一道数学题的解答情况引发的思考
一道中考题的解法与教学反思
一道中考题的解法与教学反思在中学生的学习过程中，一道考题的解法可以揭示学生的学习能力和解决问题的思维方式。
本文将分析一道中考题的解法，并对教学进行反思，以期提升学生的学习效果。
《数学题》某中学的中考数学试卷中出现了一道关于平方根的计算题，请同学们计算√(35-24√5) + √(35+24√5) 的值。
解法及思路分析：首先，我们可以将这道题转化为对平方差的提取。
设√(35-24√5) 的值为a，√(35+24√5) 的值为b，即√(35-24√5) = a，√(35+24√5) = b。
根据平方差公式的性质，我们可以得到等式：(√(a) + √(b))^2 = (a + b) + 2√(ab)将题目中给出的算式代入，得到：(a + b) + 2√(ab) = 35 + 24√5 + 35 - 24√5 = 70解方程组：由公式 (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy，可以得到：(a + b) + 2√(ab) = d^2 + 2√(ab)其中d = √(a) + √(b)。
将等式转化为二次方程的形式：2√(ab) = 70 - d^2解方程2√(ab) = 70 - d^2 可得：4ab = (70 - d^2)^2根据等式ab = 35，带入计算可得：4 * 35 = (70 - d^2)^2140 = (70 - d^2)^2对等式两端开平方，解得：70 - d^2 = ±√140d^2 = 70 ± √140由于d实际上是两个根号数的和，故此处只考虑正根号的情况，得到：d = √(70 ± √140)进一步计算可得：d = √(70 ± 2√35) = √(7 ± 2√5)根据题目要求√(35-24√5) + √(35+24√5) 的值，我们需要求得d的结果，即√(7 ± 2√5)。
根据数学知识我们知道，当a^2 ± 2ab + b^2时，根据平方差公式可得 (a ± b)^2 = a^2 ± 2ab + b^2。
一道数学题引发的思考
一道数学题引发的思考曾经有一道著名的数学题引发了无数人的思考和争论，该题目是这样的：小明手中有一根绳子，问如何用这根绳子测量地球的周长？这道题目看似简单，但却蕴含着极大的挑战和深刻的思考。
在探讨这道题目的解决过程中，人们会考虑到不同的数学知识，这就引发了更加深入的思考和探讨。
我们可以考虑地球的形状。
地球是一个近似于椭球形的天体，其周长是无法直接测量得出的。
借助数学知识，我们可以通过测量地球的半径和通过数学模型和计算得出地球的周长。
这就引出了数学中的几何学和三角学知识，如何通过测量地球上的某些点之间的距离来得出地球的周长呢？我们可以思考如何利用绳子来测量地球的周长。
通过思考，我们可以得出，测量地球周长的关键在于如何利用绳子来测量地球表面的长度。
我们可以想到，通过绕地球一周，然后测量绳子的长度，我们就可以得出地球的周长。
这种方法会有很多问题，比如绳子会受到重力的影响而不是处于完全拉直状态，同时在地球表面走一圈也并不是直线距离的测量。
通过这个过程，我们可以引申出对于空间几何和传统几何的思考和讨论，如何利用绳子来测量地球的周长，会激发人们对于几何学和测量学的兴趣和思考。
而在解决这道题目的过程中，还可以引发出更多关于数学知识的思考和探讨。
如何利用数学模型和数据计算来估算地球的周长？如何通过实践和实验来检验数学模型的准确性和可行性？这都是数学知识所涉及到的问题，并且具有很高的研究和实践价值。
更进一步地，这道数学题所引发的思考，还可以延伸到哲学和科学的领域。
人们可以在思考中深入探讨地球的形状和大小对于人类的意义和影响，如何通过科学研究和技术手段来更加深入地了解地球的特性和结构。
这就引发了人们在哲学和科学领域的思考和探讨，使得这道数学题所引发的思考具有了更加深远和广泛的意义。
一道数学题所引发的思考，并不仅仅局限于数学知识的范畴，还能够引发人们在其他领域的深入思考和探讨。
通过解决这道数学题，人们不仅可以锻炼自己的数学思维和解决问题的能力，还可以在探讨的过程中开拓自己的思维，促进各学科领域的交叉融合和综合应用。
一道数学题引发的思考
一道数学题引发的思考一道数学题引发的思考1昨天妈妈去监考，给我带回来三道数学题，都是初一的。
我一看，妈妈带这个回来不会是让我做吧，这可是初一的题目呀！妈妈走过来说：“这三道题目你来试试看，妈妈相信你一定可以做的。
”我便开始了思考，第一第二道题目我做得还比较顺利，可是第三道题目就没有想象中那么简单了，题目是这样的：小明和小莉都是1999年10月份生的，而且都是星期三，小明比小莉早出生，他们俩出生日期的天数加起来等于22，请问小莉的生日是几号？这道选择题的答案有四个：A、15 B、16 C、17 D、18，我想：他们都是星期三出生的，那么他们生日要么相差7天，要么相差14天，我把思路和妈妈说了，妈妈鼓励我再想想，我又看到了另一个条件：他们俩出生日期的天数加起来等于22，我就用这个条件在答案上一个一个试，试到最后一个时，我发现18-14=4，18=4=22，这个答案不就是小莉的生日吗？我运用了排除法把这道题解决了。
后来妈妈告诉我，还可以用设小明为A，小莉为B，通过运算：A+B=22，14+A=B，这样算出来A=4，B=18，答案也算出来了。
通过这次解题，我发现有的题目不止一种算法，甚至不止一种答案，只要开动脑筋，就一定会一个不漏地找出来的，我对数学更加感兴趣了。
一道数学题引发的思考2在七年级“数学报”第一期上，刊登了这样一道怪题：以前，美国举行了一次“全美数学能力测验”，有83万中学生参加，其中有这样一道题：有个三棱锥和一个正四棱锥，他们的棱长都相得，问他们重叠一个侧面后，还露出几个面？标准答案是七个面，因为两锥分开时有4+5=9（个）面。
当他重叠一个面后，有两个面被遮住了，所以标答案是七个面。
可是一位十七岁的中学生丹尼尔的回答却是五个面，阅卷者当然判他错。
丹尼尔为了证明自己的结论是对的，回家后做了个模型，当他把这个模型交给老师时，老师不得不承认丹尼尔的结论也是对的。
从上面似乎可以得知，有两个标准答案：一是原来的标准答案七个。
一道数学题的解答情况引发的思考
“一生２
处理得好，必能激发学生的学习动机，发展学
不难想到下面通过求导便可求此函数的 最值，剩下的就是计算！
生的思维品质，更能培养学生的创新能力．
从三维教学目标的视角审读“几何概型’’
孙福明（江苏省常州市教育教研室２１３００１）
“几何概型”是普通高中数学课程标准
并不意味着课堂教学的简单化、机械化，恰恰
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２００８年第９期
中学数学月刊
・２５・
一道数学题的解答情况引发的思考
丁益民（江苏省泰州市民兴实验中学２２５３００） ｌ问题的产生 调查题目：求），＝（ｃｏｓ ｘ＋１）（ｓｉｎ ｘ＋１）的值 域． 调查对象： 从矛盾产生的根源分析，ｓｉｎ Ｘ＋ＣＯＳ茗是一次
的，ｓｉｎ．石Ｃ０８石是二次的，借助什么将两者打
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・２６・
中学数学月刊
２００８年第９期
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回顾一下，上述三种想法，实际上都是源 于数学中应予渗透的最基本的化归意识，更
体现了对同一事物的不同视角． ３题目带来的思考 至此，我们应冷静地思考一下平时的教
ｓｉｎ２（戈＋｝）＋、／丁ｓｉｎ卜＋｝）＋争．
下面解答的过程这里就不予赘述了． 在平时的教学中，很多教师并不能发现
角公式变成、／丁ｓｉｎ（卅｝），将ｓｉｎｘｃｏｓ名用
倍角公式变成型婴，下面怎么处理呢？出
现了两个不同的角：菇＋孚与２ｘ，“山重水复疑
无路？”倘若我们去寻找他们之间的联系，想
必“柳暗花明又一村”不成大问题的！变量压
了．这就需要我们认真分析一下这道题目的
思维走向． ２对题目的思考
与茗＋｝之间有联系么？有！因为２（石＋｝）一
１知识与技能层面
一道数学题的解答情况引发的思考
１ 问题 的产 生
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中学数学月刊
２０ 年第 ９ ０８ 期
回顾一下 ， 上述三种想法 ， 实际上都是源
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于数学 中应予渗透 的最基本的化归意识 ， 更 体现了对 同一事物 的不同视角．
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学． 在平时教学 中，我们教师是不是讲得太 多 ，学生参与体验 的机会太少 了？教师是如 何发挥 自身引导者 的角色去组织教学的？学 生的主体性地位是如何突出的？学生是通过 亲身经历数学的生成过程 ，还是教师全程包
办硬塞 给 他们 的？
实际上 ， 有很多学生是这样去想的 ， 为什么一 定要 学 生按 照 自己设 计 的思 路 去教学 呢 ？这
思 维走 向．
由上分析 ， 只要抓住问题的主要矛盾 ， 令
ｓ ＋Ｏ Ｘ ￡从 而表示 出 ｓ ｃｓ ｉ ＣＳ ￣， ｎ ｉ ｏ ＝ ｎ 样 函数 （ 就 变 成 了一 个 二 次 函数 ｙ ） ＝ ， 这 ＋
ｔ１ 当然 ｔ ＋． 的范围也是一个小小的坎 ，只要 越 过这 个坎 解决 问题 就 不在话 下 ． （） ２ 从变量（ ） 角 的关 系去思考 在 函数（ 中， ） 如果我们没有上述的换元 意识 ，而直接想到的是将 ｓ ＩＯ ｉＸ－ Ｓ ｎ － 用辅助 Ｃ
一道试题的多种解法与教学反思
一道试题的多种解法与教学反思试题描述：在一个圆形花坛中，有若干株花，每株花的周围都有一圈草。
如果将花坛的半径增加1米，花坛的面积将增加25平方米。
求花坛中花的数量。
解法一：几何法根据题意，我们可以得到以下信息：原花坛的半径为r，面积为πr²；增加花坛的半径为(r+1)，面积为π(r+1)²；两者面积之差为25平方米。
根据面积的计算公式，我们可以得到以下方程：π(r+1)² - πr² = 25化简上述方程，消去π，并展开平方项，得到：r² + 2r + 1 - r² = 25化简得到：2r + 1 = 25解得：r = 12因此，原花坛的半径为12米。
将半径代入面积的计算公式，可得到花坛的面积为π(12²) = 144π平方米。
解法二：代数法假设花坛中原本有n株花。
根据题意，我们可以得到以下信息：原花坛的面积为πr²；增加花坛的半径为(r+1)，面积为π(r+1)²；两者面积之差为25平方米。
根据面积的计算公式，我们可以得到以下方程：π(r+1)² - πr² = 25化简得到：π(r² + 2r + 1 - r²) = 25化简得到：π(2r + 1) = 25进一步化简可得：2r + 1 = 25/π解得：r = (25/π - 1) / 2 ≈ 3.98因为半径必须为正数，所以取最接近的整数值，即r ≈ 4。
代入原花坛的面积计算公式，可得到花坛的面积为π(4²) = 16π平方米。
解法三：逻辑推理法根据题意，增加花坛的半径1米后，面积增加25平方米。
我们可以通过逻辑推理来解决问题。
设原花坛的面积为A，花坛内花的数量为n。
当半径增加1米后，面积增加25平方米。
这意味着原本半径为r的花坛的面积A与增加后半径为(r+1)的花坛的面积相差25平方米。
则有：A + 25 = A + π((r+1)² - r²)化简可得：25 = π(2r + 1)通过观察可知，π(2r + 1)必须约等于25。
一道数学题后思考
一道数学题后的启迪
今天，在数学课上。
有这样一道题，“100页纸摞起来厚0.8厘米。
2.2厘米厚一共有多少页纸？”当时，我想为了考查学生的思维能力和分析问题的能力，我没有急着讲。
而是把这道题交与孩子们，让孩子们开放性的独立思考。
一会儿功夫，孩子们就做出来了。
他们一个个争着让我看。
其中张宁同学是这样做的“2.2÷0.8＝2.759（个）2.72×100＝275（页）”当时他还说：“老师我是这样想的，我先算2.2厘米里边有几个0.8厘米，就有几个100页”。
“不错呀，想法很好”我夸赞道。
这是田起瑞同学不服气了站起来说“老师，你看我这样做行吗？我先算出一厘米有多少页，然后再乘2.2，算出2.2厘米一共有多少页。
算式是这样的：100÷0.8＝125（页）125×2.2＝275（页）”“你真棒”我夸奖道。
正在这是，张兵同学不服气了“老师看我的，我是这样想的，先用0.8÷100＝0.008（厘米）然后再用2.2÷0.008＝275（页）”我当时被震撼了。
这么短的时间内，这群天真烂漫的孩子，居然有如此块的思维能力，和独特的奇思妙想，他们一个个真了不起。
看来，我以前还真的小瞧了他们。
他们是很有发展潜力的。
我就想，在以后的教学实践中我会把更多的表现机会交给学生，是他们在学习中有更多的发展空间。
由一道数学应用题所引起的思考
由一道数学应用题所引起的思考标题“由一道数学应用题所引起的思考”，类似于一面镜子，将我们投射到由一道数学应用题引发的思考众多启发和深刻体会之中。
站在数学应用题的角度，其所包含的内容不仅在理论上是抽象和具体的，而且在实践上也能找到应用。
一道数学应用题所涉及的概念、结论以及它与实际应用的联系，能够给学生们带来更多的思考空间。
比如，一个要求学生求解一个面积问题的应用题，可以引发学生们深入思考，以及联系实际的思考。
学生们可以思考到：在计算物体面积时，如何用数学概念来解释周围物体的形状、大小、位置，以及如何将数学知识应用到复杂的实际问题中。
在不断地思考和实践中，学生们才能更加熟悉数学概念，理解数学知识的运用，从而获得积极有效的掌握知识的方法。
在解决数学应用题时，学生们也能锻炼自己的逻辑思维和分析能力，学会在找到正确答案的同时,还要辩证看待问题。
比如，在一个求解多边形的面积的应用题中，学生们不仅要有正确的计算方法，还要善于发现关键点，发掘对应解决问题的关联性，包括多边形内部特性、特征以及多边形与其它物体、空间的关系等等。
此外，解决数学应用题还可以培养学生们的团队协作意识，教会他们和别人分享想法，更好地解决问题。
在现实世界中，社会上的问题往往涉及多方面的因素，聪明的思考和团队协作凝聚力非常重要。
比如，在一个多边形的面积的应用题中，也可以通过学生们的团队协作，讨论不同团队成员的观点，从而更加全面地解决问题。
从而，一道数学应用题不仅仅是一个实际的解决问题的过程，也是对更广泛思想、观念以及逻辑思维的探索。
每一道数学应用题，有着其独特的信息和深层次的启发，能够引发学生们的深刻思考，让学生们学会思考、讨论以及最后解决实际问题。
由此可见，数学应用题的解决，能够让学生们在理论上掌握数学知识，同时也能让他们在实践中理解数学概念，培养他们的分析能力以及联系实际的思考能力。
数学应用题不仅仅是为了检测学生的学习成果，更深层次的，它能够让学生们更加深入的理解，在数学应用题的解决中，学生们还能够思考、讨论，培养合作精神，从而更好的掌握数学知识，对解决实际问题有积极有效的作用。
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学．在平时教学中，我们教师是不是讲得太 多，学生参与体验的机会太少了？教师是如 何发挥自身引导者的角色去组织教学的？学 生的主体性地位是如何突出的？学生是通过
亲身经历数学的生成过程，还是教师全程包 办硬塞给他们的？
这样一个似乎“起死回生”的想法，或者是扼
杀了让学生去寻找变量问关系的良好机会．
实际上，有很多学生是这样去想的，为什么一
教学活动让学生在其最近发展区感悟数学知 识的生成，这样的教学活动才能给学生留下 深刻的印象．
ｔａｎ争统一起来，即Ｙ
ａ
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另外，我们教师需要帮助学生从“死胡
同”里走出来或者越过去，这个过程需要教师
｛§一也 生２一生２
坚忡
』，ｆ● ＼＿ ｔ一一ｎ一
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正确的引导，需要师生共同的分析．这个过程
能完全解决这一问题的高一、高三学生 分别有１９人，２４人．从解答题目的正确率来
看，值得我们深思，为什么会出现这样的情 况？而当问到做对的学生为什么能想到解决 问题的方法时，他们中大多数的回答就是按
ｓ１‘ｎＸ＋ＣＯＳ茗＝ｔ，从而表示出ｓ１’ｎ龙ｃｏｓ膏＝乓Ｌ，这 样函数（木）就变成了一个二次函数ｙ＝兰生＋
２ｘ＋Ｔ＇ｉＴ，那么，
（１）从式子的结构关系去思考
函数（幸）中出现了ｓｉｎｘｃｏｓｘ和ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ，
从次数上看，第一个积式的次数是二次，而第 二个和式的次数是一次的，函数（宰）就是这个 矛盾的组合体．如何解决这个矛盾？关键还是 万方数据
掣＋订Ｓｉ！ｎ蚓小
——————一；■————一ｔ
Ｖ二
函数，，＝挚＋订ｓｉｎ卜孚）＋ｌ＿
通，怎么打通？而这个衔接点就是熟知的恒等 式：ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１．方法就是平方，它是源于次 数的不均衡而产生 的，整个思想过程的 构建就是“换元法” 产生的本质所在．分
高一刚学过必修４中三角函数的学生
５０人：
高三正进行三角函数的第一轮复习的学
生５０人． 调查结果分析：
析到此，我们易见它
们之间的关系如图１． 由上分析，只要抓住问题的主要矛盾，令
定要学生按照自己设计的思路去教学呢？这
个突破过程或许比设计好的过程更有意义， 更能让学生留下深刻的印象，这当然也是对
学生进行思维提升的良好素材！ （３）再回到式子的原始形态去观察
我们在平时的教学中，一部分教师并没
有在新课程理念的指导下进行教学，教师的
我们拿到题后想到的便是将其直接展 开，一定要展开么？不展开行吗？能将ｓｉｎ戈与
Ｃ０８髫统一成同一个角的同一个函数吗？（这
教依旧是灌输式的教学，学生的学仍然是被 动式的接受．学生没有从教学中体会到数学
的本真，而是一种死记硬背式的学习，这无疑 是不符合建构主义认知规律的．这就意味着
是一种化归意识）其实，如果我们有万能公式
的话，不难得知可以将这两个异名的函数用
教师的教学应从关注教学内容的结论性向关 注知识的过程性上转变，教师应通过合理的
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２００８年第９期
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回顾一下，上述三种想法，实际上都是源 于数学中应予渗透的最基本的化归意识，更
体现了对同一事物的不同视角． ３题目带来的思考 至此，我们应冷静地思考一下平时的教
ｓｉｎ２（戈＋｝）＋、／丁ｓｉｎ卜＋｝）＋争．
下面解答的过程这里就不予赘述了． 在平时的教学中，很多教师并不能发现
、
２００８年第９期
中学数学月刊
・２５・
一道数学题的解答情况引发的思考
丁益民（江苏省泰州市民兴实验中学２２５３００） ｌ问题的产生 调查题目：求），＝（ｃｏｓ ｘ＋１）（ｓｉｎ ｘ＋１）的值 域． 调查对象： 从矛盾产生的根源分析，ｓｉｎ Ｘ＋ＣＯＳ茗是一次
的，ｓｉｎ．石Ｃ０８石是二次的，借助什么将两者打
相反，本节内容是极能体现新课程理念、将三
（实验）课程框架中必修３模块第三章第－１１，
节内容，是新增加内容之一．课程标准将其定
维目标有机融合的重要载体，实现“知识与技 能、过程与方法及情感态度与价值观”三位一 体的课程功能．
位为信息化的现代社会“统计与概率的基础 知识已经成为一个未来公民的必备常识”，但 在要求上是“初步体会几何概型的意义，会进 行简单的几何概率计算”．教学上的基本要求 万方数据
“一生２
处理得好，必能激发学生的学习动机，发展学
不难想到下面通过求导便可求此函数的 最值，剩下的就是计算！
生的思维品质，更能培养学生的创新能力．
从三维教学目标的视角审读“几何概型’’
孙福明（江苏省常州市教育教研室２１３００１）
“几何概型”是普通高中数学课程标准
并不意味着课堂教学的简单化、机械化，恰恰
教师认为不需要这么哕唆，真的不需要讲吗？ 学生又将基于什么才能掌握这一类题的解决 方法呢？ 从调查对象的解答情况来看，在解答正 确的学生里，大多数学生也是用换元法来处 理的，而没有解决的学生中大多数都是化到 ｙ＝ｓｉｎＸＣＯＳｘ＋ｓｉｎＸ＋ＣＯＳｘ＋ｌ（木）后就嘎然而止
在函数（木）中，如果我们没有上述的换元 意识，而直接想到的是将ｓｉｎ Ｘ－Ｉ－ｃｏｓ算用辅助
１知识与技能层面
以学生动手试验的技能为主要形式，体
一道数学题的解答情况引发的思考
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 丁益民 江苏省泰州市民兴实验中学,225300 中学数学月刊 ZHONGXUE SHUXUE YUEKAN 2008(9)
本文链接：/Periodical_zxsxyk200809011.aspx
ｔ＋１．当然ｔ的范围也是一个小小的坎，只要 越过这个坎解决问题就不在话下． （２）从变量（角）的关系去思考
・
照老师讲的方法做的，而有的回答则是含糊
不清．这不得不让我们反思教学，出现这样的 局面是什么原因所致． 笔者和几位教师交流了解到，他们是直
接讲换元法来解决此题的，但问到有没有帮 助学生分析清楚为什么讲换元法时，大多数
角公式变成、／丁ｓｉｎ（卅｝），将ｓｉｎｘｃｏｓ名用
倍角公式变成型婴，下面怎么处理呢？出
现了两个不同的角：菇＋孚与２ｘ，“山重水复疑
无路？”倘若我们去寻找他们之间的联系，想
必“柳暗花明又一村”不成大问题的！变量压
了．这就需要我们认真分析一下这道题目的
思维走向． ２对题目的思考
与茗＋｝之间有联系么？有！因为２（石＋｝）一