一道错题引发的思考(周攀波)
一道数学练习题引发的思考.doc
=88 （平方米）28X21=588 （平方
米）
c、28X21-19X12
=588-228=360 （平
方米）
一道数学练习题引发的思考
海底岭学校：韩晋国
今天上数学练习课时，我岀示了一道这样的数学题：李大爷家有块菜
9米
地（如右图），这块菜地的面积有多少平方米？
学生用了20分钟的时间来解答此题，竟然正确来19米
率为0%,学生的解答方法为：'
（1） 21+9+19+28+12 （2）、9+19=28 （米）
分析学生错误的原因有二：一是将面积与周长计算的方法混淆，求出
菜地的周长而不是面积；二是没有理解图形的含义，计算错误。
针对学生错误的原因，我采取了以下措施帮助学生理解题意，得出止
确的计算方法：
师：同学们，本题耍我们帮助李大爷解决什么问题?
生：菜地的面积是多少平方米？
师：我们学过哪些图形的而积计算方法？它们又是怎样计算？
生1：长方形的面积二长X宽。
生2：正方形的面积二边长X边长。
师：那我们看：李大爷的菜地形状是怎样的？我们能利用已有的知识
解答吗?
学生独立思考后，解答此题方法如下:
8、21X9+19X9 b、28X9+12X9
=（21+19） X9 = （28+12） X9
=40X9 = 40X9
=360 （平方米）二360 （平方米）让学生描述自己的解题思路，集体交流，达成共识。
通过解答此题，可以看出学生的思维的潜力是巨大的，有时是由于学生知识的局限，有时是由于教师的影响，如果教师在“引”上多做一点文章的话，是能唤起学生思维的火花的。
由一道习题想到的……
作 上 记号 。 以便 重 点 突 破 ； 次 ， 学 生 有针 对 性 地 读 题 。 子 在 学 习 中并 没 有 养成 分 析 问题 的 习惯 ．很 多 时候 是 凭 其 教 针 对 要解 答 的 问 题 ．学 生 一边 读 一 边 找 出已 知条 件 和 问 直 觉 来 解 题 ， 看 到 “ 共 ” 用 加 法 、 到 “ ” 用 减 如 一 就 看 少 就 题 ， 出关 键 词 ， 思 考 已知 条 件 和 问 题 之 间 的联 系 ： 找 并 最 法 、 到 “ ” 用 乘 法 ． 到 “ 均 分 ” 用 除 法 … …这 对 看 倍 就 看 平 就
『
・
错 类 误型
错 原 误因
没 理解题 意 ． 所有数据 相加 把
忘 了加 上打结 的部分
百比 分
２＿ ７ ％ ７
５ ％
五 、 思 反
第一 类 ３ ｍ４ ） ＋ ５ （（ Ｏ Ｉ 缺 少分析 ． 所有数据 随意相 加 ３ ４ １ 把 ５ ％ 第二类 ３ ＋ ０ ４ ）４ ｌ 没联 系捆 法 ． 算 出了棱 长之 和 １ ５ （０ ６ ＋ ０ × ＋ ５ 计 ８ ％ 第三类 ０４ ＋ Ｏ １ ６ ４０ ３＋５
没有 任何 提 示 或讲 解 的情 况 下 有 多 少人 能 自己 做 出来 ． 可 力 、 析 能 力 、 索 能 力 、 知 态 度 、 习意 志 品 质 等 方 面 分 探 认 学 是 ， 果 令我 大跌 眼镜 ， 确 率居 然不 到 １ ％， 目如下 ： 结 正 ０ 题
７
旗
的 不 足 三 、 考 思
对 学 生学 习状 态 的 思 考 二 分 析 本题 学 生 到 底 错 在 哪 里 ７是 哪个 环 节 的教 学 出现 了
关于一道错题的进一步思考
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2007 年第3 期
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注意到F 是VC 上的任意点， .'.AEFG 的
即侧 顶 。足 件 其 面 角 满 条 :a>n 时类 ，似
截面周长最小值为2a .
奇 棱 和 偶 棱锥， 们从正 棱锥， 数 锥 正 数 我 三 正四
棱锥入手.
(3)对任一正奇数棱锥， 其侧面顶角a 满
(1)从正三棱锥浴棱 VA 剖开， 如图9 所
示，
足 件 毋 参 (1 证 其 面 长 小 条 :a> 可 照 ) 明 截 周 最
即有y
二 二 +a x m
2. 建立周长的目 标函数 C(x ) .
由 AE=丫 a2+x2- }- ax，似 3 类得
EF 二 x2+m2- }--m 'V 3 y， FG二 m2+y2- v m 'V 3 y， ‘ ,J y2+a2- - 3m AG二 1- y， :.C(x)=, x2+a2一 ax + / 招 / x2+M 3二 +,/ y2+m 3 y+ 2-,F 2-}--m
一道课后练习题引发的思考
难 度 或 通 过 交 换 已 知 和 未
。
二 ： 首先 ， 这 道 题 本 身 注 重 对 知
识 的吸 纳 ，各 种 动 物 的 过 冬 方
式 ， 是 阅 读 这 篇 课 文 需 要 提 取 和
，
知 成 分 引 出新 的 问题 ， 通 过 自己 的探 索 多角 度 、 多 层 次 地 去 发 现 问 题 ，并 在 教 师 、 家 长 的 引 导 之 下 有 效 地 解
决 问题 ， 那 么 学 生 必 然 会 消
延 伸 的信 息 ． 但 它 只 属 于 一 般 阅
读 信息 ， 且 孩 子们 在课 前 已经能
从 别 的渠 道 ， 如 参 考 书籍 、 网络 ： 资源 ． 了解 许 多小 动 物们 的过冬 方式 ． 所 以这 道题 不 能指 向本课 ：
－
有 待 商榷 ， 如 《 小 动 物 过 冬 》（ 苏 教 版语 文第 三 册第 六 单元 ） 课 后
的 一 道 练 习 ： “ 动 物 过 冬 有 各 种
方式， 你 还 知道 哪 些 ？给 大 家说
说 。 ” 我 想 尝 试 改 一 改 ． 原 因 有
利用课外作业 ， 像 搭 配 的 规
，
标 、 有 思考 、 有反馈 ， 这 样 才 能 有 应用 。 值得 一 提 的 是 ， 数 学 教
学 中 一 直 强 调 创 设 有 效 的
象 ， 我 们 不 难 发 现 这 样 几 个
现象 ： 基 本 上 是 老 师 提 出 问
题 ． 学 生 很 少 主 动 提 出 问 题 ； 即便 学 生 提 出 问 题 ， 有
有感于“一道错误习题”所引发的探索
并 不象起 初感觉 的那 样在 ［ ， ］的 范 围 内 ， 是 ｏ 而
最大 为 ３ ． ８， 时半 长 轴 和半 短 轴 分 别 为 ６ ０ ７ ５ 。此 ．７
和 ３８ ， ． ８ 而且 改变 长轴 和短轴 的大小 ， 也没 有发现 Ｐ ＤＦ超过 ４ 。就 说 明了两个 问题 ： ／Ｐ ５． ① ＤＦ根 本超不 过 ４ 。 ５② Ｐ ＤＦ 可 能存 在 一个 最 大 值 ， 若 存 在 ， 么 这 个 最 大 值 是 多 少 呢？以下 我 们 来 研 那
题设 中的条件 出现 了错误 ， 者 Ｐ 或 ＤＦ根 本不 可
能为 ４。 ５．
以类似地得出双曲线和抛物线与椭圆等 同条件下 的 ｔｎ 范围分别是［ ，ｒｔｎ＇和［ ， ｃ ｎ＇ ａＯ ｏａｃ ｅ ａ ］ ｏａ ｔ ｌ． ｒａ ］ 通过 以上分析我们可以得 出关于圆锥曲线的 何 画 板 ”构 造 通 几
一
’
（ －一 ｚ ） 竺 ｏ。
１的右焦 点 为 Ｆ， 右准 线与 ｚ轴 的交 点为 Ｄ．
．
在椭 圆上存 在一 点使 得 ＺＰ Ｄ 一 ６ 。Ｚ Ｐ Ｆ Ｏ ， ＤＦ ＝ ４ 。求 该椭 圆的离 心率． 解 题 过程 如下 ：’ ５， ”
如图 １ 设 Ｐ到右准 ， 线 的距 离为 ｄ 根据 定义 ，
教 学 中应加 强对 动态 几何 软 件 和数 学 模 拟软 件 的
使用 ， 不仅 要体 现在 教 师层 面 上 ， 同时也 要让 部分 对 数学 有浓 厚兴 趣 的 同 学 掌握 一些 数 学 软件 ， 用 以拓展 他们 的研 究能 力 ， 能进 行猜 想验 证 、 现 并 发
如 图 １ 设 椭 圆的方 程为 ＋ 一 １ Ｐ点 坐 ， ，
维普资讯
关于一道错题的进一步思考
关于一道错题的进一步思考
时光
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2007(000)003
【摘要】本人曾在苏州大学《数学月刊》上，读到一篇文章（见文[1]），关于如下问题：
【总页数】4页(P39-42)
【作者】时光
【作者单位】苏州工业园区第二高级中学,215121
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.由一道错题引发的思考 [J], 杨丽萍
2.错题的价值--对一道错题的思考 [J], 闫英武
3.错题寻错因"一题"成"一课"——一道典型错题的教学思考与实践 [J], 郑建锋
4.一道电磁感应图象错题引发的思考 [J], 姜永建
5.一道"错题"引发的"分式方程"教学思考
——基于教材对比 [J], 宋远征
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2022届北京市东城区高三二模语文试卷(含答案)
2022届北京市东城区高三二模语文试卷2022.5本试卷共11页，共150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答尤效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
—、本大题共5小题，共18分。
阅读下面材料，完成1-5题。
材料一人的创造行为离不开创新思维，创新思维是人脑最高层次的机能。
创新思维与聚合思维、发散思维密切相关。
聚合思维以逻辑思维为基础，强调事物之间的相互关系；发散思维以形象思维为基础，试图就同一问题沿不同角度思考。
简单说来，聚合思维是把解决问题的各种可能性都考虑到之后，再寻求一个最佳答案，而发散思维则是围绕着问题多方寻求不同答案。
聚合思维强调对已有信息的理解和运用，而发散思维则强调对未知信息的想象和假设。
门捷列夫对元素周期律的总结，天文学家对海王星与冥王星的发现等，都是聚合思维带来创新与发明的佐证。
而牛顿在苹果树下的奇思遐想引发对万有引力的研究，凯库勒受炉火“金蛇狂舞”的启发提出苯分子结构的设想等，则说明了发散思维在自然科学的创造活动中大有可为。
可以说，没有聚合思维，就没有创新和变革的条件和基础；没有发散思维，就没有创新和变革的想象基础和想象动机。
可惜的是，在不少国家的教育制度中，对学生聚合思维的关注和培养要远远多于对发散思维的关注和培养，聚合思维和发散思维的发展轨迹大体形成上图所示双曲线。
儿童在接受教育的过程中，不断被知识的经验性和规律性所束缚，逐渐丧失了独立思考和想象的能力。
学校和家庭过分强调聚合思维对认识事物规律的主导作用，最终造成学生发散思维被干扰抑制。
（取材于岳晓东、龚放的相关文章）材料二对于影响创造力的个体因素，一些研究者聚焦于思维过程、认知方式和智力水平，而另一些人则着重关注包括情绪、动机、人格、自我效能感等非认知因素的影响机制。
一般认为，积极情绪可能增强个体在不同观点间的转化、联系能力，促进思维的发散性和认知的灵活性，有助于创造力提升；消极情绪则不利于创造性表现。
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一道错题引发的思考(周攀波)
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一道错题引发的思考
宜昌金东方小学 周攀波
在学习了一个多月后,我们进行了一次简单的独立作业。检验的结果，
让我十分意外。
原题如下：
3、我能把与数字同样多的部分圈起来。（12分）
3 6 9
5 4 7
按照对孩子的了解，在入学以后一个多月的时间里，每一个孩子都能正确的
数数。对同样多的理解也应该没有问题。可是我粗略的统计了学生的答案，105
班有16位孩子这题全错，106班有20位孩子答错。看着试卷上的这些答案，我
陷入了沉思。心里十分困惑和沮丧.百思不得其解为什么出错率如此之高?
为了找出错误的原因,我有意的把这道题念给身边的朋友听,让他们帮我分
析问题出在哪里?其中一位朋友说;’我拿到这道题,会不明白这题的意思.’我
愕然.继续追问她,题目的表达是不是有问题?她说:’是把哪个数字和图相对
应?”原来题目的表达也存在问题.可是我认为这不是造成学生出现大面积错误
的根本原因.如果题目改为,数学是几,就圈出几个,学生就不会出错了.
我再次把学生做错的答卷拿出来认真观察.看着看着,我知道问题出在哪里
了.原来,学生把5只小鸡和数字5圈在一起了.9个蘑菇与数字9圈在了一起.按
照学生的这种答案,确实是把数字与图形同样多的圈在了一起.为了验证的我想
法,我找来了出错的两位同学.问他们是怎么想的?他们告诉我,运用了一一对应
的思想,把同样多的数字与图形圈在了一起.
那么前段时间学习过的’一一对应”的思想在这道题中,对学生的理解造成
4 / 5
了知识的困扰.通过以上分析,我认识到:
错题,是学生知识和思维暴露问题的十分有价值的资源.在面对学生的错题
时,教师要抱着平常心.不把把学生的意见完全丢弃不管,不去追求错误产生的原
因.让它丢掉了真正的价值.对出错的孩子,不能抱怨和指责.要给学生充分的时
间去分析错题的原因,并且要引导孩子正确对待错误,形成正面的差错观.让每一
个孩子重视错题的价值,不要害怕自己出错,要在错误中反思,醒悟.提高.
针对普遍性的错误，教师要寻找原因,找到相应的解决办法.有针对性的设计
集中讲评.比如,这道题还存在学生对题意的理解不清.把与数字同样多的部分圈
起来,造成学生答题错误的还有一个重要原因,就是学生对”部分”和”整体”感知没
有完全建立.当一个完整的图形出现时,学生没有认真去分析’与数字同样多的部
分’那么在讲评时,也应该重点让学生体会部分与整体的关系.学生的审题与对题
意的思考也应成为教师点拨,引导的方面.
艾宾浩斯的“遗忘曲线”告诉我们：在学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程
不是均衡的，而是在记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐减慢了，到了
相当长的时间后，几乎就不再遗忘了，这就是遗忘的发展规律。根据这条遗忘曲
线“先快后慢”的原则，学生学得的知识在一天后，如不抓紧复习，就只剩下原来
的25%（艾宾浩斯的单词记忆实验的结论）。可见，如果反馈评价不及时，随
着学生对练习题内容和解题思路记忆的消减，寻求正确答案及分析错误原因的积
极性也会大大下降，“遗忘规律”就起作用了，这显然不利于对错误的纠正和缺失
知识的弥补。
因此，教师必须根据小学生的心理认知规律，排除负面心理因数的影响，及
时调控自己的教学，指导学生的学习，这样就可以在一定的范围内减少错题的产
生。针对学生这道错题,我设计了有针对性的反馈练习.
３.看数字是几，就圈出同样多的图形．
４ ７ ８
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６ ５ 3
在上题的反馈练习中, 同样的题型,借用了同样的图形,给出了不同的数
字.学生的第二次练习,没有一人出错.这次错题的处理比较成功.有效的纠正了
学生的知识错误和提高了学生的反思能力. 学生每遭遇一次错误，就增添一次打
破和超越已有经验的机会。经历错误并克服一次错误，学生的已有智慧结构就会
呈现一种螺旋上升的状态，能促使学生对已完成的思维过程进行周密的反思。经
过系统的训练就可以形成习惯。
富兰克林有一句名言：垃圾是放错了地方的宝贝。学生的每个错误都是宝贵
的教学资源。所以，我们教师要有珍视这些宝贝,追根求源,利用这些错误资源,
着力学生的思维生长点,使学生在知识能力.数学思考,问题解决.情感态度等方面
得到不断的进步与发展,让错题资源成为开启学生智慧的宝贝.