标注六方晶系晶向指数的平行投影修正系数法
六方晶系钛合金织构测定与分析讲述
Rank of harmonic=14
减少极图
减少一个（11-20）极图
5个极图
减少一个（0002）极图
5个极图
去 掉 10-12 极图对 处理结 果影响 最 小
减少一个（10-12）极图
5个极图
3个极图的合成
3个极图绝对不行！
3个极图合成
5个极图合成
线焦+1准直管
衍射峰强度下降3倍以上！
对六方晶系采用a1，a2，a3及c四个晶轴， a1，a2，a3之间的夹角均为120度
晶向指数标定——移步法和投影法
晶体学常数轴比 纯钛：c/a=1.5873
钛的塑性比其他的六方晶系高的多 原因：
（1）滑移系增加 c/a=1.5873 <理论值1.633 提高了{10-10}和{10-11}的原子密排度 滑移面不再有利于{0001}基面 滑移面的转移另一原因是{10-10}的层错能比基面低
六方晶系钛合金织构测定与分析
张晖
刘竞艳
西安交通大学材料物理系 西北有色金属研究院测试分析中心
提要
钛的晶体学 织构及表示 织构对性能的关系 尤拉环调整及参数选择 影响织构分析与合成的因素 结论
六方晶系的晶面和晶向指数
六方晶系的晶向指数和 晶面指数取a1，a2，c为 晶轴，而a1轴与a2轴的夹 角为120度，c轴与a1， a2轴相垂直。但这种方 法标定的晶面指数和晶 向指数，不能显示六方 晶系的对称性，同类型 晶面和晶向，其指数却 不相雷同，往往看不出 他们的等同关系。
1923年德国物理学家提出
理想板织构极图
取向分布函数（ODF）---突破了极图的局限性
极图是在二维平面上投影三维空间晶体取向，不可能包含晶体 取向的全部信息。
晶面指数六方晶系的晶面指数标定专业知识讲座
d＝/（2sin）
2（ h2 ＋ k2 ＋ l2 ）
∴ sin2 ＝
4a2
已知晶胞参数的（hkl）晶面，当已知波长，可确定衍射方向；
反之，通过测定衍射方向，可以确定晶胞参数，即可确定晶胞的
大小、形状。【物相分析】
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晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
正交（立方、四方、 斜方晶系）
1 d2
hkl
h2 a2
kb22
cl22
a、b、c为晶胞参数
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单斜
[ 了解 ]
1 h2 k2 l2 2hclo s dh 2k la2si2nb2c2si2nasci2n
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（4）衍射方向（当衍之射处角，请θ）联系的本确人定或网站删除。
将布拉格方程和晶面间距公式联系起来，可得到不同晶系 的衍射方向。
如：立方晶系，晶面间距公式为
d12
h2 a2
kb22
cl22
＝ h2 ＋ k2 ＋ l2 a2
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
晶面指数六方晶系的晶面指数标定
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2 2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
0,1,0
晶面指数（233）
1,0,0
常见的晶面指数
(110) (001) (010) (111)
(100)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
0,0,1
练习
0,1,0
晶面指数（233）
1,0,0
常见的晶面指数
(110) (001) (010) (111)
(100)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
2°指数中某一数为“0”，表示晶面与相应的晶轴平行，例 如(hk0)晶面平行于c轴。因交点为，倒数为零。
三斜
例 : 某 斜 方 晶 体 的 a=0.742nm, b=0.494nm, c=0.255nm, 计算d110和d200。
1 h k l 2 2 2 2 d hkl a b c
2
2
2
1 1 1 2 2 d110 7.417 4.9452
1
2 d 200
2
2
2 7.417 2
晶带定律：凡是属于[uvw]晶 带的晶面，它的晶面指数必须 符合hu＋kv＋lw＝0
O
晶面间距：是两个相邻的平行晶面间的垂直距离，通常 用dhkl 或 d 表示。
晶面间距是现代测试中一个重要的参数。在简单点阵中， 通过晶面指数（hkl）可以方便地计算出相互平行的一组 晶面之间的距离d。
正交（立方、四方、 斜方晶系）
晶面指数的确定方法
晶面指数六方晶系的晶面指数标定82523
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
2°取倒数 3、1、2 3°消除分数 3、1、2 4°晶面指数（312）
0,0,1
练习
1,0,0
0,1,0 晶面指数（233）
2
常见的晶面指数
(001)
(110)
(100)
(010)
(111)
晶面指数的几点说明：
1°h,k,l 三个数分别对应于a,b,c三晶轴方向。
19
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
六方晶系一些晶面的指数
20
六方晶系晶向指数标定
采用4轴坐标时，晶向指数的确定原则仍同前述 晶向指数可用｛u v t w｝来表示，这里 u + v = - t。
六方晶系晶向指数的表示方法(c轴与图面垂直) 21
六方晶系中，三轴指数和四轴指数 的相互转化
三轴晶向指数(U V W) 四轴晶向指数(u v t w)
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
O
Y
●
X
4
Z
练习
●
O X
晶向符号 [221]
Y
[001] [111]
●
●
常见的晶向指数
O
●
●
[100]
[010]
5
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
[001]晶带包含的晶面有： （100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面
[001]
晶带定律：凡是属于[uvw]晶
带的晶面，它的晶面指数必须
晶面指数-六方晶系的晶面指数标定PPT文档共24页
线表示。 4°用（）括起来，记为（hkl ）
0,0,1 1,0,0
1°确定交点坐标，X轴：1/2、 Y轴：1、 Z轴：1
2°取倒数 2、1、1 3°消除分数 2、1、1 0,1,0 4°晶面指数（211）
1°确定交点坐标，X轴：1/3、 Y轴：1、 Z轴：1/2
• 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向 有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面
和晶向不具有类似的指数。这一点可以从上
图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面
和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒 指数（Miller Indices）却分别是 (110和) (100)。 图中夹角为 60°的两个密排方向 D1 和 D2 是 晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别 是[100]和[110]。
根据几何学可知，三维空间独立的坐标轴最多 不超过三个。前三个指数中只有两个是独立的， 它们之间存在以下关系：i ＝－ ( h + k ) 。
六方晶系一些晶面的指数
六方晶系晶向指数标定
正交（立方、四方、 斜方晶系）
1 d2
hkl
h2 a2
kb22
cl22
a、b、c为晶胞参数
单斜
[ 了解 ]
1 h2 k2 l2 2hclo s dh 2k la2si2nb2c2si2nasci2n
三斜
d1h2kl(12cosc
1
oscosco2sc
o2sco2s)
[h2sai2n2k2sbi2n2 l2sci2n2
2hk(c ab
osc
osc
os)
2kl(coscoscos)2hl(coscoscos)]
晶面指数六方晶系的晶面指数标定
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
O
Y
●
X
Z
练习
●
晶向指数的确定方法
1°在相互平行的结点直线中引出一条过原点的结点直线 2°在该直线上选出距原点最近的结点，确定其坐标 3°消除分数，把它们化为互质的最小整数。负数用上划
线表示。
4°用[ ] 括起来，记为[uvw]
Z
确定距原点最近的结点坐标1/2, 1, 0 消除分数为1、2、0 晶向指数 [120]
• 但是，用三指数表示六方晶系的晶面和晶向 有一个很大的缺点，即晶体学上等价的晶面 和晶向不具有类似的指数。这一点可以从上 图看出。图中六棱柱的两个相邻表面（红面 和绿面）是晶体学上等价的晶面，但其密勒 指数（Miller Indices）却分别是 (110 ) 和(100)。 图中夹角为 60°的两个密排方向 D1 和 D2 是 晶体学上的等价方向，但其晶向指数却分别 是[100]和[110]。
1 d2
hkl
h2 a2
kb22
cl22
a、b、c为晶胞参数
单斜
[ 了解 ]
1 h2 k2 l2 2hclo s dh 2k la2si2nb2c2si2nasci2n
三斜
1
1
dh2kl(12coscoscosco2sco2sco2s)
[h2sai2n2k2sbi2n2 l2sci2n2
第2章_材料的结构--第2节-晶面晶向指数讲解
29
{123} (123) (1 23) (123) (123) (132) (1 32) (132) (132) (231) (231) (231) (23 1) (213) (213) (2 1 3) (213) (312) (312) (3 1 2) (312) (321) (321) (321) (32 1)
X/a：Y/b：Z/c＝u：v：w
(5) 列括号［ｕｖｗ］，[u v w]即为待定晶向的晶向指 数。若晶向上一坐标值为负值则在指数上加一负号。不加 逗号
[U V W] —— 晶向Miller指数
e.g., x-axis [100] y-axis [010] z-axis [001]
[111]
[110]
晶面族中等价晶面的个数用于多晶x射线衍射中多重性因 子的表示。
28
立方晶系： {111}=(111)+(T11)+(1T1)+(11T)+(
TT1)+(1TT)+(T1T)＋(TTT)
Total: 8
立方晶系：
{112} (112) (1 12) (1 1 2) (112) (121) (1 21) (121) (12 1) (211) (211) (2 1 1) (21 1)
(2) 若晶面指数相同，但正负符号相反，则两晶面是以点为 对称中心，且相互平行的晶面。如（110）和（TT0）互 相平行。 （100）与（ 00）平行的晶面,方向相反。
（3） 晶面指数是截距系数的倒数，因此，截距系数越大， 则相应的指数越小，而当晶面平行某一晶轴时，其截距 系数为∞，对应的指数为1/∞＝0.
晶面指数-六方晶系的晶面指数标定ppt课件
h2 a2
k2 b2
l2 c2
＝ h2 ＋ k2 ＋ l2 a2
d＝/（2sin）
2（ h2 ＋ k2 ＋ l2 ）
∴ sin2 ＝
4a2
已知晶胞参数的（hkl）晶面，当已知波长，可确定衍射方向；
反之，通过测定衍射方向，可以确定晶胞参数，即可确定晶胞的
大小、形状。【物相分析】
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
（4）衍射方向（衍射角θ）的确定
将布拉格方程和晶面间距公式联系起来，可得到不同晶系 的衍射方向。
如：立方晶系，晶面间距公式为
1 d2
点阵中平行于某一轴向的所有
晶面属于同一晶带。
• 同一晶带中包含不同的晶面，这些晶面的交线互相平行。
• 晶带由所平行的轴向的晶向指数表示。
[001]晶带包含的晶面有： （100）、（010）、（110）、 （110）、（120）等晶面
[001]
晶带定律：凡是属于[uvw]晶
4-3 六方晶系指数表示
• 上面我们用三个指数 表示晶面和晶向。这 种三指数表示方法， 原则上适用于任意晶 系。对六方晶系，取 a， b，c 为晶轴，而 a 轴 与 b 轴的夹角为120°， c 轴与 a，b 轴相垂直， 如右图所示。
采用PP管及配件：根据给水设计图配 置好PP管及配 件，用 管件在 管材垂 直角切 断管材 ，边剪 边旋转 ，以保 证切口 面的圆 度，保 持熔接 部位干 净无污 物
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用平行投影修正系数法标注六方晶系晶向指数 桂进秋 席生岐※ 张建勋 范群成 西安交通大学 材料科学与工程学院
摘要：介绍了采用平行投影修正系数法标注六方晶系晶向指数的新方法，并对其原理进行了论证。
关键词：六方晶系 晶向指数 Miller-Bravais指数 平行投影
0前言 众所周知，金属中常见的3种晶体结构为体心立方、面心立方和密排六方，其中密排六方结构属于六方晶系。由于其对称性特点，在晶体学中惯用四轴坐标表示六方晶系的晶面和晶向，称为Miller-Bravais指数[1]。在这种体系中对
晶面指数的标注并未有什么不便，但是对晶向指数的标注却比较麻烦，容易出错。正如范群成[2]所指出，晶向[1213]在文献[3]中被误标为[1212]，而在文献[4]中又被误标为[1211]。 在一般的教科书 [1，4，5，6]中，六方晶系Miller-Bravais晶向指数[uvtw]有2种主要的标注方法。一种是所谓的移步法[4]，选择合适的路径沿4个晶轴方向从待定晶向上的一点（通常是坐标原点）依次移动到另一点，而合适的路径要求满
足u+v=-t约束条件。由于这一约束条件的限制，移动路径及距离的选取决定相当困难，不易寻找。另一种是公式法[1，4，
6]，即先在三轴坐标系中标出[UVW]，再利用公式：
u=(2U-V)/3, v=(2V-U)/3, t= -(u+v), w=W 换算成[uvtw]。该方法不但麻烦，完全依赖于对换算公式的记忆，而且不直观，不便于对晶向的理解和把握。 为更直观地从晶胞结构图中直接计算来标出六方晶系中的晶向指数，范群成曾提出了正射投影修正系数法[2]。如图1所示，这种方法是由待标晶向上任一点（常取特殊点）分别向a1，a2，a3和c轴作垂直投影，求出以晶格常数为单位的投影值，并给c轴的投影值乘以修正系数3/2，然后化为最小简单整数。这种方法在一个晶胞中通过垂直投影来计算出晶向指数，和晶胞结合，直观性有改进，和移步法的结果有一致性，比移步法容易操作。 受正射投影法的启示，在《材料科学基础》课堂讨论的过程中，我们提出了另一种也较为简便易行的来标定六方晶系Miller-Bravais晶向指数的方法——平行投影修正系数法。本文就对这种新方法做一详细介绍。
※ 通讯作者，男，博士，副教授，xishq@mail.xjtu.edu.cn。 其他作者信息：桂进秋，男，西安交通大学材料科学与工程学院，三年级本科生；张建勋，男，教授，博导，jxzhang@mail.xjtu.edu.cn； 范群成，男，教授，qcfan@mail.xjtu.edu.cn.
D B E F O a1
a2
a3
c [11 23] A ]2311[
图1正射投影修正系数法标注晶向指数 O a1
a2 a3 c [1 1 2 3] A B D F E
图2 用平行投影修正系数法标注 OA晶向指数为]2311[
]2311[ 1、 基本方法 由待标晶向上任一点（常取特殊点），向底面（0000）作投影，取到投影点的距离BD（以晶格常数为单位）为C
轴值。由在底面（0000）上的投影点D分别向作平行线，与a1，a2及a3相交得到的6个交点，求得以晶格常数为单位的交点坐标值。将每一个坐标轴上两个交点的坐标值求和，可得3个数值，同时对C轴上数值乘以系数3，共将所得4个数，然后将这4个数化为最小简单整数即为晶向指数[uvtw]。 例如，图2中OA晶向指数标注，可以过OA上B点向底面作垂线交与D，BD=1，为C轴值。再过D点分别作a2和a3轴的平行线，得到六个交点D、E、D、F、O、O，在a1轴上的交点O、F在该轴上的坐标值为0，-1，对其求
和后为-1；同理，在轴上的交点E、O的坐标值分别为-1和0，求和为-1，而在轴上的2个交点D、D的坐标值为1和1，求和为2，给C轴值1乘以3修正后为3，最后将-1、-1、2 、3化简为晶向指数为[] 3、基本原理 如图3所示，OP是六方晶胞中任一晶向，如OP与（10）面的交点Q在底面（0000）上投影点为A（图3(a)），在底面过A点依次作a1，a2，a3轴的平行线，其交点分别为BCDEGH（图3(b)），则其晶向指数为[(OF+OD)/a （OC+OG）/a （OB+OE）/a 3AQ/c]。 当采用移步法时，则从O点出发，依次沿a1，a2，a3和C轴移动距离OL、LH、-HA、AQ，且使OL+LH=HA，因此晶向指数为[OL/a LH/a -HA/a AQ/C]。
为了说明所标注的晶向指数就是Miller-Bravais指数，必须证明： （1）它满足约束条件u+v=-t，即（OF+OD）+(OC+OG)= -(OB+OE) (2) 他与移步法所得晶向指数完全一致，即OF+OD=3OL，OC+OG=3OM，OB+OE=3HA 3.1约束条件的满足 在图2（b）中△OFG，△ODE和△OBC均为等边△，因而有 OF=-OG OD=-OE OC=-OB 故：（OF+OD）+(OC+OG)=-OG-OE-OB+OG=-(OB+OE) 3.2与移步法结果一致性
P O a1
a2
a3
c
A Q O E A G D
C M N
H L F
B a1
a2
a3
(a) 向底面投影 (b) 平行于1a,2a和3a 轴投影 图3 用平行投影修正系数法标注六方晶系晶向指数的基本原理 在图2(b)中： OF+OD=(OL-FL)+(OL+LD) 又FL=LH LD=HA ∴OF+OD=2OL-LH+HA 由移步法的约束条件 OL+LH=HA 则OF+OD=3OL （1） 同理： OC+OG=OM+MC+OM-MG=2OM+HA-OL=2OM+LH=3OM （2） OB+OE=(ON+NB)+(ON+NB+BE)=2NB+ON+FL+OF=2HA+LH+OL=3HA （3） 将式（1）、(2)、(3)代入[(OF+OD)/3a（OC+OG）/3a （OB+OE）/3a AQ/c]，变为： [OL/a LH/a -HA/a AQ/C]，这与移步法所得一致，故[(OF+OD)/a （OC+OG）/a （OB+OE）/a 3AQ/c]化简后即为晶向指数。 由上述可知，在平行投影修正系数法中，约束条件t= -(u+v)自然实现，无需人为去满足，从而使该方法和正射投影一样，较移步法更为容易实现。通过对C轴的指数修正，所得的结果与移步法异曲同工。由于不用计算正射投影值，而是通过平行投影直接在底面的三个坐标轴上交点坐标值直接加减计算后乘以系数修正来获得指数，这一方法较正射投影修正系数法较为简便易行。 由证明过程可以看到，当投影点A落在坐标轴上时，如E点，则平行于该轴的线段GF与其他2个坐标轴的交点缩至一点，为原点O，在实际使用这一方法时，2个交点的坐标值均取为0，这也是前述标注图4种OA晶向时交点中有2个原点O的原因。 结语 六方晶系的晶向指数标注在晶体学研究中是一个基本技能，一般教科书中所给出的移步法实际使用中较难拼凑选取移动步骤，而公式法又不直观，脱离了晶胞结构，通过公式直接计算，不便对六方晶系中晶向正确地掌握与认识。为了更方便直观的标注出六方晶系中晶向指数，在范群成的正射投影修正系数法的启示下，本文提出了平行投影修正系数法标注六方晶系的晶向指数，并给于了理论论证，使六方晶系中晶向指数的标注方法多了一种选择，较为简便易行，不易出错，因而这一新方法和正射投影法一样具有很好的实用价值。
参考文献 [1] William D. Callister, Jr. Fundamentals of Materials Science and Engineering, John Wiley & Sons, Inc. New York, 2001, [2] 范群成，正射投影修正系数法标注六方晶系晶向指数，理化检验-物理分册，Vol.28, No.6, 1992 pp20-21 [3]宫川大海，坂木庸晃。金属学概论，朝仓书店，1980 [4]刘世荣，金属学与热处理，机械工业出版社，北京，1985 [5]胡庚祥，钱苗根，金属学，上海科学技术出版社，，上海，1980，9 [6] 石德珂，材料科学基础（第2版），机械工业出版社，北京，2003
Labeling Direction Indices in Hexagonal Crystal System by Parallel Projection with Corrected Coefficient Method Gui Jinqiu Xi Shengqi Zhang Jianxun Fan Quncheng State Key Laboratory for Mechanical Behavior of Materials, School of Materials Science and Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China
Abstract The new method to label Direction Indices in hexagonal crystal system has been introduced in this paper, in which the parallel projection with corrected coefficient is adopted. And, the principle of this new method has been proved.
Keywords Hexagonal crystal system, Direction indices, Miller-Bravais indices, Parallel projection