向量法在中学数学的应用

向量法在中学数学的应用课题组成员: 张晨, 张超惠,巩千坤,贾凯，郭娇丽，梁晋凯，成坤阳组长:张晨班级:285指导教师:周小芬课题由来：向量具有工具性，在中学的数学课程有很重要的应用价值，掌握向量法，在解题中运用，对提高解题能力有很大帮助。

同学们希望通过对向量的研究来更好地掌握它。

课题现状：对向量的学习中没有归类，在课本中的学习较为分散研究目的:回顾、总结有关向量的知识掌握向量法在中学数学解题中的初步应用更充分地理解向量的工具性，学会用向量解题研究内容:高中数学的向量知识向量法在中学数学解题中的应用研究方法：文献法、询问老师预期成果：论文进程安排:•09.15----09.25 制定研究计划•09.25----10.05 收集资料•10.05----10.15 整理相关资料•10.15----10.31 进行开题论证•10.31----11.30 展开调查研究，整理例题，归纳方法•11.30----12.10 校正、完善，制作结题报告任务及分工:•制定研究计划: 张晨, 梁晋凯, 贾凯•收集资料: 张超惠, 贾凯, 巩千坤•整理相关资料: 成坤阳，梁晋凯, 巩千坤•进行开题论证: 贾凯, 郭娇丽•进行研究，整理例题，归纳方法: 贾凯, 郭娇丽，成坤阳•校正、完善，制作结题论证: 张超惠, 张晨, 梁晋凯，关于向量的研究报告的摘要关键词：向量；向量法；中学数学；解题；应用向量是中学数学领域的一个重要内容，向量分为平面向量和空间向量．我们小组同学首先对中学数学领域里的向量知识作一系统的归纳整理，然后通过具体例题说明向量法在代数、三角、平面几何、平面解析几何和立体几何解题中的应用。

１向量的有关知识1.1平面向量向量运算中的基本图形：①向量加减法则：三角形或平行四边形；②实数与向量乘积的几何意义——共线；③定比分点基本图形——起点相同的三个向量终点共线等．(1)向量的三种线性运算及运算的三种形式.向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。

每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言．主要内容列表如下：向量加法：a b b a →→→→+=+，()()a b c a b c →→→→→→++=++；实数与向量的积：()a b a b λλλ→→→→+=+，()a a b λμλμ→→→+=+，()()a a λμλμ→→=； 两个向量的数量积：a b b a →→→→⋅=⋅，()()()a b a b a b λλλ→→→→→→⋅=⋅=⋅，()a b c a c b c →→→→→→→+⋅=⋅+⋅．(2)两个向量平行的充要条件符号语言：若a →∥b →，且0a →→≠，则()a b R λλ→→=∈；坐标语言：设1122(,),(,)a x y b x y →→==，则a →∥b →12210x y x y ⇔-=． (3)两个向量垂直的充要条件 符号语言：a →⊥b →0a b →→⇔⋅=；坐标语言：设1122(,),(,)a x y b x y →→==，则a →⊥b →12120x x y y ⇔+=． (4)线段定比分点公式如图，设→--→--=21PP P P λ,则定比分点向量式：→--→--→--+++=21111OP OP OP λλλ；定比分点坐标式：设111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ， 则 1212,11x x y y x y λλλλ++==++． (5)平移公式：如果点(,)P x y 按向量(,)a h k →=平移至(,)P x y '''，则⎩⎨⎧+=+=k y y hx x ''，分别称(,)x y ，(,)x y ''为旧、新坐标，a →为平移法则．1.2空间向量(1)共线向量共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b b →→→→≠，a →∥b →⇔存在实数λ使a b λ→→=. (2)共面向量称平行于同一平面的向量为共面向量.共面向量定理：如果两个向量不共线，则向量p →与向量,a b →→共面⇔存在两个实数,x y 使p x a y b →→→=+．(3)空间向量基本定理空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c →→→不共面，那么对空间任一向量p →，存在一个唯一的有序实数组,,x y z , 使p x a y b z c →→→→=++．(4)两个向量的数量积空间两个非零向量,a b →→的数量积定义与平面向量也类似，但表达形式略有不同.cos ,a b a b a b →→→→→→⋅=〈〉，当,2a b π→→〈〉=时，称向量a → 与b →互相垂直，记作a →⊥b →．(5)空间向量的坐标运算空间向量的各种运算的坐标表示与平面向量类似，这里不再详述．2向量法在中学数学解题中的应用2.1在代数解题中的应用(1)求函数的最值(值域)利用向量的模的不等式a b a b a b →→→→→→-≤+≤+, a b a b →→→→⋅≤,可以十分简单地求一些较为复杂的、运用常规方法又比较麻烦的最值(值域)问题．例1求函数()32f x x =++分析：观察其结构特征，由3x +令(3,4),(p q x →→==，则()2f x p q →→=⋅+，且5,2p q →→==．故()212f x p q →→≤+=，当且仅当p →与q →同向，即30x=>时取等号，从而问题得到解决．(2)证明条件等式和不等式条件等式和不等式的证明，常常要用一些特殊的变形技巧，不易证明．若利用向量来证 明条件等式和不等式，则思路清晰，易于操作，且解法简捷．例2设22222()()()a b m n am bn ++=+，其中0mn ≠．求证:m a =nb ． 分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令(,),p a b →=(,)q m n →=，则易知p →与q →的夹角为0或π，所以p →∥q →，0an bm -=，问题得证．(3)解方程(或方程组)有些方程(方程组)用常规方法求解，很难凑效，若用向量去解，思路巧妙，过程简洁． 例3求实数,,x y z 使得它们同时满足方程：2313x y z ++=和22249215382x y z x y z ++-++=．分析：将两方程相加并配方得222(2)(33)(2)108x y z ++++=，由此联想到向量模，令(2,33,2),(1,1,1)a x y z b →→=++=，则a b →→==(2)1(33)1a b x y →→⋅=⋅++⋅(2)118z ++⋅=，又因为18a b a b →→→→⋅≤=，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当12x =133+y =12+z 0>时等式成立，问题解决． (4)解复数问题因为复数可以用向量表示，所以复数问题都可以用向量来研究解决．例4已知复平面内正方形ABCD 的两对角顶点A 和C 所对应的复数分别为23i +和44i -，求另外两顶点B 和D 所对应的复数．分析：先求D ，为此得求OD --→．因OD O A A D -→-→-→=+，而AD --→是AC --→依逆时针方向旋转4π，同时将AC --→倍，因此先求AC --→．而AC OC OA --→--→--→=-，故AC --→对应的复数是44(23)27i i i --+=-，于是AD --→对应的复数是95(27)cos sin4422i i ππ⎫-+=-⎪⎭又OD OA AD --→--→--→=+，所以OD --→可求．同理可求OB --→，问题解决．(5)求参变数的范围求参变数的范围是代数中的一个难点，常常要进行讨论，若用向量去解，会收到意想不到的效果.例5设,,,a b c d R ∈，且22222(0),3k a b c d k k a b c d +++=>+++=，试讨论,,,a b c d 的范围．分析：由2222a b c d +++联想到向量的模，令(,,),(1,1,1)p a b c q →→==，则p q a b c k d →→⋅=++=-，p q →→==.由p q p q →→→→⋅≤得k d -≤，解得102d ≤≤，由,,,a b c d 对称性便可得,,,a b c d 的范围．2.2在三角解题中的应用向量的数量积的定义，将向量与三角函数融为一体，体现了向量的模与三角函数之间的关系，为运用向量解决三角函数问题创造了有利的条件．(1)求值例6已知3cos cos cos()2αβαβ+-+=，求锐角,αβ的值． 分析：由已知得3(1cos )cos sin sin cos 2βαβαβ-+=-，观察其结构特征,联想到向量的数量积，令(1cos ,sin ),(cos ,sin )a b ββαα→→=-=，则3cos 2a b β→→⋅=-，a b →→=．由a b a b →→→→⋅≤得3cos 2β-≤，所以1cos 2β=，即3πβ=，代入已知等式便可求得α的值．(2)证明恒等式例7求证：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+分析：由等式右边联想到向量的数量积，令(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ→→==， 则1,1a b →→==，且易知a →与b →的夹角为βα-，则cos()a b a b βα→→→→⋅=-cos()βα=-，又cos cos sin sin a b αβαβ→→⋅=+，则问题得证．2.3在平面几何解题中的应用利用向量加法、减法、数乘和内积的几何意义，可以巧妙而简捷地进行几何证明和解决几何中有关夹角的问题．例8试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形.分析：如图，,,AD BE CF 分别为ABC ∆三边上的中线，若要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，只须证明AD BE CF --→--→--→++=0→．证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →,则0a b c →→→→++=，而AD AB BD --→--→--→=+12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+,所以 CF CA AF --→--→--→=+12b c →→=+．于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02a b c a b c →→→→→→→+++++=，即以,,AD BE CF 为边可构成一个三角形．2.4向量在解析几何中的应用平面向量作为一种有向线段，本身就是线段的一段，其坐标用起点和终点坐标表示，因此向量与平面解析几何有着密切联系．在解析几何中，它可使过去许多形式逻辑的证明转化为数值的计算，化复杂为简单，成为解决问题的一种重要手段和方法.例9已知一个圆的直径两端点为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆方程.解：设(,)P x y 为圆上异于,A B 的点，由圆周角定理得AP --→⊥BP --→，若(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，则AP --→=0→或BP --→=0→，故都有AP --→⋅BP --→=0成立，从而1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，此即为所求圆的方程。