010x f x f x x f ==，'21()(),,f x f x ='1()()n n f x f x +=，n①N ，则2007()f x = （ ）.A.sin xB.－sin xC.cos xD.－cos x 4. 一同学在电脑中打出如下若干个圆若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2019个圆中有 个黑圆. 5. 在数列1，1，2，3，5，8，13，x ，34，55……中的x 的值是 .课后作业1. 在等差数列{}n a 中，若100a =，则有*121219(19,)n n a a a a a a n n N -+++=+++<∈成立，类比上述性质，在等比数列{}n b 中，若91b =，则存在怎样的等式？2. 在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和nS 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121（1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S§2.1.2 演绎推理学习目标1. 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性；2. 掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.3942复习1：归纳推理是由 到 的推理. 类比推理是由 到 的推理. 复习2：合情推理的结论 .二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：演绎推理的概念 问题：观察下列例子有什么特点？ （1）所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ； （2）太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ； （3）在一个标准大气压下，水的沸点是100C ︒，所以在一个标准大气压下把水加热到100C ︒时， ； （4）一切奇数都不能被2整除，2019是奇数，所以 ；（5）三角函数都是周期函数，sin α是三角函数，所以 ；（6）两条直线平行，同旁内角互补.如果A 与B 是两条平行直线的同旁内角，那么 .新知：演绎推理是从 出发，推出 情况下的结论的推理.简言之，演绎推理是由 到 的推理.探究任务二：观察上述例子，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？新知：“三段论”是演绎推理的一般模式： 大前提—— ； 小前提—— ； 结论—— .试试：请把探究任务一中的演绎推理（2）至（6）写成“三段论”的形式.※ 典型例题例1 在锐角三角形ABC 中，,AD BC BE AC ⊥⊥，D ，E 是垂足. 求证：AB 的中点M 到D ，E 的距离相等.新知：用集合知识说明“三段论”： 大前提： 小前提： 结 论：例2证明函数2()2f x x x =-+在(],1-∞-上是增函数.小结：应用“三段论”解决问题时，首先应该明确什么是大前提和小前提，但为了叙述简洁，如果大前提是显然的，则可以省略.例 3 下面的推理形式正确吗？推理的结论正确吗？为什么？所有边长相等的凸多边形是正多边形，（大前提） 菱形是所有边长都相等的凸多边形， （小前提） 菱形是正多边形. （结 论）小结：在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定正确. ※ 动手试试练1. 用三段论证明：通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列.练2. 在ABC ∆中，AC BC >，CD 是AB 边上的高，求证ACD BCD ∠>∠.证明：在ABC ∆中，,CD AB AC BC ⊥>， 所以AD BD >， 于是ACD BCD ∠>∠. 指出上面证明过程中的错误.三、总结提升 ※ 学习小结1. 合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；结论不一定正确.2. 演绎推理：由一般到特殊.前提和推理形式正确结论一定正确.※ 知识拓展乒乓球教练组将从右手执拍的选手R 、S 、T 和左手执拍的选手L 、M 、N 、O 中选出四名队员去参加奥运会。
高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理学案 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
高中数学第二章推理与证明2.1.1 合情推理学案新人教B版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.1.1 合情推理学案新人教B版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
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2．1.1 合情推理1．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点）2．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．（重点)3．了解类比推理的定义与特点,掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．（重点、难点）[基础·初探］教材整理1 推理与合情推理阅读教材P53，完成下列问题．1．推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个_______________________，这种思维方式叫做推理．2．推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设），叫做__________；一部分是由已知推出的判断，叫做__________．3．推理的分类推理一般分为__________推理与__________推理．4．合情推理前提为真时，结论__________为真的推理，叫做合情推理．【答案】1。
判断2。
前提结论3。
合情演绎4．可能如图2。
1.1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点）有n(n〉1,n∈N＋）个点,每个图形总的点数记为a n，则a6＝_________________，a n＝________（n>1，n∈N）．＋图2.1。
高中数学《推理与证明》导学案 新人教A版选修2-2
吉林省长春市实验中学高二数学《推理与证明》导学案 新人教A 版选修2-2【学习目标】⒈巩固三种推理方法⒉巩固直接证明和反证法 ⒊巩固数学归纳法 【重点难点】重点：数学归纳法的应用、三种推理方法的应用。
难点：数学归纳法的应用、三种推理方法的应用。
模块一: 自主学习，明确目标一. 知识链接1、归纳推理的定义：2.类比推理的定义：3．绎推理的定义：4． 综合法：5．分析法:6．反证法:7．数学归纳法：模块二：合作释疑1.(用两种方法)已知数列{}n a 的第1项10a =，且1n a +=(1,2,)n = ，则20a = A ．0 B． C． D变式迁移1已知数列{}n a 满足12a =，111n n na a a ++=-（*n ∈N ）， 则3a 的值为 ， 1232007a a a a ⋅⋅⋅⋅ 的值为 ．例2模块三：巩固训练，整理提高一．课堂总结通过本节课的学习，你有哪些收获？1．知识上2．思想方法上3.反思二．课堂测试1．若p 为奇数，则2．已知*111123n a n N n=++++∈ ，是否存在n 的整式()g n ，使得等式 121()(1)n n a a a g n a -+++=- 对于大于1的一切正整数n 都成立？并证明你的结论．【课题】 §3.2.1复数代数形式的加减运算及几何意义（第1课时）【学习目标】1：掌握复数的加法运算及意义．2：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义．【重点难点】重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系．难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义．模块一: 自主学习，明确目标1. 与复数一一对应的有2. 试判断下列复数14,72,6,,20,7,0,03i i i i i i +----在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。
3. 同时用坐标和几何形式表示复数121472z i Z i =+=-与所对应的向量，并计算12OZ OZ + 。
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.2 反证法学案 新人教B版选修2-2(2021年最新整理)
高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法学案新人教B版选修2-2 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第二章推理与证明2.2.2 反证法学案新人教B版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2.2 反证法1．了解反证法的思考过程、特点．(重点、易混点)2．会用反证法证明简单的数学问题．(重点、难点)[基础·初探］教材整理反证法阅读教材P66～P67“例3”以上部分，完成下列问题．1．反证法的定义由证明p⇒q转向证明：綈q⇒r⇒…⇒t，t与________矛盾，或与某个________矛盾，从而判定__________，推出________的方法,叫做反证法．2．常见的几种矛盾(1)与假设矛盾;（2)与__________、定理、公式、定义或____________矛盾；(3)与______________矛盾(例如，导出0＝1，0≠0之类的矛盾）．【答案】1．假设真命题綈q为假q为真2．(2）数学公理已被证明了的结论(3)公认的简单事实1．判断（正确的打“√"，错误的打“×”)（1）反证法属于间接证明问题的方法．（）(2)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理．（）(3）反证法的实质是否定结论导出矛盾．( ）【答案】（1）√(2)×(3)√2．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b 与c是异面直线,若利用反证法证明，则应假设__________．【解析】∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．【答案】b与c平行或相交［质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑:疑问2:解惑：疑问3：解惑：［小组合作型］利用反证法证明否定性命题（1)2数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为( ）A．整数B．奇数或偶数C．自然数或负整数D．正整数或负整数（2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列,求证：错误!，错误!, 错误!不成等差数列．【自主解答】(1)要证明的结论是“方程没有整数根”,故应假设：方程存在实数根x0为整数，故选A。
高中数学学修2-2 推理与证明导学案加课后作业及答案
2．1.1合情推理(一)【学习要求】1．了解归纳推理的含义，能利用归纳推理进行简单的推理．2．了解归纳推理在数学发展中的作用．【学法指导】归纳是推理常用的思维方法，其结论不一定正确，但具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养.【知识要点】1．推理：根据一个或几个已知事实(或假设)得出一个，这种思维方式就是推理．推理一般由两部分组成：和________．2．合情推理：前提为真时，结论的推理，叫做合情推理．3．归纳推理：根据一类事物的部分对象具有某种性质，推出这类事物的都具有这种性质的推理．4．归纳推理具有如下的特点：（1）归纳推理是从到的推理；（2）由归纳推理得到的结论正确；（3）归纳推理是一种具有创造性的推理.【问题探究】探究点一归纳推理的定义问题1在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断——天要下雨了；张三今天没来上课，我们会推断——张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯”等，像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？问题2在等差数列{a n}中：a1＝a1＋0d，a2＝a1＋d＝a1＋1d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，……观察可得什么结论？问题3设f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想的结论是否正确．探究点二归纳推理的应用例1已知数列{a n}的第1项a1＝1，且a n＋1＝a n1＋a n(n＝1,2,3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．跟踪训练1已知数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＝2a n＋1(n＝1,2,3，…)．（1）求a2，a3，a4，a5；（2）归纳猜想通项公式a n.例2在法国巴黎举行的第52届世兵赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有一层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)＝______；f(n)＝______(答案用含n的代数式表示)．跟踪训练2在平面内观察：凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，凸六边形有9条对角线，…由此猜想凸n(n≥4且n∈N*)边形有几条对角线？例3观察下列等式，并从中归纳出一般法则．（1）1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，1＋3＋5＋7＋9＝52，……（2）1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝92，……跟踪训练3在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C≥9成立；在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D≥16成立；在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E≥253π成立．猜想在n边形A1A2…A n中有怎样的不等式成立_______．【当堂检测】1．已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若6＋ab＝6ab(a、b均为实数)．请推测a＝______，b＝________.2．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 345 6789101112131415……………………按照以上排列的规律，第n 行(n ≥3)从左向右的第3个数为________． 3．已知正项数列{a n }满足S n ＝12(a n ＋1a n)，求出a 1，a 2，a 3，a 4，并推测a n .【课堂小结】归纳推理的一般步骤（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理，发现某些相同的性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题，提出带有规律性的结论，即猜想，注意：一般性的命题往往要用字母表示，这时需注明字母的取值范围.【课后作业】一、基础过关1．数列5,9,17,33，x ，…中的x 等于( )A ．47B ．65C ．63D ．1282．已知a 1＝3，a 2＝6且a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 33为( )A ．3B ．－3C ．6D ．－6 3．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7等于( )1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111A ．1 111 110B ．1 111 111C ．1 111 112D ．1 111 1134．我们把1,4,9,16,25，…这些数称做正方形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正方形(如图)．试求第n 个正方形数是( )A ．n (n －1)B ．n (n ＋1)C ．n 2D ．(n ＋1)25．f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，计算得f (2)＝32，f (4)>2，f (8)>52，f (16)>3，f (32)>72，推测当n ≥2时，有________．二、能力提升6．设x ∈R ，且x ≠0，若x ＋x －1＝3，猜想x 2n ＋x －2n (n ∈R *)的个位数字是________． 7．如图，观察图形规律，在其右下角的空格处画上合适的图形，应为________．8．如图所示四个图形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，则这个数列的一个通项公式为________．9．如图所示，图(a)是棱长为1的小正方体，图(b)、图(c)是由这样的小正方体摆放而成．按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫第1层，第2层，…，第n 层．第n 层的小正方体的个数记为S n .解答下列问题．（1）按照要求填表：（2）S 10＝________.(3)S n ＝10．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1,3,6,10，…记为数列{a n }，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n }，可以推测：（1）b 2 012是数列{a n }中的第______项； （2）b 2k －1＝________.(用k 表示)11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1且S n －1＋1S n ＋2＝0(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，并猜想S n 的表达式．12．一条直线将平面分成2个部分，两条直线最多将平面分成4个部分． （1）3条直线最多将平面分成多少部分？（2）设n 条直线最多将平面分成f (n )部分，归纳出f (n ＋1)与f (n )的关系； （3）求出f (n )．三、探究与拓展13．在一容器内装有浓度r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作，设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n ，计算b 1、b 2、b 3，并归纳出计算公式bn ．2.1.1 合情推理(二)【学习要求】1．通过具体实例理解类比推理的意义． 2．会用类比推理对具体问题作出判断．【学法指导】类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式．归纳和类比是合情推理常用的思维方法，其结论不一定正确【知识要点】1．类比推理：根据两类不同事物之间具有某些类似(或一致)性，推测其中一类事物具有___________________________的推理，叫做类比推理(简称类比)． 2．类比推理的一般步骤：（1）找出两类事物之间的 ；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个 .【问题探究】探究点一 平面图形与立体图形间的类比阅读下面的推理，回答后面提出的问题：1．科学家对火星进行研究，发现火星与地球有许多类似的特征： （1）火星也是绕太阳运行、绕轴自转的行星； （2）有大气层，在一年中也有季节变更；（3）火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存，等等．科学家猜想：火星上也可能有生命存在．2．根据等式的性质猜想不等式的性质．等式的性质： 猜想不等式的性质： （1）a ＝b ⇒a ＋c ＝b ＋c; （1）a >b ⇒a ＋c >b ＋c ； （2）a ＝b ⇒ac ＝bc; （2）a >b ⇒ac >bc ； （3）a ＝b ⇒a 2＝b 2等等. （3）a >b ⇒a 2>b 2等等． 问题1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点？ 问题2 猜想正确吗？问题3 类比圆的特征，填写下表中球的有关特征例1 如图所示，面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为a i (i ＝1,2,3,4)，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为h i (i ＝1,2,3,4)，若a 11＝a 22＝a 33＝a 44＝k ，则h 1＋2h 2＋3h 3＋4h 4＝2Sk，类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为S i (i ＝1,2,3,4)，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为H i (i ＝1,2,3,4)，若S 11＝S 22＝S 33＝S 44＝K ，则H 1＋2H 2＋3H 3＋4H 4等于多少？跟踪训练1 在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2＋AC 2＝BC 2”．拓展到空间(如图)，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的结论是_________________________________________．探究点二 定义、定理或性质中的类比例2 在等差数列{a n }中，若a 10＝0，证明等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n <19，n ∈N ＋)成立，并类比上述性质相应在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．跟踪训练2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{b n }的前n 项积为T n ，则T 4，________，________，T 16T 12成等比数列．【当堂检测】1．下列说法正确的是 ( ) A ．由合情推理得出的结论一定是正确的 B ．合情推理必须有前提、有结论 C ．合情推理不能猜想D ．合情推理得出的结论不能判断正误2．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为________．3．若数列{c n }是等差数列，则当d n ＝c 1＋c 2＋…＋c nn 时，数列{d n }也是等差数列，类比上述性质，若数列{a n }是各项均为正数的等比数列，则当b n ＝_________时，数列{b n }也是等比数列． 4．对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面各正三角形的________．【课堂小结】1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向． 2．合情推理的过程概括为：从具体问题出发―→观察、分析、比较、联想―→归纳、类比―→提出猜想【课后作业】一、基础过关 1．下列推理正确的是( )A ．把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则有log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB ．把a (b ＋c )与sin (x ＋y )类比，则有sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC ．把a (b ＋c )与ax ＋y类比，则有ax ＋y＝a x ＋a yD ．把a (b ＋c )与a ·(b ＋c )类比，则有a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c 2．下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n －2)·180°.A ．①②B ．①③C ．①②④D ．②④3．在等差数列{a n }中，若a n <0，公差d >0，则有a 4·a 6>a 3·a 7，类比上述性质，在等比数列{b n }中，若b n >0，q >1，则下列有关b 4，b 5，b 7，b 8的不等关系正确的是( )A ．b 4＋b 8>b 5＋b 7B ．b 5＋b 7>b 4＋b 8C ．b 4＋b 7>b 5＋b 8D ．b 4＋b 5>b 7＋b 84．已知扇形的弧长为l ，半径为的r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推知扇形面积公式S 扇＝________.5．类比平面直角坐标系中△ABC 的重心G (x ，y )的坐标公式⎩⎨⎧x ＝x 1＋x 2＋x33y ＝y 1＋y 2＋y33(其中A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)、C (x 3，y 3))，猜想以A (x 1，y 1，z 1)、B (x 2，y 2，z 2)、C (x 3，y 3，z 3)、D (x 4，y 4，z 3)为顶点的四面体A —BCD 的重心G (x ，y ，z )的公式为________．6．公差为d (d ≠0)的等差数列{a n }中，S n 是{a n }的前n 项和，则数列S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30也成等差数列，且公差为100d ，类比上述结论，相应地在公比为q (q ≠1)的等比数列{b n }中，若T n 是数列{b n }的前n 项积，则有_____________________________________． 二、能力提升7．把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间，结论仍然正确的是________．(填序号) ①如果一条直线与两条平行线中的一条相交，则也与另一条相交； ②如果一条直线与两条平行线中的一条垂直，则也与另一条垂直； ③如果两条直线同时与第三条直线相交，则这两条直线相交或平行； ④如果两条直线同时与第三条直线垂直，则这两条直线平行．8．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列性质中，你认为比较恰当的是________．(填序号)①各棱长相等，同一顶点上的两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等； ③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．9．已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过定点(p,0)作两条互相垂直的直线l 1、l 2，若l 1与抛物线交于P 、Q 两点，l 2与抛物线交于M 、N 两点，l 1的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为(p k 2＋p ，pk)，请你写出弦MN 的中点坐标：________.10．现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．11．如图(1)，在平面内有面积关系S △P A ′B ′S △P AB＝P A ′P A ·PB ′PB ，写出图(2)中类似的体积关系，并证明你的结论．12．如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示为a ＝b ·cos C ＋c ·cos B ，其中a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．三、探究与拓展13．已知在Rt △ABC 中，AB ⊥AC ，AD ⊥BC 于D ，有1AD 2＝1AB 2＋1AC 2成立．那么在四面体A －BCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明猜想是否正确及给出理由．2.1.2 演绎推理【学习要求】1．理解演绎推理的意义．2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理． 3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．【学法指导】演绎推理是数学证明的主要工具，其一般模式是三段论．学习中要挖掘证明过程包含的推理思路，明确演绎推理的基本过程.【知识要点】1．演绎推理：由概念的定义或一些真命题，依照_____________得到 的过程，通常叫做演绎推理． 2．演绎推理的特征是：当前提为真时，结论 ． 3．演绎推理经常使用三段论推理，三段论一般可表示： ________________；所以，S 是P .【问题探究】探究点一 演绎推理与三段论问题1 分析下面几个推理，找出它们的共同点．（1）所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电；（2）一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除； （3）三角函数都是周期函数，正切函数是三角函数，因此正切函数是周期函数；（4）两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°. 问题2 演绎推理有什么特点？问题3 演绎推理的结论一定正确吗？ 问题4 演绎推理一般是怎样的模式？ 例1 将下列演绎推理写成三段论的形式．（1）平行四边形的对角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分； （2）等腰三角形的两底角相等，∠A ，∠B 是等腰三角形的底角，则∠A ＝∠B ； （3）通项公式为a n ＝2n ＋3的数列{a n }为等差数列． 跟踪训练1 把下列推断写成三段论的形式：（1）因为△ABC 三边的长依次为3,4,5，所以△ABC 是直角三角形； （2）函数y ＝2x ＋5的图象是一条直线； （3）y ＝sin x (x ∈R)是周期函数． 探究点二 三段论的错误探究例2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： （1）整数是自然数， 大前提 －3是整数， 小前提 －3是自然数． 结论 （2）常函数的导函数为0， 大前提 函数f (x )的导函数为0， 小前提 f (x )为常函数． 结论 （3）无限不循环小数是无理数， 大前提 13(0.333 33…)是无限不循环小数， 小前提 13是无理数．结论跟踪训练2 指出下列推理中的错误，并分析产生错误的原因： （1）因为中国的大学分布在中国各地， 大前提 北京大学是中国的大学， 小前提 所以北京大学分布在中国各地． 结论 （2）因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形， 大前提而菱形是所有边长都相等的凸多边形， 小前提 所以菱形是正多边形． 结论 探究点三 三段论的应用例3 如图，在锐角三角形ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，D ，E 是垂足，求证：AB 的中点M 到点D ，E 的距离相等．跟踪训练3 已知：在空间四边形ABCD 中，点E ，F 分别是AB ，AD 的中点，如图所示， 求证：EF ∥平面BCD .【当堂检测】1．下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又x y 31log =是对数函数(小前提)，所以y ＝x y 31log =是增函数(结论)．”下列说法正确的是 ( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误3．推理：“①矩形是平行四边形，②三角形不是平行四边形，③所以三角形不是矩形．”中 的小前提是 ( ) A ．① B ．② C ．③ D ．①②4．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：____________； 小前提：____________； 结论：____________.【课堂小结】1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.【课后作业】一、基础过关 1． 下列表述正确的是( )①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理； ③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理； ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A ．①②③B ．②③④C ．②④⑤D ．①③⑤ 2． 下列说法不正确的是( )A ．演绎推理是由一般到特殊的推理B ．赋值法是演绎推理C ．三段论推理的一个前提是肯定判断，结论为否定判断，则另一前提是否定判断D ．归纳推理的结论都不可靠3． 正弦函数是奇函数，f (x )＝sin(x 2＋1)是正弦函数，因此f (x )＝sin (x 2＋1)是奇函数．以上推理 ( )A ．结论正确B ．大前提不正确C ．小前提不正确D ．全不正确4．“∵四边形ABCD 是矩形，∴四边形ABCD 的对角线相等．”以上推理的大前提是( )A ．正方形都是对角线相等的四边形B ．矩形都是对角线相等的四边形C ．等腰梯形都是对角线相等的四边形D ．矩形都是对边平行且相等的四边形 5． 给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有的直线；(大前提) 已知直线b ∥平面α，直线a ⊂平面α；(小前提) 则直线b ∥直线a .(结论) 那么这个推理是( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．非以上错误 6． 下列几种推理过程是演绎推理的是( )A ．5和22可以比较大小B ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C ．东升高中高二年级有15个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人D ．预测股票走势图 二、能力提升7．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是__________(填序号)． 8．在求函数y ＝log 2x －2的定义域时，第一步推理中大前提是当a 有意义时，a ≥0；小前提是log 2x －2有意义；结论是__________________．9．由“(a 2＋a ＋1)x >3，得x >3a 2＋a ＋1”的推理过程中，其大前提是______________．10．对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如图(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是________(写出所有凸集相应图形的序号)． 11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．设a >0，f (x )＝e x a ＋ae x 是R 上的偶函数，求a 的值．三、探究与拓展13．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC .2.2.1 综合法与分析法(一)【学习要求】1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法.2．理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题．【学法指导】综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，要结合实例了解两种证法的思考过程、特点.【知识要点】1． 和 是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式． 2．综合法是从 出发，经过 ，最后达到待证结论．3．分析法是从 出发，一步一步寻求结论成立的______，最后达到题设的已知条件，或已被证明的事实.【问题探究】 探究点一 综合法问题1 证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？ 已知a ，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .问题2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？例1 在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证：△ABC 为等边三角形． 跟踪训练1 在△ABC 中，AC AB ＝cos B cos C，证明：B ＝C . 探究点二 分析法问题1 回顾一下：均值不等式a ＋b2≥ab (a >0，b >0)是怎样证明的？问题2 证明过程有何特点？问题3 综合法和分析法的区别是什么？ 例2 求证：3＋7<2 5.跟踪训练2 求证：a －a －1<a －2－a －3(a ≥3)． 探究点三 综合法和分析法的综合应用问题 在实际证题中，怎样选用综合法和分析法？例3 已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z)，且sin θ＋cos θ＝2sin α， ①sin θ·cos θ＝sin 2β.②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β.跟踪训练3 若tan(α＋β)＝2tan α，求证：3sin β＝sin(2α＋β)．【当堂检测】1．下列表述：①综合法是由因导果法； ②综合法是顺推法； ③分析法是执果索因法； ④分析法是间接证明法； ⑤分析法是逆推法． 其中正确的语句有 ( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．欲证2－3<6－7成立，只需证( )A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2 3．求证：1log 519＋2log 319＋3log 219<2.4．已知1－tan α2＋tan α＝1，求证：cos α－sin α＝3(cos α＋sin α)．【课堂小结】1．综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因． 2．分析法证题时，一定要恰当地运用“要证”、“只需证”、“即证”等词语． 3．在解题时，往往把综合法和分析法结合起来使用.【课后作业】一、基础过关1． 已知a ，b ，c ∈R ，那么下列命题中正确的是( )A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a c >bc ，则a >bC ．若a 3>b 3且ab <0，则1a >1bD ．若a 2>b 2且ab >0，则1a <1b2． A 、B 为△ABC 的内角，A >B 是sin A >sin B 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3． 已知直线l ，m ，平面α，β，且l ⊥α，m ⊂β，给出下列四个命题：①若α∥β，则l ⊥m ；②若l ⊥m ，则α∥β；③若α⊥β，则l ⊥m ；④若l ∥m ，则α⊥β. 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44． 设a ，b 都是正实数，且a ≠b ，a ＋b ＝2，则必有( )A ．1≤ab ≤a 2＋b 22B ．ab <1<a 2＋b 22C ．ab <a 2＋b 22<1D ．a 2＋b 22<ab <15． 已知a ，b 为非零实数，则使不等式：a b ＋ba≤－2成立的一个充分不必要条件是( )A ．ab >0B ．ab <0C ．a >0，b <0D ．a >0，b >0二、能力提升6． 设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x中最大的一个是( )A ．aB ．bC ．cD ．不能确定7． 已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝0，abc >0，则1a ＋1b ＋1c的值( )A ．一定是正数B ．一定是负数C ．可能是0D ．正、负不能确定8．设a ＝2，b ＝7－3，c ＝6－2，则a ，b ，c 的大小关系为________． 9．已知p ＝a ＋1a －2(a >2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a >2)，则p 、q 的大小关系为________．10．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，求实数a ，b 的取值范围．11．设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 212．已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b.三、探究与拓展13．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且0<x <1.求证：log x a ＋b 2＋log x b ＋c 2＋log x a ＋c2<log x a ＋log x b ＋log x c .2.2.1 综合法与分析法(二)【学习要求】加深对综合法、分析法的理解，应用两种方法证明数学问题．【学法指导】通过本节课的学习，比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高思维能力.【双基检测】1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的 ( ) A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充要条件 D ．等价条件2．用P 表示已知，Q 表示要证的结论，则综合法的推理形式为 ( ) A ．P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q B ．P ⇐Q 1→Q 1⇐Q 2→Q 2⇐Q 3→…→Q n ⇐Q C ．Q ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒P D ．Q ⇐Q 1→Q 1⇐Q 2→Q 2⇐Q 3→…→Q n ⇐P 3．已知p ：ab >0；q ：b a ＋ab≥2，则( )A ．p 是q 的充分而不必要条件B ．p 是q 的必要而不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 是q 的既不充分也不必要条件 4．要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0C ．a ＋b 22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥05．给出下列命题：①a <b <0⇒b a <1；②a <b <0⇒a －2<b －2；③a >b ，c >d ，abcd ≠0⇒a c >b d ；④a ·b ≠0⇒|a ＋b ||a |＋|b |<1；⑤a >b >0，c >d >0⇒a d >bc.其中，真命题的序号是________． 【问题探究】题型一 选择恰当的方法证明不等式例1 设a ，b ，c 为任意三角形三边长，I ＝a ＋b ＋c ，S ＝ab ＋bc ＋ca ，试证：3S ≤I 2<4S . 跟踪训练1 （1）已知：a ，b ，c 都是正实数，且ab ＋bc ＋ca ＝1.求证：a ＋b ＋c ≥ 3. （2）已知a 、b 、c 为互不相等的正数且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c <1a ＋1b ＋1c .题型二 选择恰当的方法证明等式例2 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列，对应的三边为a ，b ，c ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c .跟踪训练2 设实数a ，b ，c 成等比数列，非零实数x ，y 分别为a 与b ，b 与c 的等差中项，试证：a x ＋cy ＝2.题型三 选择恰当的方法证明空间图形的位置关系例3 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E是PC 的中点．求证：（1）CD ⊥AE ；（2）PD ⊥平面ABE .跟踪训练3 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.求证：（1）AF ∥平面BDE ； （2）CF ⊥平面BDE .【课堂小结】1．综合法的特点是：从已知看可知，逐步推出未知．2．分析法的特点是：从未知看需知，逐步靠拢已知． 3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．【课后作业】一、基础过关1． 已知a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．a ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3 2． 已知a 、b 、c 、d ∈{正实数}，且a b <cd，则( )A ．a b <a ＋c b ＋d <c dB ．a ＋c b ＋d <a b <c dC ．a b <c d <a ＋c b ＋dD ．以上均可能3． 下面四个不等式：①a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ； ②a (1－a )≤14； ③b a ＋ab ≥2； ④(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4． 若实数a ，b 满足0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列四个数中最大的是( )A ．12B ．2abC ．a 2＋b 2D ．a5．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a 、b 、c 的大小顺序是________．6． 如图所示，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，过A 作SB 的垂线，垂足为E ，过E 作SC 的垂线，垂足为F . 求证：AF ⊥SC .证明：要证AF ⊥SC ，只需证SC ⊥平面AEF ，只需证AE ⊥SC (因为______)，只需证______，只需证AE ⊥BC (因为________)，只需证BC ⊥平面SAB ，只需 证BC ⊥SA (因为________)．由SA ⊥平面ABC 可知，上式成立． 二、能力提升7． 命题甲：(14)x 、2－x 、2x －4成等比数列；命题乙：lg x 、lg(x ＋2)、lg(2x ＋1)成等差数列，则甲是乙的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8． 若a >b >1，P ＝lg a ·lg b ，Q ＝12(lg a ＋lg b )，R ＝lg(a ＋b 2)，则( )A ．R <P <QB ．P <Q <RC ．Q <P <RD ．P <R <Q9． 已知α、β为实数，给出下列三个论断：①αβ>0；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断为结论，你认为正确的命题是________． 10．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a b ＋ba>a＋b .11．已知a >0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a－2.12．已知a 、b 、c ∈R ，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)·(1c －1)≥8.13．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x (x >0)，对任意两个不相等的正数x 1、x 2，证明：当a ≤0时，f (x 1)＋f (x 2)2>f (x 1＋x 22)．三、探究与拓展14．已知a ，b ，c ，d ∈R ，求证：ac ＋bd ≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2).(你能用几种方法证明？)2.2.2 反证法【学习要求】1．了解反证法是间接证明的一种基本方法．2．理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题．【学法指导】反证法需要逆向思维，难点是由假设推出矛盾，在学习中可通过动手证明体会反证法的内涵，归纳反证法的证题过程.【知识要点】1．定义一般地，由证明p ⇒q 转向证明：綈q ⇒r ⇒…⇒t ，t 与 矛盾，或与 矛盾．从而判定 为假，推出 为真的方法，叫做反证法． 2．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与 矛盾或与___________________________矛盾，或与 矛盾等. 【问题探究】探究点一 反证法的概念问题1 王戎小时候，爱和小朋友在路上玩耍．一天，他们发现路边的一棵树上结满了李子，小朋友一哄而上，去摘李子，独有王戎没动，等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”王戎说：“假如李子不苦的话，早被路人摘光了，而这树上却结满了李子，所以李子一定是苦的．” 这就是著名的“道旁苦李”的故事．王戎的论述，运用了什么方法？ 问题2 上述方法的含义是什么？问题3 反证法证明的关键是经过推理论证，得出矛盾．反证法引出的矛盾有几种情况？问题4 反证法主要适用于什么情形？探究点二 用反证法证明定理、性质等一些事实结论例1 已知直线a ，b 和平面α，如果a ⊄α，b ⊂α，且a ∥b ，求证：a ∥α.跟踪训练1 已知：a ∥b ，a ∩平面α＝A，如图．求证：直线b 与平面α必相交．探究点三 用反证法证明否定性命题例2 求证：2不是有理数．跟踪训练2 已知三个正数a ，b ，c 成等比数列，但不成等差数列，求证：a ，b ，c 不成等差数列． 探究点四 用反证法证明“至多”、“至少”“唯一”型命题例3 若函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数，那么方程f (x )＝0在区间[a ，b ]上至多有一个实根．跟踪训练3 若a ，b ，c 均为实数，且a ＝x 2－2y ＋π2，b ＝y 2－2z ＋π3，c ＝z 2－2x ＋π6.求证：a 、b 、c 中至少有一个大于0.【当堂检测】1．证明“在△ABC 中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设 ( ) A ．三角形中至少有一个直角或钝角 B ．三角形中至少有两个直角或钝角 C ．三角形中没有直角或钝角D ．三角形中三个角都是直角或钝角2．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中 ( ) A ．有一个内角小于60° B ．每一个内角都小于60° C ．有一个内角大于60° D ．每一个内角都大于60° 3．“a <b ”的反面应是 ( ) A ．a ≠b B ．a >b C ．a ＝b D ．a ＝b 或a >b4．用反证法证明“在同一平面内，若a ⊥c ，b ⊥c ，则a ∥b ”时，应假设 ( ) A ．a 不垂直于c。
人教版数学高二B版选修2-2学案 推理与证明 章末总结
一.知识再现
1、归纳推理的定义：由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)
2.类比推理的定义：由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推测出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．
A．0 B． C． D．
解法1：由于 ， ，则 ， ， ，由此归纳出数列 是以3为周期的数列，则 ，选B．
解法2： ，令 ，则 ，
则 ，即 ， ，
而 ，则 ， ；
2．已知数列 满足 ， （ ），则 的值为， 的值为．
【思路1】分别求出 、 、 、 ，可以发现 ，且 ，
故 ．
【Hale Waihona Puke 路2】由 ，联想到两角和的正切公式，设 ，则有 ， ， ， ，……．
6．反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立
7．数学归纳法：定义:设 是一个与正整数相关的命题集合,如果(1)证明起始命题 (或 )成立;(2)在假设 成立的前提下，推出 也成立， 对一切正整数都成立.
二．例题解析
1.已知数列 的第1项 ，且 ，则
3．绎推理的定义：根据一般性的真命题（或逻辑规则）导出特殊命题为真的推理叫演绎推理
4． 综合法：从题设中的已知条件或已证的真实判断出发,经过一系列的中间推理,最后导出所求证的命题.综合法是一种由因所果的证明方法.
5．分析法:一般地，从要证明的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止，这种证明的方法叫做分析法．分析法是一种执果索因的证明方法.
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高二数学必修二推理与证明知识点导学案
1、归纳推理：把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).
简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
归纳推理的一般步骤：
•通过观察个别情况发现某些相同的性质；
•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
•证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理.
类比推理的一般步骤：
•找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
•用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
•检验猜想。
3、合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.
4、演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．
简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理.
演绎推理的一般模式———“三段论”，包括：⑴大前提-----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．
5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.要点：顺推证法；由因导果.
⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
要点：逆推证法；执果索因.
⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.
反证法法证明一个命题的一般步骤：
(1)（反设）假设命题的结论不成立； (2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；
(3)（归谬）断言假设不成立； (4)（结论）肯定原命题的结论成立.
6、数学归纳法
数学归纳法是证明关于正整数n 的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;
（1）（归纳奠基）证明当n 取第一个值*00()n n N ∈时命题成立；
（2）（归纳递推）假设*0(,)n k k n k N =≥∈时命题成立，推证当1n k =+时命题也成
立.
只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立.。