选修2-2第二章推理与证明复习学案
2018-2019学年人教A版选修2-2 第二章 推理与证明 小结与复习 学案
答案：B
3．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接受方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4d，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为()
二、自主学习
（1）.知识框图
（2）课前小测
1．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()
A．平行四边形的对角线相等B．正方形的对角线相等
C．正方形是平行四边形D．以上都不是
答案：B
2．已知f(x＋1)＝ ，f(1)＝1(x∈N)，猜想f(x)的表达式为()
第一章导数及其应用--小结与复习
------------学案
一、学习目标
1.让学生进一步从整体上理解推理与证明的思维过程。
2.体会在解决问题的过程中，合情推理具有猜测结论和发现结论、探索和提供思路的作用。证明包括直接证明与间接证明，其中数学归纳法是将无穷的归纳过程，根据归纳原理转化为有限的特殊(直接验证和演绎推理相结合)的过程;
证明：假设存在实数a，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点O，则OP⊥OQ.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 · ＝－1，所以(ax1－1)(ax2－1)＝－x1·x2，
即(1＋a2)x1·x2－a(x1＋x2)＋1＝0.由题意得(1－2a2)x2＋4ax－3＝0，
所以x1＋x2＝ ，x1·x2＝ .所以(1＋a2)· －a· ＋1＝0，
(2)用数学归纳法证明你的结论．
(2)证明：①易知，n＝1时，猜想正确．
高中数学 第二章 推理与证明章末复习学案(含解析)新人教A版选修2-2(2021年最新整理)
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第二章推理与证明1．归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般,部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推测未知,都能用于猜想，推理的结论不一定为真,有待进一步证明．2．演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式．也是公理化体系所采用的推理形式,另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性．3．直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法．直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法;分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法．4．数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时,它的两个步骤缺一不可．它的第一步(归纳奠基）n＝n0时结论成立．第二步（归纳递推)假设n＝k时，结论成立,推得n＝k ＋1时结论也成立．数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤（两步)证明出无限的命题成立．5．归纳、猜想、证明探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题,它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明。
高中数学 第二章 推理与证明复习提升课学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案
第二章 推理与证明章末复习提升课利用递推关系猜想数列通项公式[问题展示] （教材P83习题2.1 A 组T1）在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n 2＋a n（n ∈N *），试猜想这个数列的通项公式.【解】 因为a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n，所以a 2＝2a 12＋a 1＝23，a 3＝2a 22＋a 2＝2×232＋23＝24，a 4＝2a 32＋a 3＝25，所以猜想数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.是否存在常数a ，b ，使得a n ＋1＝aa nba n ＋1对于一切n ∈N *均成立，若存在，求出常数a ，b 的值，若不存在，说明理由.【解】 假设存在满足条件的常数a ，b . 由a n ＝2n ＋1与a n ＋1＝aa nba n ＋1得 2n ＋2＝a ·2n ＋1b ·2n ＋1＋1， 即（a －1）n ＋（2a －2b －1）＝0对于n ∈N *恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，2a －2b －1＝0，所以a ＝1，b ＝12.即存在常数a ＝1，b ＝12，当a n ＝2n ＋1时，a n ＋1＝a n12a n ＋1对于一切n ∈N *均成立.【拓展1】 直接推出原问题中数列{a n }的通项公式. 【解】 由a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n 得1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12. 即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以首项为1a 1＝1，公差为12的等差数列，所以1a n ＝1＋（n －1）×12＝n ＋12.所以a n ＝2n ＋1.【拓展2】 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n1＋2a n .（1）猜想数列{a n }的通项公式； （2）求数列{a n }的通项公式.【解】 （1）由a 1＝1，a n ＋1＝2a n1＋2a n得a 2＝2a 11＋2a 1＝2×11＋2×1＝23，a 3＝2a 21＋2a 2＝2×231＋2×23＝47， a 4＝2a 31＋2a 3＝2×471＋2×47＝815，由此猜想a n ＝2n －12n －1. （2）由a 1＝1，a n ＋1＝2a n 1＋2a n 得1a n ＋1＝12a n ＋1，所以1a n ＋1－2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －2，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －2是首项为1a 1－2＝－1，公比为12的等比数列.所以1a n －2＝－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，所以1a n ＝2－12n －1＝2n －12n －1，所以a n ＝2n －12n －1.即所求数列的通项公式为a n ＝2n －12n －1.分析法与综合法的应用 [问题展示] （教材P89练习T2）求证6＋7＞22＋ 5.【证明】 要证6＋7＞22＋5， 只需证（6＋7）2＞（22＋5）2， 展开得13＋242＞13＋240， 只需证42＞40， 只需证42＞40.因为42＞40显然成立，所以6＋7＞22＋5成立.若22＋m ＜5恒成立，比较m 与5的大小. 【解】 由22＋m ＜5得m ＜5－2 2. 即m ＜（5－22）2＝33－202， 所以m －5＜28－202＝4（7－52）.因为72－（52）2＝49－50＝－1＜0， 所以7＜52， 即7－52＜0，即m －5＜4（7－52）＜0，所以m ＜5.设a ≥0，求证：a ＋1＋a ＋2＞a ＋a ＋3.【证明】 因为a ≥0，所以要证a ＋1＋a ＋2＞a ＋a ＋3成立， 只需证明（a ＋1＋a ＋2）2＞（a ＋a ＋3）2成立. 展开得2a ＋3＋2a 2＋3a ＋2＞2a ＋3＋2a 2＋3a . 即证 a 2＋3a ＋2＞ a 2＋3a 成立，只需证（a 2＋3a ＋2）2＞（a 2＋3a ）2成立. 只需证a 2＋3a ＋2＞a 2＋3a 成立. 即证2＞0成立， 2＞0显然成立.所以a ＋1＋a ＋2＞a ＋a ＋3成立.演绎推理的应用[问题展示] （教材P85例1）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 成等比数列，求证△ABC 为等边三角形.【证明】 由A ，B ，C 成等差数列，有2B ＝A ＋C .① 因为A ，B ，C 为△ABC 的内角，所以A ＋B ＋C ＝π.② 由①②，得B ＝π3.③由a ，b ，c 成等比数列，有b 2＝ac .④ 由余弦定理及③，可得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B＝a 2＋c 2－ac .再由④，得a 2＋c 2－ac ＝ac ， 即（a －c ）2＝0，因此a ＝c . 从而有A ＝C .⑤由②③⑤，得A ＝B ＝C ＝π3.所以△ABC 为等边三角形.在△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c .若B ＝π3，试比较：（1）b 2与ac 的大小； （2）2b 与a ＋c 的大小.【解】 因为B ＝π3，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac .（1）b 2－ac ＝a 2＋c 2－2ac ＝（a －c ）2≥0， 所以b 2≥ac .（2）（2b ）2－（a ＋c ）2＝4b 2－a 2－2ac －c 2＝4（a 2＋c 2－ac ）－a 2－2ac －c 2＝3a 2－6ac ＋3c 2＝3（a －c ）2≥0， 所以（2b ）2≥（a ＋c ）2，即2b ≥a ＋c .【拓展1】 在△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c . （1）若a ，b ，c 成等比数列，求B 的范围； （2）若a ，b ，c 成等差数列，求B 的范围. 【解】 （1）因为a ，b ，c 成等比数列， 所以b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－ac 2ac≥2ac －ac 2ac ＝12.即cos B ≥12，又B ∈（0，π），所以0＜B ≤π3.（2）因为a ，b ，c 成等差数列， 所以b ＝a ＋c2，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝a 2＋c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 222ac＝3（a 2＋c 2）－2ac 8ac≥3×2ac －2ac 8ac ＝12.即cos B ≥12，又B ∈（0，π）， 所以0＜B ≤π3.【拓展2】 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 与a ，b ，c 都成等差数列，求证△ABC 为正三角形.【证明】 因为A ，B ，C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，① 又A ＋B ＋C ＝π，② 由①②得B ＝π3.③又a ，b ，c 成等差数列， 所以b ＝a ＋c2，④由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，⑤ 将③④代入⑤得⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac ×12. 化简得a 2－2ac ＋c 2＝0， 即（a －c ）2＝0，所以a ＝c ，⑥ 由④⑥得a ＝b ＝c ， 所以△ABC 为正三角形.归纳—猜想—证明的应用[问题展示] （教材P94例2）已知数列11×4，14×7，17×10，…，1（3n －2）（3n ＋1），…，计算S 1，S 2，S 3，S 4，根据计算结果，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法进行证明.【解】 S 1＝11×4＝14；S 2＝14＋14×7＝27； S 3＝27＋17×10＝310； S 4＝310＋110×13＝413. 可以看到，上面表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为3n ＋1.于是可以猜想S n ＝n 3n ＋1. 下面我们用数学归纳法证明这个猜想. （1）当n ＝1时，左边＝S 1＝14，右边＝n 3n ＋1＝13×1＋1＝14， 猜想成立.（2）假设当n ＝k （k ∈N *）时猜想成立，即11×4＋14×7＋17×10＋…＋1（3k －2）（3k ＋1）＝k 3k ＋1， 那么，11×4＋14×7＋17×10＋…＋1（3k －2）（3k ＋1）＋1[3（k ＋1）－2][3（k ＋1）＋1]＝k 3k ＋1＋1（3k ＋1）（3k ＋4）＝3k 2＋4k ＋1（3k ＋1）（3k ＋4）＝（3k ＋1）（k ＋1）（3k ＋1）（3k ＋4）＝k ＋13（k ＋1）＋1，所以，当n ＝k ＋1时猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何n ∈N *都成立.已知数列{a n }满足a 1＝1，且1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n3n ＋1对于一切n ∈N *均成立.（1）求a 2，a 3，a 4；（2）猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明. 【解】 （1）因为a 1＝1，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n3n ＋1. 当n ＝1时，11·a 2＝13×1＋1，则a 2＝4.当n ＝2时，11×4＋14a 3＝23×2＋1，则a 3＝7.当n ＝3时，11×4＋14×7＋17a 4＝33×3＋1，则a 4＝10.（2）由a 1＝1，a 2＝4，a 3＝7，a 4＝10猜想a n ＝3n －2. 下用数学归纳法证明. ①当n ＝1时，显然成立.②假设n ＝k （k ∈N *）时猜想成立， 即a k ＝3k －2. 则当n ＝k ＋1时， 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1＝k3k ＋1， 即11×4＋14×7＋…＋1（3k －5）（3k －2）＋1（3k －2）a k ＋1＝k 3k ＋1. 所以1a k ＋1＝（3k －2）⎣⎢⎡k 3k ＋1－13⎝⎛1－14＋14－17＋…＋⎦⎥⎤⎭⎪⎫13k －5－13k －2＝（3k －2）⎝ ⎛⎭⎪⎫k 3k ＋1－k －13k －2＝13k ＋1， 所以a k ＋1＝3k ＋1＝3（k ＋1）－2. 即n ＝k ＋1时，猜想也成立. 根据①②知猜想对任意n ∈N *都成立.已知数列{a n }是递增等差数列，且a 1＞0. 求证：1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1＝n a 1a n ＋1. 【证明】 ①当n ＝1时，左边＝1a 1a 2，右边＝1a 1a 2，等式成立.②假设n ＝k （k ∈N *）等式成立，即 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1＝ka 1a k ＋1， 则当n ＝k ＋1时， 1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a k a k ＋1＋1a k ＋1a k ＋2＝k a 1a k ＋1＋1a k ＋1a k ＋2 ＝ka k ＋2＋a 1a 1a k ＋1a k ＋2＝k [a 1＋（k ＋1）d ]＋a 1a 1a k ＋1a k ＋2＝（k ＋1）（a 1＋kd ）a 1a k ＋1a k ＋2＝（k ＋1）a k ＋1a 1a k ＋1a k ＋2＝k ＋1a 1a k ＋2，即n ＝k ＋1时，等式也成立， 由①②知，等式对于一切n ∈N *均成立.1.用反证法证明命题“若整数系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个是偶数”，下列各假设中正确的是（ ）A.假设a ，b ，c 都是偶数B.假设a ，b ，c 都不是偶数C.假设a ，b ，c 中至多有一个是偶数D.假设a ，b ，c 中至多有两个偶数解析：选B.对命题的结论“a ，b ，c 中至少有一个是偶数”进行否定假设应是“假设a ，b ，c 都不是偶数”.因为“至少有一个”即有一个、两个或三个，因此它的否定应是“都不是”.2.以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中的“杨辉三角形”.1 2 3 4 5 … 2 013 2 014 2 015 2 0163 5 7 9 …………4 027 4 029 4 0318 12 16 ………………… 8 056 8 06020 28 ………………… 16 116…………………………该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为（ ）A.2 017×22 013 B.2 017×22 014 C.2 016×22 015 D.2 016×22 014解析：选B.当第一行为2个数时，最后一行仅一个数，为3＝3×1＝3×20；当第一行为3个数时，最后一行仅一个数，为8＝4×2＝4×21；当第一行为4个数时，最后一行仅一个数，为20＝5×4＝5×22；当第一行为5个数时，最后一行仅一个数，为48＝6×8＝6×23.归纳推理，得当第一行为2 016个数时，最后一行仅一个数，为2 017×22 014.故选B.3.通过圆与球的类比，由结论“半径为r 的圆的内接四边形中，正方形的面积最大，最大值为2r 2”猜想关于球的相应结论为“半径为R 的球的内接六面体中， ”.（ ）A.长方体的体积最大，最大值为2R 3B.正方体的体积最大，最大值为3R 3C.长方体的体积最大，最大值为43R 39D.正方体的体积最大，最大值为83R 39解析：选D.类比可知半径为R 的球的内接六面体中，正方体的体积最大，设其棱长为a ，正方体体对角线的长度等于球的直径，即3a ＝2R ，得a ＝2R 3，体积V ＝a 3＝83R 39.故选D.4.已知a，b，c，d∈（0，＋∞）.求证ac＋bd≤（a2＋b2）（c2＋d2）.证明：法一：（分析法）欲证ac＋bd≤（a2＋b2）（c2＋d2），只需证（ac＋bd）2≤（a2＋b2）（c2＋d2），即证a2c2＋2abcd＋b2d2≤a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2，即证2abcd≤a2d2＋b2c2，即证0≤（bc－ad）2，而a，b，c，d∈（0，＋∞），0≤（bc－ad）2显然成立，故原不等式成立.法二：（综合法）（a2＋b2）（c2＋d2）＝a2c2＋b2d2＋a2d2＋b2c2≥a2c2＋b2d2＋2abcd＝（ac＋bd）2，所以（a2＋b2）（c2＋d2）≥ac＋bd.5.已知数列{a n}满足关系式a1＝a（a>0），a n＝2a n－11＋a n－1（n≥2，n∈N*），（1）用a表示a2，a3，a4；（2）猜想a n的表达式（用a和n表示），并证明你的结论.解：（1）a2＝2a1＋a，a3＝2a21＋a2＝2×2a1＋a1＋2a1＋a＝4a1＋3a，a4＝2a31＋a3＝2×4a1＋3a1＋4a1＋3a＝8a1＋7a.（2）因为a1＝a＝20a1＋（20－1）a，a2＝21a1＋（21－1）a，…，猜想a n＝2n－1a1＋（2n－1－1）a. 下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，因为a 1＝a ＝20a 1＋（20－1）a，所以当n ＝1时结论正确. ②假设当n ＝k （k ≥1，k ∈N *）时结论正确，即a k ＝2k －1a 1＋（2k －1－1）a，所以当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝2a k 1＋a k ＝2k a1＋（2k －1－1）a 1＋2k －1a 1＋（2k －1－1）a＝2k a 1＋（2k －1－1）a ＋2k －1a＝2k a 1＋2×2k －1a －a ＝2（k ＋1）－1a 1＋[2（k ＋1）－1－1]a， 所以当n ＝k ＋1时结论也正确.根据①与②可知命题对一切n ∈N *都正确.。
高中数学教案选修2-2《第2章 推理与证明》
目标定位：1．推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法．和过去的教学内容（例如函数）相比，在本章中是把基本的数学（思维）方法（而不是某个数学对象）作为正面研究对象的．因此，本章的学习过程，是中学生第一次对数学活动过程的正面的系统的审视——这就是我们对本章教学活动的定位．2．推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的“对象”．我们不能离开数学思维活动来谈论数学思维方法，不能满足于把数学方法看成是既定的程序、步骤和规则，不能满足于对方法做静态的逻辑的分析（这正是过去传统的教材中所强调的），而应当从（数学）活动本身，特别是从数学活动的过程来考察推理方法和证明方法建构的过程，以及这些方法是如何被运用到数学活动中成为“活”的方法的？应当着重于体会方法的特点、联系和作用（这正是传统教材中忽略的，而在苏教版教材中特别强调的）．这样一来，考察和研究数学思维过程就应该成为本模块学习的出发点和归宿了．3．与数学知识（如概念）的建构不同，在数学方法建构的过程中，数学思维活动过程本身就是被考察的对象并提供了抽象的原型．例如，在本章的引言中，教材就是通过对“摸球中的思维过程”的分析，抽象出推理、证明方法的．在这里，摸球中的思维过程本身就成为抽象的原型！正是这样的特点，决定了在有关“方法”的教学必须建立在对数学思维活动做“正面”考察的基础之上．4．课程标准明确指出：设置本模块的目的是让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理、演绎推理以及数学证明的方法进行概括与总结，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，提高数学思维能力，形成对数学较为完整的认识．课程标准的上述要求．决定了本章中对思维过程的考察与分析应该是系统的，因为只有进行系统的考察才能让学生形成对数学较为完整的认识，才能通过对各种方法的比较，掌握各种方法的特点、作用以及它们之间的关系，更好地把它们运用到数学活动中去．5．本章具体的教学目标是：（1）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含意，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．（2）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．（6）通过对实例的介绍（如欧基里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．（7）了解计算机在自动推理领域和数学证明中的作用．教材解读：1．根据对本章教学的基本定位，为了帮助学生对数学思维过程作系统的正面的考察，教材做了如下的工作：（1）教科书为学习活动设置了数学探索发现活动的大背景，大框架．（注意引言的作用），在分别阐述了归纳、类比、演绎等推理方法以后，又专门设置了一节“推理案例赏析”所有这些，都为对思维过程进行系统的考察提供了条件．（2）教科书充分地利用案例，通过案例（这些案例大多是从学生学习过的材料中选取的）提供数学思维活动的素材，把案例当成学习活动的出发点和载体，把案例分析看成是教学活动的主要形式．因为惟有如此，才能使学生进行深刻的思考（反思），对思维活动过程做“正面的”审视．（3）教科书注意对思维活动过程做适度的形式化概括．因为惟有如此，才能把对思维过程分析的成果固定下来，形成数学方法并运用到思维活动中去．以上各点可以从第一节〈合情推理与演绎推理〉的展开框图中看出：2．和其他模块相比，在本章中，案例分析更具有举足轻重的作用．因为除了案例分析，我们实在找不到更好的方法为学生提供“数学活动过程”，让学生参与到数学活动中来体验数学方法发现的过程，看到活生生的数学方法．因此，案例分析应该成为本模块教学的出发点和载体，为考察和分析数学活动过程提供素材和讨论的平台，同时，案例分析也应该是教学活动的主要手段．教学方法与教学建议：1．在教学中不仅要重视对推理方法和证明方法的特点进行（静态）分析，更要重视这些方法被抽象出来的过程，通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用（即对它们做动态的考察）．从而正确地理解和运用这些方法，达到从整体上提高数学思维能力的目的．2．本章所学习的大部分内容如：合情推理、演绎推理、证明方法（包括反证法）都是学生熟悉的，他们早就在自觉或不自觉地把这些方法运用于学习与生活当中了．在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点，这是学生学习和理解本章内容的基础．3．在教学中，要通过对学生真实的思维过程和数学发现活动的典型案例的分析，让学生形成反思的意识，养成反思的良好习惯．4．教学的重点应该是对基本的数学方法的理解和运用.首先是对“推理”和“证明”在数学发现活动中的作用.这就要求学生从整体上认识本章所介绍的数学方法.如在“合情推理和演绎推理”的教学中，应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想．教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理（它们的作用、特点、关系），理解数学发现过程，而不必追求对概念的抽象表述．在证明方法的教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，掌握这些方法的思考过程，体会证明的必要性，而对证明的技巧性不宜作过高的要求．5．数学的推理方法和证明方法，不仅运用在数学中，而且在生活中的其它领域都有广泛的应用．在教学中要引用生活中和其它学科中的例子，让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值．6．公理化思想和机器证明体现了数学的文化价值．在教学中要让学生体会公理化思想中蕴涵的理性精神，和机器化证明中的算法思想．下面是具体的教学建议，供参考．引言1．华罗庚教授“摸球”的例子，为推理与证明的学习提供了一个大的背景．它具有丰富的教学意义．在教学中不仅应该让学生体会到，“推理”与“证明”是构成探索活动的两个最基本的环节，让学生体会到，探索活动是一个不断的“提出猜想——验证猜想——再提出猜想——再验证猜想”的过程，而且应当让学生体会到永不休止的探索精神正是理性精神的表现！而数学家就是通过不断地提出猜想、证明猜想来进行探索活动的！2．引言中提出的两个问题（我们怎样进行推理？我们怎样验证（证明）结论？）是本大节的中心问题．本节的教学内容就是依据它展开的．2．1 合情推理与演绎推理1．合情推理和演绎推理是数学活动中常用的两种推理形式，它们具有不同的形式、特点和作用．本节先分别研究它们的特点和作用，然后再通过对具体的数学发现过程的分析，进一步体会它们之间的联系，在具体的数学思维过程中感受它们的作用．2．演绎、归纳、类比是学生熟悉的推理方式．教材列举了3个例子，开始了对这些推理形式的考察．教学中可以让学生举出更多的例子．3．通过揭示三个推理案例的共同点概括出“推理”的概念．并根据它们在结构上的不同特点，进行分类研究，这个过程虽然简单，却体现了案例分析是本章教学的主要形式的特点．2．1．1 合情推理1．合情推理是由G·波利亚提出的概念．他通过对数学发现活动的分析注意到数学活动是由“猜想”和“论证”两个环节构成的，相应地在这两个不同的环节里使用着不同的思维方法，即合情推理与论证推理（教科书中称为演绎推理）．G·波利亚并没有为合情推理下定义．实际上，在教学中，只要让学生把合情推理看成是提出猜想的推理而演绎推理是可以给出证明的推理就行了．据此，教科书按照G·波利亚的思路，编写了引言，突出了对探索活动的分析，突出了“猜想”和“证明”两个重要的思维环节，而对合情推理的定义作淡化处理（只在阅读材料中提了一下）（《课程标准》给合情推理作了如下定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某地结果的推理过程．）2．归纳、类比是合情推理的两种常用的形式，除此以外，合情推理还有其他的多种形式，如：联想、想象、直觉等等．2．1．1．1 归纳推理1．归纳推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察，考察的重点则是归纳推理的特点和它的作用．2．归纳推理的一般模式为：S具有P，1S具有P，2……S n具有P（S，S2，…，S n是A类事物的对象）1——————————————————————————所以，A类事物具有P．教学中可以介绍给学生．3．“思考”要求列举更多的有关归纳推理的例子，下面的例子可供参考．（1）观察：1 = 12，1 + 3 = 22，1 + 3 + 5 = 32，1 + 3 + 5 +7 = 42，由此猜想：1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n1) = n2．（2）1640年，费马在给友人的信中谈到：220+ 1 = 3，221+ 1 = 5，222+ 1 = 17，223+ 1 = 257，224+ 1 = 65 537都是素数，由此，他猜想：任何形如22n+ 1（n N）的数（通常称为费马数，记作F n）都是素数．此后，一直未有人怀疑过这个结论．直到1732年，欧拉发现F= 225+ 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417并不是素数，才推翻费马的猜5想．此例还说明，在归纳推理中，根据同一个前提，可以推出不同的结论：当n > 1时，F n的末位数字是7（猜想）．2．要让学生体会到归纳不仅是一种方法，而且体现了一种态度．欧拉说：把归纳看成是一种机会，“以便证明它或推翻它”，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西．”可以看出，归纳的态度就是探索的态度，这一点在华罗庚的“摸球”游戏中也得到了充分的体现．要让学生体会到，探索活动是在猜想的推动下进行的，没有猜想就没有探索！而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法！3．在归纳推理中，根据同一个的前提，往往可以推出不同的结论．例如从例4中的推理前提出发，也可以得到当n＞1时，F n的末位数字是7的结论（猜想）．4．完全归纳法（和数学归纳法类似）实质上是一种演绎推理，它是一种必然性推理，是数学证明的工具，因此它不属于合情推理．2．1．1．2 类比推理1．类比推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察．2．类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a'，b'，c'，（a，b，c与a'，b'，c'相似或相同）————————————————所以，B类事物可能具有性质d'．教学中可以介绍给学生．3．例1是根据等式的性质类比不等式的性质．4．例2可以看成是系统间的类比．用现代数学的角度来看，类比就是两个具有同构关系的模型间的推理．数学（科学）发现活动中的类比绝大多数都是这类类比．在教学中要注意对类比过程的分析．5．类比可以看成是从已知的相似性，推断未知的相似性的推理．在教学中要引导学生对类比的过程进行分析，弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”的．6．在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想．在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来．只有这样，才能把类比和“比喻”区别开来．2．1．2 演绎推理1．演绎推理是一种重要的推理形式，通过数学学习，学生已经在广泛地使用它，在教学中，要让学生体会到演绎推理是严格按照逻辑法则进行的推理，是必然性推理的特点．2．三段论是演绎推理的主要形式．三段论有多种格式，教科书介绍了其中常用的一种，其用意在于让学生体会到演绎推理是一种形式化程度相当高的推理，而不是正面讲“三段论”，因此，在教学中不必拓展补充．3．除了三段论以外，演绎推理还有直接推理，关系推理、联言推理、假言推理、选言推理等多种形式．4．三段论也有多种形式，三段论的依据是不言自明的三段论公理：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物的部分也是什么或不是什么．对此教科书中用集合论的语言和图形作了说明，其目的是帮助学生理解三段论．（教学中不必提出三段论公理）5．三段论推理在数学中有重要的应用，特别是在理论初建或概念性质运用的初期．但是数学推理过程不全是三段论组合，直接用三段论推理的并不多，有些数学证明过程（如教科书中例2），虽然可以归结为三段论的组合，但却太为繁琐了，所以并不实用．6．数学并不等同于逻辑，它已独自发展几千年，尤其是它的符号系统，使得它有自身的一套简单的推理形式或规则，尽管它能用三段论解释，但大可不必去追溯它的三段论本源．因而在数学中，直接选定了若干演绎推理的规则．如：“如果q P ⇒，P 真，则q 真”、“如果b c ，，a b ⇒⇒，则c a ⇒”（三段论的“数学形式”）等等．（如课本中例2的证明就使用了这些规则）应该告诉学生，数学中的运算也是演绎推理的一种形式．7．在数学中学习演绎推理，并不等同于学习形式逻辑或数理逻辑，课程标准规定，本小节的学习目标是，“体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理”，相信注意到这些，就可以理解教科书的编写意图，并掌握教学的分寸了．8．在叙述演绎推理的特点时，要和归纳、类比的特点对照，让学生理解它们是两类不同的推理．9．教科书中说“演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性”，这并不是说，演绎推理就完全没有发现功能，更不是说演绎推理在数学发现活动中没有作用．为了让学生全面认识演绎推理在发现活动中的作用，教科书提供了阅读材料：“海王星的发现和探索性演绎法”，这个材料对全面准确地理解演绎推理在探索活动中的作用是很有帮助的．2．1．3 推理案例赏析1．《推理案例赏析》是推理方法的综合应用，是对推理方法更深层次的考察．这样，教科书就为推理的教学提供了一个“总——分——总”的结构，而本小节正是后一个“总”．它引导学生在前面学习的基础上，对各种推理方法做综合的动态的考察，帮助学生体会不同推理方法的特点和联系，感受它们在数学思维过程中的作用．2．在教学中，要注意对思维过程的分析．课本中提供的思维过程只是几种典型的解决问题的思路．面对着这些问题，学生可能会有更多的想法，应该鼓励学生谈谈自己的想法，并对课本中的思考过程做出评价．3．关于例1的教学．（1）“提出问题”是数学发现活动中重要的环节．教学中要注意分析提出问题的过程．在例1和例2中，都是通过类比提出研究课题的．（2）课本中的思路1是“归纳的方案”，总的说，它是通过归纳提出猜想的．但是应该注意到，作为归纳基础的“表”中的每个数据都是由运算提供的，也就是说，演绎提供了归纳的基础．所以说：在数学发现活动中，演绎起到了类似“实验”的作用，在这里演绎为归纳提供了前提．（3）在“归纳的方案”中，解题者原本希望从表2-1-5中归纳出一般结论，可是却失败了，但是正是失败引导他尝试计算S1（n）和S2（n）的比，找到了通向成功的路．要让学生体会到发现活动都是具有尝试的性质的，失败是经常会遇到的，所以常说“失败是成功之母”．通过教学要让学生体会到，对思维过程进行调控的重要性．对此，在“思路2”和例2中，都有体现．教学中，要让学生体会到发现过程是一个曲折的艰苦的过程，认识到思维调控的重要性．（4）尝试计算S1（n）和S2（n）的比，是导致发现的关键，这个念头是由“联想”激发的．联想也是合情推理的一种方法．（5）思路2是一个“演绎的方案”，但这并不是说，在这个方案中没有使用合情推理的方法，相反地，应该说合情推理在这个方案中同样起了关键的作用．比如，这个方案中的“初始念头”——“尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和”就是由合情推理提供的．（6）在思路2的教学中，设置了“（2）从失败中汲取有用的信息，进行新的尝试”的环节，是为了让学生体会到思维调控的重要性，注意对思维过程的分析，进而养成反思的习惯．（7）“既然能用上面的方法求出S1（n），那么我们也应该可以用类似的方法求出S2（n）”，这也是一个猜想，它是由类比得到的．4．关于例2的教学．（1）例2通过具体的问题对类比推理的方法做了更深入的介绍．类比在数学发现活动中具有十分重要的作用，应该让学生学会自觉地科学地把类比方法运用到发现活动中去．（2）把棱台和梯形类比，开始只是模糊的念头，通过分析，清晰地认识到它们之间的“相似性”，这时才会有科学的“类比推理”．因此，“确定类比对象”和“对类比对象的进一步分析”都是重要的思维环节，是进行类比推理的前提．学生在使用类比时，经常忽略这些环节．（3）验证猜想的过程也是对猜想做调整的过程．在这个过程中，合情推理仍然发挥着重要的作用．教学中请注意合情推理在“验证猜想”中的作用．（4）从美感出发做出的判断，可以称为审美推断．本例在“验证猜想”的环节中，使用了这种方法．审美推断也是一种合情推理的方法，在科学发现活动中具有重要的价值．通过案例的分析，应该让学生体会到审美在发现活动中的作用．（5）在公式（猜想）的调整过程中，实际上使用的是“探索性演绎法”（即在猜想的基础上进行的演绎推理），这可以让学生更好地体会到“演绎推理”在数学发现活动中所具有的类似于“实验”的功能．5．关于实习作业．学生可以通过查找资料来完成实习作业．例如可以引用本书提到的数学史中的例子：如欧拉公式、哥德巴赫猜想等，也可以从教科书中选取案例如：“正弦定理的发现”、“余弦定理的发现”、“和差化积公式的推导”等等．通过反思，对自己的思维活动进行分析（如你是怎样解决某个问题的）．6．在思考以及实习作业中，教材反复提出了相同的问题，其用意是希望为学生分析思维活动时提供一个反思的框架．2．2 直接证明与间接证明教学的重点是让学生了解直接证法与间接证法的特点，知道证明的一般步骤，能使用它们证明问题，在教学中不要拘泥于“概念”，在“概念”上下功夫．2．1 直接证明1．课本中选用的两个例子都是学生熟知的，在《数学（必修5）》的基本不等式中就采用了这两个证明．现在教科书把它用作讨论综合法和分析法的素材，是为了让学生能集中精力关注这两种证明方法形式结构上的特点和区别，进而展开对证明方法的研究．2．一般地，分析法和综合法是两种常见的思维方法，人们利用它们来寻求证明问题的思路．在教科书中是把它们看成两种证明方法的（指呈现出来的证明过程）．思维方法和证明方法当然有微妙的差别，但是如果把“证明”看成是思维过程，这样做也就没有什么不可以．3．综合法，从条件出发，“由因导果”，分析法，紧抓证题目标，“执果索因”．在实际的解题活动中，总是把两者结合起来使用的．2．2 间接证明1．反证法是一种重要的间接证法（同一法也是一种重要的间接证法）．在教学中应先让学生弄清直接证明和间接证明的区别，然后再转入反证法．2．学生在学习立体几何初步时，已经使用反证法，因此他们是有经验的，但当时并没有正面介绍反证法．3．反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律．反证法的实质在于：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是从原题的反论题“既p又┐q”入手，由p与┐q合乎逻辑地推出一个矛盾结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假，断定反论题“既p又┐q”为假；进而再根据排中律，两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真．由此肯定命题“若p则q”为真．虽然学生没有学过排中律和矛盾律，但是由于这两个定律的“准公理性”，学生还是能理解反证法的思想的，因而在教学中没有必要提出排中律和矛盾律．2．3 公理化思想1．公理化思想体现了数学中的理性精神和求真意识.为了确保命题真实性,数学对命题提出了演绎证明的要求,这种要求直接导致公理化产生.教学中要让学生体会到这一点.2.公理是“公认正确而不需证明的命题”,是“证明其它一切命题的基础”,是“选定”和“设置”的,都体现了现代公理法的思想,在教学中不要过多地强调公理是“经过长期的实践证明的”说法.3.可以建议有兴趣的学生阅读《数学史初步》中有关非欧几何的材料．教学案例:归纳推理执教:高建国(扬州大学附属中学)点评:张乃达(江苏省扬州中学)1.概念、技能、能力、态度我们可以从不同的层面来看归纳．第一种是把它看成一个概念，这要弄清什么是推理？什么是归纳推理？这是从知识层面来看归纳的；第二种是把归纳看成是一种方法，这就要弄清怎样进行归纳？归纳有哪几步？第一步怎么做？第二步又怎么做？等等，这是从技能层面来看归纳的．第三种是把归纳看成是一种能力，提高学生的归纳能力——归纳的能力实质上就是分析，分析到位了，思维能力提高了，归纳才能得到有价值的东西．这是从能力的层面看归纳的．长期以来，我们的教师大都习惯于从上面三个层次看归纳，并以此确定本节课的教学内容和重点，这正是习惯于从知识与能力的层面看待数学教育的体现！其实，如果从文化的视角来分析，就可以看到归纳还可以被看成是一种态度，一种对待事物的态度．归纳的态度实际上就是探究的态度，它总是用探究者的眼光来看世界——看到某些现象，总想从中归纳出某种规律！促使哥德巴赫提出那个著名的猜想的正是这种态度，向中学生介绍哥德巴赫猜想的目的也正是让他们学习这种态度！这种态度正是理性精神的表现！也是这节课中最有教育价值的东西！通过上面的分析，对这节课应该怎么上就清楚了．通过这节课当然应该让学生知道什么是推理？什么是归纳？怎样进行归纳？但是这并不是重点，其实学生早就在使用归纳的方法了，现在只要正面的小结一下就可以了！提高归纳的能力也不是这节课能够实现的目标，归纳的能力，是思维能力的体现，它不能独立于思维能力之外，也不是通过这节课就能实现的目标！这节课的重点应该是归纳态度的培养和探究精神的激发！在本节课中，执教老师对课的定位是比较准确的，较好地处理了概念、技能、能力和态度的关系．渗透了归纳态度的培养，探求欲望的激发，让学生体会到，在我们的周围，到处都存在着值得探索的问题，到处都可以运用归纳的方法来提出猜想，进而展开探索的活动，这对学生理性精神的形成是很有意义的．2．用数学（家）的眼光看世界。
高二理科数学选修2-2《推理与证明》期末复习导学案.doc
推理与证明【复习目标】①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．④了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．【类型一】类比推理通过计算可得下列等式：22 12 2 1 132 22 2 2 142 32 2 3 1┅┅(n 1) 2 n2 2 n 1将以上各式分别相加得：( n 1)2 12 2 (1 2 3 n) n1 2 3 n n(n 1)即： 2类比上述求法：请你求出12 2 2 32 n 2 的值 .．2.下面使用类比推理正确的是()b5E2RGbCAPA.“若 a 3 b 3 ,则a b ”类推出“若a 0b 0 ,则a b”B.“若(a b)c acbc”类推出“(ab)c ac bc ”a b a bC.“若(ab)c acbc”类推出“ccc（ c ≠ 0）”na nb n ”类推出“（ ana nb n ” D.“（ ab ）b ）3.在十进制中20044 100 0 101 0 102 2 103 ，那么在5 进制中数码 2004 折合成十进制为 ()A.29B. 254C. 602D. 20044. 类比平面几何中的勾股定理：若直角三角形ABC 中的两边 AB 、AC 互相垂直，则三角形三边长之间满足关系： AB2AC 2BC 2 。
若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC 、 ACD 、ADB 两两互相垂直，则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为___________________ p1EanqFDPw5、类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比 较恰当的是（）DXDiTa9E3d①各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的 二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等 RTCrpUDGiTA ．①；B ．①②；C ．①②③；D ．③。
人教版高中数学高二选修2-2第二章《推理与证明》章末复习导学案
第二章《推理与证明》章末复习导学案考试要求1.了解合情推理的思维过程；2.掌握演绎推理的一般模式3.会灵活运用直接证明和间接证明的方法，证明问题；4.掌握数学归纳法的整体思想. 典例精析精讲例1 如图，已知□ABCD ，直线BC ⊥平面ABE ，F 为CE 的中点. （1）求证：直线AE ∥平面BDF ；（2）若90AEB ∠=，求证：平面BDF ⊥平面BCE ．例2 已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（n 为正整数）.（Ⅰ）令2nn n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令1n n n c a n +=，12........n n T c c c =+++试比较n T 与521nn +的大小，并予以证明.例3 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有51n n a S =+成立，记例1图A．C可能是线段AB的中点5.（2011湖南理16）对于*n N ∈,将n 表示12100121222...22k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯++⨯+⨯,当0i =时，1i a =,当1i k ≤≤时,1a 为0或1．记()I n 为上述表示中ai 为0的个数（例如：021012,4120202I =⨯=⨯+⨯+⨯）,故(1)0I =, (4)2I =）,则（1）(12)I =________________;（2） ()12mI n n =∑________________.6.（2011北京理8）设()0,0A ,()4,0B ，()4,4C t +,()(),4D t t R ∈.记()N t 为平行四边形ABCD 内部（不含边界）的整点的个数，其中整点是指横、纵坐标都是整数的点，则函数()N t 的值域为A ．{}9,10,11B ．{}9,10,12C ．{}9,11,12D ．{}10,11,127.（2011江西理7）观察下列各式：55=3125，65=15625，75=78125，…则20115的末四位数字为A ．3125B ．5625C ．0625D ．81258.（2011广东理8）设S 是整数集Z 的非空子集，如果,,a b S ∀∈有ab S ∈，则称S关于数的乘法是封闭的．若T,V 是Z 的两个不相交的非空子集，,T U Z ⋃=且,,,a b c T ∀∈有;,,,abc T x y z V ∈∀∈有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ．,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ．,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ．,T V 中每一个关于乘法都是封闭的9.（2011江西理10）如右图，一个直径为l 的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是10.（2011安徽理15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线11.（2011四川理16）函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）时总有12x =x f x ，则称（）为单函数．例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数．下列命题：①函数f x （）=2x （x ∈R ）是单函数；②若f x （）为单函数，121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则（）（）；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象； ④函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数． 其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）12.（2011山东理15）设函数()(0)2xf x x x =>+,观察:1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+ 32()(()),78xf x f f x x ==+）知，FG解：解：（b=于是1n()2122n +综合（1）（2）可知1+∴-=n n a a∴当n 为偶数时，设∴1(n R b =(b +4k ≥成立. )16n +λ⎡⎣即证：(a(21)2n n x -+(1)(n +++。
苏教版高中数学选修22推理与证明复习与小结教案
2019-2020学年苏教版选修2-2 第2章复习与小结教课设计教课要点：认识本章知识构造，进一步感觉和领会常用的思想模式和证明方法，形成对数学的完好认识．教课难点：认识数学实质，掌握数学实质，灵巧选择并运用所学知识解决问题．教课过程：一、知识回首本章知识构造：基础知识过关：（1）合情推理包含推理、推理．（2）称为概括推理；它是一种由到，由到的推理．（3）称为类比推理；它是一种由推理．（4）概括推理的一般步骤是：①，②（5）类比推理的一般步骤是：①，②到．．的（6）从一般性的原理出发，推出某个特别状况下的结论，我们称这类推理为，它是一种到的推理．（7）和是直接证明的两种基本方法．（8）反证法证明问题的一般步骤：①，②，③；④．（9）数学概括法的基本思想数学概括法证明命题的步骤：①；，②，③．（二、数学运用（例1（1）观察以下一组不等式：23＋53＞22·5＋2·52，24＋54＞23·5＋2·53，25＋55＞23·52＋22·53，．将上述不等式在左右两头仍为两项和的状况下加以推行，（使以上的不等式成为推行不等式的特例，则推行的不等式能够是．（（2）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶（4，近似地，在空间内，若两个正四周体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比（为．3）若数列{a n}是等差数列，关于b n＝1(a1＋a2＋＋a n)，则数列{b n}也是n等差数列．类比上述性质，若数列{c n}是各项都为正数的等比数列，关于d n＞0，则d n＝时，数列{d n}也是等比数列．解（1）a m＋n＋b m＋n＞a m b n＋a n b m(a，b＞0，a≠b，m，n∈N)；（2）体积比为1∶8；（3）n c1c2c n，n∈N．说明（1）是从个别状况到一般状况的合情推理；2）是从平面到空间的类比推理；3）是从等差数列到等比数列的类比推理．例2若△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，分别用综合法和剖析法证明：c＋a＝1．a＋b b＋cc＋a＝1，证明（剖析法）要证a＋b b＋c 只要证c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，即证c2＋a2＝ac＋b2，∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60，即c2＋a2＝ac＋b2，故原命题建立．（综合法）∵△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，∴C＝60°，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60，即c2＋a2＝ac＋b2，或c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)，c a两边同除以(a＋b)(b＋c)得＋＝1．1说明剖析法和综合法是两种常用的直接证明方法．剖析法的特色是执果索因，综合法的特色是由因导果，剖析法常用来探访解题思路，综合法常用来书写解题过程．2例3已知a，b，c∈(0，1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可以同时大于．41剖析“不可以同时大于”包含多种情况，不易直接证明，可考虑反证法．1证明：假定(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a同时大于，即(1－a)b＞1，(1－b)c＞1，(1－c)a＞1，∵444∵a，b，c∈(0，1)，1∴三式同向相乘得(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞，又(1－a)a≤(1－a＋a)2＝1，24同理(1－b)c≤1，(1－c)a≤1，44∴(1－a)b(1－b)c(1－c)a＞1，这与假定矛盾，故原命题得证．64（说明反证法属于“间接证明法”，是从反面的角度思虑问题的证明方法．用反证法证明命题“若p则q”时，可能会出现以下三种状况：（1）导出非p为真，即与原命题的条件矛盾；2）导出q为真，即与假定“非q为真”矛盾；（3）导出一个恒假命题．使用反证法证明问题时，正确地作出反设（即否认结论） ，是正确运用反证法 的前提．当碰到否认性、唯一性、无穷性、至多、起码等种类问题时，常用反证 法．例4已知数列{a n }，a n ≥0，a 1＝0，a n ＋12＋a n ＋1－1＝a n 2(n ∈N *) 记S n ＝a 1＋a 2＋＋a n ．T n＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋1．＋ ＋ ＋ ＋ ＋a 1 ＋1 (1 a 1)(1a 2) (1 a 1)(1a 2) (1a n )求证：当n ∈N *时，（1）a n ＜a n ＋1；（2）S n ＞n －2；（3）T n ＜3． 解 （1）证明：用数学概括法证明． ①n ＝1时，由于a 2是方程x 2＋x －1＝0的正根，因此a 1＜a 2． ②设当n ＝k(k ∈N *)时，a k ＜a k ＋1， 由于a k ＋12－a k 2＝(a k ＋22＋a k ＋2－1)－(a k ＋12＋a k ＋1－1) (a k ＋1－a k ＋1)(a k ＋1＋a k ＋1＋1)， 因此a k ＋1＜a k ＋2． 即当n ＝k ＋1时，a n ＜a n ＋1也建立． 依据①和②，可知 a n ＜a n ＋1对任何n ∈N *都建立．（2）证明：由a k ＋12＋a k ＋1－1＝a k2，k ＝1，2，，n －1（n ≥2），2＋(a 2＋a 3＋＋a n － － ＝2． 得a n1)(n1)a2由于a 1＝0，因此S n ＝n －1－a n ．1由a n ＜a n ＋1及a n ＋1＝1＋a n 2－2a n ＋12＜1，得a n ＜1，2 因此S n ＞n －2．33）证明：由a k ＋12＋a k ＋1＝1＋a k 2≥2a k ，得≤a k ＋1(k ＝2，3，，n －1，n ≥3)1＋a k ＋12a k因此1≤a n(a ≥3)，(1＋a 3)(1＋a 4) (1＋a n )(a 2 2＋a 2)2n2于是1≤n2a n＝a n ＜1 (n ≥3)，(1＋a 3)(1＋a 4) (1＋a n ) (a 2 22n2n22 ＋a 2)2故当n≥3时，＜＋＋1＋＋1＜，T n11n－232213又由于T1＜T2＜T3，14因此T n＜3．15三、学生总结16指引学生从知识、方法、收获三个方面进行小结，明确推理、概括推理的观点及相互间的关系．认识数学实质，掌握数学实质，加强创新意识，提升创新能力．17四、课后作业18教材第102—103页复习题第3题，第4题，第5题，第9题，第12题，第题．。
人教版高中数学选修2-2第二章推理与证明 同步教案
例2. 在ABC ∆中,若090=∠C ,则1cos cos 22=+B A ,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质,并证明你的猜想.例3. 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接受方由密文→明文（解密），已知加密规则为：明文d c b a ,,,对应密文d d c c b b a 4,32,2,2+++，例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16．当接受方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为（ ）． A ． 4，6，1，7 B ． 7，6，1，4C ． 6，4，1，7D ． 1，6，4，7 【方法技巧】1.归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）.2.类比推理常见的情形有：平面向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等.做题时应注意：（1）找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积，平面上的角对应空间角等等；（2）找对应元素的对应关系，如：两条边（直线）垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等. 3.掌握利用“三段论”进行推理.巩固训练1. 图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）2. 已知ABC ∆的三边长为c b a ,,，内切圆半径为r （用的面积表示ABC S ABC ∆∆），则ABC S ∆)(21c b a r ++=；类比这一结论有：若三棱锥BCD A -的内切球半径为R ，则三棱锥体积=-BCD A V .3. 对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =，当且仅当,a c b d ==；运算“⊗”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ⊗=-+；运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈，若(1,2)(,)(5,0)p q ⊗=，则(1,2)(,)p q ⊕=………（ ）A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,4)-（1）写出,,21a a 3a ；（2）求数列}{n a 的通项公式【方法技巧】1.用数学归纳法证明与自然数有关的一些等式，命题关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值是否有关，由到时等式的两边会增加多少项，增加怎样的项.2.在证明过程中，（I ）考虑“n 取第一个值的命题形式”时，需认真对待，一般情况是把第一个值代入通项，考察命题的真假，（II ）步骤②在由到的递推过程中，必须用归纳假设，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法.3. “归纳——猜想——证明”是一个完整的发现问题和解决问题的思维模式.巩固训练1.用数学归纳法证明：2333112(1)()2n n n n N *⎡⎤++⋅⋅⋅+=+∈⎢⎥⎣⎦2.已知数列1111,,,,,122334n(1)n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯+，计算1234,,,S S S S ，由此推测计算n S 的公式，并用数学归纳法证明.课后作业1.命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是（ ）A ．使用了归纳推理B ．使用了类比推理C ．使用了“三段论”，但大前提错误D ．使用了“三段论”，但小前提错误 2.用反证法证明命题：“三角形内角和至少有一个不大于060”时，应假设（ ） A. 三个内角都不大于060 B. 三个内角都大于060 C. 三个内角至多有一个大于060 D. 三个内角至多有两个大于0603.若三角形能剖分为两个与自己相似的三角形，那么这个三角形一定是（ ） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定4.如图第n 个图形是由正2n +边形“扩展”而来(1,2,3)n =⋅⋅⋅，则第n 2-个图形中共有 个顶点.5.对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式： 2213=+ 23135=++ 241357=+++3235=+ 337911=++ 3413151719=+++根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的值为_ __ . 6.在平面直角坐标系中，直线一般方程为0=++C By Ax ，圆心在),(00y x 的圆的一般方程为22020)()(r y y x x =-+-；则类似的，在空间直角坐标系中，平面的一般方程为________________,球心在),,(000z y x 的球的一般方程为_______________________.7.如果函数)(x f 在区间D 上是凸函数，那么对于区间D 内的任意1x ，2x ，…，n x ，都有)()()()(2121nx x x f n x f x f x f nn +++≤+++ .若x y sin =在区间(0,)π上是凸函数，那么在ABC ∆中，C B A sin sin sin ++的最大值是________________.8.设P 是ABC ∆内一点，ABC ∆三边上的高分别为A h 、B h 、C h ，P 到三边的距离依次为a l 、b l 、c l ，则有a b c A B Cl l lh h h ++=______________；类比到空间，设P 是四面体ABCD 内一点，四顶点到对面的距离分别是A h 、B h 、C h 、D h ，P 到这四个面的距离依次是a l 、b l 、c l 、d l ，则有_________________。
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2
、知识清单 1、合情推理包括 归纳推理是由 类比推理是由 比数列之间，其结论 2、演绎推理是由 情况下是 3、直接证明是从 推理与证明复习学案
高二、二部赵业峰
例2、做下面实验：假设若干杯甜度相同的糖水，经过下面的操作后，糖水的甜度是否改变?
(1) 将所有糖水倒在一起；
(2) 将一杯糖水中再加入一小勺糖，糖全部融化
.
类比这一实验，你能得到数学上怎样的关系式？
的推理，常用于数列中，其结论
的推理，常用于立体与平面几何、向量与实数运算、等差与等
的推理，遵循严格的逻辑推理规律， 因此其结论在
.推理的一般模式“三段论”包括 例3、类比平面内直角三角形的勾股定理，是给出空间四面体性质的猜想并证明
出发，根据已知的 直接推证结 论的真实性.直接证明中的两种方法是: 4、综合法：禾U 用 等，经过一系列的推理论证，最后 推导出所要证明的结论成立的一种推理方法 5、分析法：从 出发，逐步寻求使它成立的 ，直到最后，把要 证明的结论归结为 的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止的一种 推理方法. 6、反证法：一般地，假设 不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设 错误，从而证明原命题成立的一种推理方法 例4、设a, b 是两个正实数，且 a H b ，试用三种方法证明：
a 3 +
b 3》a 2b + ab 2
二、典型例题 X + —x 例"、设 f
(八
L^,g (x)
x —x a -a
(1) 5=3+2，请你推测g(5)能否用f (2), f (3), g (2), g (3)来表示;
(2)如果(1)中获得了一个结论，请你将其推广并给与证
明
4
例
5、已知实数a , b ,c 为' ABC 的三边,
求证：ab 2 2 2
+ ac + be < a + b + c < 2( ab + ac + bc ).
例
8、
(1) ⑵
已知数列｛a n ｝满足S1+ a n = 2n + 1, 写出a 1, a 2, a 3,并推测a n 的表达式;
用数学归纳法证明所得的结论。
例6、已知 a, b, c 是不全相等的正实数，且 0 V X <
1
用数学归纳法证明1 +召+
2
求证：log + log X
b
+ c
丄 I
a + c
+
lo
g X
log X a + log x b + log
例10、用数学归纳法证明：(3n + 1)7n
-1(n 迂N 』能被9整除.
例7、已知 a,b,c 忘(0,1)，求证(1 - a)b, (1 - b)c, (1
1 -c)a 不能同时大于丄
1
三、巩固练习
1、 下列表述正确的是( ).
①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般 到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理
A .①②③；
B .②③④；
C .②④⑤； 下面使用类比推理正确的是 (
“若a 3 = b 3,则a =b ”类推出“若 A . 2k + 1
B . 2(2k +
1)
2k + 1 C. ------
k + 1
2k + 2
D. ------
k + 1
2、 A. B . “若(a +b)c =ac +bc ”类推出“(a bjc = ac be ” C. "若(a +b)c =ac +bc ”
“(ab)n =a n b n ” 类推出’ 有一段演绎推理是这样的：
b 耳平面a ，直线a 匚平面a 这是因为 “ A.大前提错误 4、 用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 (A)假设三内角都不大于 60度； (B) (C)假设三内角至多有一个大于 60度；(D) 5、 在十进制中 2004 4 01 0 1 1 © X02
进制为 “ ) A.29 B. 254 C. 602
D. 3、 丰 ) B.小前提错误
类推出“ =2 +b
c c c
“ (a +b)n =a n +b n ” “直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；已知直线 直线b //平面a ,则直线b //直线a ”的结论显然是错误的, (C 丰 0)”
C. 推理形式错误
D. 非以上错误 60度”时，反设正确的是( 假设三内角都大于 60度； 假设三内角至多有两个大于 60度。
1-0 X,那么在5进制中数码2004折合成十 D.2004
6、利用数学归纳法证明“ 1 + a +a 2+…+ a^ 1
=1
n 42
-a 1 -a
(a 丰1, n € N)”时，在验证 n=1成
9、已知n 为正偶数, 用数学归纳法证明
—=2(丄 +
n-1 n+2 n+4
+…+ —)时，若已假设n =k(k>2为偶
2n
数) 时命题为真，则还需要用归纳假设再证
n = k +1时等式成
立
n=2k+2时等式成立 n = k + 2时等式成
立
n = 2(k+2)时等式成立
10、数列｛a n ｝中，a i =1，S n 表示前n 项和，且S n ，S n+1，2S i 成等差数列，通过计算 S i ，S 2,
S 3,猜想当n > 1时，S n =
( )
n_J
2n -1
B.——
2
n_J C n(n + 1) C .
11、一同学在电脑中打出如下若干个圈
：O ・OO ・OOO ・OOOO ・OOOOO •…若将此
若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前120个圈中的•的个数 是
/ 2 + b2
12、在RtAABC 中，若N C = 900
,AC = b,BC = a,则三角形ABC 的外接圆半径r=
-----
2
立时，左边应该是 (A)1 但)1 + a
(C)1 + a + a 2
2 3 (D)1 +a + a + a 7、某个命题与正整数 n 有关，如果当n = k(k 亡N+)时命题成立，那么可推得当n = k +1时命 题也成立. 现已知当n =7时该命题不成立，那么可推得
A .当 n=6时该命题不成立
B .当n=6时该命题成立
C .当 n=8时该命题不成立
D .当n=8时该命题成立 8、用数学归纳法证明“ (n +1)(n +2)・"(n + n)=2n
「2"' *2n —1) ” (n € N+) 时，从
“ n = k 至Jn =k +1 ”时，左边应增添的式子是
把此结论类比到空间类似的结论为 __________________________
13、从 1=1， 1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),
…，推广到第n 个等式为
14、设平面内有n 条直线 (n> 3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一
点.若用f(n)表示这n 条直线交点的个数，则 f (4)=
当n>4 时，f
(n)=
(用含n 的数学表达式表示)o
15、为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统
加密、解密原理如下图：
(Private Key Cryptosystem ),
其
加密密钥密码
明文 ------------------ 密文
发送
密文
解密密钥密码
明文
现在加密密钥为y = log a (x + 2)，如上所示，明文“ 6”通过加密后得到密文“ 3”，再发送，接
17、通过计算可得下列等式:
2 2
22 -12 =2x 1+1, 32 -22 =2X2 +1, 42 -32 =2咒3 +1,
IIIIH ,
(n +1)2 - n 2 =2x n +1
将以上各式相加得1 +2+3+川+ n 丿⑴中
1
).类比上述求法，求出12 + 22 +32 +川+ n 2的值. 2
受方通过解密密钥解密得到明文“ 6 ”问：若接受方接到密文为“ 4 ”则解密后得明文 18、用数学归纳法证明:
n 2
1 16、设 f(x)=—「，分别求 f(0)+ f(1),f(—1)+f(2), f(—2) + f(3)，归纳出一般结论并 3x
I)上+
竺+…+——=卫口 1”3 3・5
(2n -1)(2 n + 1) 2(2 n + 1)
1 1 1
(n) 1+—+ — + —
2 3 4 +…+ < n ; (7
分)
2n
-1
佃、数学归纳法证明：尹乩+(向+1尸7能被护+3+ i 整除nwN*.。