巧借轴对称求最短距离
七年级数学 轴对称之—最短距离
轴对称之——最短距离类型一、两点之间线段最短例1：已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P 是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= ．例2：如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．例3、如图，在Rt△ABC中∠ACB=90°，AC=BC=8，CD=2，点P是AB上的一的动点，求：PC+PD的最小值。
例4、如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E为CD边的中点,P为BC边上的任一点,那么,AP+EP的最小值为。
例5、如图，已知⊙O的直径MN=1，点A在圆上，且∠AMN的度数为30°，点B是弧AN的中点，点P在直径MN上运动，求BP+AP的最小值．例6、如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18cm,在杯内离杯底5cm的点C处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿5cm与蜂蜜相对的点A处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为？例7：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC 沿直线AD翻折，使点C落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是．例8：如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（）.例9：如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PC的最小值为（）.A. B. C. D.2例10（一定两动）如图∠AOB=45°，角内有一点P，PO=10，在两角边上有两点Q、R（均不同于点O），则△PQR的周长最小值是当△PQR周长最小时，∠QPR的度数=例11（两定两动）如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．若E、F为边OA上的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．类型二、垂线段最短例12、如图,在锐角△ABC中,AB=6,∠BAC=60°,∠BAC的平分线交BC于点D,点M,N分别是AD和AB上的动点,则BM+MN的最小值为。
用轴对称求最短距离
用轴对称求最短距离在研究几条线段长之和（差）的最小或最大值时，常常需要把这些线段集中到一起，然后将其与某条长度固定的线段进行比较。
把其中的部分特殊点进行恰当的轴对称变换，是实现这一目标的有效手段。
现举例说明，供同学们参考。
一、为了在已知直线上寻找与同侧两点距离之和最小的点，可通过轴对称变换，把同侧两点转化为异侧两点，再利用“三角形任意两边之和大于第三边”来确定例1. 如图1，牧童在A处放牧，其家在B处，A、B到河岸l的距离分别为AC、BD，，且A处到河岸CD中点的距离为500m。
（1）如牧童从A处将马牵到河边饮水后再回家，试问：在何处饮水，所走路程最短？（2）最短的路程是多少？解析：这个问题可简述为“已知直线CD和直线CD同侧的两点A，B，在直线CD 上求一点M，使最小。
”（1）如图2，先作点A关于直线CD的对称点，再连接交CD于点M，则点M为所求的点。
证明如下：在CD上任取一点，连接、、、AM。
点A、关于直线CD对称，点M、在CD上，。
最小。
（2）由（1）知，，。
故M为CD中点，且最短路程为。
二、在涉及折线段长的最值问题的，一般是通过多次轴对称变换，利用两点之间线段最短求最值。
例2. 如图3，牧童家在A处。
现在牧童要先带马到河边（图中用直线a表示）饮水，再到草地（图中用直线b表示）吃草，然后回家。
问：牧童让马在何处饮水、吃草，所走的总路程最短？解析：设点B、点C分别是马饮水、吃草处，本题即是要求线段长之和AB+BC+CA 的最小值。
我们通常需要把它和固定线段相比较。
可通过轴对称变换，把这些线段放在同一直线上，利用两点之间线段最短来解决。
如图4所示，分别作点A关于直线a的对称点A”，点A关于直线b的对称点A””。
连接A”A””。
A”A””交直线a于点B，交直线b于点C，则AB+BC+CA=A”B+BC+CA””＝A”A””。
而对其他地点B”、C”，也都可以同样转化为A”B”+B”C”+C”A””，即为A”、A””两点间的折线段的长。
利用轴对称求两点一线型最短距离
利用轴对称求“两点一线”型最短距离几何模型：模型：“两点一线”模型条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．+的值最小．问题：在直线l上确定一点P，使PA PB方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于点P，+=的值最小．则PA PB A B'模型应用：一. 两点一线间的对称二.三角形中的对称1.如图,在△ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,D是BC边上的中点,E是AB边上的一动点,则EC+ED的最小值是__2.如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是．三.四边形中的对称1.如图，正方形ABCD的边长为8， M在DC上，且DM=2,N是AC上的动点，则DN+MN的最小值为多少？2.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则+的最小值是___________；PB PE△是等边三角形，点E在正方形3.如图所示，正方形ABCD的面积为12，ABE+的和最小，则这个最小值为（）ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD PEA．B．C．3 D四.圆中的对称1.如图，已知点A 是⊙O 上的一个六等分点，点B 是弧AN 的中点，点P 是半径ON 上的动点，若⊙O 的半径长为1，求AP+BP 的最小值。
2.如图，O ⊙的半径为2，点A B C 、、在O ⊙上，OA OB ⊥，60AOC ∠=°，P 是OB 上一动点，求PA PC +的最小值；五.立体图形中的对称如图是一个没有上盖的圆柱形食品盒，一只蚂蚁在盒外表面的A 处，它想吃到盒内表面对侧中点B 处的食物，已知盒高h ＝10cm ，底面圆的周长为32cm ，A 距离下底面3cm ．请你帮小蚂蚁算一算，为了吃到食物，它爬行的最短路程为 cm ．课堂练习： 1.如图，在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是 ．2.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC 平分∠BAD ，点E 在AB 上，且AE=2 （AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE+PB 的最小值是 ．3.如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点，5.动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为．6.如图，在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为 cm．7.在三角形纸片ABC中，已知∠ABC=90°，AB=6，BC=8．过点A作直线l平行于BC，折叠三角形纸片ABC，使直角顶点B落在直线l上的T处，折痕为MN．当点T在直线l上移动时，折痕的端点M、N也随之移动．若限定端点M、N分别在AB、BC边上移动，则线段AT长度的最大值与最小值之和为（计算结果不取近似值）．8.如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N 分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是．9.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，M是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，若PM+PB 的最小值是3，则AB长为．解答题：１.如图，45AOB∠=°，P是AOB∠内一点，10PO=，Q R、分别是OA OB、上的动点，求PQR△周长的最小值．2.一次函数y kx b=+的图象与x、y轴分别交于点A（2，0），B（0，4）．（1）求该函数的解析式；（2）O为坐标原点，设OA、AB的中点分别为C、D，P为OB上一动点，求PC＋PD的最小值，并求取得最小值时P点坐标．ABPRQ图3中考题综合演练：1.（1）观察发现：如（a）图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP 的值最小．做法如下：作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'，与直线l的交点就是所求的点P．再如（b）图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为．（2）实践运用：如（c）图，已知⊙O的直径CD为4，∠AOD的度数为60°，点B是AD^的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．（3）拓展延伸：如（d）图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留作图痕迹，不必写出作法．2.如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM.⑴求证：△AMB≌△ENB；⑵①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；3 时，求正方形的边长.⑶当AM＋BM＋CM的最小值为1。
中考专题复习：利用轴对称解决最短距离问题
主备人单位日期2019.5 课型复习课课题专题复习：最短距离学习目标1.能够通过观察找出最短距离问题的基本模型。
2.能够运用基本方法找出最短距离。
3.能够利用勾股定理、相似、三角函数等相关知识解决计算问题。
教学过程一、问题引入：1、如下图，在直线异侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。
2、如下图，在直线同侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。
二、1.在几何背景中的应用例1、如图正方形ABCD的边长为4，P为对角线上任意一点。
若E为边BC 的中点，求PE+PB的最小值______变式：如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．师生笔记例2.（东营中考）在⊙O中，AB是⊙O的直径，且AB=8cm, M是AB上一动点，，CM+DM的最小值是__________.例3.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，点M是AB中点，P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是_______2.在函数背景中的应用例4、如图，已知二次函数y=ax2-4x+c 的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）．（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得△ABP的周长最小．求出△ABP周长的最小值,求出点P的坐标．变式、如图，抛物线y=ax2+bx+c 经过点A（1，0）、B（4，0）、C （0，3 ）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P,使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由。
课堂小结：1、知识点：2、基本数学模型：。
利用轴对称求最短距离精修订
分析：由题意知：首先找点D或者点E关于AC所在直线的对称点。由正方形的轴对称性不难发现：点B即是点D关于直线AC的对称点，则连接BE与线段AC的交点即为P点。那么PD+PE的最小值实际上就是线段BE的长度，BE=2。
（2）、以正方形为媒介的最短距离问题：
如下图，正方形ABCD边长为2，△ABE为等边三角形，且点E在正方形ABCD内部，在对角线AC上找一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为多少？
（3）、以圆为媒介的最短距离问题：
如下图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，
∠AOB=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值
（4）、以二次函数为媒介的最短距离：
如下图，抛物线y=x^2+2x-3与x轴交与A、B两点，与y轴交与点C，对称轴上存在一点P，使△PBC周长最小，求P点坐标。
三、巩固加深：
（5）、以三角形为媒介的最短距离问题：
如下图，在锐角△ABC 中，AB=4，∠BAC=45°,∠BAC的角平分线交BC于D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是多少
分析：由AD是∠BAC的角平分线得，点N关于直线AD对称的点N′一定在线段AC上，则直线AD是线段NN′的垂直平分线，则MN=MN′,则求BM+MN的最小值就是求BM+MN′的最小值。易知点B、M、N′三点共线时BM+MN′最小，根据“点到直线上点的距离中垂线段最短”得：过点B作AC的垂线，垂足为N′′，则BN′′的长度就是BM+MN′的最小值，也就是BM+MN的最小值。由△ABN′′为等腰直角三角形，AB=4立得。
利用图形的对称性(轴对称)求最短路径问题
利用图形的对称性（轴对称）求最短路径问题一、已知两点求一点例1设A，B两点在直线L的异侧，图-1，在L上找一点M使AM+BM最小。
说明理由。
BLMA图-1例2设A，B两点在直线L的同侧，图-2，在L上找一点M使AM+BM最小。
方法：寻找对称点，运用定理，两点之间直线最短。
ABLMA’图--2二、已知两点求两点例3 设A，B两点位于两相交直线L1、L2所形成的某一夹角内。
图-3，求作M,N使得M,N分别在两相交直线L1、L2上且满足AN+MN+BM最小。
L1B’. AM . BL2NA’图--3例4 设P，Q两点位于锐角 ABC的BC边上，有两动点M,N分别位于另外两边上，图-4，求作M,N使四边形PQNM的周长最短。
P’ BM PQCA N图--4Q’三、已知一点求两点例5 点P位于三角形的某一边上，动点M,N分别位于另外两边上。
图-5，试作M,N使得❒PMN周长最短。
P’ BPMA N CP’’图—5例6 点P位于两相交直线L1，L2所形成的夹角内，动点M,N分别位于两直线上。
图-6，试作M,N使得❒PMN周长最短。
L2PML1N图-6我们将这些情况放在直角坐标系下考虑。
第一种情况：设A,B两点都在第一象限，直线L与X轴重合，M点在X轴上，且使AM+BM最小。
求（1）M点的坐标。
（2）AM+BM的长度。
第二种情况设A,B两点，B点在第Ⅰ象限，M,N分别在Y轴，X轴上，A点分别在第Ⅰ象限，第Ⅱ象限，第Ⅲ象限，第Ⅳ象限时，试求（1）M,N的坐标，使得AM+MN+BN最小，并求出最小值。
（2）两动点M,N到达何处时，四边形AMNB周长最短。
Y训练题1.已知，AB是圆O的直径，P、Q是圆O上的两点，且直线PQ//AB,M是直径AB是上动点，试问：∆PQM周长最短时，M点处于何处？并证明。
A B【思路】由于三角形∆PQM的一边PQ是定长，因此要使它的周长最短就是要求动点M到点P、Q的距离之和最短。
利用图形的对称性，作Q关于直线AB的对称点Q’，连接PQ’，它与AB相交于M即为所求。
利用轴对称求最短距离
利用轴对称求最短距离轴对称知识在近来的中考题中，经常出现，笔者浏览最近几年各地的中考试题，发现各地中考试题除考察轴对称图形的基本知识和性质，还考察了利用轴对称知识解决最短距离问题，这类问题在各地中考试题中，屡见不鲜，如何利用轴对称的性质解决最短距离问题呢？根据本人多年从事初三数学教学工作的一些体会。
概括一些一些常见的题型。
一、基础知识如图直线l 同侧有两点A 、B ，在直线l 上找点P ，使得PA+PB 最短，并简要说明理由。
解：作点关于直线l 的对称点A ′，连A ′B 交直线l 于点P,则点P 即为所求，此时PA+PB=PA ′+PB= A ′B 。
A 1二、典型例题：A 组（1）以菱形为载体的最短距离问题：如图所示，菱形ABCD 中， ∠ BAD=60°，AB=4，M 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PM+PB 的最小值是_________。
解：∵菱形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。
∴点B 关于直线AC 的对称点为点D,ABLP连接DM 交AC 于点P,则PM+PB 的最小值即为线段DM,此时DM=32 ∴PM+PM 的最小值为32.（2）以矩形为载体求最短距离问题在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4，E 为为边CD 中点。
P 为边BC 上的任一点，求PA+EP 的最小值。
解：作点A 关于BC 的对称点A ′，连A ′E 交BC 于点P,则点P 为所求，此时PA+PE 的最小值即为A ′E,过点E ，作EF ⊥AB ， A ′E=2243 =5 ∴PA+PE 的最小值为5。
MA A 1ED如图所示，正方形ABCD 的边长为2，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上找一点P,使PD+PE 最小，则这个最小值为_________.解：∵正方形ABCD 是以AC 为对称轴的轴对称图形。
∴点B 关于点D 关于AC 对称 ∵BE 即为PD+PE 的最小值 ∴PD+PE 的最小值为2(4) 以圆形为载体的最短距离问题：如图，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB, ∠ABC=60°，P 是OB 上一动点，求PA+PC 的最小值。
(完整版)利用轴对称求最短距离
利用轴对称求最短距离一、问题引入：1、如下图，在直线异侧各有点A、B,在直线上找一点p，使PA+PB最小。
分析：根据“两点之间线段最短”，可知：连接AB，与直线的交点即为P点.此基本类型为：一线（直线）两定点（点A、B）。
分析：作点A关于直线的对称点A′，连接AA′，则直线就是线段AA′的垂直平分线，根据“垂直2、如下图，在直线同侧各有点A、B,在直线上找一点p，使平分线上一点到线段两PA+PB最小。
端点的距离相等”可得，直线上任一点到点A的距离都等于到点A′的距离。
事实上，这个问题就可以转化成：在直线异侧各有点A′、B,在直线上找一点p，使PA′+PB最小。
即：一线两定点的问题。
由（1）得，连接BA′，与直线的交点即为点P。
分析：由题意知：首先找二、典型例题：点B或者点M关于AC所（1）、以菱形为媒介的最短距离问题：在直线的对称点。
由菱形如下图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=4，点M是AB中点，的轴对称性不难发现：点P是对角线AC上的一个动点，则PM+PB的最小值是多少？D即是点B关于直线AC的对称点，则连接DM与线段AC的交点即为P点。
那么PM+PB的最小值实际上就是线段DM的长度分析：由题意知：首先找（2）、以正方形为媒介的最短距离问题：点D或者点E关于AC所如下图，正方形ABCD边长为2，△ABE为等边三角形，且点E在直线的对称点。
由正方在正方形ABCD内部，在对角线AC上找一点P，使PD+PE最小，形的轴对称性不难发现：则这个最小值为多少？点B即是点D关于直线AC的对称点，则连接BE与线段AC的交点即为P点。
那么PD+PE的最小值实际上就是线段BE的长度，BE=2。
分析：由题意知：首先找（3）、以圆为媒介的最短距离问题：点A或者点C关于OB所如下图，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，在直线的对称点。
由圆的∠AOB=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值轴对称性不难发现：延长AO交圆于点A′，则点A′即是点A关于直线OB的对称点，则连接CA′与线段OB的交点即为P点。
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图5 l 图1 巧借轴对称求最短距离
大家知道“两点之间线段最短”，是解决最短距离问题的依据，在实际问题中，我们常碰到求不在一条直线上的两条或三条线段和的最小值问题，要解决这类问题，可借助轴对称的性质，将不在同一直线上的线段和转化为两点之间的距离问题.
例1如图1，公路l 两旁有两工厂A 、B ，现要在公路上建一仓库.
⑴若要使仓库到A 、B 两工厂的距离相等，仓库应建在何处？
⑵若要使仓库到A 、B 两工厂的距离之和最短，仓库应建在何处？
分析：⑴线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等”可知仓库应建在AB 的垂直平分线上，又因为仓库在公路上，所以AB 的垂直平分线与公路l 的交点即为仓库应建的地点. ⑵ 如果A 、B 两点在直线l 的两侧，那么连接AB 与l 的交点即为所求，由于现在A 、B 两点在l 的同侧，因此可考虑作A （或B ）点关于l 的对称点C ，由轴对称的性质可知，直线l 上任意一点到A 、C 的距离相等，这样就把直线l 上一点到点A 的距离转化为到点C 的距离，因此连接CB 与l 的交点即为所求.
解：⑴如图2，作AB 的垂直平分线交l 于点P ，点P 就是所要求作的仓库的位置.
⑵如图3，作点A 关于l 的对称点C ，连接AC 交l 于点D ，点D 就是所要求作的仓库的位置.
例2如图4，已知牧马营地在点M 处，每天牧马人要赶着马群到河边饮水.
⑴求到河边饮水的最短路线.
⑵如果饮完水后，需再到草地吃草，然后回到营地，试设计出最短的牧马路线图.
分析：这是一道实际问题，从中抽象出数学问题是解题的首要a 的最短距离. ⑵可抽象得到
这样的数学模型：直线a 、b 间有一点M ，试分别在a 、b . 要求.
解：⑴如图5，过点M 作MA ⊥a 于A ，MA 即为最短路线.
⑵如图6，分别作点M 关于a 、b 的对称点A 、B ，连接AB 分别交a 、b 于点C 、D ，则最短的牧马路线为：M →C →D →M.
图4 l 图2 l
点评：⑴利用垂线段最短获解. ⑵中点A、M关于直线a对称，则可得到CA＝CM，同理DM＝DB，所以MC＋CD ＋DB＝AC＋CD＋DB，这实际上将ΔMCD的周长，即三条不在同一直线上的线段和转化成了两点之间的距离问题，由于“两点之间，线段最短”，因此连接AB与直线a、b的交点即为所求的两点.。