概率 大题
概率压轴大题8种题型归纳(解析版)
第32讲 概率压轴大题8类【题型一】 马尔科夫链基础模型【典例分析】某餐厅供应1 000名学生用餐，每星期一有A 、B 两种菜可供选择，调查资料显示星期一选A 菜的学生中有20%在下周一选B 菜，而选B 菜的学生中有30%在下周一选A 菜，用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 菜、B 菜的学生数， 试写出A n 与A n －1的关系 及B n 与B n －1的关系． 解 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧A n ＋B n ＝1 000A n ＝0.8A n －1＋0.3B n －1B n ＝0.2A n －1＋0.7B n －1由A n －1＋B n －1＝1 000，得B n －1＝1 000－A n －1.所以A n ＝0.8A n －1＋0.3(1 000－A n －1)＝0.5A n －1＋300.同理，B n ＝0.2(1 000－B n －1)＋0.7B n －1＝0.5B n －1＋200. 【变式演练】1.小芳、小明两人各拿两颗质地均匀的骰子做游戏，规则如下：若掷出的点数之和为4的倍数，则由原投掷人继续投掷；若掷出的点数之和不是4的倍数，则由对方接着投掷． （1）规定第1次从小明开始．（ⅰ）求前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率；（ⅰ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X ，求随机变量X 的分布列与期望． （2）若第1次从小芳开始，求第n 次由小芳投掷的概率n P ．【答案】（1）（ⅰ）3964（ⅰ）见解析，2716（2）1122nn P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭【详解】（1）一人投掷两颗骰子，向上的点数之和为4的倍数的概为91364=． （ⅰ）因为第1次从小明开始，所以前4次投掷中小明恰好投掷2次的概率，1313333133944444444464P =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=． （ⅰ）设游戏的前4次中，小芳投掷的次数为X ，依题意，X 可取0，1，2，3， 所以1111(0)44464P X ==⨯⨯=，33113311321(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， 39(2)64P X ==，3113(3)44464P X ==⨯⨯=．所以X 的分布列为 X0 123P164 2164 3964 364所以12139327()01236464646416E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． （2）若第1次从小芳开始，则第n 次由小芳投掷骰子有两种情况： ①第1n -次由小芳投掷，第n 次继续由小芳投掷，其概率为111(2)4n n P P n -=；②第1n -次由小明投掷，第n 次由小芳投掷，其概率为()21113311(2)444n n n P P P n --⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭． 因为①②两种情形是互斥的，所以1211113313(2)44424n n n n n n P P P P P P n ---=+=+-=-+， 所以1111(2)222n n P P n -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．因为11P =，所以12n P ⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以12为首项， 12-为公比的等比数列，所以1111222n n P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即1122nn P ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．2.一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n 次这样的操作后，记袋中的白球个数为n X ． （1）求1EX ；（2）设()2n k P X k P =+=，求()12(0,1,2,,10)n P X k k +=+=⋅⋅⋅； （3）证明：111112n n EX EX +=+． 【答案】（1）1176EX =（2）()0111(0),62211(110).1212n k k P k P X k k k P P k +-⎧=⎪⎪=+=⎨+-⎪+⎪⎩（3）证明见解析【详解】（1）∵12X =或13X =，∴()12122106P X ===+，()110532106P X ===+， ∴1151723666EX =⨯+⨯=． （2）∵当0k=时，()10126n P X P +==， 当110k 时，第1n +次取出来有2k +个白球的可能性有两种： 第n 次袋中有2k +个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变，即袋中有2k +个白球，10k -个黑球，第1n +次取出来的也是白球的概率为212k kP +； 第n 次袋中有1k +个白球，第1n +次取出来的是黑球，由于每次总数为12个， 故此时黑球数为11k -个，这种情况发生的概率为11112k kP --；∴()112112(110)1212n k k k kP X k P P k +-+-=+=+，∴综上可知，()0111(0),62211(110).1212n k k P k P X k k k P P k +-⎧=⎪⎪=+=⎨+-⎪+⎪⎩（3）∵第1n +次白球个数的数学期望分为两类情况：第n 次白球个数的数学期望为n EX ，由于白球和黑球的总数为12，第1n +次取出来的是白球的概率为12n EX ，第1n +次取出来的是黑球的概率为1212nEX -，此时白球的个数为1nEX +，∴()11211212n nn n n EX EX EX EX EX +-=⋅+⋅+()()1211111121212n n n n EX EX EX EX ⎛⎫=+-⋅+=+ ⎪⎝⎭ 即111112n n EX EX +=+． 【题型二】 马尔科夫链之传球模型【典例分析】现有甲、乙、丙、丁四个人相互之间传球，从甲开始传球，甲等可能地把球传给乙、丙、丁中的任何一个人，依次类推．（1）通过三次传球，球经过乙的次数为X ，求X 的分布列与期望； （2）设经过n 次传球后，球落在甲手上的概率为n a ， ①求1a ，2a ；②求n a ，并简要解释随着传球次数的增多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等． 【答案】（1）分布列见解析；期望为2227；（2）①1=0a ，21=3a ；②1111()443n n a -=-⨯-；答案见解析． 【分析】(1)写出X 的可能值，求出X 的每个取值时的概率即可得解；(2)由题设条件可直接写出1a ，2a ，分析出n a 与1n a -的关系，由此求出n a ，探求传球次数的增多时n a 值趋于一个常数即可得解. 【详解】（1）X 的取值为0，1，2，2228(=0)=33327P X =⨯⨯；122122116(=1)11333333327P X =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；111(=2)1=339P X =⨯⨯； 所以X 的分布列为X 012P 827162719所以816122()0122727927E X =⨯+⨯+⨯=； （2）①由题意可知：1=0a ，21=3a ；②由题意：,2n n *∈≥N 时，第n 次传给甲的事件是第n -1次传球后，球不在甲手上并且第n 次必传给甲的事件积，于是有11(1)3n n a a -=-，即1111()434n n a a --=--，数列1{}4n a -是首项为1144n a -=-，公比为13-的等比数列， 从而有1111()443n n a --=-⋅-，所以1111()443n n a -=-⋅-， 当+n →∞时，14n a →，所以当传球次数足够多时，球落在甲手上的概率趋向于一个常数14，又第一次从甲开始传球，而且每一次都是等可能地把球传给任何一个人，所以球落在每个人手上的概率都相等，所以球落在乙、丙、丁手上的概率为11(1)344-÷=， 所以随着传球次数的增多，球落在甲、乙、丙、丁每个人手上的概率相等．【变式演练】1.足球运动被誉为“世界第一运动”．深受青少年的喜爱．（ⅰ）为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．下表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（ⅰ）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n 次触球者是甲的概率记为n P ，即11P =． （i ）求23,P P （直接写出结果即可）；（ii ）证明：数列13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．【答案】（ⅰ）分布列见解析，() 1.56E ξ=；（ⅰ）（i ）20P =，312P =；（ii ）证明见解析，第19次触球者是甲的概率大．（ⅰ）求出这150个点球中的进球频率为0.6，从而该同学踢一次点球命中的概率为P ＝0.6，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应概率，由此能求出E （ξ）． （ⅰ）（i ）由题意20P =，312P =； （ii ）第n 次触球者是甲的概率为Pn ，当n ≥2时，第n ﹣1次触球者是甲的概率为pn ﹣1，第n ﹣1次触球者不是甲的概率为1﹣Pn ﹣1，推导出1111323n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，由此能证明13n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以23为首项，公比为12-的等比数列． 【详解】（ⅰ）这150个点球中的进球频率为1017201613140.6150+++++=，则该同学踢一次点球命中的概率0.6p =，由题意，ξ可能取1，2，3，则()10.6P ξ==，()20.40.60.24P ξ==⨯=，()30.40.40.16P ξ==⨯=，ξ的分布列为：ξ1 2 3 p0.60.240.16即()10.620.2430.16 1.56E ξ=⨯+⨯+⨯=． （ⅰ）（i ）由题意20P =，312P =． （ii ）第n 次触球者是甲的概率记为n P ，则当2n ≥时，第1n -次触球者是甲的概率为1n P -， 第1n -次触球者不是甲的概率为11n P --，则()()1111101122n n n n P P P P ---=⋅+-⋅=-，从而1111323n n P P -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又11233P -=，13n P ⎧⎫∴-⎨⎬⎩⎭是以23为首项，公比为12-的等比数列． 则1211323n n P -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，181921113233P ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，192021113233P ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，1920P P >，故第19次触球者是甲的概率大．2.中国女排，曾经十度成为世界冠军，铸就了响彻中华的女排精神.女排精神的具体表现为：扎扎实实，勤学苦练，无所畏惧，顽强拼搏，同甘共苦，团结战斗，刻苦钻研，勇攀高峰.女排精神对各行各业的劳动者起到了激励、感召和促进作用，给予全国人民巨大的鼓舞.（1）看过中国女排的纪录片后，某大学掀起“学习女排精神，塑造健康体魄”的年度主题活动，一段时间后，学生的身体素质明显提高，将该大学近5个月体重超重的人数进行统计，得到如下表格： 月份x1 2 3 4 5 体重超重的人数y 640540420300200若该大学体重超重人数y 与月份变量x （月份变量x 依次为1，2，3，4，5…）具有线性相关关系，请预测从第几月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下？（2）在某次排球训练课上，球恰由A 队员控制，此后排球仅在A 队员、B 队员和C 队员三人中传递，已知每当球由A 队员控制时，传给B 队员的概率为12，传给C 队员的概率为12；每当球由B 队员控制时，传给A 队员的概率为23，传给C 队员的概率为13；每当球由C 队员控制时，传给A 队员的概率为23，传给B 队员的概率为13.记n a ，n b ，n c 为经过n 次传球后球分别恰由A 队员、B 队员、C 队员控制的概率. （i ）若3n =，B 队员控制球的次数为X ，求EX ； （ii ）若n 112233n n a b c --=+，111123n n n b a c --=+，111123n n n c a b --=+，2n ≥，n ∈*N ，证明：25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，并判断经过200次传球后A 队员控制球的概率与25的大小.附1：回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211=nni i iii i nniii i x ynx yx x yy b xnxx x ====-⋅--=--∑∑∑∑；a y bx =-.附2：参考数据：515180i i i x y ==∑，522222211234555i i x ==++++=∑.【答案】（1）可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下；（2）（i ）1918（ii ）证明见解析；20025a >. （1）利用回归直线方程计算公式，计算出回归直线方程，并由此进行预测. （i ）利用相互独立事件概率计算公式，计算出分布列，进而计算出EX .（ii ）证明部分：法一：通过证明1222535n n a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭证得25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；法二：通过证明1222535n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭证得25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列. 求得数列{}n a 的通项公式，由此判断出20025a >. 【详解】（1）由已知可得：1234535x ++++==，640540420300200210042055y ++++===，又因为515180i i i x y ==∑，522222211234555i i x ==++++=∑，所以51522215518063001120ˆ1125553105i ii ii x yxybxx ==--===-=--⨯-∑∑，所以ˆˆ4201123756ay bx =-=+⨯=， 所以ˆˆˆ112756ybx a x =+=-+， 当()11275610y x x *=-+<∈N 时，7x ≥，所以，可以预测从第7月份开始该大学体重超重的人数降至10人以下. （2）（i ）由题知X 的可能取值为：0，1，2；()121102326P X ==⨯⨯=； ()121112111211112322332323218P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯=； ()121111222322339P X ==⨯⨯+⨯⨯=； X 的分布列为： X 01 2P16 1118 29所以()111219012618918E X =⨯+⨯+⨯=. （ii ）（法一）由111123n n n b a c --=+，111123n n n c a b --=+，两式相加得：()11113n n n n n b c a b c ---+=++. 因为112233n n n a b c --=+，所以1132n n n b c a --+=，132n n n b c a ++=，代入等式得113122n n n a a a +-=+，即111233n n n a a a +-=+所以1121222333n n n n a a a a a a +-+=+==+，因为10a =，21212223233a =⨯+⨯=， 所以12233n n a a ++=，所以1222535n n a a +⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，所以数列25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为25-，公比为23-的等比数列，所以1222553n n a -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即122153n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，因此经过200次传球后A 队员控制球的概率1992002221535a ⎡⎤⎛⎫=-->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（法二）由题知：111123n n n c ab --=+，所以11223n n n b c a --=-，所以11112222333n n n n n n a b c c a c ----=+=-+，又因为1111123n n n n n b a c a c --=+=--， 所以1111123n n n n c a a c --=---，所以112212223n n n n n n a c a c a a --=-+-=--， 所以12233n n a a -=-+，所以1222535n n a a -⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，又因为10a =，所以122055a -=-≠，所以数列25n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为25-，公比为23-的等比数列，所以1222553n n a -⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即122153n n a -⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 因此经过200次传球后A 队员控制球的概率1992002221535a ⎡⎤⎛⎫=-->⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.3.排球队的6名队员进行传球训练，每位队员把球传给其他5人的概率相等，由甲开始传球 （1）求前3次传球中，乙恰有1次接到球的概率； （2）设第n 次传球后球在乙手中的概率为n P ，求n P ．【答案】（1）56125；（2）11165nn P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【分析】（1）利用独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式可求得所求事件的概率；（2）求得()1115n n P P -=-⨯，可推导出数列16n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，确定该数列的首项和公比，进而可求得数列{}n P 的通项公式. 【详解】（1）记事件A 为“前3次传球中，乙恰有1次接到球”，()144144156115555555125P A =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；（2）由题意，115P =，()1115n n P P -=-⨯，1111656n n P P -⎛⎫∴-=-- ⎪⎝⎭，2n ≥，且111630P -=， 所以，数列16n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以130为首项，以15-为公比的等比数列，111111656530n nn P -⋅⎛⎫⎛⎫∴-=-=-⋅- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因此，11165n n P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．【题型三】 游走模式【典例分析】质点在x 轴上从原点O 出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到点,0n 的概率为n P ．（ⅰ）求1P 和2P ；（ⅰ）用12,n n P P --表示n P ，并证明{}1n n P P --是等比数列； （ⅰ）求n P ． 【答案】（ⅰ）P 1=，279P =（ⅰ）证明见解析．（ⅰ）311()443n+-【详解】 （ⅰ）P 1=，（ⅰ）由题意可知，质点到达点（n,0），可分两种情形，由点（n -1,0）右移1个单位或由点（n -2,0）右移2个单位，故由条件可知：（n≥3）上式可变形为是以为公比的等比数列．其首项P 2－P 1=（ⅰ）由（ⅰ）知P n －P n －1=（n≥2）∴【变式演练】1.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）： 消费金额（单位：百元） []0,5 (]5,10 (]10,15 (]15,20(]20,25(]25,30频数 2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+=，()330.9973P μσξμσ-<+=.【答案】()116.372；()2①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.()1根据数据算出1050x =，由Z 服从正态分布()21050,660N ，算出概率，即()20,0.8186XB ，进而算出X 的数学期望；()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，即棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+.即112(1)2n n n n P P P P ----=--，进而求证当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，，112n n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得21111222n n P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【详解】解：()12500.27500.3512500.2517500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯22500.05+⨯+27500.051050⨯=，因为Z 服从正态分布()21050,660N ，所以()()0.95450.6827390237020.95450.81862P Z P Z μσμσ-<≤=-<≤+=-=.所以()20,0.8186XB ，所以X 的数学期望为()200.818616.372E X =⨯=.()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =. 棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，而且也只有两种： 棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -； 棋子先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -， 所以211122n n n P P P --=+， 即112(1)2n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=-， 所以当159n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项1012P P -=-，公比为12-的等比数列. ②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，以上各式相加，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nnP⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()12110,1,2,,5932nn+⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以闯关成功的概率为6060592121113232P⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，闯关失败的概率为5959 605811211111223232P P⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 60595859602111111110 323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.2.如图所示，质点P在正方形ABCD的四个顶点上按逆时针方向前进．现在投掷一个质地均匀、每个面上标有一个数字的正方体玩具，它的六个面上分别写有两个1、两个2、两个3一共六个数字．质点P从A点出发，规则如下：当正方体上底面出现的数字是1，质点P前进一步(如由A到B)；当正方体上底面出现的数字是2，质点P前进两步(如由A到C)，当正方体上底面出现的数字是3，质点P前进三步(如由A到D)．在质点P转一圈之前连续投掷，若超过一圈，则投掷终止．(1)求质点P恰好返回到A点的概率；(2)在质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果中，用随机变量ξ表示点P恰能返回到A点的投掷次数，求ξ的数学期望．【答案】(1) P＝P2＋P3＋P4＝13＋19＋181＝3781.(2) Eξ＝2×37＋3×37＋4×17＝197.【详解】本试题主要是考查了古典概型概率的计算公式，以及利用独立事件的概率的乘法公式得到概率值，并且得到随机变量各个取值的概率值，从而得到分布列和期望值．（1）先分析实验中所有的基本事件，然后利用等可能时间的概率公式得到结论．同时要结合独立试验的概率公式表示得到．（2）利用第一问中的结论，可知ξ的可能取值为2,3,4，然后分别得到各自的概率值，求解得到．解析：(1)投掷一次正方体玩具，每个数字在上底面出现都是等可能的，其概率为P1＝26＝13.只投掷一次不可能返回到A点；若投掷两次质点P就恰好能返回到A点，则上底面出现的两个数字应依次为：(1,3)、(3,1)、(2,2)三种结果，其概率为P2＝(13)2×3＝13；若投掷三次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的三个数字应依次为：(1,1,2)、(1,2,1)、(2,1,1)三种结果，其概率为P3＝(13)3×3＝19；若投掷四次质点P恰能返回到A点，则上底面出现的四个数字应依次为：(1,1,1,1)．其概率为P4＝(13)4＝181.所以，质点P恰好返回到A点的概率为：P＝P2＋P3＋P4＝13＋19＋181＝3781. 6分(2)由(1)知，质点P转一圈恰能返回到A点的所有结果共有以上问题中的7种情况，且ξ的可能取值为2,3,4，则P(ξ＝2)＝37，P(ξ＝3)＝37，P(ξ＝4)＝17，所以，Eξ＝2×37＋3×37＋4×17＝197.3.2019年7曰1日至3日，世界新能源汽车大会在海南博鳌召开，大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流，最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行分析，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）.（2）根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布()2,Nμσ，经计算第（1）问中样本标准差s的近似值为50.用样本平均数x作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值，现任取一辆汽车，求它的单次最大续航里程恰在250千米到400千米之间的概率.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<+≈，(22)0.9545P μσξμσ-<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<+≈.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在方格图上行进，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.已知硬币出现正、反面的概率都是12，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第50格.遥控车开始在第0格，客户每掷一次硬币，遥控车车向前移动一次，若掷出正面，遥控车向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，遥控车向前移动两格（从k 到2k +），直到遥控车移到第49格（胜利大本营）或第50格（失败大本营）时，游戏结束，设遥控车移到第n 格的概率为n P ，试说明{}1n n P P --是等比数列，并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车.【答案】（1）300（千米）（2）0.8186（3）说明详见解析，此方案能够成功吸引顾客购买该款新能源汽车 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数的计算方法即可得出x ．（2）由~(300X N ，250)．利用正态分布的对称性可得(250400)P X <．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，01P =．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =．遥控车移到第(249)n n 格的情况是下面两种，而且只有两种：①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -．②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -．可得：211122n n n P P P --=+．变形为112(1)2n n n n P P P P ----=--．即可证明149n 时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为10P P -，公比为12-的等比数列．利用112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯⋯+-+，及其求和公式即可得出．可得获胜的概率49P ，失败的概率50P ．进而得出结论． 【详解】 解：（1）0.002502050.004502550.009503050.004503550.00150405300x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（千米）．（2）由~(300X N ，250)．0.95450.6827(250400)0.95450.81862P X -∴<=-=．（3）遥控车开始在第0 格为必然事件，01P =．第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =． 遥控车移到第(249)n n 格的情况是下面两种，而且只有两种： ①遥控车先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -．②遥控车先到第1n -格，又掷出正面，其概率为112n P -．211122n n n P P P --∴=+．1121()2n n n n P P P P ---∴-=--．149n ∴时，数列1{}n n P P --是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列． 1112P ∴-=-，2211()2P P -=-，3321()2P P -=-，⋯⋯，11()2n n n P P --=-． 1112100111()()()()()1222n n n n n n n P P P P P P P P ----∴=-+-+⋯⋯+-+=-+-+⋯⋯-+ 1111()212[1()]1321()2n n ++--==----(0n =，1，⋯⋯，49)． ∴获胜的概率504921[1()]32P =--，失败的概率49495048112111[1()][1()]223232P P ==⨯--=+．5049484950211111[1()][1()][1()]0323232P P ∴-=---+=->．∴获胜的概率大．∴此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．【题型四】 药物试验模式【典例分析】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只更施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．解：X 的所有可能取值为1,0,1-.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-，，，所以X的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===.因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+，故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-，即()114i i i i p p p p +--=-.又因为1010p p p -=≠，所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得()()()888776100877610134 1p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=.由于8=1p ，故18341p =-，所以 ()()()()44433221101411.325 7p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.【变式演练】1.冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征(MERS )和严重急性呼吸综合征(SARS )等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒(nCoV )是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状､发热､咳嗽､气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎､严重急性呼吸综合征､肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有()*n n ∈N 份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n 次.方式二：混合检验，将其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k 份的血液全为阴性，因而这k 份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k 份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k 份再逐份检验，此时这k 份血液的检验次数总共为k +1.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p (0<p <1).现取其中*(k k N ∈且k ≥2)份血液样本，记采用逐份检验，方式，样本需要检验的总次数为1ξ，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为2ξ. （1）若12()()E E ξξ=，试求p 关于k 的函数关系式p =f (k ). （2）若p 与干扰素计量n x 相关，其中12,,,,(n x x x n ≥2)是不同的正实数，满足x 1=1且13122311()n nn n x x e ex x -++-=-. (i )求证：数列{}n x 为等比数列； (ii )当341p x =望值更少，求k 的最大值.【答案】（1）111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(i )证明见解析；(ii )4【详解】（1）由已知得()1E k ξ=,2ξ的可能取值为1,1k +,所以()()211kP p ξ==-,()()2111kP k p ξ=+=--,所以()()()()()2111111k k kE p k p k k p ξ⎡⎤=-++--=+--⎣⎦,因为12()()E E ξξ=,即()11kk k k p =+--,所以()11kk p -=,所以111kp k ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）(i )证明:因为13122311()n nn n x x e e x x -++-=-,所以112213311n n n n n n x x e e x x x x -+++-=-,所以1131131n n n n x x e x x e ++-=-,所以113n n x e x +=或113n nx e x -+=-（舍去）,所以{}n x 是以1为首项,以13e 为公比的等比数列. (ii )由(i )可知()13n nxen N -*=∈,则4x e =,即31p e=-,由题意可知12()()E E ξξ>,则有()11kk k k p >+--,整理得1ln 03k k ->,设()()1ln 03x x x x ϕ=->,则()33x x xϕ-'=, 当()0,3x ∈时,()0x ϕ'>；当()3,x ∈+∞时,()0x ϕ'<,故()x ϕ在()0,3上单调递增,在()3,+∞上单调递减,又()40ϕ>,()50ϕ<,所以k 的最大值为4.2.2019年12月以来，湖北武汉市发现多起病毒性肺炎病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒性肺炎病例的病原体初步判定为新型冠状病毒，该病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染.我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者.已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为() 01p p <<，某位患者在隔离之前，每天有a 位密切接触者，其中被感染的人数为()0X X a ≤≤，假设每位密切接触者不再接触其他患者. （1）求一天内被感染人数为X 的概率()P X 与a 、p 的关系式和X 的数学期望；（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有a 位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n 天新增患者的数学期望记为)2(n E n ≥.（i ）求数列{}n E 的通项公式，并证明数列{}n E 为等比数列；（ii ）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率()ln 123p p p '=+-，当p '取最大值时，计算此时p '所对应的6E '值和此时p 对应的6E 值，根据计算结果说明戴口罩的必要性.（取10a =） （结果保留整数，参考数据：12ln 5 1.6,ln 3 1.1,ln 20.7,0.3,0.733≈≈≈≈≈） 【答案】（1）()(1)XX a X a P X C p p -=-；EX ap =.（2）（i ）2(1)n nE ap ap -=+，证明见解析；（ii ）16，6480，戴口罩很有必要.【详解】（1）由题意，被感染人数服从二项分布：~(,)X B a p ，则()(1)XX a X aP X C p p -=-,(0)X a ≤≤，X 的数学期望EXap =.（2）（i ）第n 天被感染人数为1(1)n ap -+，第1n -天被感染人数为2(1)n ap -+，由题目中均值的定义可知，122(1)(1)(1)n n n n E ap ap ap ap ---=+-+=+则11nn E ap E -=+，且2E ap =.{}n E ∴是以ap 为首项，1ap +为公比的等比数列.（ii ）令2()ln(1)3f p p p =+-，则1221()133(1)p f p p p -+'=-=++.()f p ∴在1(0,)2上单调递增，在1(,1)2上单调递减.max 1311()()ln ln 3ln 2 1.10.70.30.12233f p f ==-=--≈--=.则当10a =，210(110)n n E p p -=+.46100.1(1100.1)=16E '=⨯+⨯.46100.5(1100.5)=6480E =⨯+⨯.66E E >'∴戴口罩很有必要.3.现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为(01)p p <<．（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含p 的多项式表示）；（2）记该组动物需要注射次数X 的数学期望为()E X ，求证：10()10(2)E X p <<-． 【答案】（1）910109p p -；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）设第一轮注射有Y 只动物产生抗体，则()10,Y B p ～，则所求概率即(10)(9)P Y P Y =+=；（2）先求得()()()9101011E X p p =+--，由01p <<显然可得()10E X >，再变形()()()9102101E X p p p =---，可证得()10(2)E X p <-.【详解】 （1）平均每组100010100=人， 设第一轮注射有Y 只动物产生抗体，则()10,Y B p ～， 所以109910(10)(9)10(1)109P Y P Y p p p p p =+==+-=-， 所以该组试验只需第一轮注射的概率为910109p p -． （2）由（1）得()91010109P X p p ==-，101010(10)(1),2,3,,10kk k P X k C p p k --=+=-=，所以102()10(10)(10)(10)k E X P X k P X k ===++=+∑10109101010210(10(1))(10)(1)k k k k p p p k C p p --==+-++-∑()()()10101010101099101010010111kkkkk k k k Cp pkC p p C p p ----===-+---∑∑，。
事件的概率试题及答案
事件的概率试题及答案1. 单选题：如果一个骰子被公平地掷出，那么掷出偶数的概率是多少？A. 1/2B. 1/3C. 3/8D. 1/6答案：A2. 多选题：以下哪些事件是互斥的？A. 掷一枚硬币得到正面或反面B. 掷骰子得到1或得到6C. 掷骰子得到奇数或得到偶数D. 掷骰子得到3或得到5答案：B, D3. 判断题：如果一个事件的概率是0，那么这个事件不可能发生。
答案：正确4. 填空题：如果一个事件的概率是0.5，那么它的补事件的概率是______。
答案：0.55. 计算题：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：5/86. 简答题：解释什么是条件概率，并给出一个例子。
答案：条件概率是指在某个条件或事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，如果已知一个班级里有50%的学生是女生，那么在随机挑选一个学生是女生的条件下，这个学生是左撇子的概率，就是条件概率。
7. 应用题：一个工厂生产两种类型的零件，A型和B型。
A型零件的合格率为90%，B型零件的合格率为80%。
如果从生产线上随机抽取一个零件，发现它是合格的，那么这个零件是A型的概率是多少？答案：设事件A为零件是A型，事件B为零件合格。
根据贝叶斯定理，P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。
已知P(A) = 0.5，P(B|A) = 0.9，P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A') * P(A') = 0.9 * 0.5 + 0.8 * 0.5 = 0.85。
所以P(A|B) = 0.9 * 0.5 / 0.85 ≈ 0.529。
8. 论述题：描述概率论在现实生活中的应用，并举例说明。
答案：概率论在现实生活中有广泛的应用，例如在风险评估、保险计算、医学研究、天气预报等领域。
例如，在医学研究中，研究人员可能会使用概率论来评估某种治疗方法对特定疾病的效果，通过分析治疗组和对照组的治愈率差异，来确定治疗方法的有效性。
高考概率大题及答案
高考概率大题及答案1.某市高中毕业生中有80%选择进入大学，20%选择就业。
已知选择就业的学生中，70%在第一年获得满意的工作，而选择进入大学的学生中，80%在第一年获得满意的工作。
现从该市高中毕业生中任选一人，问他第一年获得满意工作的概率是多少？解答：由全概率公式可知，某毕业生获得满意工作的概率可以分为两种情况：1）选择就业的情况下获得满意工作的概率：0.2 × 0.7 = 0.14 2）选择进入大学的情况下获得满意工作的概率：0.8 × 0.8 = 0.64因此，获得满意工作的总概率为：0.14 + 0.64 = 0.78所以，任选一人的第一年获得满意工作的概率为0.78。
2.一批产品某种型号有20%的不合格品。
现从中任意抽取2个进行检查，问两个都是合格品的概率是多少？解答：抽取两个产品都是合格品的概率可以通过计算来得到。
首先，第一次抽取的产品是合格品的概率为80%（不合格品的概率为20%）。
而第二次抽取的产品也是合格品的概率会受到第一次抽取的影响。
因为第一次抽取合格品后，剩下的产品中合格品的比例会减少。
假设第一次抽取合格品后，剩下的产品中有a个合格品和b个不合格品，则第二次抽取的产品也是合格品的概率为a/(a+b)。
因此，两个都是合格品的概率为：0.8 × (a/(a+b))具体数值需要根据实际情况来计算。
3.某门考试的通过率为60%，现已知通过考试的学生中，有70%是靠自己的努力而没有借助辅导班；而未通过考试的学生中，有30%是通过辅导班的帮助提高的。
现从所有参加考试的学生中任意选取一人，问他通过考试并没有借助辅导班的概率是多少？解答：通过考试并没有借助辅导班的概率可以分为两种情况：1）通过考试的学生中靠自己的努力的概率：0.6 × 0.7 = 0.42 2）通过辅导班帮助提高通过考试的概率：0.4 × 0.3 = 0.12因此，通过考试并没有借助辅导班的总概率为：0.42 + 0.12 = 0.54所以，任选一人通过考试并没有借助辅导班的概率为0.54。
概率单元测试题及答案大全
概率单元测试题及答案大全一、选择题1. 一个袋子里有3个红球和2个蓝球，随机取出一个球，下列哪个事件的概率最大？A. 取出红球B. 取出蓝球C. 取出白球D. 取出黑球答案：A2. 投掷一枚公正的硬币，出现正面的概率是多少？A. 0.2B. 0.5C. 0.8D. 1答案：B3. 如果事件A和事件B是互斥的，且P(A)=0.3，P(B)=0.4，那么P(A∪B)是多少？A. 0.1B. 0.3C. 0.7D. 无法确定答案：C二、填空题4. 一个骰子有6个面，每个面出现的概率是________。
答案：1/65. 如果一个事件的概率为0，那么这个事件是________。
答案：不可能事件6. 一个事件的概率为1，表示这个事件是________。
答案：必然事件三、计算题7. 一个袋子里有5个白球和5个黑球，随机取出2个球，求取出的2个球都是白球的概率。
答案：首先计算取出第一个白球的概率为5/10，然后计算在取出第一个白球后，再取出第二个白球的概率为4/9。
所以，两个都是白球的概率为(5/10) * (4/9) = 2/9。
8. 一个班级有30个学生，其中15个男生和15个女生。
随机选择3个学生，求至少有1个女生的概率。
答案：首先计算没有女生的概率，即选择3个男生的概率为(15/30) * (14/29) * (13/28)。
然后用1减去这个概率，得到至少有1个女生的概率为1 - [(15/30) * (14/29) * (13/28)]。
四、简答题9. 什么是条件概率？请给出一个例子。
答案：条件概率是指在某个事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，如果我们知道一个班级中有50%的学生是左撇子，那么在随机选择一个学生是左撇子的条件下，这个学生是数学专业的学生的概率。
10. 请解释什么是独立事件，并给出一个例子。
答案：独立事件是指一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
例如，投掷一枚公正的硬币两次，第一次的结果不会影响第二次的结果。
高中概率问题练习题及讲解
高中概率问题练习题及讲解1. 掷骰子问题- 题目：一个均匀的六面骰子被掷两次，求两次掷出的点数之和为7的概率。
- 解析：首先确定所有可能的结果总数，即6*6=36种。
然后找出两次掷骰子点数和为7的组合，它们是(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)，共6种。
因此，所求概率为6/36，简化后为1/6。
2. 抽卡片问题- 题目：从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，求抽到黑桃A的概率。
- 解析：一副标准扑克牌中有13张黑桃，其中只有1张是黑桃A。
因此，抽到黑桃A的概率为1/52。
3. 独立事件问题- 题目：如果一个事件A发生的概率是0.3，另一个事件B发生的概率是0.5，且A和B是相互独立的，求A和B同时发生的概率。
- 解析：独立事件同时发生的概率等于各自发生概率的乘积。
因此，A和B同时发生的概率为0.3*0.5=0.15。
4. 互斥事件问题- 题目：如果事件A和事件B是互斥的，且它们发生的概率分别为0.4和0.3，求至少有一个事件发生的概率。
- 解析：互斥事件至少有一个发生的概率等于它们各自发生概率的和，减去它们同时发生的概率（如果有的话）。
由于A和B互斥，它们不可能同时发生，所以同时发生的概率为0。
因此，至少有一个事件发生的概率为0.4+0.3=0.7。
5. 条件概率问题- 题目：已知事件A发生的概率为0.5，事件B在A发生条件下发生的概率为0.7，求事件B发生的概率。
- 解析：事件B发生的总概率等于事件A发生且B发生的概率加上事件A不发生且B发生的概率。
由于A和B在A发生条件下是相关的，我们只能计算A发生且B发生的概率，即0.5*0.7=0.35。
事件A不发生且B发生的概率需要额外信息才能计算。
6. 全概率公式问题- 题目：如果事件A1、A2、A3是两两互斥的事件，它们发生的概率分别为p1、p2、p3，且它们的并集概率为1，求事件B在这些条件下发生的概率，已知B在A1、A2、A3条件下发生的概率分别为p(B|A1)、p(B|A2)、p(B|A3)。
高中数学概率大题(经典一)
高中数学概率大题（经典一）一．解答题（共10小题）1．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？2．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：1 2 3 4 5办理业务所需的时间（分）频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．3．某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．4．一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．5．某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．6．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2．（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小．7．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费4000元；方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好．8．2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．9．在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．10．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2016•南通模拟）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望；（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？【解答】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，∵当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，∴P（X=0）=；P（X=1）=；P（X=2）=；P（X=3）=；P（X=4）=；P（X=5）=．∴随机变量X的概率分布如下表：E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=≈2.73（2）由题意知①上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）②上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）③上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）教练员组队方案共有144+45+2=191种．2．（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：1 2 3 4 5办理业务所需的时间（分）频率0.1 0.4 0.3 0.1 0.1从第一个顾客开始办理业务时计时．（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．【解答】解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：Y 1 2 3 4 5P 0.1 0.4 0.3 0.1 0.1（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．所以P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22（2）X所有可能的取值为：0，1，2．X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；所以X的分布列为X 0 1 2P 0.5 0.49 0.01EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．3．（2012•海安县校级模拟）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．【解答】解：（1）记至少一人获奖事件为A，则都不获奖的事件，设“海宝”卡n张，则任一人获奖的概率，∴，由题意：，∴n≥7．至少7张“海宝”卡，（2）ξ～的分布列为；，．4．（2011•江苏模拟）一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，∵试验发生包含的事件是从9个球中任取2个，共有C92=36种结果，满足条件的事件是取出的2个球的颜色相同，包括三种情况，共有C42+C32+C22=10设“取出的2个球颜色相同”为事件A，∴P（A）==．（2）由题意知黑球的个数可能是0，1，2P（ξ=0）=P（ξ=1）=，P（ξ=2）=∴ξ的分布列是∴Eξ=0×+1×+2×=．（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，事件发生所包含的事件数C x+52，满足条件的事件是C x1C31+C x1C21+C31C21，设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则P（B）=＜，∴x2﹣6x+2＞0，∴x＞3+或x＜3﹣，x的最小值为6．5．（2010•鼓楼区校级模拟）某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生的所有事件是从6个球中取三个，共有C63种结果，而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C21C42+C22C41设“一次抽奖中奖”为事件A，∴即一次抽奖中奖的概率为；（2）X可取0，10，20，P（X=0）=（0.2）2=0.04，P（X=10）=C21×0.8×0.2=0.32，P（X=20）=（0.8）2=0.64，∴X的概率分布列为∴E（X）=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．6．（2010•盐城三模）将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2．（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小．【解答】解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为，∴正面向上的次数为奇数次的概率为P1=P15（1）+P15（3）+…+P15（15）=∴（Ⅱ）∵P1=C151p1（1﹣p）14+C153p3（1﹣p）12+…+C1515p15，P2=C150p0（1﹣p）15+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1则P2﹣P1=C150p0（1﹣p）15﹣C151p1（1﹣p）14+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1﹣C1515p15 =[（1﹣p）﹣p]15=（1﹣2p）15，而，∴1﹣2p＞0，∴P2＞P17．（2010•南通模拟）某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：方案1：运走设备，此时需花费4000元；方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；（2）试比较哪一种方案好．【解答】解：（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事件A，“乙河流发生洪水”为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A•+•B）=P（A）•P（）+P（）•P（B）=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（A•B）=0.045，都不发生洪水的概率为P（•）=0.75×0.82=0.615，设损失费为随机变量ξ，则ξ的分布列为：ξ10000 60000 0P 0.34 0.045 0.615（2）对方案1来说，花费4000元；对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045．所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045=3520（元）．对于方案来说，损失费的数学期望为：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．8．（2010•海安县校级模拟）2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是．（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．【解答】解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，则A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”设有北京大学志愿者x个，1≤x＜6，那么P（A）=，解得x=2，即来自北京大学的志愿者有2人，来自清华大学志愿者4人；（2）记“清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人”为事件E，那么P（E）=，所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是；（3）ξ的所有可能值为0，1，2，P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，所以ξ的分布列为Eξ=9．（2010•苏州模拟）在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；（2）求这3个数和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生所包含的事件数C93，满足条件的事件3个数中至少有1个是偶数，包含三种情况一个偶数，两个偶数，三个偶数，这三种情况是互斥的，根据等可能和互斥事件的概率公式得到；（2）记“这3个数之和为18”为事件B，考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，∴；（3）随机变量ξ的取值为0，1，2，P（ξ=0）=P（ξ=1）=P（ξ=2）=∴ξ的分布列为∴ξ的数学期望为．10．（2005•湖南）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．【解答】解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34．由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．（I）从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C42=6种分法，每组选择不同的景区，共有3！种选法，∴3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C42•3!记“3个景区都有部门选择”为事件A1，∴事件A1的概率为P（A1）==．（II）先从3个景区任意选定2个，共有C32=3种选法，再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有C41•2!种不同选法．第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有C42种不同选法，∴恰有2个景区有部门选择可能的结果为3（C41•2!+C42）．∴P（A2）==．。
概率大题练习题
概率大题练习题题目一：投掷骰子某人在一个公平的六面骰子上投掷了两次。
记X表示第一次投掷的骰子点数，Y表示第二次投掷的骰子点数。
（1）求事件X=3且Y=5的概率。
（2）求事件X=Y的概率。
解析：（1）事件X=3且Y=5意味着第一次投掷的骰子点数为3且第二次投掷的骰子点数为5。
骰子有6个面，每个面的点数等概率出现。
所以，投掷第一次出现3的概率为1/6，投掷第二次出现5的概率也为1/6。
因此，事件X=3且Y=5的概率为(1/6) * (1/6) = 1/36。
（2）事件X=Y意味着第一次投掷的骰子点数和第二次投掷的骰子点数相等。
根据骰子的特性，任意两次投掷点数相等的概率为1/6，因为每个点数的骰子只有1个。
所以，事件X=Y的概率为1/6。
题目二：抽扑克牌一副标准扑克牌中共有52张牌，包括4个花色（红桃、黑桃、方块、梅花），每个花色13张牌。
现从扑克牌中随机抽取一张牌。
（1）求抽到红桃或黑桃的概率。
（2）求抽到红色的概率。
解析：（1）抽到红桃或黑桃的事件相当于抽到红色花色的牌。
标准扑克牌中红色花色有红桃和红心，共有26张牌。
所以，抽到红桃或黑桃的概率为26/52 = 1/2。
（2）抽到红色的事件相当于抽到任意红色花色的牌。
标准扑克牌中红色花色有红桃和红心，共有26张牌。
所以，抽到红色的概率为26/52 = 1/2。
题目三：抛硬币某人抛掷了3枚硬币，记A为出现正面的枚数，B为出现反面的枚数。
（1）求事件A=2且B=1的概率。
（2）求事件A>B的概率。
解析：（1）事件A=2且B=1意味着抛掷的3枚硬币中，有2枚硬币正面朝上，1枚硬币反面朝上。
每枚硬币有2种可能的结果，所以总共有2^3 = 8种可能的结果。
符合事件A=2且B=1的结果只有3种，即正反正、正正反、反正正。
所以，事件A=2且B=1的概率为3/8。
（2）事件A>B意味着出现正面的枚数大于出现反面的枚数。
在三枚硬币的情况下，只有正正正这种结果不符合要求，其余7种结果都满足A>B的条件。
概率经典练习题精心整理
概率经典练习题精心整理1. 事件概率的计算- 问题：有一个装有6个红球和4个蓝球的盒子，从盒子中随机抽取一个球，求抽出的球是红色的概率。
- 解答：红球的个数为6，总球数为10，所以红色概率为6/10，即3/5。
2. 条件概率的计算- 问题：某地的天气预报表明，如果今天是晴天，明天下雨的概率为0.2；如果今天是雨天，明天下雨的概率为0.6。
已知今天是晴天的情况下，明天下雨的概率是多少？- 解答：根据条件概率公式P(A|B) = P(A∩B) / P(B)，今天是晴天（A），明天下雨（B），则 P(下雨|晴天) = P(下雨∩晴天) / P(晴天)。
已知 P(下雨∩晴天) = P(晴天) * P(下雨|晴天) = (1/2) * 0.2 =1/10，P(晴天) = 1/2，所以 P(下雨|晴天) = (1/10) / (1/2) = 1/5。
3. 互斥事件的概率计算- 问题：某班级有50个学生，其中30个喜欢音乐，20个喜欢运动，有10个既喜欢音乐又喜欢运动。
随机选取一个学生，求该学生既不喜欢音乐也不喜欢运动的概率。
- 解答：根据互斥事件的概率计算公式P(A∪B) = P(A) + P(B)，既不喜欢音乐也不喜欢运动的事件为学生总数减去喜欢音乐和喜欢运动的学生数，即 50 - 30 - 20 + 10 = 10。
所以该学生既不喜欢音乐也不喜欢运动的概率为 10/50 = 1/5。
4. 独立事件的概率计算- 问题：一副扑克牌中，从中抽取2张牌，求第一张是红心的概率并放回，然后再抽取1张牌，求第三张是红心的概率。
- 解答：第一张是红心的概率为 26/52 = 1/2，因为放回了，所以每次抽取红心的概率都是 26/52 = 1/2。
第三张也是红心的概率为26/52 = 1/2，因为前后两次抽取是独立事件。
以上是我为您整理的一些概率经典练习题，希望对您有帮助！。
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三、解答题：
1．有三个盒子，第一个盒子装4个红球1个黑球，，第二个盒子装3个红球2个黑球，第三个盒子装2个红球3个黑球，今任取一个盒子，从中任取3个球，若X 表示红球个数，求X 的分布列
2．若
(2)X Ex ，求随机变量21X Y e -=-的分布函数
3．设随机变量X 的概率密度为
1
,1021
(),0240,X x f x x ⎧-<<⎪⎪⎪=≤<⎨⎪⎪⎪⎩
其他
且2Y
X =，(,)F x y 为(,)X Y 的分布函数，
求（1）Y 的概率密度
()Y f y ；
（2）1
(,4)2
F -
4．设随机变量U 在{2,2]-上服从均匀分布，
1,111U X U -≤-⎧=⎨
>-⎩， 1,1
11U Y U -≤⎧=⎨>⎩
， 求（1）X 与Y 的联合概率分布；（2）()D X
Y +
5．设随机变量X 的概率密度为
1cos ,0;()22
0,
x x f x π⎧≤≤⎪
=⎨⎪⎩其他 对X 独立地重复观察4次，用Y 表示观察值大于
3
π的次数，求2
()E Y
6．设
12,,n X X X (2)n >为来自总体(0,1)N 的简单随机样本，X 为样本均值，记i i Y X X
=-，
1,2,i n = ，求（1）()i D Y ，（2）1(,)n COV Y Y
7．某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件、10件和10件，现在从中随机地抽取一件，记
1,0i X ⎧=⎨⎩
若抽到i 等品，其他 1,2,3i =
(1) 求随机变量
1
X 与
2
X 的联合分布；（2）求随机变量
1
X 与
2
X 的相关系数
ρ
；
（2）
8．设
,A B 为两个随机事件，且1()4P A =
，1()2P A B =，1()3
P B A =， 令
1,0A X A ⎧=⎨
⎩发生，不发生 1,0B Y B ⎧=⎨⎩发生
，不发生
（1）求二维随机变量(,)X Y 的相关系数XY ρ； （2）求22Z X Y =+的概率分布（04数3）
9．设(,)X Y 在{}(,)02,01G
x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布，记
0,1X Y U
X Y ≤⎧=⎨
>⎩， 0,212X Y
V
X Y ≤⎧=⎨
>⎩
， （1）求U 和V 的联合分布； （2）求U 和V 的相关系数UV ρ；
10．设随机变量X和Y的联合概率分布为
（1） 求2
2(,)COV X
Y ，（2）求X 和Y 的相关系数ρ
（2）
11．箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1,2,3个，现从箱中随机地取出2个球，记X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数，
（1）求随机变量(,)X Y 的概率分布；（2）求(,)COV X Y 12．设随机变量,X Y 同分布，
X
的分布列为{}103P
X ==
，{}2
13
P X == X
与Y 的相关系数1
2
XY
ρ=
， 求（1）(,)X Y 的概率分布；（2）{}1P
X Y +≤
13．设随机变量X 的分布列为{}112P X ==
，{}122
P X == 且在
X i =的条件下，随机变量Y 在(0,)i 上服从均匀分布；(1,2)i =
（1） 求Y 的分布函数()Y F y ；
（2）()E Y
（2）
14．设12,,n X X X 来自总体2
(,)N μσ，11n i i X X n ==∑，2
21
1()1n i i S X X n ==--∑ 221()T X S n
=-
求（1）()E T ；（2）若0,1,μ
σ==求()D T
15．总体X 的概率密度为
20()0
x xe x f x λλ-⎧>=⎨
⎩其他
其中0λ
>未知，1,,n X X 为来自总体X
的简单随机样本，
（1）求参数λ的矩估计量；
（2）求参数λ的最大似然估计量
（2）求参数θ的最大似然估计
16．总体X 的概率密度为
11(;)10
x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他 其中θ是未知参数，1,,n X X 为来自总体X 的简单随机样本，
（1）求参数θ的矩估计；
（2）求参数θ的最大似然估计。